双曲线及其方程能力提升卷（B)-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第十单元 双曲线及其方程 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 2．设 ，双曲线 的方程为 ，则“ 的离心率为 ” ， 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或D．或 4．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 5．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（    ） A．或 B． C． D． 6．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 7．如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ） A．40 B．50 C．55 D．60 8．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆 D．若，则曲线的离心率为 10．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（    ） A． B．直线，的斜率之积等于定值 C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个 D．若，则 11．已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， ．设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有（    ） A．若平行于渐近线，则 B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 12．已知双曲线（为正整数）的离心率，焦距不大于，试写出双曲线的一个方程： ． 13．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 14．已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ． 四、解答题-证明题 15．已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 16．双曲线，右焦点为. (1)若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程； (2)经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率. 17.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 18．已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 19．三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线的左支交于点（射线在内部），则．在上述过程中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)若，求双曲线的方程以及其渐近线方程； (2)若，点在轴的上方，过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为．证明 ①为定值； ②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十单元 双曲线及其方程 B卷 能力提升卷 一、单选题 1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D．1 【详解】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为．故选：A 2．设 ，双曲线 的方程为 ，则“ 的离心率为 ” ， 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由题意知，，双曲线的离心率为， 所以或，故是 “” 的必要不充分条件.故选：B. 3．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】由题意易知． 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为，则，解得，所以，双曲线的方程为．故选：D 4．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12．故选：B.  5．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（    ） A．或 B． C． D． 【详解】因为，，所以，所以或（舍）， 又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以， 所以，所以，所以， 若在左支上，，符合要求，所以， 若在右支上，，不符合要求，所以，故选：B. 6．如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点，又为的中点，所以且．连接，因为点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得，所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 7．如图，已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，直线与轴交于点，点为双曲线左支上一动点，且，过作，垂足为，则的最大值为（    ）    A．40 B．50 C．55 D．60 【详解】由已知可得，将点代入双曲线方程得，解得， 所以，所以，直线的方程为. 令，解得，所以，所以，所以. 连接，.因为，所以， .（另解  也可用极化恒等式来化简，）. 又因为点为双曲线左支上一点，且，所以当时，取得最小值，所以的最大值为40.故选：A. 8．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】易知共线，共线，如图，设，，则， 由得，，又， 所以，，所以， 所以， 由得， 因为，故解得，则， 在中，，即，所以．故选：C． 二、多选题 9．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆 D．若，则曲线的离心率为 【详解】A选项：由题意，曲线，若，则， 此时曲线，表示两条直线，A选项正确； B选项：若，又，则，曲线，可化为，此为双曲线方程，B选项正确；C选项：若，取，则曲线表示圆，C选项错误； D选项：若，又，所以，则为，则为等轴双曲线，其离心率为，D选项正确.故选：ABD. 10．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（    ） A． B．直线，的斜率之积等于定值 C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个 D．若，则 【详解】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，对于A中，由双曲线的定义知，，所以A错误；对于B中，由，，可得， 又由，所以，可得，所以B正确； 对于C中，若P在第一象限，则当时，，为等腰三角形；当时，，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得为等腰三角形的点P有两个．同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误．对于D中，由，得，从而，所以D正确．：BD． 11．已知点P为双曲线所在平面内一点，分别为C的左、右焦点，，线段分别交双曲线于两点，， ．设双曲线的离心率为e，则下列说法正确的有（    ） A．若平行于渐近线，则 B．若，则 C．若，则 D． 【详解】依题意，在中，，而，，则，， 由对称性，不妨令点P在第一象限，如图 对于A，若平行于渐近线，而直线斜率为，则，得，A正确； 对于B，若，则，在中，由余弦定理得： ，， 离心率，B正确； 对于C，若，则，在中， ，离心率，C错误； 对于D，，，， 由得，即，则，所以，D正确．故选：ABD. 三、填空题 12．已知双曲线（为正整数）的离心率，焦距不大于，试写出双曲线的一个方程： ． 【详解】由得，又，所以，即． 又，所以，得．因为为正整数，所以或或，即或或， 则双曲线方程为或或． 故答案为：  （写出其中一个即可）. 13．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是．故答案为： 14．已知双曲线的焦距为10，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，则双曲线的方程为 ；若点为双曲线左支上的任意一点，则的最小值是 ． 【详解】由题意可知，设，即，代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以有，解得，所以双曲线的方程为． 方法一：  设， ， 则， 则， 由于，所以，因此， 于是，故的最小值是． 方法二 ： 由双曲线定义可知，且， 于是， 由于，所以， 因此，故的最小值是．故答案为：； 四、解答题-证明题 15．已知点是双曲线上任意一点． (1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值． 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，由在双曲线上，得， 点到直线的距离，点到直线的距离， 因此点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积， 而，所以，即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知，，则，解得或， 因此，，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 16．双曲线，右焦点为. (1)若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程； (2)经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率. 【详解】（1）双曲线为等轴双曲线， ， ∵双曲线过点，将其代入得： ； （2）法一：是以线段为底边的等腰三角形，， 是等腰直角三角形，， 过作轴于点，则， 设左焦点，由双曲线定义知， ， 于是. 法二：前同法一得，点在上， ， 整理得：，解得：， ， 于是. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 18．已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值；(2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为渐近线的倾斜角为，所以，所以. （2）由题意可知直线的斜率存在，设，由（1）可知渐近线方程为， 联立，可得，不妨取，所以， 同理可得，所以， 所以，解得， 所以. （3）设，的中点为， 由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以， 联立，可得，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 将代入双曲线方程中，可得，因为在双曲线的右支内部，所以， 又因为，所以，所以， 即. 19．三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线的左支交于点（射线在内部），则．在上述过程中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)若，求双曲线的方程以及其渐近线方程； (2)若，点在轴的上方，过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为．证明 ①为定值； ②． 【详解】（1）设双曲线的方程为，由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得，所以双曲线的方程为，渐近线方程为． （2）①设双曲线的方程为，由题可得，，所以， 由双曲线的离心率为2，可得，所以双曲线的方程为． 因为，所以直线的方程为， 设，则，， 所以，， 所以，为定值． ②因为，所以，又，由①得， 所以，又，都是锐角，所以， 所以，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $