专题01 直线与直线方程（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版

专题01 直线与直线方程（期中复习讲义） 直线与直线方程专题在期中考试里，核心考点：倾斜角和斜率，直线的方程，直线平行和垂直的位置关系，点到直线的距离，两平行直线之间的距离，点关于直线的对称。 核心考点 复习目标 考情规律 倾斜角和斜率 倾斜角和斜率的关系和计算 基础必考点，常出现在小题，难点在直线有交点时，倾斜角和斜率的取值范围 直线的方程 直线的五种表达方式 基础必考点，常出现在小题或解答题中，横过定点和截距问题 平行和垂直 平行和垂直的倾斜角或斜率的关系 基础必考点，常出现在小题，易错点在直线平行时，重合的情况 距离问题 两点之间距离，点到直线的距离，两平行直线的距离 基础必考点，常出现在小题和解答题中，难点在距离最值的求解 对称问题 点关于点对称，点关于线对称 基础必考点，常出现在小题，难点在求解线段距离的最值上 知识点01 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线与轴相交时,取轴作为基准,轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。特别地,当直线与轴平行或重合时,规定。 2、倾斜角的取值范围：，当直线与轴垂直时,. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角()的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母表示,也就是 ⑴当直线与轴平行或重合时,,； ⑵当直线与轴垂直时,,不存在。 由此可知,一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率不一定存在。 4、直线的斜率公式: 给定两点用两点的坐标来表示直线的斜率： 斜率公式: ·易错点：直线倾斜角为90°时，不存在斜率 知识点02 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即。 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果,那么一定有。 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即。 ·易错点：当直线平行时，可能出现重合的情况 知识点03 直线的方程 1、点斜式：已知直线经过点，且斜率为，直线的点斜式方程： 2、斜截式：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，直线的斜截式方程： 3、两点式：已知两点其中，直线的两点式方程： 4、截距式：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中直线的截距式方程： 5、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A>0，B不同时为0） ·易错点：截距式中，容易忘记截距为0的情况 知识点04 距离 1、两点间距离给定两点，两点间的距离公式: 中点坐标公式：M是PQ的中点， 2、点到直线距离公式：点到直线的距离为： 3、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线和的一般式方程为：， ，则与的距离为。 ·易错点：两平行直线之间的距离的计算时，注意两直线化解同的值 知识点05 对称 1、点关于点对称时，利用中点坐标公式进行求解 点关于点的对称，设对称点为，则，求解 2、点关于直线对称时，利用中点坐标和垂直关系进行求解： 点关于直线的对称，设对称点，则，求解 ·易错点：点关于弦对称时，只关注到中点或者垂直一个关系式子. 题型一 倾斜角与斜率 解｜题｜技｜巧 利用公式求解倾斜角和斜率 （1）倾斜角：直线上方与轴正方向组成的夹角 （2）斜率：①；②；③（为直线的方向向量） 易｜错｜点｜拨 当倾斜角为时，直线不存在斜率 【典例1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（ ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【答案】C 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【详解】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C. 题型二 直线方程 解｜题｜技｜巧 倾斜式：斜率为，过点的直线 斜截式：斜率为，在轴上的截距为的直线 两点式：直线过的直线 截距式：在轴，轴上的截距分别为的直线 一般式： 易｜错｜点｜拨 ①过点且倾斜角为的直线方程为； ②当直线在轴或者轴上的截距为时，即直线过原点。 【典例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项. 【详解】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为， 又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：， 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】根据一般方程与直线方程的斜截式互化可得结果. 【详解】由直线可化为， 因此可得，. 故选：B 题型三 平行和垂直 解｜题｜技｜巧 直线；. （1）当直线时，则；且不重合 （2）当直线时，则. 易｜错｜点｜拨 平行时，注意重合的现象，重合不为平行. 【典例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 【典例2】（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 【变式1】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·广东·期末）（多选）已知直线，则（ ） A．若，则倾斜角的取值范围为 B．若，则 C．若，则 D．若，则与之间的距离为4 【答案】BC 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系判断A的真假；根据两直线平行求参数的值，判断B的真假；根据两直线垂直求参数的值，判断C的真假；根据平行线间的距离公式求值，判断D的真假. 【详解】对于A：当时，直线的斜率，当时，的倾斜角，当时，的倾斜角，故A错误； 对于B：由，得，解得3，经检验，当时，与不重合，故B正确； 对于C：由，得，解得，故C正确； 对于D：由B可知时，，此时直线，则与之间的距离为，故D错误． 故选：BC 题型四 倾斜角与斜率的取值范围 答｜题｜模｜板 求解对应临界直线的斜率，利用数形结合，逆时针旋转直线，求解直线的倾斜角和斜率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 逆时针旋转，注意与轴垂直时，斜率不存在. 【典例1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线、的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 题型五 距离问题 答｜题｜模｜板 （1）点之间的距离： （2）点到直线的距离： （3）两平行直线的距离： 易｜错｜点｜拨 两平行直线之间的距离，首先应该化简使得对应的相等才可计算. 【典例1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故选：D 【典例2】（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由两点到直线距离相等可得直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求可得结论． 