第十单元双曲线及其方程单元卷A卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第十单元 双曲线及其方程 A卷 基础达标卷 一、单选题 1．双曲线的焦距是（    ） A．3 B．6 C． D． 2．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 3．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 6．著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（    ） A． B． C．10 D．11 7．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 8．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 10．双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 11．已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，.下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为 三、填空题 12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 13．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 四、解答题-问答题 15．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且 (1)求C的方程； (2)点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 18．已知和为双曲线上两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的离心率及渐近线方程； (3)若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程. 19．如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十单元 双曲线及其方程 A卷 基础达标卷 一、单选题 1．双曲线的焦距是（    ） A．3 B．6 C． D． 【详解】解：双曲线,,, 双曲线的焦距为．故选：D． 2．直线是双曲线的一条渐近线，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．18 【详解】令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得．故选：D. 3．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为．故选：B. 4．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以，所以双曲线的方程为.故选：C. 5．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则.故选：C. 6．著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（    ） A． B． C．10 D．11 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即可得， 设双曲线的方程为，将代入计算可得，解得， 所以该粒子路径的顶点与双曲线的中心的距离为．故选：A. 7．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 【详解】因为双曲线 ，所以，，所以， 为双曲线上一点，，所以为双曲线上右支上一点， 由双曲线的定义得：，，所以，所以，，， 所以，所以，故，故选：B 8．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则， 不妨设点在第一象限，则直线的斜率为，所以，直线的方程为， 联立，解得，即点， 所以，， 化简可得，即，双曲线的离心率． 方法二：因为为中点，，则，所以， 又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线， 得，所以，，所以，故．故选：C． 二、多选题 9．关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 【详解】双曲线，则，，，所以渐近线为，故A正确； 离心率为，故B正确；焦点坐标为，故C错误； 实轴长为，虚轴长为，所以的实轴长是虚轴长的倍，故D错误.故选：AB 10．双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 【详解】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确； 对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误．故选：AC 11．已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，.下列判断正确的是（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为的上支上一点，则的内切圆的半径为 【详解】对于A，由可得，其渐近线的方程为， 即可得，所以的方程为，即，可知A正确； 对于B，易知，，即，所以离心率为，可知B错误； 对于C，如下图所示：   根据双曲线定义可得，所以， 又，， 因此， 当三点共线时，满足题意，此时的最小值为，即C正确； 对于D，若点为的上支上一点，可得，如下图所示： 由可得，， 又，因此的周长为， 易知的面积为， 设的内切圆圆心为，半径为， 易知，即， 解得，即的内切圆的半径为，即D正确.故选：ACD 三、填空题 12．与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为 ． 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得，故方程为．故答案为： 13．一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则，故， 所以在中，，整理得，故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故.故答案为：. 四、解答题-问答题 15．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以，所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以，所以. 又渐近线方程为，所以，则，所以所求双曲线的标准方程为. 16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且 (1)求C的方程； (2)点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求. 【详解】（1）由题意，即，又，则，， 则，即， 则，即. （2）由（1）知：，将代入双曲线，得， 不妨令，又双曲线渐近线为，如下图示，所以，，则. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 18．已知和为双曲线上两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的离心率及渐近线方程； (3)若过的直线交于另一点，且的面积为6，求的方程. 【详解】（1）∵和为双曲线上两点， ∴且，解得， ∴双曲线的标准方程为. （2）∵，∴， ∴双曲线的离心率为，渐近线方程为. （3）∵和，∴， ∴直线的方程为，即， ， 又点到直线的距离为， ∵，∴， 设，则，即， ∴或， 解得或或或， 即或或或， 当时，直线的方程为； 当时，，直线的方程为，即； 当时，，直线的方程为，即； 当时，，直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或或或． 19．如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 【详解】（1）设双曲线C的焦点坐标为，因为实轴长是虚轴长的2倍，则， 又因为焦点到渐近线的距离为1，则，可得，解得，， 所以双曲线C的标准方程： （2）当直线l的斜率不存在时， P点为MN的中点；当直线l的斜率存在时，设直线MN的方程：， 联立方程，得， 因为直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N， 其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点P， 所以，即：， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立方程，解得，联立方程，解得， 则MN的中点坐标：，即， 代入得，，所以MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上，又因为直线l与双曲线C只有一个公共点P，可知点P为线段MN的中点；综上：点P为线段MN的中点. （3）由题意可知：， 坐标原点到直线l的距离：，则， 代入得.所以平行四边形OEPF面积为定值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $