专题02 圆与圆的方程（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版

专题02 圆与圆的方程（期中复习讲义） 圆与圆的方程专题在期中考试里，核心考点：圆的标准方程和一般方程，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系（重点和难点），圆与圆的位置关系。 核心考点 复习目标 考情规律 圆的标准方程和一般方程 圆的方程计算 基础必考点，常出现在小题，解答题第一问，求解圆心和半径 点与圆的位置关系 点在圆上，在圆外，在圆内，代入法计算 基础必考点，常出现在小题或解答题中，难点在解答题中通常转化向量完成 直线与圆的位置关系 直线与圆相交时弦长，相切时切线方程，相离时距离最值及个数 基础必考点，常出现在小题和解答题中，易错点在相切求切线方程时容易忽略斜率不存在 圆与圆的位置关系 五种圆与圆的位置关系，公共弦方程，公切线条数 基础必考点，常出现在小题中考察位置关系，解答题中考察公共弦方程及切点直线方程 知识点01 圆的标准方程和一般方程 1、圆的标准方程：，圆心，半径； 2、圆的一般方程：，且；圆心，半径. 3、轨迹方程：（1）直译法；（2）相关点法；（3）定义法；（4）参数法；（5）交轨法 ·易错点：圆的一般方程中配方法求解圆心和半径，容易移项后半径的平方大于零 知识点02 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 点在圆内，则 点在圆上，则 点在圆外，则 ·易错点：解答题中点与圆的位置关系应用向量求解 知识点03 直线与圆的位置关系 1、相交：圆心到直线的距离小于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、直线与圆相交：，相交弦长：； 3、相切：圆心到直线的距离等于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 4、直线与圆相切：；切线长：过做圆的切线，切点为，则. 5、相离：圆心到直线的距离大于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 6、圆上的点到直线距离的最值：. 7、圆上的点到直线距离为的点的个数：为圆心到直线的距离 ①当时，点的个数为；②当时，点的个数为； ③当时，点的个数为；④当时，点的个数为； ⑤当时，点的个数为. ·易错点：相交和相切时，注意斜率不存在的直线； 知识点04 圆与圆的位置关系 1、圆与圆之间的位置关系：圆的半径为，圆的半径为，则 相离：；外切：；相交：； 内切：；内含：. 2、公共弦：两圆方程作差，得到的直线方程，即为公共弦的直线方程. 3、公切线：两圆相离时，有四条公切线；两圆外切时，有三条公切线；两圆相交时，有两条公切线；两圆内切时，有一条公切线；两圆内含时，没有公切线，公切线求解时，可以通过画图，观察其中一条公切线，并写出其方程. ·易错点：圆外一点求切线时，切点的直线方程也转化为圆与圆的公共弦方程； 题型一 圆的标准方程和一般方程 解｜题｜技｜巧 1、已知圆心时，则设圆心坐标，利用圆心到圆上一点的距离等于半径求解，圆的标准方程：，圆心，半径； 2、求圆的一般方程时，将三个点带入，解三元一次方程，圆的一般方程：；圆心，半径. 易｜错｜点｜拨 注意圆的一般方程中，配方法求解圆心和半径，注意半径的平方大于零 【典例1】（25-26高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】使用圆的一般方程的圆心公式. 【详解】使用圆的一般方程的圆心公式，其中 ，圆心坐标为． 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 题型二 圆的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法：利用圆心到直线的距离，进行圆的方程的求解； 2、直译法：设点坐标，根据题意带入表示对应的等式，化简求解即可； 3、相关点法：通过已知方程上的点和所求轨迹上的点进行表示，并带入已知直线方程求解； 4、交轨法：利用直线与直线之间的位置关系，并进行消参进行求解； 5、求轨迹方程的五个步骤 （1）设定变量与坐标系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标； （2）分析几何条件：写出适合条件的点的集合； （3）代数化几何条件：用坐标表示条件，列出方程； （4）化简方程：化方程为最简形式； （5）査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 易｜错｜点｜拨 注意：表示轨迹方程的求解上，部分轨迹存在变量的取值范围的表示. 【典例1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ） A．( B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段的定比分点、轨迹问题——圆 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 【变式2】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 题型三 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 1、点与圆的位置关系（带入方程求解即可） 点在圆内，则 点在圆上，则 点在圆外，则 易｜错｜点｜拨 注意：点带入一般方程时，首先满足为圆的方程进行求解. 【典例1】（2025·河北邯郸·一模）“”是“点在圆外部”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是的真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 【典例2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径、点与圆的位置关系求参数 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3． ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】判断点与圆的位置关系：法一为几何视角，比较与半径的大小；法二为代数视角，将点的坐标代入标准方程后比较其与的大小 【详解】法一：由题意，半径为1，则，所以； 法二：由在圆内，则，所以，即. 故选：D 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、点与圆的位置关系求参数 【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 题型四 直线与圆的位置关系（相交） 答｜题｜模｜板 1、相交：圆心到直线的距离小于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、直线与圆相交：，相交弦长：； 3、相关圆心角问题转化为等腰三角形中中线的距离进行求解； 易｜错｜点｜拨 注意：求解时，容易忘记直线斜率不存在的情况. 【典例1】（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 【典例2】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设，联立方程组得出，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即可． 【详解】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 【典例3】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合直线与圆的位置关系求出最长弦长和最短弦长即可得解. 【详解】由题意直线可化为，则直线过定点， 点代入圆可得，所以点在圆内， 又圆半径，圆心， 所以当时，直线被圆截得弦长最短，即， 当过圆心时，直线被圆截得弦长最长，即， 所以， 故选：B. 【变式1】（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用几何法先求圆心到直线的距离，由即可求解. 【详解】由题意有圆心到直线的距离为， 所以， 又解得. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】将圆的方程与直线方程联立，设、，利用可得，利用韦达定理，即可求出. 【详解】由，得， 则，即， 联立，得， 设，，则，， 则， 因为，所以， 则，即，解得. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线l时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意，直线l：过定点， 圆心，半径， 因为， 所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为 故选：C 题型五 直线与圆的位置关系（相切） 答｜题｜模｜板 1、相切：圆心到直线的距离等于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、直线与圆相切：；切线长：过做圆的切线，切点为，则； 3、过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条. 易｜错｜点｜拨 注意：过点的切线方程，注意点在圆上还是在圆外. 【典例1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项. 【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为， 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意可知切线的斜率存在，设出切线的方程，根据直线与圆的位置关系可得出，利用韦达定理得到两条切线的斜率、之间的关系，再由结合同角三角函数的基本关系可求得的值． 【详解】将圆化为标准方程为， 所以圆心为，半径为1， 根据题意及图形可知切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 则有，整理可得， 则， 设两切线的斜率分别为、， 则、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，， 所以， 所以， 由题意可知，所以， 由，解得． 故选：D． 【典例3】2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】切线长 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径. 因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则. 点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，. 因为，当取最小值时，， 则. 的最小值为. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为：， 整理，得： 故选：A 【变式2】（2025·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ） A．16 B．4 C．21 D． 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解. 【详解】圆的圆心，半径， 则， 所以. 故选：B 【变式3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求得点到圆心距离，进而由，即可求解. 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 题型六 直线与圆的位置关系（相离） 答｜题｜模｜板 1、相离：圆心到直线的距离大于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、圆上的点到直线距离的最值：. 3、圆上的点到直线距离为的点的个数：为圆心到直线的距离 ①当时，点的个数为；②当时，点的个数为； ③当时，点的个数为；④当时，点的个数为； ⑤当时，点的个数为. 易｜错｜点｜拨 注意：相离时，圆上的点到直线距离为的个数上，注意取值范围的临界值的求解. 【典例1】（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 【典例2】（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设圆上点，根据题意得到方程，化简得，，代入圆方程，解得，由解得，当时，对应的点只有1个，不合题意，当时，对应的点有2个，满足要求. 【详解】设圆上点，则有，化简得， 因为，所以，代入圆方程得，解得， 其中舍去，故， 又，即，解得， 当时，，此时，解得，即对应的点只有1个，不合题意， 当时，，此时，故对应的点有2个，满足要求. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】C 【知识点】切线长、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求得圆的圆心及半径，进而求得圆心到直线的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B不正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接， 则，则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：C. 题型七 圆与圆的位置关系 答｜题｜模｜板 1、圆与圆之间的位置关系：圆的半径为，圆的半径为，则 相离：；外切：；相交：； 内切：；内含：. 2、公切线：两圆相离时，有四条公切线；两圆外切时，有三条公切线；两圆相交时，有两条公切线；两圆内切时，有一条公切线；两圆内含时，没有公切线，公切线求解时，可以通过画图，观察其中一条公切线，并写出其方程. 易｜错｜点｜拨 注意：公切线的条数与圆与圆的位置关系的表示. 【典例1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 【典例2】（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】圆的公切线条数、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 【变式1】（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 【变式2】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的公切线方程 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 题型八 相交弦问题 答｜题｜模｜板 1、公共弦：两圆方程作差，得到的直线方程，即为公共弦的直线方程. 易｜错｜点｜拨 公共弦方程的求解前，首先判断两个圆是相交关系. 【典例1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆的位置关系确定参数或范围、两圆的公共弦长 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 【典例2】（2025·江西景德镇·二模）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】切线长、圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心和半径，求出，再利用等面积法即可求得答案. 【详解】圆，且，则， 又，∴，利用面积相等，∴， 故选：D． 【变式1】（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【知识点】求两圆的交点坐标、两圆的公共弦长 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【详解】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 【变式2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦 【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为，半径为.点满足，即. 设切线方程为和，由圆的切线性质可知，的最小值，出现在最小时. 此时圆心到直线距离为：， 代入得，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选:C. 题型九 解答题训练 答｜题｜模｜板 1、圆的方程的求解时，利用轨迹方程的求解圆的方程； 2、利用直线与圆的位置关系，即圆心到直线的距离求解相交，相切，相离的最值问题； 3、直线与圆的交点，联立方程，韦达定理进行对应的表示，进行对应的求解. 易｜错｜点｜拨 注意：直线的斜率不存在的情况以及联立方程进行对应的求解的计算. 【典例1】（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 【变式1】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为， 所以弦长. 【变式2】（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1)和 (2)7 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）需要分类讨论：切线的斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径求解即可； （2）根据直线是否存在斜率进行分类讨论，当直线存在斜率时，利用点斜式写出两直线的方程，分别求出弦长，将四边形的面积用弦长表示，即可求出最大值. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为2，等于半径，直线与圆相切. 当切线斜率存在时，设切线斜率为k， 则切线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得，切线方程为. 所以，所求的切线方程为和. （2）若两直线都有斜率，可设直线的方程为，则直线的方程为， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以， 同理，， 所以四边形ACBD的面积． ， 当且仅当，即时，等号成立. 若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0， 此时线段、的长分别为、4（或4、）， 所以． 综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程 【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得. 【详解】由，可知该圆是以为圆心，3为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 故圆心到切线的距离，解得， 故选：C 4．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 5．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（ ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】首先根据弦长和圆的半径求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列出关于参数的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 故选：D. 6．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 7．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 8．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知圆：关于直线对称，且圆心在x轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】相交圆的公共弦方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，根据圆心的特征求出，即可求出圆心和半径，即可得解； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的方程的圆心坐标为，半径， 由圆心在x轴上，圆关于直线对称得，， 所以，故圆心，半径， 所以所求圆的标准方程为 （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切线长 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 3．（24-25高二上·河南焦作·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、切线长 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 5．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 6．