【详解】依题意得，直线过线段的中点，或与直线平行. 线段的中点坐标为，且在直线上， ，解得； 由两直线平行知，解得. 因此的值为或， 故选：A 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 题型六 对称问题 答｜题｜模｜板 （1）点关于点对称：利用中点坐标公式进行求解即可 （2）点关于直线对称：首先设对称点，其次根据中点和垂直关系列出等式，，最后求解出 易｜错｜点｜拨 容易在点关于线对称上，少列出对应的方程. 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，易知点关于直线的对称点， 由对称性即三角形三边关系可得： . 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解. 【详解】设的对称点坐标为， 则对称点与已知点连线的中点为， 由题意可得，解得． 所以对称点坐标为． 答案：B 【变式2】（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 题型七 解答题训练 答｜题｜模｜板 （1）三角形中涉及到的中线，高线问题，即采用中点坐标，两点式进行直线的求解，高线采用垂直，斜率乘积进行求解。 （2）直线与坐标轴交点及三角形面积最值问题，利用截距式进行直线方程表达，再利用一代换的计算进行最值的求解。 易｜错｜点｜拨 注意直线与坐标轴围成面积时，利用截距式求解会更简洁 【典例1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由上的高所在直线方程为，可得，且过点得到直线所在的直线方程，联立方程即可求得顶点的坐标. （2）设点，且的中点，代入所在的直线方程为，求出的表达式再与的方程即可得到点坐标，再用点斜式即可求得方程. 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故， 又的顶点， 所以所在的直线方程为， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得， 故点； （2）设点， 则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上， 所以， 故，解得，即点， 所以,故直线方程为. 【典例2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为. (1)求边所在的直线方程； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用垂直关系求出直线的斜率，进而求出其方程. （2）求出直线的交点坐标即可. 【详解】（1）由边上的高所在直线的斜率为1，得直线的斜率为， 又直线过，所以直线的方程为，即. （2）由直线的方程为，而顶点为直线与直线的交点， 由，解得， 所以点. 【变式2】（23-24高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)最小值为4，. 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】直接令计算即可求解. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（ ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（ ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 4．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 5．（24-25高二下·湖南永州·期末）（多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为：和． 故选:AD． 6．（24-25高二上·福建漳州·期末）（多选）已知直线：与：，则（ ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 【答案】BC 【分析】根据直线的一般式方程和的相关性质.若两直线平行，则且；若两直线垂直，则；若两直线重合，则且.对于两平行直线间的距离公式为.我们将根据这些概念来逐一判断选项. 【详解】对于A，当时，对于直线即，直线即.根据两直线平行的判定条件，，所以与不平行，A选项错误. 对于B，当时，直线，直线. 因为且，所以与重合，B选项正确. 对于C，当时，直线，直线. 根据两直线垂直的判定条件，成立，所以与垂直，C选项正确. 对于D，当时，由，对于直线和，有，即，解得. 当时两直线重合， 当时，即，. 根据两平行直线间的距离公式，则，D选项错误. 故选：BC. 7．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则_________________. 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 8．（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两点式写出直线的方程，化为一般式即可； （2）根据垂直和直线AB的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】（1），， 直线AB的方程为， 化简得； （2）直线AB的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 3．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）（多选）已知直线：；直线：，则（ ） A．当时，的一个方向向量为 B．若，则 C．若，则 D．点到距离的最大值为5 【答案】AD 【分析】对A，求出直线的斜率判断；对B，根据两直线平行的充要条件求解判断；对C，根据两直线垂直的充要条件求解判断；对D，求出直线过定点，当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大，得解. 【详解】对于A，当时，直线，其斜率为， 所以的一个方向向量为，故A正确； 对于B，若，则，解得或，经检验均合题意， 所以或，故B错误； 对于C，若，则，即， 解得或，故C错误； 对于D，由，即， 令，解得， 所以直线过定点， 当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大， 距离的最大值为，故D正确. 故选：AD. 4．（24-25高二上·浙江台州·期中）（多选）已知直线，则下列选项正确的是（ ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 【答案】ACD 【分析】利用直线平行、垂直的判定求参数判断A、B；将直线化为，即可得定点判断C；求直线与坐标轴的交点，应用三角形面积公式及换元法、基本不等式求面积的最小值，注意取值条件，判断D. 【详解】A：由题意，，则，对； B：由题意，，则，错； C：直线可化为，联立，直线恒过点，对； D：由题意，直线与负半轴均有交点， 令，则，令，则，易知， 所以直线和负半轴构成的三角形面积， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4，对. 故选：ACD 5．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 【答案】ABC 【分析】设过点且平行于的直线的方程为，再将点代入即可判断A；先求出的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线的方程即可判断C；求出边的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D. 【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为， 则，解得， 所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确； 对于B，由题意知，， ∵，∴， 所以直线的方程为，即，故B正确； 对于C，联立，解得， 所以点的坐标为，故C正确； 对于D，边的中点坐标为，， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误. 故选：ABC. 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为_______________． 【答案】 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（20-21高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为________________. 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为_____________． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 3.（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，经过点． (1)若，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，求与之间的距离； (3)若与轴、轴的正半轴交于，两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解； （2）直接由平行线间距离公式即可求解； （3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即． （2）因为，所以两直线间的距离为． （3）设直线方程为，． 当时，；当时，． 则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为6． 4．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 3.（24-25高二上·福建福州·期中）“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线. (1)已知，若，求； (2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点， （i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值； （ii）已知点在直线上，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)（i），图象见解析，最大值为；（ii） 【分析】（1）根据“曼哈顿距离”的定义，结合条件，即可求解； （2）（i）根据“曼哈顿距离”的定义，得到，再对与的大小分类讨论，即可作出图形，再根据条件，得到，结合图形，即可求解；（ii）设，，则，根据题设得，再对与的大小分类讨论，从而得到间的关系，再利用绝对值不等式的意义，即可求解. 【详解】（1）因为，则，解得或. （2）（i）因为曲线是“”曲线（是原点），设曲线上任意一点， 则，所以曲线的方程为， 当时，由，得到， 当时，由，得到， 当时，由，得到， 当时，由，得到，所以图象如图1， 因为，又易知， 所以， 令，则，由图1易知的最小值为，所以的最大值为. （ii）如图2，因为点在直线上，设，，则， 因为，当时，， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，，所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，由，得到， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，由，得到， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 综上，的最小值为. 3 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与直线方程（期中复习讲义） 直线与直线方程专题在期中考试里，核心考点：倾斜角和斜率，直线的方程，直线平行和垂直的位置关系，点到直线的距离，两平行直线之间的距离，点关于直线的对称。 核心考点 复习目标 考情规律 倾斜角和斜率 倾斜角和斜率的关系和计算 基础必考点，常出现在小题，难点在直线有交点时，倾斜角和斜率的取值范围 直线的方程 直线的五种表达方式 基础必考点，常出现在小题或解答题中，横过定点和截距问题 平行和垂直 平行和垂直的倾斜角或斜率的关系 基础必考点，常出现在小题，易错点在直线平行时，重合的情况 距离问题 两点之间距离，点到直线的距离，两平行直线的距离 基础必考点，常出现在小题和解答题中，难点在距离最值的求解 对称问题 点关于点对称，点关于线对称 基础必考点，常出现在小题，难点在求解线段距离的最值上 知识点01 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线与轴相交时,取轴作为基准,轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。特别地,当直线与轴平行或重合时,规定。 2、倾斜角的取值范围：，当直线与轴垂直时,. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角()的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母表示,也就是 ⑴当直线与轴平行或重合时,,； ⑵当直线与轴垂直时,,不存在。 由此可知,一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率不一定存在。 4、直线的斜率公式: 给定两点用两点的坐标来表示直线的斜率： 斜率公式: ·易错点：直线倾斜角为90°时，不存在斜率 知识点02 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即。 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果,那么一定有。 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即。 ·易错点：当直线平行时，可能出现重合的情况 知识点03 直线的方程 1、点斜式：已知直线经过点，且斜率为，直线的点斜式方程： 2、斜截式：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，直线的斜截式方程： 3、两点式：已知两点其中，直线的两点式方程： 4、截距式：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中直线的截距式方程： 5、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A>0，B不同时为0） ·易错点：截距式中，容易忘记截距为0的情况 知识点04 距离 1、两点间距离给定两点，两点间的距离公式: 中点坐标公式：M是PQ的中点， 2、点到直线距离公式：点到直线的距离为： 3、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线和的一般式方程为：， ，则与的距离为。 ·易错点：两平行直线之间的距离的计算时，注意两直线化解同的值 知识点05 对称 1、点关于点对称时，利用中点坐标公式进行求解 点关于点的对称，设对称点为，则，求解 2、点关于直线对称时，利用中点坐标和垂直关系进行求解： 点关于直线的对称，设对称点，则，求解 ·易错点：点关于弦对称时，只关注到中点或者垂直一个关系式子. 题型一 倾斜角与斜率 解｜题｜技｜巧 利用公式求解倾斜角和斜率 （1）倾斜角：直线上方与轴正方向组成的夹角 （2）斜率：①；②；③（为直线的方向向量） 易｜错｜点｜拨 当倾斜角为时，直线不存在斜率 【典例1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ） A．3 B． C．2 D．1 【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（ ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 题型二 直线方程 解｜题｜技｜巧 倾斜式：斜率为，过点的直线 斜截式：斜率为，在轴上的截距为的直线 两点式：直线过的直线 截距式：在轴，轴上的截距分别为的直线 一般式： 易｜错｜点｜拨 ①过点且倾斜角为的直线方程为； ②当直线在轴或者轴上的截距为时，即直线过原点。 【典例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ） A． B．， C． D．， 题型三 平行和垂直 解｜题｜技｜巧 直线；. （1）当直线时，则；且不重合 （2）当直线时，则. 易｜错｜点｜拨 平行时，注意重合的现象，重合不为平行. 【典例1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东·期末）（多选）已知直线，则（ ） A．若，则倾斜角的取值范围为 B．若，则 C．若，则 D．若，则与之间的距离为4 题型四 倾斜角与斜率的取值范围 答｜题｜模｜板 求解对应临界直线的斜率，利用数形结合，逆时针旋转直线，求解直线的倾斜角和斜率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 逆时针旋转，注意与轴垂直时，斜率不存在. 【典例1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 题型五 距离问题 答｜题｜模｜板 （1）点之间的距离： （2）点到直线的距离： （3）两平行直线的距离： 易｜错｜点｜拨 两平行直线之间的距离，首先应该化简使得对应的相等才可计算. 【典例1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【典例2】（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C．2 D． 【变式1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A． B． C． D． 题型六 对称问题 答｜题｜模｜板 （1）点关于点对称：利用中点坐标公式进行求解即可 （2）点关于直线对称：首先设对称点，其次根据中点和垂直关系列出等式，，最后求解出 易｜错｜点｜拨 容易在点关于线对称上，少列出对应的方程. 【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．10 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型七 解答题训练 答｜题｜模｜板 （1）三角形中涉及到的中线，高线问题，即采用中点坐标，两点式进行直线的求解，高线采用垂直，斜率乘积进行求解。 （2）直线与坐标轴交点及三角形面积最值问题，利用截距式进行直线方程表达，再利用一代换的计算进行最值的求解。 易｜错｜点｜拨 注意直线与坐标轴围成面积时，利用截距式求解会更简洁 【典例1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【典例2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式1】（24-25高二上·福建·期中）已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为. (1)求边所在的直线方程； (2)求顶点的坐标. 【变式2】（23-24高二上·重庆·期中）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求的方程 (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（ ） A． B． C． D．3 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（ ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 3．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（ ） A． B． C． D．１ 4．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南永州·期末）（多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建漳州·期末）（多选）已知直线：与：，则（ ） A．当时， B．当时，与重合 C．当时， D．当时，与间的距离为 7．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则_________________. 8．（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）（多选）已知直线：；直线：，则（ ） A．当时，的一个方向向量为 B．若，则 C．若，则 D．点到距离的最大值为5 4．（24-25高二上·浙江台州·期中）（多选）已知直线，则下列选项正确的是（ ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 5．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末）一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为_______________． 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（20-21高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为________________. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为_____________． 3.（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知直线：，经过点． (1)若，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，求与之间的距离； (3)若与轴、轴的正半轴交于，两点，求的最小值． 4．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 3.（24-25高二上·福建福州·期中）“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线. (1)已知，若，求； (2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点， （i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值； （ii）已知点在直线上，求的最小值. 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $