精品解析： 广东省珠海市香洲区文园中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷

2020-2021学年广东省珠海市香洲区文园中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据中心对称图形的概念可得：图形B不是中心对称图形． 故选：B． 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解． 【详解】解：．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．是二元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是分式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180°， ∴∠A=180°﹣70°=110°． 故选：B． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键． 4. 如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，，在同一条直线上，那么这个角度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用旋转的性质计算． 【详解】解：， 旋转角． 这个旋转角度等于． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的定义，明确三角尺的度数的常识并熟记旋转角的定义是解题的关键． 5. 已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是（　　） A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】解： ∵a=1，b=1，c=-1， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题关键. 6. 函数y＝﹣（x﹣1）2，当满足（ ）时，y随x的增大而减小． A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1 D. x＜1 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式得出开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质求解可得． 【详解】∵y＝﹣（x﹣1）2， ∴a＝﹣1＜0，对称轴为直线x＝1， 则当x＜1时，y随x的增大而增大； 当x＞1时，y随x的增大而减小； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）． 7. 一元二次方程的两根为m，n，则的值为（ ） A. 2 B. −2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求得． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 8. 下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据时，函数开口向上，时，函数开口向下，二次函数的对称轴为直线，以及二次函数与一元二次方程的关系，逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴抛物线开口向上，A不正确，不符合题意； B、当时，，∴抛物线不经过点，故B不正确，不符合题意； C、抛物线的对称轴是直线，故C不正确，不符合题意； D、∵，∴抛物线与x轴有两个交点，故D正确，符合题意； 故选：D． 9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，OB，则∠OAB=60°，即可证明△OAB是等边三角形，得到OA=AB=2，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB， ∵∠C=30°， ∴∠OAB=60°， ∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=2， ∴圆O的半径为2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理． 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论： ①；②；③；④； 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系，根据图象得、，进而判断得，即可得选项①错误；由二次函数图象的对称性即可判断选项②正确；由图象得，，进而可得，即可判断选项③错误；由对称轴可得，再由图象得，即可判断选项④． 【详解】解：①由抛物线图象得：开口向下，即；，，即， ，选项①错误； ②抛物线对称轴为，且时，， 当时，，选项②正确； ③时，，时，， 两式相乘得， ，选项③错误； ④， ， 由图象可知，当时，， ，选项④正确； 故选：B． 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】或 【解析】 【分析】移项后因式分解法求解可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最短弦长是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可得，过点P最短弦就是垂直于OP的弦，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，于P点， ∴OA=5，OP=4， ∴， ∴AB=2AP=2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是根据题意得出时弦AB的长度最短． 13. 关于的方程的一个根是2，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，把代入方程，得，即可求解； 【详解】解：把代入方程，得， 解得：， 故答案为： 14. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与直线交于、两点，则当时，的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答． 【详解】解：抛物线与直线交点为，，， 由图象知，当时，的取值范围， 故答案为：． 16. 如图，在中，弦半径，则的度数为_______ ． 【答案】##25度 【解析】 【分析】由圆周角定理求得，由，由等边对等角得出，即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．注意掌握数形结合思想的应用． 17. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果． 【详解】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）， ∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2）， ∴顶点坐标为（1，1）， ∴A1坐标为（2，0）； ∵C2由C1旋转得到， ∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）； 照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）； C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）； C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）； C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）； ∴m=﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．选择用配方法解一元二次方程时，一般把方程的二次项的系数化为1．利用配方法解方程即可． 【详解】解：移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 19. 的顶点坐标分别为，，． （1）画出，并画出绕点顺时针旋转后得到的，其中点坐标为　　； （2）直接写出点与点之间的距离　　． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质与旋转作图，勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据，，作出，再利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点，从而得到和点坐标； （2）根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，及即为所求，其中点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 点与点之间的距离为， 故答案为：． 20. 在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长． 【答案】48cm． 【解析】 【详解】试题分析：因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答． 试题解析：由题意得出：OC⊥AB于点D， 由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD， ∵直径是52cm， ∴OB=26cm， ∴OD=OC﹣CD=26﹣16=10（cm）， 由勾股定理知， BD==24（cm）， ∴AB=48cm． 考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理． 四．解答题二（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当方程的两个实数根都是整数时，求正整数的值． 【答案】（1）详见解析 （2）正整数的值为1或2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程． （1）先求出，再根据根的判别式得出答案即可； （2）把方程的左边分解因式，求出方程的解，再根据方程的解是整数和m为整数得出答案即可． 【小问1详解】 证明：， ， ∴， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， ∵方程的两个实数根都是整数，即是整数， ∴正整数或2． 22. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，连接；根据题意结合图形，证明，即可解决问题； （2）首先求出，进而求出的值；运用勾股定理求出的值，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴； 又∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点D半圆O上， ∴是半圆O的切线． 【小问2详解】 解：由（1）知， 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了切线判定、圆周角定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 23. 某商场经营某种玩具，购进时单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件；销售单价每涨价1元，就会少售出10件玩具． （1）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？ （2）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得的销售利润最大？并求最大利润是多少？ 【答案】（1）销售单价定为60或70元时，商场能获得12000元的销售利润 （2）销售单价定为65元时商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元 【解析】 【分析】（1）设该玩具销售单价定为x元时，商场能获得12000元的销售利润，根据题意列方程即可得到结论； （2）设销售单价为x元时，获得的利润时w元，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 设该玩具销售单价定为x元时，商场能获得12000元的销售利润， 由题意得：， 即， 解得：， 答：销售单价定为60或70元时，商场能获得12000元的销售利润； 【小问2详解】 设销售单价为x元时，获得的利润时w元， 由题意得：， ∵，故w有最大值，当时，w的最大值为：12250， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题． 五．解答题三（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，四边形、均为正方形． （1）如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． （2）将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． （3）若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 【答案】（1），，证明见解析 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）证明得出，且，可判定出其位置关系； （2）过作，，垂足分别为、，证明得，通过证明四边形为正方形可得出的度数； （3）由旋转性质可知：当点在线段上时的长度最短，当在初始位置时，最大，利用勾股定理求出其长度即可． 【小问1详解】 解：，， 证明：延长交于点H， ∵四边形、均为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作，，垂足分别为、，设交于点， ∴， ∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴； 【小问3详解】 解：∵将正方形绕点顺时针旋转角，且四边形为正方形， 当正方形在初始位置时，最大，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， 此时； 当点在线段上时，DG最小，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， ∴， 此时； 综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形、利用正方形的特殊位置确定线段长度的最大值与最小值是解题的关键． 25. 如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【答案】（1），顶点； （2）； （3）或时，以为直角边的是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】求出直线与轴，轴交点的坐标分别为点，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出的解析式，根据点是与抛物线的对称轴的交点求出点的坐标，可得的长度，再设点，则点，根据平行四边形的性质可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 当以为直角边的是等腰直角三角形时，需要分两种情况讨论：情况一、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点；情况二、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点时． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，可得：， 解得：， 点，， 抛物线过点，点， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， ， 抛物线为：， 时，， 顶点； 【小问2详解】 解：如下图所示， 设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 轴交于点， 则点的横坐标为， 把代入， 可得：， ， ， 设点，则点， ， 四边形平行四边形， ， ， 解得：(与点重合，舍去)或， ； 小问3详解】 解：设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，以为直角边的是等腰直角三角形 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年广东省珠海市香洲区文园中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上 1. 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠A=70°，则∠C的度数是（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 4. 如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针方向转动一个角度到位置，使得点A，，在同一条直线上，那么这个角度等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是（　　） A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 6. 函数y＝﹣（x﹣1）2，当满足（ ）时，y随x的增大而减小． A. x＞0 B. x＜0 C. x＞1 D. x＜1 7. 一元二次方程的两根为m，n，则的值为（ ） A. 2 B. −2 C. D. 8. 下列关于抛物线的说法正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点 C. 抛物线对称轴是直线 D. 抛物线与x轴有两个交点 9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为（ ） A B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论： ①；②；③；④； 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分） 11. 一元二次方程解是________． 12. 半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最短弦长是_____． 13. 关于的方程的一个根是2，则__． 14. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为__． 15. 如图，抛物线与直线交于、两点，则当时，的取值范围为__________． 16. 如图，在中，弦半径，则的度数为_______ ． 17. 如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=_____． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 解方程：． 19. 的顶点坐标分别为，，． （1）画出，并画出绕点顺时针旋转后得到的，其中点坐标为　　； （2）直接写出点与点之间的距离　　． 20. 在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长． 四．解答题二（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）当方程的两个实数根都是整数时，求正整数的值． 22. 如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，E为的中点，连接． （1）求证：是半圆O的切线． （2）若，，求的长． 23. 某商场经营某种玩具，购进时单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件；销售单价每涨价1元，就会少售出10件玩具． （1）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得12000元的销售利润？ （2）该玩具销售单价为多少元时，商场能获得的销售利润最大？并求最大利润是多少？ 五．解答题三（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，四边形、均为正方形． （1）如图，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． （2）将正方形绕点顺时针旋转角，如图，连接、相交于点，连接，求的度数． （3）若，，连接，将正方形绕点顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____，最小值为 ____（直接填空，不写过程）． 25. 如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； （3）设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $