精品解析：江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高二上学期10月检测数学试题

南京市第二十九中学高二10月检测数学 一、选择题 1. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 2. 已知直线与垂直，则实数（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. 1 3. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 4. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 5. 某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 8. 若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（　　） 价格（千元） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20] 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数超过8 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过10 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆C恒有两个公共点 C. 直线l与圆C的相交弦长的最大值为 D. 当时，圆C与圆关于直线l对称 11. 对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（ ） A. 存在单位向量，使得 B. 对任意、，恒成立 C. 若，则的最大值为 D. ，则 三、填空题 12. 已知，则________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为______． 14. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是___________． 四、解答题 15. 已知三个顶点分别为，，. （1）求边上的高线长； （2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 16. 在三棱柱中，，且为的中点，为的中点． （1）若，求证：平面 ； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值 17. 设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，假设圆心为，其坐标． （1）请求出之间满足的等量关系； （2）在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程． 18. 已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． （1）求椭圆的标准方程． （2）证明：为定值． （3）求的取值范围． 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）求证：； （2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）若，试判断的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市第二十九中学高二10月检测数学 一、选择题 1. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据椭圆的方程求出，再利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程可得，设左焦点为，右焦点为， 由椭圆的定义可得， 若，则， 故选：A 2. 已知直线与垂直，则实数（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件计算即可得解。 【详解】因为，所以，所以。 故答案为：B 3. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 4. 若椭圆的长半轴长等于其焦距，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为椭圆的长半轴长等于其焦距， 所以，解得. 故选：A 5. 某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算公式，结合对立事件概率之间的关系求解. 【详解】设“选出的3辆车都是燃油车”为事件，则. 设“选出的3辆中至少有1辆新能源车”为事件，则事件、为对立事件， 所以. 故选：C 6. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案. 【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到. 由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB， 又，则， 三角形为等腰直角三角形，则， 又由题可得圆柱，圆锥的高均为2， 则圆柱，圆锥体积之和为：， 又注意到球体半径为，则球体体积为：， 则几何体体积为. 故选：A 7. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C． 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围． 8. 若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围，得到符合条件的点的区域，进而得到面积. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦， 由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于， 因此，过点的最短的弦长， 因为弦长最短时弦，所以，，， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为， 故选：B. 二、多选题 9. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（　　） 价格（千元） （0，5] （5，10] （10，15] （15，20] 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数超过8 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过10 【答案】AB 【解析】 【分析】分别应用众数，平均数，中位数及百分位数定义分别计算各个选项即可判断. 【详解】对于A，估计名用户购买手机价格的众数为，故A正确； 对于B，平均数为，故B正确； 对于C，中位数为，故C错误； 对于D，名用户购买手机价格的84%分位数为，故D错误． 故选：AB． 10. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆C恒有两个公共点 C. 直线l与圆C的相交弦长的最大值为 D. 当时，圆C与圆关于直线l对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】将直线方程变形为即可判断直线过定点，进而判断A；再根据定点在圆内判断B；根据直线与圆相交时，最大弦为直径判断C；根据点关于直线的对称性求解关于对称的点坐标，进而求解对称圆的方程判断D. 【详解】解：对于A选项，因为直线可变形为，所以直线恒过定点，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以点在圆内，故直线与圆相交，由两个公共点，故B选项正确； 对于C选项，对于圆，圆心为，半径为，当直线线与圆相交，故相交弦长的最大值为圆的直径，即为，故C选项错误； 对于D选项，当时，直线，故圆的圆心关于对称的点的坐标为 ，所以圆关于对称的圆的方程为，故D选项正确. 故选：ABD 11. 对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（ ） A. 存在单位向量，使得 B. 对任意、，恒成立 C. 若，则的最大值为 D. ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用变换规则，结合向量模长公式可判断A；根据变换规则，结合数量积的坐标运算判断B; 根据变换规则，结合平面向量的坐标运算以及向量的模长公式判断C；先求出，再依次化简即可判断D. 【详解】设单位向量，则，， 而，，所以不存在单位向量，使得，A选项错误; 已知，，则， 又，， 计算， 所以恒成立，B选项正确; 由，则，， ，， ，， 设，的夹角为，对平方得 ， 即当时，取得的最大值为，C选项正确; 已知，则， 即， 设，则， 所以， 所以，D选项正确 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题先求出、，再化简代入求值即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 或 ①当且时， ； ②当且时， . 故答案为：1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用椭圆的离心率先判定为等边三角形，设直线方程，与椭圆方程联立结合弦长公式计算即可. 【详解】由题意得 椭圆方程可化为， 的上顶点为，两个焦点为，且． 为等边三角形， 直线垂直平分弦， ，且直线的倾斜角为， 即直线的斜率为， 设直线方程为， 联立 得 ， 即 的周长为． 故答案为：4 四、解答题 15. 已知三个顶点分别为，，. （1）求边上的高线长； （2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案； （2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得，再利用点斜式方程可得答案. 【小问1详解】 ，，， 直线的斜率， 直线的方程为化为， 点C到直线的距离， 即边上的高线长为； 【小问2详解】 由题知，直线的斜率， 直线的方程为，即， 设，因为点平分线段，则， ∵点M，N分别在直线，上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为，即． 16. 在三棱柱中，，且为的中点，为的中点． （1）若，求证：平面 ； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）在三棱柱中，连接，因为分别为中点， 所以， 所以四边形为平行四边形，， 由得，又，所以， 则，所以， 由，所以， 而平面，则平面， 所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可； （2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合线面角的定义进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，，，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，所以是直线与平面所成角， 由，则， 在中，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 设圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，假设圆心为，其坐标． （1）请求出之间满足的等量关系； （2）在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的半径为，利用坐标轴截圆的弦长计算即可； （2）利用点到直线的距离公式结合第一问，根据基本不等式计算即可. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为，． 圆截轴所得劣弧对的圆心角为，即圆截轴所得的弦长为， 故， 又圆截轴所得的弦长为2， 所以有． 从而得． 【小问2详解】 点到直线的距离为， 所以， 当且仅当时上式等号成立，此时，从而取得最小值． 由此有， 解得或 由于知． 所求圆的方程是或． 18. 已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为． （1）求椭圆的标准方程． （2）证明：为定值． （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）如图： 由题意，直线不垂直于坐标轴，可设为：，. 联立方程组：，消去并整理得：. 设，，则 ，. 由得：， 而，同理可得：. 因此， 所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程即可解出，从而得到椭圆的方程； （2）根据题意可设直线的方程为，，，再根据平面向量运算表示出，结合韦达定理即可证出； （3）利用，求出关于的函数关系式，再根据基本不等式即可求得范围. 【小问1详解】 由题意知：，又，解得：，所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为. 又, 因为，所以，则. 所以的取值范围是. 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）求证：； （2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）若，试判断的形状． 【答案】（1）证明如下： 依题意，， 所以. （2）存在，； （3）正三角形. 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式推理得证. （2）利用余弦定理，结合（1）的结论及二倍角的正弦公式求解. （3）由（1）（2）的结论可得，再利用余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式及基本不等式推理判断即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在实数使等式成立．理由如下： 由（1）得，在中，由余弦定理得： ，， 三式相加整理得 ，所以时，存在实数使. 【小问3详解】 当时，由（1）得， 由（2）得，， 在中，由余弦定理得， 于是 ，当且仅当且时取等号， 由，得，则，， 即当且仅当且时取等号，亦即当且仅当为等边三角形时取等号， 因此，当且仅当为等边三角形时取等号， 而，所以为等边三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $