专题05 反比例函数 （二十大题型）（期中专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题05 反比例函数 题型1 用反比例函数描述数量关系 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（常考点） 题型2 根据定义判断是否是反比例函数 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型3 根据反比例函数的定义求参数（常考点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（难点） 题型4 求反比例函数值 题型14 根据图形面积求比例系数（解析式）（重点） 题型5 由反比例函数值求自变量（常考点） 题型15 求反比例函数解析式（重点） 题型6 判断（画）反比例函数图象 题型16 实际问题与反比例函数（难点） 题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标（重点） 题型17 反比例函数与几何综合（难点） 题型8 已知双曲线分布的象限，求参数范围（重点） 题型18 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型9 判断反比例函数的增减性（常考点） 题型19一次函数与反比例函数的交点问题（难点） 题型10 判断反比例函数图象所在象限（常考点） 题型20 一次函数与反比例函数的实际与综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用反比例函数描述数量关系（共2小题） 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数解析式可知：该图象上的点满足横纵坐标之积为，由此可排除选项． 【详解】解：A、由可知该点在反比例函数图象上，故符合题意； B、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； C、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； D、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．圆的面积和半径 D．平行四边的面积一定，它的底和高 【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例的意义，掌握“两个相关联的量对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系”知识点是解题的关键．根据成反比例的意义，对选项逐一分析判定即可． 【详解】解：读一本书，已读的页数未读的页数总页数（一定），和一定，不满足成反比例的关系，故A选项错误； 长方形的周长一定，则长方形的长与宽之和一定，不满足成反比例的关系，故B选项错误； 圆的面积和半径满足公式，显然不满足成反比例的关系，故C选项错误； 平行四边的面积一定，则它的底和高的乘积一定，满足成反比例的关系，故D选项正确． 故选：D． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数（共3小题） 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查的是反比例函数的定义，正确掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，故A选项是错误的； B选项满足反比例函数的定义，故B选项是正确的； C选项是正比例函数，故C选项是错误的； D选项为y是的反比例函数，而不是y是 x的反比例函数，故D选项是错误的； 故选：B． 4．（24-25九年级上·广西桂林·期中）下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，据此判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是反比例函数，该选项不合题意； 、不是反比例函数，该选项符合题意； 、是反比例函数，该选项不合题意； 、∵， ∴，是反比例函数，该选项不合题意； 故选：． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列几组量中，不成反比例的为（   ） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查成反比例，根据两个变量的乘积一定时，两个变量成反比例，进行判断即可． 【详解】解：A、工作总量一定，工作效率和工作时间的乘积为定值，成反比例，不符合题意； B、减数一定，被减数和差的差值一定，不成反比例，符合题意； C、面积一定，平行四边形的底和高的乘积为定值，成反比例，不符合题意； D、电压一定时，电流与电阻的乘积为定值，成反比例，不符合题意； 故选B． 题型三 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 6．（24-25九年级上·山东烟台·期中）函数是反比例函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义的基本条件是解题的关键．根据定义，得到，计算即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 7．（24-25九年级上·广西桂林·期中）若点在反比例函数的图象上，则k的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征． 把点的坐标代入函数解析式，即可求出k． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即． 故选：D． 8．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数是反比例函数，则m＝ ． 【答案】1 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫反比例函数．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据函数是反比例函数，则且求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 题型四 求反比例函数值（共3小题） 9．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，如果选项的点的纵横坐标的乘积为，那么该点在反比例函数图象上，据此即可作答． 【详解】解：A、，则点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； B、，则点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； C、，则点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； D、，则点在反比例函数图象上，故该选项符合题意； 故选：D． 10．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）反比例函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的性质，函数图像上的点都满足函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴，只有C选项满足条件； 故选：C． 11．（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数，当时，函数的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查的是求反比例函数的值．把代入此反比例函数的解析式，求出y的对应值即可． 【详解】解：把代入得，， 故答案为：． 题型五 由反比例函数值求自变量（共3小题） 12．（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可． 本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出． 【详解】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为； 在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为． 故选：C． 13．（24-25九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查函数图像上点的坐标特征，将代入反比例函数即可得解．解题的关键是掌握：函数图像上的点表示该点的横纵坐标适合该函数的解析式，反过来也成立． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【知识点】由反比例函数值求自变量、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 题型六 判断（画）反比例函数图象（共2小题） 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【知识点】判断（画）反比例函数图象、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 16．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】(1)①，③见详解 (2)①减小，② (3)①向右平移1个单位；②向左平移个单位 【知识点】判断（画）反比例函数图象、图形的平移、判断反比例函数的增减性、求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【详解】（1）解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③如图所示： （2）解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：减小，； （3）解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标（共2小题） 17．（24-25九年级上·广西梧州·期中）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，据此求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同， ∵反比例函数的图象经过点， ∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 18．（23-24九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4) 【知识点】判断（画）反比例函数图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、由反比例函数值求自变量、求自变量的取值范围 【分析】（1）只需要求出分母不为0时自变量的取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）先描点，再连线，画出函数图象即可； （4）根据函数图象可得P、Q关于直线对称，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是，即， 故答案为：； （2）解：在中，当时，， ∴， 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，函数的函数图象关于直线对称， ∵是函数图象上的两点， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，求函数值，画反比例函数图象，反比例函数的性质等等，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 题型八 已知双曲线分布的象限，求参数范围（共3小题） 19．（24-25九年级上·河北衡水·期中）若双曲线经过第二、四象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据反比例函数的图像得到即可得到答案． 【详解】解：双曲线经过第二、四象限， ， ， 故选A． 20．（22-23九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．根据反比例函数的性质，当图象在第二、四象限时，解不等式即得答案． 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限是解题关键．根据题意可得出，求解即可． 【详解】解：∵双曲线的图象的一支位于第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型九 判断反比例函数的增减性（共2小题） 22．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）对于反比例函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先求出时y的值，再根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】当时，， 反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ， 当时，； 当时，， 综上所述：y的取值范围是或， 故选：C． 23．（24-25九年级上·河南信阳·期中）【探究发现】探究函数的图象与性质 （1）函数的自变量的取值范围是________； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是________； A．   B．   C．    D． （3）对于函数，求当时，的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵ ∴ ________． ∵， ∴________． 【拓展应用】 （4）若函数，求当时，的取值范围． 【答案】（1）；（2）C；（3）4，4；（4） 【知识点】判断反比例函数的增减性、求自变量的取值范围、配方法的应用 【分析】（1）根据分母不能等于零，可以解答本题； （2）根据函数解析式可以判断函数图象所在的位置，本题得以解决； （3）根据题目中的解答过程，利用配方法即可作答； （4）根据（3）的特点可以解答本题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为； （2）∵， ∴时，， 当时，，故选项B、D错误， ∵， ∴选项A错误， 故选：C； （3）∵， ∴ ； ∵， ∴， 故答案为：4，4； （4）， ∵， ∴ ； ∵， ∴． 【点睛】此题考查反比例函数的性质，求函数自变量取值范围，配方法，解题关键在于掌握相关知识进行解答． 题型十 判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 24．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若双曲线经过点，则此双曲线分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象所在的象限，将点代入关系式求出k，再根据k的值判断即可． 【详解】∵双曲线经过点， ∴． ∵， ∴双曲线分别位于第二、四象限． 故选：D． 25．（24-25九年级上·云南文山·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象分布在二、四象限 B．它的图象关于直线对称 C．点在它的图象上 D．它的图象不是中心对称图形 【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质：①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当时，在同一个象限，y随x的增大而增大．解题关键是掌握反比例函数的性质．根据反比例函数的性质用排除法解答． 【详解】A、∵，∴图象在第一、三象限，说法不正确，不符合题意； B、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，关于直线对称，正确，符合题意； C、当时，，说法不正确，不符合题意； D、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 26．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数的取值范围． 本题根据反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 题型十一 已知反比例函数的增减性求参数（共4小题） 27．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大， ∴，即， 故选：A． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：． 29．（24-25九年级上·广西南宁·期中）函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在每个象限内随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，有A、B两个可以自由转动的均匀转盘，A转盘分成了3等份，每份内分别标有数字，2，3，把B转盘分成了两等份，每份内分别标有数字1，，小明先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若用表示小明转动转盘时a与b的对应值，请用树状图或列表法写出的所有取值； (2)求取值满足双曲线在每个象限内y随x的增大而增大的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、已知反比例函数的增减性求参数、根据概率公式计算概率 【分析】考查了反比例函数的性质及概率的求法，解题的关键是正确的列表或树状图，难度不大． （1）根据题意列表或树状图即可； （2）利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：列表得： （2）解：设反比例函数解析式为：, 将代入得， ∴， 在每个象限内随的增大而增大， ，即、异号， 在6种取值中，、，这3种符合要求， ． 题型十二 比较反比例函数值或自变量的大小（共4小题） 31．（24-25九年级上·青海西宁·期中）已知，，在反比例函数的图象上，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键 根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数图象的两个分支在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，然后根据象限及反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点在第四象限，点，在第二象限， ∴最小， ∵，，，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小．根据反比例函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随着的增大而减小， ∵和都在反比例函数图象上，且， ∴， ∵在反比例函数图象上，， ∴， ∴． 故选：D． 33．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）反比例函数过点，，则 ．（填“”“”或“=”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（）中，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，判断其在每个象限内的增减性，再比较点、横坐标对应的函数值大小． 【详解】解：∵ 反比例函数，其中 ∴ 此反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大 又∵ 点，都在第四象限，且 ∴ 故答案为： ． 34．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】异分母分式加减法、已知比例系数求特殊图形的面积、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【详解】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 题型十三 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 35．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 36．（24-25九年级上·云南保山·期中）点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，为坐标原点，则四边形的面积是（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了利用反比例函数的系数求面积设点P的坐标为，可求得，，再根据矩形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， 则，， 把点P的坐标代入函数解析式，得：， 矩形的面积是：， 故选：C． 37．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】/1.5/ 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，根据反比例函数解析式中k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 题型十四 根据图形面积求比例系数（解析式） （共4小题） 38．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 39．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关键． 设点的坐标是，则点的坐标为，根据矩形的面积即可求得的值，把点的坐标代入函数解析式即可求得的值． 【详解】解：设点的坐标是，则点的坐标为， 矩形的面积为， ， ， 把点的坐标代入函数解析式，得， ， 故选：B． 40．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，当B为的中点，且面积为2，则k值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于．根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积的面积，再根据双曲线所在的象限即可求出k的值． 【详解】解：∵点B为的中点，且面积为2， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 41．（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． （1）设点A的坐标为，根据反比例函数系数k的几何意义即可得出结论； （2）首先由，得到在每个象限内，y随x的增大而增大，进而求解即可． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， 设反比例函数的解析式为． ∵长方形面积为12，                                      ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 题型十五 求反比例函数解析式 （共3小题） 42．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知点，则下列各点与点A在同一反比例函数图像上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k，把各个点代入检验即可． 【详解】解：∵，，，， ∴只有A选项和点在同一反比例函数图像上． 故选：A． 43．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 【答案】12 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 44．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数图像上； 【答案】(1) (2)点在函数图象上，点不在函数图象上 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图像上等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想及待定系数法． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标相等， ∴点，在函数图象上； 当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标不相等， ∴点，不在函数图象上． 题型十六 实际问题与反比例函数（共3小题） 45．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某市在创建文明城市工作中，充分了解民意后，预计将一处生活垃圾存放点改建成一所老年活动中心，这样必须把的生活垃圾运走，若每天运走，则需要天运完．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若减小，则减小 C．若，则 D．若减小一半，则增大一倍 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数，然后逐项计算判断即可． 【详解】解：由题意得，； A、若，则，正确，故此选项不符合题意； B、若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意； C、若，则，正确，故此选项不符合题意； D、若x减小一半，即，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 46．（24-25九年级上·河北沧州·期中）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知动力和动力臂分别为和，阻力为，阻力臂为，则阻力关于阻力臂的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 47．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【答案】(1) (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 题型十七 反比例函数与几何综合（共3小题） 48．（24-25九年级下·全国·期中）如图，O是坐标原点，，…，都是等腰直角三角形，它们的斜边均在x轴正半轴上，直角顶点，…，均在反比例函数（）的图像上，则点的横坐标为（    ） A． B．+ C．2 D．− 【答案】B 【知识点】三线合一、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．由于是等腰直角三角形，可知直线的解析式为，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是的横坐标的两倍，从而确定点的坐标；由于，都是等腰直角三角形，则，直线可看作是直线向右平移个单位长度得到的，因而得到直线的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是线段的中点，从而确定点的坐标；依此类推，从而确定点的坐标，即可求得点的坐标，得出规律，即可得到结果． 【详解】解：如图，过作轴于， 是等腰直角三角形， ， 直线的解析式为：， 联立， 解得：， ，， 是的中点， ． ， 直线的表达式一次项系数与的一次项系数相等， 将代入， ， 直线的表达式是， 联立， 解得：，即， 同上，，， 以此类推，点的横坐标坐为：， 点的横坐标为， 故选：B． 49．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为 ． 【答案】4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， 或（舍去）， 故答案为：4． 50．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、反比例函数与几何综合、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积、关于原点、对称轴的对称点的坐标等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据反比例函数图象的性质，即可判断； （2）点的坐标为，求出、的坐标，求出和的长，根据三角形的面积求出，即可求解； 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限 ∴反比例函数的另一支在第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小， ∴，在图象上，且， 故答案为：． （2）设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：． 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断（共2小题） 51．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，正比例函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据正比例函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及正比例函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：当时， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，故A，C选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，正比例函数经过一、三象限，故B选项正确，D选项错误， 故选：B． 52．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿对角线方向运动，当点到达点时停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，点、的距离为，的周长与的周长之比为．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， ∴ ∴的周长=的周长， 又∵，即 ∴∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3）解：由函数图象可知，（右端点的值可为1.6，1.7，1.8，1.9）． 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题（共3小题） 53．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：A． 54．（24-25九年级上·湖南永州·期中）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是数形结合．求的自变量的取值范围，从图上看就是一次函数图象在反比例函数图象上方时，横坐标的取值范围，据此结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知，当或时，， 故选：D． 55．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数与函数（）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的性质等内容，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象的性质． 利用反比例函数的中心对称性即可求出另外一点的坐标． 【详解】解：将代入和，可得，， 根据反比例函数的中心对称性，另一点与点成中心对称， 所以另一点为， 故答案为：． 56．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 题型二十 一次函数与反比例函数的实际与综合应用（共5小题） 57．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 58．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 59．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 60．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)3 【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为，设，则，根据，可列出关于t的方程，求出t的值即可得出点D坐标．联立，求解即可得出点A坐标，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由一次函数平移规律得出平移后的直线解析式为，与直线解析式联立，即可求出．根据平行四边形的性质和，即得出点E坐标，代入反比例函数解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点B的坐标为， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设， ∵轴交反比例函数的图象于点D， ∴． ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 联立， 解得：或， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵将直线向下平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 由（2）可知， ∴直线的解析式为． 联立，解得：， ∴． ∵平移后的直线与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E， ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴，即． ∵点E在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴a的值为3． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元二次方程的应用，平行四边形的性质，一次函数的平移等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 61．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 $专题05 反比例函数 题型1 用反比例函数描述数量关系 题型11 已知反比例函数的增减性求参数（常考点） 题型2 根据定义判断是否是反比例函数 题型12 比较反比例函数值或自变量的大小（重点） 题型3 根据反比例函数的定义求参数（常考点） 题型13 已知比例系数求特殊图形的面积（难点） 题型4 求反比例函数值 题型14 根据图形面积求比例系数（解析式）（重点） 题型5 由反比例函数值求自变量（常考点） 题型15 求反比例函数解析式（重点） 题型6 判断（画）反比例函数图象 题型16 实际问题与反比例函数（难点） 题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标（重点） 题型17 反比例函数与几何综合（难点） 题型8 已知双曲线分布的象限，求参数范围（重点） 题型18 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型9 判断反比例函数的增减性（常考点） 题型19一次函数与反比例函数的交点问题（难点） 题型10 判断反比例函数图象所在象限（常考点） 题型20 一次函数与反比例函数的实际与综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用反比例函数描述数量关系（共2小题） 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A．读一本书，已读的页数与未读的页数 B．长方形的周长一定，长方形的长与宽 C．圆的面积和半径 D．平行四边的面积一定，它的底和高 题型二 根据定义判断是否是反比例函数（共3小题） 3．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西桂林·期中）下列函数中，不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列几组量中，不成反比例的为（   ） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 题型三 根据反比例函数的定义求参数（共3小题） 6．（24-25九年级上·山东烟台·期中）函数是反比例函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7．（24-25九年级上·广西桂林·期中）若点在反比例函数的图象上，则k的值是（    ） A． B． C． D．3 8．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数是反比例函数，则m＝ ． 题型四 求反比例函数值（共3小题） 9．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）反比例函数的图象经过（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数，当时，函数的值为 ． 题型五 由反比例函数值求自变量（共3小题） 12．（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 13．（24-25九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象经过点，则 ． 14．（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 题型六 判断（画）反比例函数图象（共2小题） 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 16．（24-25九年级上·山东济南·期中）小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． (1)刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） (3)类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标（共2小题） 17．（24-25九年级上·广西梧州·期中）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 题型八 已知双曲线分布的象限，求参数范围（共3小题） 19．（24-25九年级上·河北衡水·期中）若双曲线经过第二、四象限，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（22-23九年级上·全国·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 ． 21．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是 ． 题型九 判断反比例函数的增减性（共2小题） 22．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）对于反比例函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 23．（24-25九年级上·河南信阳·期中）【探究发现】探究函数的图象与性质 （1）函数的自变量的取值范围是________； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是________； A．   B．   C．    D． （3）对于函数，求当时，的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵ ∴ ________． ∵， ∴________． 【拓展应用】 （4）若函数，求当时，的取值范围． 题型十 判断反比例函数图象所在象限（共3小题） 24．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）若双曲线经过点，则此双曲线分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 25．（24-25九年级上·云南文山·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．它的图象分布在二、四象限 B．它的图象关于直线对称 C．点在它的图象上 D．它的图象不是中心对称图形 26．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第 象限． 题型十一 已知反比例函数的增减性求参数（共4小题） 27．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·广西南宁·期中）函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是 ． 30．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，有A、B两个可以自由转动的均匀转盘，A转盘分成了3等份，每份内分别标有数字，2，3，把B转盘分成了两等份，每份内分别标有数字1，，小明先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． (1)若用表示小明转动转盘时a与b的对应值，请用树状图或列表法写出的所有取值； (2)求取值满足双曲线在每个象限内y随x的增大而增大的概率． 题型十二 比较反比例函数值或自变量的大小（共4小题） 31．（24-25九年级上·青海西宁·期中）已知，，在反比例函数的图象上，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）反比例函数过点，，则 ．（填“”“”或“=”） 34．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 题型十三 已知比例系数求特殊图形的面积（共3小题） 35．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（24-25九年级上·云南保山·期中）点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，为坐标原点，则四边形的面积是（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 37．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 题型十四 根据图形面积求比例系数（解析式） （共4小题） 38．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 39．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 40．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，第四象限内的点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，当B为的中点，且面积为2，则k值为 ． 41．（24-25九年级上·广西·期中）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，是该图象上的两点，比较m，n的大小． 题型十五 求反比例函数解析式 （共3小题） 42．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知点，则下列各点与点A在同一反比例函数图像上的是（　　） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 44．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数图像上； 题型十六 实际问题与反比例函数（共3小题） 45．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某市在创建文明城市工作中，充分了解民意后，预计将一处生活垃圾存放点改建成一所老年活动中心，这样必须把的生活垃圾运走，若每天运走，则需要天运完．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若减小，则减小 C．若，则 D．若减小一半，则增大一倍 46．（24-25九年级上·河北沧州·期中）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知动力和动力臂分别为和，阻力为，阻力臂为，则阻力关于阻力臂的函数表达式为 ． 47．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 题型十七 反比例函数与几何综合（共3小题） 48．（24-25九年级下·全国·期中）如图，O是坐标原点，，…，都是等腰直角三角形，它们的斜边均在x轴正半轴上，直角顶点，…，均在反比例函数（）的图像上，则点的横坐标为（    ） A． B．+ C．2 D．− 49．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，A是反比例函数的图象上一点，轴于B，点C在x轴上，若面积为2，则k的值为 ． 50．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断（共2小题） 51．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 52．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿对角线方向运动，当点到达点时停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，点、的距离为，的周长与的周长之比为．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题（共3小题） 53．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25九年级上·湖南永州·期中）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 55．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数与函数（）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 56．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 题型二十 一次函数与反比例函数的实际与综合应用（共5小题） 57．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 58．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 59．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 60．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 61．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． $