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】求圆的一般方程、相交圆的公共弦方程、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得； （2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解； （3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得. 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为． （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即． 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为． （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得． 设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、圆的公切线条数、判断直线与圆的位置关系、由斜率判断两条直线垂直 【分析】对于A项，求出直线经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，因为， 所以直线l与直线垂直.故C正确； 对于D项，要使圆C与圆恰有三条公切线，则应满足两圆外切. 圆可化为， 圆心为，半径为. 因为两圆外切，所以有， 即， 整理可得，化简可得，解得.故D项正确. 故选：B 2．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)①相离；② 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、判断直线与圆的位置关系 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点的对称点，利用两点之间线段最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】求直线与圆交点的坐标、圆的弧长、面积、圆心角等计算、已知圆的弦长求方程或参数、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为， ①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、平面向量数量积的定义及辨析、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由，代入坐标并化简可得结果； （2）由易得，再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； （3）由，分别讨论和时四边形的面积，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）由，化简整理得． 所以曲线的方程为． （2）因为，所以． 所以圆心到直线的距离，所以． （3）当时，，，； 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与圆的方程（期中复习讲义） 圆与圆的方程专题在期中考试里，核心考点：圆的标准方程和一般方程，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系（重点和难点），圆与圆的位置关系。 核心考点 复习目标 考情规律 圆的标准方程和一般方程 圆的方程计算 基础必考点，常出现在小题，解答题第一问，求解圆心和半径 点与圆的位置关系 点在圆上，在圆外，在圆内，代入法计算 基础必考点，常出现在小题或解答题中，难点在解答题中通常转化向量完成 直线与圆的位置关系 直线与圆相交时弦长，相切时切线方程，相离时距离最值及个数 基础必考点，常出现在小题和解答题中，易错点在相切求切线方程时容易忽略斜率不存在 圆与圆的位置关系 五种圆与圆的位置关系，公共弦方程，公切线条数 基础必考点，常出现在小题中考察位置关系，解答题中考察公共弦方程及切点直线方程 知识点01 圆的标准方程和一般方程 1、圆的标准方程：，圆心，半径； 2、圆的一般方程：，且；圆心，半径. 3、轨迹方程：（1）直译法；（2）相关点法；（3）定义法；（4）参数法；（5）交轨法 ·易错点：圆的一般方程中配方法求解圆心和半径，容易移项后半径的平方大于零 知识点02 点与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 点在圆内，则 点在圆上，则 点在圆外，则 ·易错点：解答题中点与圆的位置关系应用向量求解 知识点03 直线与圆的位置关系 1、相交：圆心到直线的距离小于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、直线与圆相交：，相交弦长：； 3、相切：圆心到直线的距离等于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 4、直线与圆相切：；切线长：过做圆的切线，切点为，则. 5、相离：圆心到直线的距离大于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 6、圆上的点到直线距离的最值：. 7、圆上的点到直线距离为的点的个数：为圆心到直线的距离 ①当时，点的个数为；②当时，点的个数为； ③当时，点的个数为；④当时，点的个数为； ⑤当时，点的个数为. ·易错点：相交和相切时，注意斜率不存在的直线； 知识点04 圆与圆的位置关系 1、圆与圆之间的位置关系：圆的半径为，圆的半径为，则 相离：；外切：；相交：； 内切：；内含：. 2、公共弦：两圆方程作差，得到的直线方程，即为公共弦的直线方程. 3、公切线：两圆相离时，有四条公切线；两圆外切时，有三条公切线；两圆相交时，有两条公切线；两圆内切时，有一条公切线；两圆内含时，没有公切线，公切线求解时，可以通过画图，观察其中一条公切线，并写出其方程. ·易错点：圆外一点求切线时，切点的直线方程也转化为圆与圆的公共弦方程； 题型一 圆的标准方程和一般方程 解｜题｜技｜巧 1、已知圆心时，则设圆心坐标，利用圆心到圆上一点的距离等于半径求解，圆的标准方程：，圆心，半径； 2、求圆的一般方程时，将三个点带入，解三元一次方程，圆的一般方程：；圆心，半径. 易｜错｜点｜拨 注意圆的一般方程中，配方法求解圆心和半径，注意半径的平方大于零 【典例1】（25-26高二上·天津·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 题型二 圆的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、定义法：利用圆心到直线的距离，进行圆的方程的求解； 2、直译法：设点坐标，根据题意带入表示对应的等式，化简求解即可； 3、相关点法：通过已知方程上的点和所求轨迹上的点进行表示，并带入已知直线方程求解； 4、交轨法：利用直线与直线之间的位置关系，并进行消参进行求解； 5、求轨迹方程的五个步骤 （1）设定变量与坐标系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标； （2）分析几何条件：写出适合条件的点的集合； （3）代数化几何条件：用坐标表示条件，列出方程； （4）化简方程：化方程为最简形式； （5）査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 易｜错｜点｜拨 注意：表示轨迹方程的求解上，部分轨迹存在变量的取值范围的表示. 