第三章 函数（高效培优单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第一册

第三章 函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 4．已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 5．若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 11．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是奇函数，则实数 ． 13．若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 14． 上方程的解的个数为 ．（表示不大于的最大整数） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 16．汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 17．已知，，． (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数在上有不同的零点，求的取值范围． 18．已知函数，，若存在，使得，则称为函数的不动点；已知函数，．若存在，使得，则称为函数的稳定点． (1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点． (2)已知函数， （ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点; （ⅱ）若函数在区间上存在2个不动点，求实数的取值范围． 19．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 2．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 3．已知函数对任意x，都满足，且，则（    ）． A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】令可求出，令、可求出. 【详解】令，则， 令，，则． 故选：C 4．已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 5．若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 6．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及单调性可分别作出函数、的图象，结合图象即可求解不等式. 【详解】由为上的偶函数可知的图象关于y轴对称，且， 而函数的图象为的图象向左平移2个单位得到的， 作出与的示意图如图所示， 结合图象可知时，的函数值互为相反数， 故的解集为．    故选：C. 7．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】令，由可得为奇函数，再给赋值可得，从而可得，设在上的最大值为，最小值为，进而分别证得和，从而，所以得到的最大值与最小值之和为6. 【详解】函数的定义域由决定，为. 令，则，，即为奇函数， 令，可得，令，则，可得， 因此，. 设在上的最大值为，最小值为，则存在使得. 由，及，可得，即. 又存在使得，由，及，可得，即. 综上，函数的最大值与最小值之和为6. 故选：B． 8．若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据函数的周期性作出函数的图象，再作出的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】因为，且当时，关于对称， 所以的函数图象在上关于点对称， 又，所以的周期， 因此的图象关于点对称， 又的图象关于点对称， 所以在上的所有零点两两关于点对称， 作出与的函数图象如图所示： 由图象可知与在区间上有8个交点， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将不等式转化为,求的最大值即可. 【详解】将不等式转化为, 令， 则在取最小值，在单调递减，所以在时，单调递减， 即单调递增，所以最大值为，所以. 故选：ABC 10．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以，，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，显然，，于是， 因此的值域为，故D错误． 故选：BC. 11．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】由可判断A，由，得到，可判断C，由和可判断B，由周期性，奇偶性可判断D. 【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误； 对于B：因为为奇函数， 所以， 由，可得：， 所以，即， 所以，偶函数，正确； 对于C：由， 可得，所以是周期为3的周期函数，正确； 对于D，， 所以， 由周期性可得： 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据奇函数的性质有求参数，注意验证即可得. 【详解】由题设，可得，即函数定义域为， 由函数为奇函数，则，故， 所以，满足题设. 所以. 故答案为：2 13．若函数的定义域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知恒成立，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，则恒成立， 当时显然不成立； 当时，则恒成立， 当时，，解得. 综上所述：实数取值范围是. 故答案为：. 14． 上方程的解的个数为 ．（表示不大于的最大整数） 【答案】4 【分析】应用函数的新定义结合一元二次不等式的解法计算求解即可. 【详解】 由得，所以， 因为，所以 得，解得或 此时可能取值为1，2，10，11，12， 分别代入计算可得， 经检验不符合题意，故方程的解有4个． 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析． 【分析】（1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 16．汕头体育中心为粤东目前规模最大、标准最高的体育场馆，其中体育场可容纳22000名观众．体育场按要求建造了隔热层，隔热层使用年限为30年．已知隔热层的建造成本是5万元/厘米，设每年的能源消耗费用为（万元），隔热层厚度为（厘米），两者满足关系式：（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元． 30年的总维修费用为30万元．记为30年的总费用． （总费用=隔热层的建造成本费用+使用30年的能源消耗费用+30年的总维修费用） (1)求30年的总费用关于的函数表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，30年的总费用最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2)隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元 【分析】（1）根据题意可知当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，得出，从 而得出，再根据题给的总费用公式得出关于的函数表达式； （2）根据关于的函数表达式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）依题意，当无隔热层时（），每年能消耗费用万元，即，可得， 故， 所以， 即的表达式为； （2） ， 当且仅当，即当时取得最小值， 所以隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为85万元． 17．已知，，． (1)若的解集为或，求不等式的解集； (2)若函数在上有不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到，然后解绝对值不等式即可； （2）当易知结果，当时，分情况进行讨论计算即可. 【详解】（1）由题可知：的解集为或， 所以分别为方程的两个实数根，则， 由，则， 所以， 所以不等式的解集为 （2）， 当时，在的图象始终在轴上方，不符合题意； 当时，函数在有两个不同的零点，所以满足： ， 当，即时，函数在有一个零点， 在有一个零点， 则. 综上所述： 18．已知函数，，若存在，使得，则称为函数的不动点；已知函数，．若存在，使得，则称为函数的稳定点． (1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点． (2)已知函数， （ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点; （ⅱ）若函数在区间上存在2个不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）不动点为，，稳定点为0，，，；（ⅱ） 【分析】（1）根据函数的不动点和稳定点的定义易得； （2）（ⅰ）由解方程即得函数的不动点，再由解方程即得函数的稳定点；（ⅱ）将函数在区间上存在2个不动点转化为方程在上有2个不等实根，采用数形结合的方法，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）设是函数的一个不动点，则有． 所以， 故函数不动点一定是函数的稳定点． （2）（ⅰ）时，， 由，得，即， 解得，或， 所以时，函数的不动点为，． 又因为时，， 由，得， 即，分解因式可得：， 所以或或或， 故时，函数的稳定点为0，，和． （ⅱ）由，得， 令，， 依题意，方程在有2个不等实根， ，， 解得，故实数a的取值范围是． 19．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R． (2) (3)． 【分析】（1）利用作差法计算可得，即可求解； （2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可； （3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $