函数的零点定义及函数的零点个数问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数零点定义及零点个数问题精选小题 基础题A 1．（19-20高一上·安徽六安·期末）函数的零点是（        ） A． B．和 C．1 D．1和 2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·湖北荆州·期末）已知函数，则方程的根的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（19-20高一·全国·课后作业）函数的一个零点为，则它的另一个零点是（    ） A． B．1 C． D．2 5．（21-22高一上·黑龙江大庆·期末）函数零点的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 二、多选题 6．（21-22高一上·全国·课后作业）（多选题）下列关于函数，的说法错误的是（　　） A．若且满足，则是的一个零点 B．若是在上的零点，则可用二分法求的近似值 C．函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 7．（20-21高二下·辽宁沈阳·期中）定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数： ①；②；③；④． 其中只有一个“新不动点”的函数有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 8．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.13 15.55 -3.12 10.66 -52.32 -12.34 则函数至少有 个零点． 9．（22-23高一上·重庆万州·期中）函数的图象如图所示，有下列命题：①函数的定义域是；②函数的值域是； ③函数在其定义域内是增函数； ④函数有且只有一个零点．其中正确命题的序号是 ． 四、解答题 10．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的定义域； 高三数学一轮复习教材 函数零点定义及零点个数问题 (2)证明：在内有且仅有一个零点． 易通数学工作室183895786381 学科网（北京）股份有限公司 综合题B 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 12．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 13．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 链接高考C 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 15．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2015·天津·高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 $高三数学一轮复习教材 函数零点定义及零点个数问题 函数零点定义及零点个数问题精选小题 基础题A 1．（19-20高一上·安徽六安·期末）函数的零点是（        ） A． B．和 C．1 D．1和 【答案】D 【解析】令，求出的值，然后可得零点. 【详解】令得，所以函数的零点是1和. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数零点的求解，函数零点一般是利用解方程的方法求得，注意零点是实数，不是点.侧重考查数学运算的核心素养. 2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出零点即可. 【详解】由，得， 所以函数的零点是. 故选：C 3．（20-21高一上·湖北荆州·期末）已知函数，则方程的根的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】讨论和两种情况，根据解析式，由求出的值，再求的值，即可得出结果. 【详解】当时，由可得，解得， 若，则，解得（正值舍去）或； 若，则，解得； 当时，由可得，解得，或； 若，则恒成立，此时和都无解； 若，则，所以或，解得或； 综上，方程的根的个数是. 故选：A. 【点睛】方法点睛： 判断函数零点个数(方程根的个数)的常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根； （2）数形结合法：先对解析式（或方程）变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 4．（19-20高一·全国·课后作业）函数的一个零点为，则它的另一个零点是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】将零点转化为方程的解，根据韦达定理计算，得到答案. 【详解】设方程的两根分别为，，由根与系数的关系得，所以方程的另一个根为1. 故选： 【点睛】本题考查了函数的零点，转化为方程的解是解题的关键. 5．（21-22高一上·黑龙江大庆·期末）函数零点的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可 【详解】由，得， 所以函数零点的个数等于图象的交点的个数， 函数的图象如图所示， 由图象可知两函数图象有4个交点， 所以有4个零点， 故选：A 二、多选题 6．（21-22高一上·全国·课后作业）（多选题）下列关于函数，的说法错误的是（　　） A．若且满足，则是的一个零点 B．若是在上的零点，则可用二分法求的近似值 C．函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 【答案】BCD 【分析】根据函数与方程之间的关系进行判断即可． 【详解】对A．若且满足，则是的一个零点；故A正确； 对B．因为函数不一定连续，故B错误； 对C．函数的零点是方程的根，的根是函数的零点，故C错误； 对D．用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误， 故选：BCD 7．（20-21高二下·辽宁沈阳·期中）定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数： ①；②；③；④． 其中只有一个“新不动点”的函数有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【分析】利用定义分别判断的解得个数即可得出答案. 【详解】对于①，，由， 得，解得， ∴只有一个“新不动点”； 对于②，， 由，得，解得， ∴只有一个“新不动点”； 对于③，， 易知和的图象在第一象限内只有一个交点， ∴只有一个“新不动点”； 对于④，， 由，得， 即，易知方程有无数个解， ∵有无数个“新不动点”． 故选：ABC． 三、填空题 8．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 136.13 15.55 -3.12 10.66 -52.32 -12.34 则函数至少有 个零点． 【答案】3 【分析】根据函数的零点存在性定理即可判断. 【详解】由题设可得，，则在区间内至少有一个零点； 同理，则在区间内至少有一个零点； ，则在区间内至少有一个零点； 则函数至少有3个零点. 故答案为：3. 9．（22-23高一上·重庆万州·期中）函数的图象如图所示，有下列命题：①函数的定义域是；②函数的值域是； ③函数在其定义域内是增函数； ④函数有且只有一个零点．其中正确命题的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据函数图象确定函数性质，再进行比较选择. 【详解】对于①：由图象知函数的定义域是，故①错误； 对于②：由图象知函数的值域是，故②正确； 对于③：由图象知函数在其定义域内不是增函数，故③错误； 对于④：由图象知函数有且只有一个零点，故④正确； 故答案为：②④ 四、解答题 10．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数． (1)求的定义域； (2)证明：在内有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据对数的真数大于零及f恩木不等于零求解即可； （2）先判断函数在上的单调性，再根据零点的存在性定理即可得证. 【详解】（1）由， 得，解得或且， 所以的定义域； （2）令，其在上是增函数， 又函数是增函数， 所以函数在上是增函数， 因为在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以函数在内有且仅有一个零点. 综合题B 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．18 【答案】B 【分析】分别画出两函数图象，根据交点个数即可求出零点个数. 【详解】由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示： 显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点， 由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点． 故选：B 12．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论. 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 13．（25-26高三上·广东·阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【详解】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C 链接高考C 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 15．（2019·全国III卷·高考真题）函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． 16．（2015·天津·高考真题）已知函数,函数,则函数的零点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】当时,所以,,此时函数 的小于零的零点为 ;当 时, ,函数无零点;当 时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A. 考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力. 易通数学工作室183895786381 学科网（北京）股份有限公司 $