【典例1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ） A．( B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型三 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 1、点与圆的位置关系（带入方程求解即可） 点在圆内，则 点在圆上，则 点在圆外，则 易｜错｜点｜拨 注意：点带入一般方程时，首先满足为圆的方程进行求解. 【典例1】（2025·河北邯郸·一模）“”是“点在圆外部”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 直线与圆的位置关系（相交） 答｜题｜模｜板 1、相交：圆心到直线的距离小于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、直线与圆相交：，相交弦长：； 3、相关圆心角问题转化为等腰三角形中中线的距离进行求解； 易｜错｜点｜拨 注意：求解时，容易忘记直线斜率不存在的情况. 【典例1】（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【典例2】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于A、B两点，若，则（ ） A．1 B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ） A． B．2 C． D．4 题型五 直线与圆的位置关系（相切） 答｜题｜模｜板 1、相切：圆心到直线的距离等于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、直线与圆相切：；切线长：过做圆的切线，切点为，则； 3、过圆上一点的切线只有一条，过圆外一点的切线有两条. 易｜错｜点｜拨 注意：过点的切线方程，注意点在圆上还是在圆外. 【典例1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A． B．或 C． D．或 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【典例3】2025·四川成都·模拟预测）过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A． B．5 C． D． 【变式1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ） A．16 B．4 C．21 D． 【变式3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 题型六 直线与圆的位置关系（相离） 答｜题｜模｜板 1、相离：圆心到直线的距离大于半径；或者联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式； 2、圆上的点到直线距离的最值：. 3、圆上的点到直线距离为的点的个数：为圆心到直线的距离 ①当时，点的个数为；②当时，点的个数为； ③当时，点的个数为；④当时，点的个数为； ⑤当时，点的个数为. 易｜错｜点｜拨 注意：相离时，圆上的点到直线距离为的个数上，注意取值范围的临界值的求解. 【典例1】（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【典例2】（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知点和直线，圆，圆上到点A的距离等于到直线l的距离的点恰有两个，则r的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 题型七 圆与圆的位置关系 答｜题｜模｜板 1、圆与圆之间的位置关系：圆的半径为，圆的半径为，则 相离：；外切：；相交：； 内切：；内含：. 2、公切线：两圆相离时，有四条公切线；两圆外切时，有三条公切线；两圆相交时，有两条公切线；两圆内切时，有一条公切线；两圆内含时，没有公切线，公切线求解时，可以通过画图，观察其中一条公切线，并写出其方程. 易｜错｜点｜拨 注意：公切线的条数与圆与圆的位置关系的表示. 【典例1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【典例2】（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ） A． B． C． D． 题型八 相交弦问题 答｜题｜模｜板 1、公共弦：两圆方程作差，得到的直线方程，即为公共弦的直线方程. 易｜错｜点｜拨 公共弦方程的求解前，首先判断两个圆是相交关系. 【典例1】（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【典例2】（2025·江西景德镇·二模）已知圆，且圆外有一点，过点作圆的两条切线，且切点分别为点和点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）． A．5 B． C． D．10 【变式2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 题型九 解答题训练 答｜题｜模｜板 1、圆的方程的求解时，利用轨迹方程的求解圆的方程； 2、利用直线与圆的位置关系，即圆心到直线的距离求解相交，相切，相离的最值问题； 3、直线与圆的交点，联立方程，韦达定理进行对应的表示，进行对应的求解. 易｜错｜点｜拨 注意：直线的斜率不存在的情况以及联立方程进行对应的求解的计算. 【典例1】（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【变式1】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【变式2】（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南怀化·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 5．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（ ） A．1 B． C． D．1或 6．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知圆：关于直线对称，且圆心在x轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（ ） A． B． C． D．5 3．（24-25高二上·河南焦作·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ） A．6 B．4 C． D． 4．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知圆，直线，则下列错误的是（ ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1 C．直线l与直线垂直 D．若圆C与圆恰有三条公切线，则 2．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $