精品解析：浙江省六校联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题

2025 学年第一学期高一10月六校联考 数学学科 试题卷 命题人：浦江中学数学组 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号(填涂)； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以，又， 所以， 故选：C. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定判断求解. 【详解】命题，的否定是，. 故选：A. 3. 设集合.，那么“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合集合的交集定义进行求解即可 【详解】当且成立时，根据集合的交集定义可知：， 当成立时，根据集合的交集定义可知：且， 故“且”是“”的充分必要条件， 故选：C 4. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 5. 已知，设：，：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为p是q的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得. 故选：C 6. 已知函数，若，则实数的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得的值，然后分类讨论确定实数a的值即可，需要注意自变量的取值范围. 【详解】，据此结合题意分类讨论： 当时，， 由得，解得，舍去； 当时，， 由得，解得，满足题意. 故选：A． 7. 19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解. 【详解】， 因为，故A正确； 因为， 当是有理数时，即，即，与有理数矛盾， 当是无理数时，即，即，与无理数矛盾，所以在有理数和无理数范围内均无解，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：B. 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知函数，若的解集为 ，则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为，则，故B正确； 可知相应的二次函数的图象开口向下，所以，所以A错误； 由二次不等式可知的解集为， 则，，所以C错误，D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B错误； 对C：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故C正确； 对D：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为；故D错误 故选：AC. 11. 若正实数满足，则下列说法正确是 （ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，基本不等式中的“1”的应用，二次函数性质，配凑法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，正确； 对于C，，根据二次函数性质， 因为，所以当时，，不是，错误； 对于D，， 又， 由，则，， 所以，当且仅当时取等号，正确； 故选：ABD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知集合，，若，则实数的取值集合为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 考虑和两种情况，，计算得到答案. 【详解】，，， 当时，满足条件； 当，即时，满足条件；当，即时，满足条件. 故集合为. 故答案为： 【点睛】本题考查了根据集合包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集的情况是容易发生的错误. 13. 已知，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以， 因为，当且仅当， 即当时取等号， 所以有. 所以当时，有最小值， 故答案为： 14. 定义在上的函数满足：，，则 ______.. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法先求，进而得，即可得解. 【详解】由题意令有：， 令有：， 又，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，全集． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据的值求出集合，进而求出，再解不等式求出集合，最后求出． （2）根据得出，再分和两种情况讨论，求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 当时，集合， 或， ，解不等式得， ， 或或． 【小问2详解】 ， ， 若，，解得； 若，，解得， 又， ，解得， 时，， 综上，实数a取值范围为：． 16. 给定函数，，． （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解； （3），用表示，中的较大者，记. 例如，当时，. 请在图二中画出函数的图象并求其解析式. 【答案】（1）图象见解析 （2）或 （3）图象见详解； 【解析】 【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象； （2）结合图象即可求得不等式解集； （3）根据（1）中的图象可得函数的图象并求其解析式. 【小问1详解】 画出函数，的图象如图： 【小问2详解】 观察图象，可得不等式的解为或. 【小问3详解】 结合（1）可用图象法表示如图： 由可得或， 故. 17. 已知函数 （1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若，求关于的不等式 的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 分析】（1）运用数形结合法，可推得，求解即得； （2）将不等式整理成，结合，对进行分类讨论，即可求得不等式的解集. 【小问1详解】 因即的解集为R， 则 ，解得，即实数a的取值范围为. 【小问2详解】 不等式即， 整理得：，分解因式可得：，因， 则当时，，此时不等式的解集为； 当时，不等式为，则其解集为； 当时，，则不等式的解集为. 18. 据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人； （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合，可解得的范围，即可得出结论； （2）根据题意可得出，化简后可得，然后结合基本不等式及为正整数可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题可得：， 化简后可得：，结合，可得. 故调整后的技术人员的人数x最多为65人； 【小问2详解】 由（1），研发人员的年总投入为：， 技术人员的年总投入为：. 由题可得：， 化简后可得：， 为使恒成立， 则，由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，则. 结合为正整数，可得正整数m的最大值为5. 19. 柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有 当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立. （1）证明二阶柯西不等式： （2）若 求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，将展开化简，再根据完全平方非负的性质证明结论； （2）利用柯西不等式推出，结合已知条件求出的最小值； （3）利用柯西不等式求出的最大值，再根据的取值范围求出最小值． 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， ． 【小问2详解】 ， ， ， ，即，当且仅当时等号成立，结合解得， 的最小值为3． 【小问3详解】 根据柯西不等式①， ①式可化为， 即， ， ，当且仅当，即时取等号， ， ， 上单调递增，， ，时取最小值，此时 ， 的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 学年第一学期高一10月六校联考 数学学科 试题卷 命题人：浦江中学数学组 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号(填涂)； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合.，那么“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则下列命题正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，设：，：.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数值等于（ ） A B. C. 1 D. 3 7. 19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（ ） A. 0 B. C. D. 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知函数，若的解集为 ，则下列结论正确的是 （ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是或 C. 的值域为 D. 的解集为 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值为 D. 的最小值为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知集合，，若，则实数的取值集合为_______. 13. 已知，则 的最小值为__________. 14. 定义在上的函数满足：，，则 ______.. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，全集． （1）若，求； （2）若，求实数a取值范围. 16. 给定函数，，． （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2）观察图象，直接写出不等式解； （3），用表示，中的较大者，记. 例如，当时，. 请在图二中画出函数的图象并求其解析式. 17. 已知函数 （1）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若，求关于的不等式 的解集. 18. 据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人； （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值. 19. 柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，有 当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，有当时，等号成立. （1）证明二阶柯西不等式： （2）若 求的最小值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $