专题2.4 不等式及其性质（高效培优讲义）数学人教B版2019必修第一册

专题2.4不等式及其性质 教学目标 1、 掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法. 2、 反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法. 3、 灵活选用不等式5个性质与5个推论。 教学重难点 教学重点：不等式的性质，并能利用性质解决问题；综合法、分析法证明问题的过程和推理特点 教学难点：综合法、分析法证明问题的过程 知识点01 不等式定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点02 实数比较大小 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【即学即练】比较大小： （填“<”或“>”）. 【答案】 【分析】平方计算判断大小. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 知识点03不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果，，那么. 性质3(可乘性)　如果，，那么. 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 【即学即练】“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的概念，结合不等式性质分别判断即可. 【详解】由，当时，则，故充分性不成立； 由，可知，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型01 由已知条件判断不等式是否正确 【典例1】下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 【变式1】已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 【变式2】（多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 因为，且，所以，故选项A正确； 对于选项B： 若，则，故选项B错误； 对于选项C： 因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误． 故选：AC． 【变式3】（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】AB选项，利用不等式的基本性质进行判断；C选项，作差法比较大小；D选项，举出反例. 【详解】A选项，因为，，所以，即，故A正确； B选项，因为，，所以，故B错误； C选项，由A知，，又，因为，所以，故C正确； D选项，当，，，时，，故D错误. 故选：AC. 【变式4】（多选）下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法. 【详解】对A：因为，所以，，所以，所以，即，故A正确； 对B：取，，则，故B错误； 对C：因为，，所以， 所以，故C正确； 对D：因为，，所以，所以.故D正确. 故选：ACD 题型02 由不等式的性质比较大小 【典例1】（多选）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 【变式1】英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真合题的是（    ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，满足，但此时，所以A错误； 对于选项B： 若，此时，所以B错误； 对于选项C： 若，此时，所以C错误； 对于选项D： 因为，所以，所以D正确. 故选：D. 【变式2】已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法可判断ABD；利用不等式性质可判断C. 【详解】，但，故A错误； ，但，故B错误； 因为，所以，所以，又，所以， 所以，故C正确； ，但，故D错误. 故选：C. 【变式3】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 【变式4】（多选）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可. 【详解】因为，，故，所以，故A正确； 不妨取，，则，故B错误； 因为，，所以，即，即，故C正确； 不妨取，，则，故D错误． 故选：AC. 题型03 作差法比较大小 【典例1】（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）（2）利用作差法即可求解. 【详解】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 【变式1】互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法先比较的大小关系，再利用作差和配方法求得的大小关系，从而得到正确选项. 【详解】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D 【变式2】（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 【变式3】若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞； 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞ 【变式4】（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 用作差法比较两个实数大小的四步曲 题型04 作商法比较大小 【典例1】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1); (2); (3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3) 通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 【变式1】设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 【变式2】已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【变式3】（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 【变式4】（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法得出，然后对与的大小进行分类讨论，进而可得出与的大小关系； （2）将、进行分子有理化，结合作商法可得出、的大小关系. 【详解】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 【点睛】本题考查利用作差法和作商法比较大小，属于基础题. 题型05 不等式性质的应用 【典例1】对于任意实数，给定下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C； 【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误； 对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误； 对于C：若，则，所以，故C正确； 对于D：若，满足，但是，故D错误； 故选：C 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A根据题干用作差法比较大小，对于B，C，D均用取特殊值验证的方法验证即可. 【详解】对于A，，因为，所以，所以即，故选项A正确. 对于B，，取，，，，则，故选项B错误. 对于C，，取，，，，则，故选项C错误. 对于D，，取，，则，故选项D错误. 故选：A. 【变式2】下列命题中，正确的是（    ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可． 【详解】解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误； 对于B：当时，故B错误； 对于C：由，所以，因为，所以，故C正确； 对于D：当，满足，但是，故D错误； 故选：C 【变式3】下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 【答案】B 【分析】对于A、C、D三个选项，取特殊值进行否定； 对于B：利用不等式性质中同向不等式相加进行证明. 【详解】对于A：取c=0，则.故A错误； 对于B：因为，所以. 又，由同向不等式相加可得：.故B正确； 对于C：取，符合已知条件，而，所以不成立.故C错误； 对于D：取若，则有，所以不成立.故D错误. 故选：B 【变式4】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】采用举反例的方法，可判断A，C，D，利用不等式性质可判断B. 【详解】对于A选项：如果，，，则，但是，故A错误； 对于选项B：如果，则，根据不等式的性质：不等式两边同时加上 或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，故B正确； 对于选项C：如果，，，，则， 但是，故C错误； 对于选项D：，当时，那么，故D错误. 故选：B 题型06 利用不等式求值或取值范围 【典例1】已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体思想，来表示所求式子，再结合不等式的性质来求解即可. 【详解】设，则有， 即，解得， 所以由，可得, 两同向不等式相加得： 化简得 故选：C. 【变式1】已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式性质得到，. 【详解】，故， 又，所以 故选：D 【变式2】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知根据不等式的乘法性质求出的范围，再同向相加即可得结论． 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 【变式3】已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质得到，得到答案. 【详解】，又， 故，即. 故选：D 【变式4】已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 1．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由作差法结合不等式的性质即可判断. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，得出； ，得或，未必. 故选：A. 2．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式性质及特殊值法判断各个选项即可. 【详解】若，则，A选项错误； 若，则，B选项错误； 若，则，C选项错误； 若，则，则，D选项正确. 故选：D. 3．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】由不等式的性质和特殊值逐个判断即可. 【详解】对于A，等时，不成立，错误； 对于B，取，不成立，错误， 对于C，取，不成立，错误； 对于D，因为，不等式两端同除，可得，正确， 故选：D 4．已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确； 故选：D. 5．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 6．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 【答案】A 【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案. 【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为， 所以，所以， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为. 由杠杆的平衡原理：，．解得，， 则. 下面比较与10的大小： 因为， 因为，所以，即， 所以这样可知称出的黄金质量大于. 故选：A. 8．黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【答案】D 【分析】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【详解】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低. 故选：D 9．（多选）下列四个命题中正确命题有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】AD 【分析】由不等式的性质可判断AD，取特殊值可判断BC. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，取，但，不满足， 故B不正确； 对于C，取，满足 ，但是，故C不正确； 对于D，，故D正确． 故选：AD. 10．（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 11．如果，那么与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】直接由作差法即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 12． ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】分母有理化后比较即可. 【详解】分母有理化有， 显然，所以． 故答案为：. 13．已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 14．（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用作差法推理得证. （2）利用待定系数法，结合不等式性质求出范围. 【详解】（1）证明：因为， 所以； （2）设， 于是，解得，则， 由，得，因此，即， 所以的取值范围是 15．为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好，理由见解析 【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【详解】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则. 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4不等式及其性质 教学目标 1、 掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法. 2、 反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法. 3、 灵活选用不等式5个性质与5个推论。 教学重难点 教学重点：不等式的性质，并能利用性质解决问题；综合法、分析法证明问题的过程和推理特点 教学难点：综合法、分析法证明问题的过程 知识点01 不等式定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点02 实数比较大小 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【即学即练】比较大小： （填“<”或“>”）. 知识点03不等式性质 性质1(可加性)　如果，那么 性质2(可乘性)　如果，，那么. 性质3(可乘性)　如果，，那么. 性质4(传递性)　如果，，那么. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果且，那么；如果且，那么. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若且，则，其中时必有且. 推论1(移项法则)　如果，那么. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果，，那么 我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． 推论3(同向同正可乘性)　如果，，那么 推论4(可乘方性)　如果，那么(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果，那么. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由，，可以得到，但不能得到.需要特别注意的是，由，，不能得到，但可以得到.这是因为若，则，又，所以 【即学即练】“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 题型01 由已知条件判断不等式是否正确 【典例1】下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【变式1】已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式3】（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）下列说法中正确的有（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型02 由不等式的性质比较大小 【典例1】（多选）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【变式1】英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真合题的是（    ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【变式2】已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】（多选）设，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 作差法比较大小 【典例1】（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【变式1】互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【变式4】（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 用作差法比较两个实数大小的四步曲 题型04 作商法比较大小 【典例1】试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【变式1】设，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】已知，试比较和的大小. 【变式3】（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【变式4】（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 题型05 不等式性质的应用 【典例1】对于任意实数，给定下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列命题中，正确的是（    ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 【变式3】下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 【变式4】对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型06 利用不等式求值或取值范围 【典例1】已知则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．对于实数，下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（    ） A．大于10克 B．小于10克 C．等于10克 D．当时，大于10克；当时，小于10克 8．黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 9．（多选）下列四个命题中正确命题有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 10．（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 11．如果，那么与的大小关系是 ． 12． ．（填“>”“<”或“=”） 13．已知，求的取值范围． 14．（1）已知，求证： （2）已知，求的取值范围 15．为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$