抛物线及其方程能力提升卷（B）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第十一单元 抛物线及其方程 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为，则，且抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为.故选：C. 2．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【详解】因为，所以，其准线方程为， 根据抛物线定义，得，解得．故选：A 3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为， 即，则由点到直线的距离公式得.故选：A. 4．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【详解】由抛物线的定义，知，又，，所以，即， 由点在上，得，结合，解得.故选：C 5．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示． 设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．选：C 6．已知直线：3x-4y-6=0，直线：y=-2，抛物线上的动点P到直线与直线距离之和的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【详解】抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为y＝﹣1， 过P作PB垂直直线y＝﹣2交y＝﹣2于A，交y＝﹣1于B， 由抛物线的定义得|PB|＝|PF|，|PB|＝|PA|﹣1 则点P到直线l1与直线l2距离之和|PC|+|PA|＝|PB|+1+|PC|＝|PF|+|PC|+1≥|FD|+1， 此时最小值为F到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离d＝|FD|＝ 则抛物线x2＝4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是d+1＝2+1＝3，故选B． 7．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【详解】双曲线的焦点坐标为，依题意，得的焦点为，所以，解得．如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则． 根据抛物线定义知，，设，， 因为，所以，即，得，所以，所以，因为，所以，即，解得．故选：C. 8．抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线（）的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上点M反射后，其反射光线过点，且，则△FMN的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由抛物线的对称轴为轴，得轴， 设抛物线的准线与轴交于点，反向延长交抛物线的准线于点，则， 由抛物线的定义得，由，得， 因此为等边三角形，在直角中，，， 于是，从而， 所以的面积为.故选：A 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【详解】A：由抛物线的定义，得，所以，对； B：因为点在抛物线上，所以，所以，错； C：，对；D：由抛物线，可得，错；故选：AC 10．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【详解】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点， 又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确． 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以或4，B错误． 由上，若，可知， 可得，则，即，C正确． 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误.故选：AC 11．已知曲线上的动点到点的距离比其到直线的距离小1，过点的直线交曲线于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为或 选项 正误 原因 A √ 依题意，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，曲线的方程为．因为为过焦点的弦长，所以的最小值为通径长，又通径长为，故的最小值为4. B × 如图，不妨设点A在点的上方，过点A作准线的垂线，垂足为，交轴于点，根据抛物线的定义可得，所以的周长为．由图可知，当A，E与点等高时，有最小值，最小值为到准线的距离，其值为，所以，即周长的最小值是． C √ 由A知，直线是抛物线的准线．如B中图，点A在点上方时，取AB的中点为，过点作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为．则，是梯形的中位线，由抛物线的定义可得，，所以，所以以AB为直径的圆与直线相切．同理，点A在点下方时，也可证得以AB为直径的圆与直线相切． D √ 设，，因为，所以，易知直线AB的斜率不为0，设其方程为，与抛物线联立，消去得，易知，，，与联立可得，，则，解得，，所以直线AB的斜率． 故选：ACD. 三、填空题 12．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过坐标原点作直线交于点（异于点），过作的垂线，垂足为，若，则直线的方程为 ． 【详解】连接，因为， 所以是以为顶角的等腰三角形．设点，因为， 所以，所以．则，所以直线的方程为． 13．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 【详解】因为为底面圆的直径，，，，所以，则， 所以，则都是等腰直角三角形. 因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则，设抛物线为，则，解得，即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.故答案为： 14．已知抛物线方程为，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．已知点，则 ；设点，若恒成立，则k的取值范围为 ． 【详解】如图所示，过点Q作抛物线准线的垂线QE，垂足为点E， 设，则为锐角， 设抛物线的准线与x轴的交点为M，则， 由抛物线的定义可知，， 因为，所以，所以， 当点P的坐标为时，，则，此时． 当点时，若恒成立， 则，，所以．故答案为：4； 四、解答题-问答题 15．已知，是抛物线上的两点． (1)求的方程及其准线方程； (2)已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程． 【详解】（1），是抛物线上的两点， ，则，解得． 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得． 所以的方程为，其准线方程为； （2）由抛物线的对称性，结合知两点关于轴对称，如图，设点，则点．   是的垂心，，则，即， ，又，，则．直线的方程为. 16．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，又，，该椭圆的右焦点为， 又抛物线的焦点为，所以，解得，故抛物线的方程为． （2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的 斜率不为，设直线的方程为， 联立，得，即，方程的判别式， 设，，则，，由根与系数的关系得， 因为，，所以，. 17．如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 【详解】（1）如图，取经过点且垂直于的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合， 建立平面直角坐标系，则，． 方法一    因为公路上任意一点到地的距离等于到直线的距离， 所以所在的曲线是以为焦点，以为准线的抛物线． 设抛物线方程为，则，所以公路所在曲线的方程为； 方法二    设公路所在曲线上任意一点，则， 故，化简得，所以公路所在曲线的方程为； （2）要使架设电线长度最短，即最小．过作，垂足为， 如图，所以， 当三点共线时，最小，即取得最小值， 此时，位于地正南方且与地相距处， 所用电线最短长度为km． 18．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线交于点，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为， 联立，消得，恒成立， 设，，由韦达定理可得，则，所以， 所以抛物线的方程为，准线方程为. （2）由（1）得，依题意可设直线，联立，消得， 恒成立，则，，又，， 令，则，即，同理可得，设圆上任意一点为， 因为为直径，所以， 所以，即， 整理可得， 令，可得或， 所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或. 19．如图，抛物线的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记，的面积分别为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）求的最小值． 【详解】解：（1）∵抛物线的焦点为，∴， ∴抛物线方程为； （2）由已知可得，， 由于直线AB的斜率不可能为0，故可设， 联立，消去x并整理得：， 设，，则，． 所以，， 而， 所以（定值）； （3）直线，可得，同理， ∴， 即， ∴， 令则， 由对勾函数的性质知在上是增函数，在上是增函数，所以时，，此时． 故的最小值是5，此时直线轴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一单元 抛物线及其方程 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 3．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 6．已知直线：3x-4y-6=0，直线：y=-2，抛物线上的动点P到直线与直线距离之和的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 7．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线（）的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上点M反射后，其反射光线过点，且，则△FMN的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 10．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 11．已知曲线上的动点到点的距离比其到直线的距离小1，过点的直线交曲线于A，B两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与直线相切 D．若，则直线的斜率为或 三、填空题 12．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过坐标原点作直线交于点（异于点），过作的垂线，垂足为，若，则直线的方程为 ． 13．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 14．已知抛物线方程为，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：．已知点，则 ；设点，若恒成立，则k的取值范围为 ． 四、解答题-问答题 15．已知，是抛物线上的两点． (1)求的方程及其准线方程； (2)已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程． 16．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合． (1)求抛物线的方程； (2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 17．如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 18．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的标准方程和准线方程； (2)记为坐标原点，直线分别与直线交于点，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 19．如图，抛物线的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记，的面积分别为． （1）求抛物线C的标准方程； （2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $