专训01 第一次月考考前章节综合压轴题训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学人教版九年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 九年级第一次月考考前压轴题训练 知识点一 利用根的判别式求参数范围 1.如果关于x的一元二次方程2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（) A.k<1 B.k<1且k≠0 C.k>1 D.k≤1且k≠0 2.关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是() A.k>1 B.k<1 C.k≠0 D.k<0 3.关于x的一元二次方程x2+4x-1=0有两个实数根，则k的取值范围是() A.k>-4 B.k≥-4 C.k≥-4且k≠0 D.k>-4且k≠0 知识点二 、二次含数相关综合题 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论：①abc>0;②4a-2b+c<0;③(a+c2<b ;④b-2a=0:⑤a-b+c=-9a;⑥若-3，y, ()是抛物线上两点，则>⅓其中正碗的个数是() 02 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-2,0)，对称轴为直线x=1.有以下结论： ①abc>0;②8a+c>0;③若A(x,m),B(x2,m是抛物线上的两点，当x=x+x2时，y=C;④点M,N 是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PN,则a的取值范围为 a≥兮同若方程ax+24-到=-2的两限为，，且<，则-2≤写<<4.共中结论正确的有(） 1/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -2 1 A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，已知抛物线与x轴的一个交点为-3,0)，其对称轴为直线x=-1,将该抛物线向左平移2个单位 长度后得到一个新的抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)，则下列结论： ①b2-4ac>0;②abc<0;③4a-2b+c>0;④b-5a>0.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点三 方程相关代数操作题 7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，下列说法： ①若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ②若x是一元二次方程ar2+br+c=0的根，则b2-4ac=(2ax。+b)2; ③存在实数m、nm≠n,使得am2+bm+c=an2+bn+c; ④若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立 其中正确的有() A.①② B.②③④ C.①②③④ D.①②③ 8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)： ①若方程的两个根为-3和1，则2b+3c=0: ②若4a+2b+c=0,则方程有一根为x=2; ③无论b=2a+c或b=a+2c,方程都有两个不相等的实数根； 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ④若x=2m是方程的一个根，则式子b2+2abm-ac=(2am+b)2一定成立. 以上说法正确的有() A.①②③ B.②③ C.②③④ D.③④ 9.对于一元二次方程ax2-bx-c=0(a≠0)，下列说法： ①若方程的两个根是x=-1和x2=2,则2a-c=0; ②若x=c是方程的一个根，则一定有ac-b-1=0成立； ③若a+b-c=0,则它有一个根是x=-1; ④若方程有一个根是x=mm≠0)，则方程cx2+bx-a=0一定有一个实数根x=二 m 其中正确的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点四 根与系数的关系 11 10.已知是一元二次方程r-x-2=0的两个根，则写十方的值为- 11.已知方程x2+2023x-5=0的两根分别是oa和B,则代数式a2+B+2024a的值为. 12.设x,x是一元二次方程x2-x-6=0的两个实数根，则x+x号= 知识点五 一元二次方程压轴应用题 13.一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔201支以上（包括201支），可以按批发价付款： 购买200支以下（包括200支）只能按零售价付款.现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买 1支，则只能按零售价付款，需付(a2-1元(a为正整数，且a2-1>100):若多买40支，则可以按批发价 付款，同样需付(a2-1元. (1)设这个学校九年级共有x名学生， ①试确定x的取值范围是一； ②铅笔的零售价每支应为元，批发价每支应为元（用含x,的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低0.1元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值. 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.正月十五是中华民族传统的节日一一元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆己成为世代相沿的习俗.位于北 关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，己知每袋汤圆需要0.3斤 汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）. (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手工 汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店按 售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全 部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 15.某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆 B型车贵10万元. (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少： (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将 增加1辆.B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出.租出的车每辆每月的平 均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元.规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆 A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 知识点六 二次函数压轴应用题 16.如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，OA,BC垂直于地 面0C,且A0=BC=2m,OC=8m,以0C所在的直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 顶棚抛物线满足函数关系式y=ax2+x+c(a,c为常数，a≠0). D 图① 图② 图③ (1)求顶棚抛物线的函数关系式： (2)小军想驾驶一辆宽为2m,高为3.5m的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚A,B之间抛物线上有两个点D和E(不与点 A,B重合).它们的横坐标分别为t,2t,连接AD,AE.设点A与点D之间部分（含点A和点D)的最 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高点与最低点的纵坐标的差为h,点A与点E之间部分（含点A和点E)的最高点与最低点的纵坐标的差 为么，当么-4=时时，求出的管 17.背景材料：某社区准备改造原半径为6的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设 计方案的综合实践活动， 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点0的正上方 且竖直高度为2.25m,水流最高高度为3m,水流最高点距喷水管的水平距离为1m 任务1：以水池中心点0为原点，水平向右方向为x轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为y轴正半轴，建立 平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷 泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移1m,高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为5m,， 请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛 物线最大高度m与水平宽度的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为5.5m,喷水口的竖 直高度为1.1m,喷出的水流的最高高度为3.6m. 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度 2.25 5.5 图① 图② 图③ 18.发石车（图1)是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图 2,发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD,墙宽BC为2 米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点P的正下方0点为原点，地平线为x轴，垂直 于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 5/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=a(x-15)+k. AD衣 图1 图2 (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米. ①求抛物线的函数解析式： ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C),求出a的取值范围. 知识点七 二次函数综合存在性问题 19.己知抛物线y=x2-4x+c,与x轴交于点A和点B(A在B的左侧)，与y轴交于点C,且0C=30A, 抛物线的顶点为P. C C C B O B (1)直接写出这条抛物线的解析式 和顶点P的坐标： (2)若点M在此抛物线上，MF⊥x轴于点F,MF与直线P2相交于点E,设点M的横坐标为(t>3),且 ME:EF=2:1,求点M的坐标； (3)在(2)的基础上，在直线AM上是否存在一点N,使直线PN与直线AM的夹角等于∠AMP的2倍.若 存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 交于点C,点D是该抛物线的顶点， 6/7 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求直线AC的解析式： (2)求B,D两点的坐标； (3)请在抛物线的对称轴上找一点M,使△ACM的周长最小，求出M点的坐标： (4)点P是x轴上一个动点，点P作直线‖AC交抛物线于点Q,试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否 存在定点Q,使得A,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点Q的 坐标；若不存在，请说明理由。 21.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点. M B 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC的周长最小？若存在，求出△PAC周长的最小值； 若不存在，请说明理由 (3)如图②，点M是线段BC上的点（不与B,C重合），过M作MNI‖y轴交抛物线于N,若点M的横坐标 为m. ①请用m的代数式表示MN的长； ②连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由。 7/7 九年级第一次月考考前压轴题训练 知识点一 利用根的判别式求参数范围 1．如果关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：因为一元二次方程 有实数根， ∴且， 解得：且． 故选：D． 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：． 3．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， 又． ∴，且． 故选：C． 知识点二 二次含数相关综合题 4．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥若，是抛物线上两点，则其中正确的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，故②错误； 当时，， 当时，， ∴，即，，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵，抛物线过点， ∴，即，， ∴，故⑤正确； ∵对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，， ∴，故⑥正确． 故选：C． 5．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则．其中结论正确的有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：由图象可知：，，， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，，故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故正确； ∵对称轴为，抛物线过点 ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误； ∴结论正确的有一共有个． 故选：B． 6．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，将该抛物线向左平移2个单位长度后得到一个新的抛物线（a、b、c为常数，且），则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质等知识． 先根据平移方向和距离画出平行后的抛物线的图象，根据抛物线的图象与性质，逐项分析，即可解答． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，其对称轴为直线， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为， 将该抛物线向左平移2个单位长度后得到一个新的抛物线，如图    ∴抛物线与x轴的两个交点为，与y轴交点在x轴的上方，对称轴为直线，开口向上． ∴，， ∴，即， 故①④正确，②错误． 当时，由图像，可知 故③错误． ∴正确的结论有2个． 故选：B． 知识点三 方程相关代数操作题 7．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】命题①：∵方程有两个不等实根， ∴根判别式． ∴原方程的判别式为， 原方程必有两个不等实根． ∴①正确． 命题②：∵是方程的根， ∴， ∴． ∴． ∴②正确． 命题③：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． ∴③正确． 命题④：∵c是方程的根， ∴， ∴． 当时，方程成立但不一定为0． ∴④错误． 综上，正确的命题为①②③， 故选：D． 8．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． ①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 9．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：若方程的两个根是和，则， ∴， ∴，故说法①正确； 若是方程的一个根，则， ∴， ∴或， ∴当时，不一定有，故说法②错误； 若方程有一个根是，则，反之也成立，故说法③正确； 若方程有一个根是，则， ∴，即， ∴方程一定有一个实数根，故说法④正确； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 知识点四 根与系数的关系 10．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故答案为：． 11．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．，根据一元二次方程根的意义和一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵方程的两根分别是和， ∴，， ∴， ， ， ． 故答案为：． 12．设，是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，掌握该知识点是解题的关键．根据题意可知，，然后将转化成进行计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程 的两个实数根， ， ， 故答案为：13． 知识点五 一元二次方程压轴应用题 13．一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次性购买铅笔支以上（包括支），可以按批发价付款；购买支以下（包括支）只能按零售价付款．现有学校后勤人员来购买铅笔，若给学校九年级每人买支，则只能按零售价付款，需付元（为正整数，且）；若多买支，则可以按批发价付款，同样需付元． (1)设这个学校九年级共有名学生， ①试确定的取值范围是_____； ②铅笔的零售价每支应为_____元，批发价每支应为_____元（用含，的代数式表示）； (2)若每支铅笔的批发价比零售价低元，试求这个学校九年级共有多少名学生，并确定的值． 【答案】(1)①；②， (2)这个学校九年级共有名学生，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，代数式，不等式组的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）①根据题意即可求解；②根据单价总价除以数量即可求解； （2）由题意得，整理得，得到，，结合题意可知，，进而得到，取或，结合可得，最后求出即可． 【详解】（1）解：①由题意得 的取值范围是， 故答案为； ②铅笔的零售价每支应为，批发价每支应为， 故答案为：，； （2）由题意得， 整理得， ，， 、为正整数，且， ， 即， 解得：， 整数取或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ， 答：这个学校九年级共有名学生，． 14．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）． (1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？ (2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆 (2)促销时每袋应降价4元 【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆， 依题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了袋手工汤圆 （2）设促销时每袋应降价元， 当刚好10天全部卖完时， 依题意得， 整理得： ， ∴方程无解 ∴10天不能全部卖完 ∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为 ∴依题意得， 解得（舍去） ∵要促销 ∴ 即促销时每袋应降价4元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． 15．某汽车租赁公司用650万元资金购进A、B两种型号小轿车共30辆，已知A型车每辆25万元，比每辆B型车贵10万元． (1)求该公司购进A、B两种型号的轿车数量分别是多少； (2)据统计，每辆A型车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加300元，未租出的车将增加1辆．B型车的月租金为每辆3000元，因价格相对较低，每月均能全部租出．租出的车每辆每月的平均维护费为500元，未租出的车辆每月平均维护费为100元．规定每辆车月租金不能超过5000元，当每辆A型车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元？ 【答案】(1)购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆； (2)4900 【详解】（1）解：设该公司购进A种型号的轿车x辆，B种型号的轿车y辆，根据题意得： ，解得：， 答：该公司购进A种型号的轿车20辆，B种型号的轿车10辆； （2）解：设每辆A型车的月租金定为m元，则可租出辆，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵规定每辆车月租金不能超过5000元， ∴m=4900， 答：当每辆A型车的月租金定为4900元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到9.95万元． 知识点六 二次函数压轴应用题 16．如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)能 (3) 【详解】（1）解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 17．背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】任务1：，最大水平距离为；任务2：；任务3：，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点． 任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； 任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可． 【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 18．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 知识点七 二次函数综合存在性问题 19．已知抛物线，与轴交于点和点（在的左侧），与轴交于点，且，抛物线的顶点为． (1)直接写出这条抛物线的解析式_____和顶点的坐标_____； (2)若点在此抛物线上，轴于点，与直线相交于点，设点的横坐标为，且，求点的坐标； (3)在（2）的基础上，在直线上是否存在一点，使直线与直线的夹角等于的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在点的坐标为， 【详解】（1）解：当， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入， 则： 解得：或（舍）， ∴抛物线解析式为； 而， ∴； （2）解：当，则， 解得：， ∴， 设直线表达式为：， 代入点得， ， 解得：， ∴ 设，则 ， ， 解得：，（舍） ； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴同理可求，设， 如图：当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：   ∴； ②当时， 即， ∴， ∴， 解得：（舍），   ∴ 综上所述，存在点的坐标为或． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)求，两点的坐标； (3)请在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； (4)点是轴上一个动点，点作直线交抛物线于点，试探究：随着点的运动，在抛物线上是否存在定点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【详解】（1）解：令，则， 整理得，， 解得，， 所以，点，， 令，则， 所以，点的坐标为， 设直线的解析式为 则， 解得． 所以，直线的解析式为； （2）， 顶点的坐标为， 由（）可得 （3）、关于对称轴直线对称轴， 直线与对称轴的交点即使的周长最小的点， 设直线的解析式为 则， 解得， 所以，直线的解析式为， 当时，， 所以，点的坐标为； （4）直线， 且， ，， 设点的坐标为， 则①若点在轴上方，则点的坐标为， 此时，， 解得 舍去，， 所以，点的坐标为， ②若点在轴下方，则点的坐标为， 此时，， 整理得，， 解得，， 综上所述，点的坐标为：或或 21．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m． ①请用m的代数式表示的长； ②连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为，理由见解析 (3)①；②存在m，使的面积最大，，理由见解析 【详解】（1）解：将的坐标分别代入中得： ， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）存在点P，使得的周长最小，理由如下： 如图： 在中，， 在中，， 由关于对称得：， 由两点之间线段最短可知：当三点共线时，最小 ， 则在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为； （3）如图：连接， ①设的解析式为， 将分别代入可得：， 解得， 则的解析式为， 设M点的坐标为，N点的坐标为， 轴， ； ②存在m，使的面积最大，理由如下： ， 则存在m，使的面积最大，且当时，的面积最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $