第21、22章综合复习题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21、22章综合复习题 （范围：第21、22章内容） 考试时间:120分钟 满分120分 1．若一元二次方程3x2＝5x﹣2的二次项系数是3，则常数项是（　　） A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2 2．对于抛物线y3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3） B．开口向上，顶点坐标（5，3） C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3） D．开口向下，顶点坐标（5，3） 3．用配方法解方程x2+2x＝3时，下列配方正确的是（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝7 4．已知抛物线y＝mx2+nx和直线y＝mx+n在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（　　） A．x2＝91 B．1+x2＝91 C．1+x+x（1+x）＝91 D．1+x+x2＝91 6．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k B．k且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1 7．已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上有三点（2，y1），（4，y2），（6，y3）．若y1y3＜0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 8．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 9．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（　　） A．﹣2＜c B．﹣4＜c C．﹣4＜c D．﹣10＜c 10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a+b＝0；④3a+c＞0；⑤4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．若关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 12．一个二次函数的图象开口向上，经过点（0，﹣2），那么这个二次函数的表达式可以是　 　 ．（写出一个即可） 13．在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为　 　 ． 14．已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m 　 　 n（填“＞”、“＝”、“＜”）． 15．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+4k＝0的两个实数根，且a2+b2＝12，则k的值是　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（0≤x≤7）与x轴的交点坐标为（7，0），设该图象上任意两点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d为x1≤x≤x2时y的最大值与最小值的差．若x2﹣x1＝6，则d的取值范围是 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．用适当的方法解方程： （1）x2﹣7x+10＝0； （2）3x2﹣6x+1＝0． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，画出y＝x2﹣4x+3的图象． 19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … m 7 1 ﹣1 1 7 解答下列问题： （1）求这个二次函数的解析式； （2）表格中m的值等于　 　 ； （3）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，写出平移后的二次函数解析式． 20．将抛物线y＝﹣x2﹣4x+2向下平移2个单位长度，再向右平移3单位长度． （1）求平移后所得抛物线的顶点坐标． （2）当﹣2＜x＜2时，求平移后所得抛物线的函数值y的取值范围． 21．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+4﹣m2＝0． （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求m的取值范围． 23．2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线y＝ax2+x+c的一部分．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离AO＝2.25m，最高点B的坐标为（2.5，3.5），篮筐中心距离地面的竖直高度是3.05m． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当篮球运动员距篮筐中心的水平距离OC为4m时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 25．已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求抛物线及直线BC的解析式； （2）如图1，过点B作BD⊥AC，交抛物线于另一点D，求点D的坐标； （3）如图2，P是x轴正半轴一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线CB于点E，连接AE，设点P的横坐标为m，△APE的面积为S． ①求S关于m的函数解析式； ②若当0＜m≤t时，S有最大值为，请直接写出实数t的取值范围． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D D B B A B B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．4． 12．y＝﹣x2﹣2． 13．． 14．＜． 15．﹣1． 16．d≤8． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：（1）x2﹣7x+10＝0， （x﹣2）（x﹣5）＝0， x﹣2＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝2，x2＝5； （2）3x2﹣6x+1＝0， ， ， ， ， ∴，． 18．解：由题意可知， y＝x2﹣4x+3与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），与y轴的交点为（0，3）， 对称轴为x2， 顶点坐标为（2，﹣1）， 如图， ． 19．解：（1）由表格数据可知，当x＝﹣1和x＝1时的函数值为y＝1， ∴对称轴是直线x＝0，该函数有最小值y＝﹣1，即顶点坐标为（0，﹣1）， ∴设该二次函数解析式为y＝ax2﹣1， 把x＝1，y＝1代入得：1＝a﹣1， 解得：a＝2， ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2﹣1； （2）当x＝﹣3时，y＝2×（﹣3）2﹣1＝17， ∴m＝17， 故答案为：17； （3）将这个函数的图象向右平移2个单位长，向上平移1个单位长，可得：y＝2（x﹣2）2﹣1+1＝2x2﹣8x+8， ∴平移后的二次函数解析式为：y＝2x2﹣8x+8． 20．解：（1）y＝﹣x2﹣4x+2＝﹣（x+2）2+6， ∴平移后抛物线的表达式为y＝﹣（x+2﹣3）2+6﹣2＝﹣（x﹣1）2+4， ∴平移后所得抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）由（1）知，抛物线平移后所得抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴平移后的抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）． 当﹣2＜x≤1时，函数值y随x的增大而增大；当1＜x＜2时，函数值y随x的增大而减小． 当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣1）2+4＝﹣5； 当x＝2时，y＝﹣（2﹣1）2+4＝3． 综上，当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围为﹣5＜y≤4． 21．解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x， 根据题意，得400（1+x）2＝576， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%； （2）设这种台灯售价应定为m元， 根据题意，得（m﹣30）[576（40﹣m）]＝4800， 解得m1＝38，m2＝80， ∵售价在35元至40元范围内， ∴m＝38， 答：这种台灯售价应定为38元． 22．（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（4﹣m2） ＝16﹣16+4m2 ＝4m2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有实数根； （2）解：∵x2﹣4x+4﹣m2＝0， ∴（x﹣2）2＝m2， ∴x﹣2＝±m， ∴x1＝2+m，x2＝2﹣m， ∵两根均不小于1， ∴， 解得﹣1≤m≤1， 即m的取值范围为﹣1≤m≤1． 23．解：（1）根据题意可得：抛物线过点A（0，2.25），顶点B的坐标为（2.5，3.5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5， 将点A（0，2.25）代入可得：2.25＝a（0﹣2.5）2+3.5，解得：， 所以抛物线的函数表达式； （2）这次投篮训练能成功，理由如下： 令x＝4，则， ∵3.05＝3.05， ∴这次投篮训练能成功． 24．解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 25．解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）， 则﹣8a＝4，则a， 则抛物线的表达式为：yx2+x+4； 由抛物线的表达式知，点C（0，4），设直线BC的表达式为：y＝kx+4， 将点B的坐标代入上式得：0＝4k+4，则k＝﹣1， 则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4； （2）由点A、C的坐标得，直线AC表达式中的k值为2， ∵BD⊥AC，则直线BD表达式中的k值为， 则直线BD的表达式为：y（x﹣4）， 联立上式和抛物线的表达式得：（x﹣4）x2+x+4， 解得：x＝4（舍去）或﹣1， 即点D（﹣1，2.5）； （3）①设点E（m，﹣m+4）， 则S（m+2）|﹣m+4|， 当0＜m＜4时，Sm2+m+4； 当m≥4时，Sm2﹣m﹣4； ②由①得：Sm2+m+4（m﹣1）2， 故t≥1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $