专题1.8有理数的加减混合运算（知识点总结+8大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

1.8有理数的加减混合运算 【题型1】加减法统一成加法的形式转化与读法 1.核心知识点总结 依据有理数减法法则（），将加减混合运算统一为加法； 可写成省略加号的代数和形式（如），保留性质符号； 两种读法：代数和读（“负5、负3、正4的和”）或运算读（“负5减3加4”）。 2.高频考点梳理 加减混合算式转化为省略加号的代数和； 算式的正确读法判断； 实际变化量（温度、行程）转化为加减算式再统一加法。 3.易错点警示 转化时漏符号（如误写为）； 混淆性质符号与运算符号（如误读为“负5加3”）。 4.解题技巧拆解 两步转化：先将减法转加法，再省略括号和前“”； 反向验证：转化后还原原式，确认正确性。 【例题1】．（2024-2025•秦安县开学）（﹣20）+（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式为　 　 ． 【变式题1-1】．（2024-2025•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【变式题1-2】．（2025秋•襄城区校级月考）计算： （1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）； （2）； （3）； （4）． 【变式题1-3】．（2024-2025•肇源县期中）计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）； （4）（）（﹣0.5）+（）． 【题型2】加法运算律的基础应用 1.核心知识点总结 加法交换律：（交换时带性质符号）； 加法结合律：，优先结合同号、同分母或小数。 2.高频考点梳理 用运算律简化整数/小数加减； 带分数分整数、分数部分分别结合； 优先结合互为相反数（和为0）的数。 3.易错点警示 交换加数漏带符号（如误变为）； 同分母结合通分错误（如误算为）。 4.解题技巧拆解 标记分组：标注待结合的数（如正数标“↑”）； 分步计算：先算每组和，再汇总（正数和+负数和）。 【例题2】．（2024-2025•迁安市期末）如图，是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（　　） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【变式题2-1】．（2024-2025•裕华区期末）小明同学在解题时，将式子变成]后再进行计算，该同学运用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【变式题2-2】．（2024-2025•德惠市期中）下列运用加法交换律正确的是（　　） A．﹣3﹣8+9﹣11＝﹣3﹣8+11﹣9 B．﹣3+8﹣9﹣11＝﹣11+3+8﹣9 C．﹣8+5﹣2+13＝﹣8﹣2+5+13 D．﹣8+5﹣2﹣13＝﹣8+5+2﹣13 【变式题2-3】．运用交换律和结合律计算： （1）3﹣10+7＝3 　 　 7 　 　 10＝　 　 ； （2）﹣6+12﹣3﹣5＝　 　 6 　 　 3 　 　 5 　 　 12＝　 　 ． 【题型3】凑整法在加减混合运算中的基础应用 1.核心知识点总结 依据加法结合律，将和为整数/易算值（如10、0.5、1）的数结合； 常见类型：整数凑整（）、小数凑整（）、分数凑整（）。 2.高频考点梳理 直接凑整计算（如与凑整为）； 实际问题中凑整（产量、里程接近整十/百的数）。 3.易错点警示 凑整时符号错（如误算为）； 漏加未凑整的项（如凑整后漏加两组和）。 4.解题技巧拆解 找“凑整搭档”：优先标记和为0或10的数； 用添括号法则：括号前“”时，括号内符号全变（如）。 【例题3】．（2024-2025•江汉区月考）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】．（2024-2025•永年区期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲：11+（﹣14）+19﹣（﹣6）＝11+19+[（﹣14）+（﹣6）]＝10 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【变式题3-2】．（2024-2025•薛城区月考）计算（能使用简便方法的使用简便方法）： （1）﹣20﹣（﹣15）+（﹣12）﹣（+5）； （2）； （3）； （4）． 【变式题3-3】．（2024-2025•龙潭区校级月考）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … （1）计算过程中，第一步变形的依据是　 　 ，从第　 　 步开始出现错误； （2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了　 　 （填数学定律）； （3）请将正确解答过程补充完整． 【题型4】拆项法在带分数加减中的应用（提升） 1.核心知识点总结 拆项原理：带分数拆为“整数+真分数”（负带分数拆“负整数+负分数”）； 适用场景：带分数多且分母相同/易通分的运算。 2.高频考点梳理 纯带分数加减拆项； 带分数与整数/小数混合拆项（整数、小数分别结合）。 3.易错点警示 负带分数拆项漏负号（如误拆为）； 分数部分通分错误（如误算为）。 4.解题技巧拆解 步骤：拆项→分组（整数组、分数组）→算组和→汇总； 验证：拆项后总和与原带分数一致。 【例题4】．（2024-2025•界首市期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式． 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算：． 【变式题4-1】．（2024-2025•济南校级月考）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【变式题4-2】．（2024-2025•祁阳市校级期中）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（﹣4）+（+8）+（﹣3）． 【变式题4-3】．（2024-2025•新郑市月考）漯河某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式， 我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ． 任务： （1）小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是　 　 、　 　 、　 　 ； （2）按小明的方法计算． 【题型5】有理数加减混合与24点的运算（提升） 1.核心知识点总结 24点运算规则：用给定的4个有理数（通常为1-13的整数或简单负有理数），通过加减混合运算（可结合基础乘除）组合，每个数仅用1次，最终结果为24； 核心思路：围绕“凑目标因数”（如3×8、4×6、12×2、24-0等），用有理数加减将给定数字转化为目标因数。 2.高频考点梳理 4个正整数的24点加减（含简单乘除）组合（如用3、4、5、8凑24：3×8+(5-4)=24）； 含负有理数的24点运算（如用-3、4、5、7凑24：4×5-(-3)+7=24）； 结合凑整思想的24点（如用2、5、7、8凑24：(2+5)+7+8=24）。 3.易错点警示 数字使用错误：重复使用或遗漏给定数字（如4个数只用3个凑24）； 负号处理失误：含负有理数时，误忽略负号（如-3误作3，导致结果偏差）； 思路局限：仅依赖加减，未结合简单乘除（如3、4、6、2，忽略3×4+6+2=24）。 4.解题技巧拆解 凑数法：优先瞄准“3×8、4×6”等常见目标，用加减将数字凑成对应因数（如用5、7、8、9：9-5=4，7+8=15，4+15+5？错，修正为9-7=2，5+8=13，2×13-2？不对，正确：(9-5)×(8-7)+24？不，正确：(5+7)×(9-8)×2？哦给定数字是5、7、8、9的话：(9-5+8)×7？不对，正确：(5+7-9)×8=24）； 逆推法：从24反向拆（如24=18+6，再用给定数字凑18和6）； 负有理数技巧：用“负负得正”凑正数因数（如-4、-6、2、1：(-4)×(-6)+2-1=24）。 【例题5】．（2024-2025•滨海县校级开学）“算24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以用括号）连起来，使得运算的结果为24，每个数字只能用一次．请你用“6，6，6，10”这四个数字“算24点”列出的算式是　 　 ． 【变式题5-1】．（2024-2025•惠城区一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中A＝1，J＝11，Q＝12，K＝13．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为（9﹣7）×11+2＝24．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：　 　 ． 【变式题5-2】．（2024-2025•禅城区期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的4张牌，写出一个符合规则的算式：　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•成都期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是±24的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 　 　 ． 【题型6】有理数加减混合的复杂实际应用(提升) 1.核心知识点总结 正负设定：定正方向(上升为正)，相反为负； 核心公式：①最终状态=初始值+变化量和；②总路程=变化量绝对值和。 2.高频考点梳理 行程问题：求最终位置(和)与总耗油量(绝对值和×单位油耗)； 产量/客流量问题：求总产量与最大变化差； 温度/高度问题：求最终温度/高度。 3.易错点警示 正负设定混乱(如“减产-5辆”误为“减产5辆”)； 混淆“和”与“绝对值和”(求耗油量代变化量和)。 4.解题技巧拆解 四步：定正负→列算式→算结果→验意义； 复杂问题：用表格整理变化量，防漏项。 【例题6】．（2024-2025•香洲区校级开学）有10袋大米，以每袋25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下（单位：kg）：+0.5，+0.3，0，﹣0.2，﹣0.3，+1.1，﹣0.7，﹣0.2，+0.6，+0.7． （1）10袋大米共超过（或不足）多少千克？ （2）10袋大米共多少千克？ 【变式题6-1】．（2024-2025•定州市期末）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行情况记录如下（单位：千米）：10，﹣9，﹣5，+7，﹣11，+2，﹣10，+6． （1）B地在A地哪个方向，距离为多少？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，出发时油箱有油25升，求途中至少还需补充多少升油？ 【变式题6-2】．（2024-2025•邻水县期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“+”，不足10万辆的部分记为“﹣”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆 +3.5 +6.0 ﹣0.8 +2.2 ﹣1.7 ﹣2.2 +1.2 （1）该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ （2）小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电0.16千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有60%的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余20%时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【变式题6-3】．（2024-2025•安阳期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）．已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）“■”处的数为 　 　 ，“●”处的数为 　 　 ； （2）若该新能源汽车每行驶1km耗电量为0.2度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． （3）已知王老师这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的20%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【题型7】新定义运算与加减混合的结合(培优) 1.核心知识点总结 新定义规则：自定义符号(如“※”)或图形，明确运算公式； 解题核心：转化为常规加减混合运算。 2.高频考点梳理 直接代入新定义计算； 新定义与数轴/绝对值结合； 图形类新定义(如图形表)。 3.易错点警示 误解新定义规则(括号位置错)； 代入时漏符号(如误代为1)。 4.解题技巧拆解 三步：译规则→代数值→算结果； 多层运算：先算内层，再算外层。 【例题7】．（2024-2025•茂名期末）在生活中为表达简单化，经常将六时五十八分说成差二分七时．基于这种想法，定义以下一种记数法：如8写成110﹣2；199写成20200﹣1；8765写成15＝10000﹣1240+5．即数字上画一横线表示减去它对应的数，则按这种方法可将　 　 写成3． 【变式题7-1】．（2024-2025•科左中旗期中）我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•湘阴县月考）观察下列两个等式，3+2＝3×2﹣1，41，给出定义如下： 我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），都是“金桥有理数对”． （1）数对（﹣2，1），中是“金桥有理数对”的是 　 　 ； （2）若（a，﹣3）是“金桥有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“金桥有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　 　 “金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 【变式题7-3】．（2024-2025•通州区校级月考）观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，，给出定义如下：我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“成达数对”，记为（a，b），如：数对（3，2）、都是“成达数对”． （1）数对（﹣2，1）、中是“成达数对”的是 　 　 ； （2）若（a，3）是“成达数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“成达数对”，则（﹣m，﹣n） 　 　 “成达数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）； （4）请再写出一对符合条件的“成达数对”．（不能与题目中已有的数对重复） 【题型8】有理数加减混合的规律探究与证明(培优) 1.核心知识点总结 规律类型：符号、数值、和的规律； 探究方法：算前3-5项→总结规律→验证第n项。 2.高频考点梳理 数列和的规律(如）； 实际变化规律（如小虫爬行周期）； 自定义数列规律（如“差数操作”）。 3.易错点警示 规律总结片面（漏符号规律）； 验证不充分（仅用前2项）。 4.解题技巧拆解 三步：算前项→找共性→猜公式→验证； 证明：用“n=1、k、k+1”验证或加减推导。 【例题8】．（2024-2025•沈丘县校级月考）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．根据上述规律，计算：||+||+||+…+||＝　 　 ． 【变式题8-1】．（2024-2025•乾县校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|7﹣21|＝　 　 ； ②　 　 ． 【拓广应用】 （2）计算：． 【变式题8-2】．（2024-2025•利通区校级月考）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：|7+8|＝7+8，|5﹣7|＝﹣（5﹣7）＝7﹣5，|7﹣4|＝7﹣4． （1）【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． |3﹣10|＝　 　 ；　 　 ； （2）【拓展延伸】 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•东海县校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|5﹣12|＝　 　 ； ②|3.5﹣7|＝　 　 ； ③　 　 ； ④　 　 ． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：　 　 ． （3）简便的方法计算：． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 2．下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（　　） 微信转账 +80 如意水果店 ﹣75 微信红包 +36 便民菜场 ﹣18 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝﹣14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 4．潜水艇停在海平面以下800m处，先上浮150m，又下潜200m，则此时潜水艇的位置是在（　　） A．海平面以下850m处 B．海平面以下﹣850m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 5．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动5个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣7 B．5+2＝7 C．5﹣2＝3 D．﹣5+2＝﹣3 二．填空题（共5小题） 6．将式子（﹣25）+（﹣7）﹣（﹣15）+（﹣11）﹣（+2）写成省略加号的和的形式 　 　 ． 7．到2026年，我国人工智能产业将新制订50项以上国家标准和行业标准，以推动人工智能产业高质量发展的标准体系加快形成．某批人工智能零件的标准质量为270g，偏差为±10g．现从中选取八个零件进行检测，则它们的质量最多相差 　 　 g． 8．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　 　 ． 9．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 　 　 ． 10．　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．计算：． 12．计算： （1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）； （2）； （3）； （4）． 13．已知a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c的绝对值是2，求a﹣b+c的值． 14．有10袋大米，以每袋25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下（单位：kg）：+0.5，+0.3，0，﹣0.2，﹣0.3，+1.1，﹣0.7，﹣0.2，+0.6，+0.7． （1）10袋大米共超过（或不足）多少千克？ （2）10袋大米共多少千克？ 15．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下（单位：km）：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+1，﹣6． （1）收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？ （2）若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程． 16．七年级（3）班同学李亮在一次班级运动会上参加三级跳远比赛，共跳了5次，他第一次跳了6m，第二次比第一次多跳0.1m，第三次比第二次少跳0.3m，第四次比第三次多跳0.5m，第五次比第四次少跳了0.4m．他那一次跳得最远？成绩是多少？ 17．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： （1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是　 　 ．（直接写出最终结果） （2）若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是12，则x的值为　 　 ． （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 18．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“+”，不足10万辆的部分记为“﹣”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆 +3.5 +6.0 ﹣0.8 +2.2 ﹣1.7 ﹣2.2 +1.2 （1）该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ （2）小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电0.16千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有60%的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余20%时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.8有理数的加减混合运算 【题型1】加减法统一成加法的形式转化与读法 1.核心知识点总结 依据有理数减法法则（），将加减混合运算统一为加法； 可写成省略加号的代数和形式（如），保留性质符号； 两种读法：代数和读（“负5、负3、正4的和”）或运算读（“负5减3加4”）。 2.高频考点梳理 加减混合算式转化为省略加号的代数和； 算式的正确读法判断； 实际变化量（温度、行程）转化为加减算式再统一加法。 3.易错点警示 转化时漏符号（如误写为）； 混淆性质符号与运算符号（如误读为“负5加3”）。 4.解题技巧拆解 两步转化：先将减法转加法，再省略括号和前“”； 反向验证：转化后还原原式，确认正确性。 【例题1】．（2024-2025•秦安县开学）（﹣20）+（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式为　﹣20+3﹣5+1　 ． 【答案】﹣20+3﹣5+1． 【分析】括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号外面是负号去掉括号，则括号里面的各项要变号，． 【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）写成省略括号的和的形式为： ﹣20+3﹣5+1， 故答案为：﹣20+3﹣5+1． 【点评】考查了有理数的加减混合运算，即括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“﹣”号时，将括号连同它前边的“﹣”去掉，括号内各项都要变号． 【变式题1-1】．（2024-2025•肇源县期中）把﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）写成省略加号和括号的形式后的式子是（　　） A．﹣6﹣7+2﹣9 B．﹣6+7﹣2﹣9 C．﹣6﹣7﹣2+9 D．﹣6+7﹣2+9 【答案】C 【分析】根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以将题目中的式子写成省略加号和的形式，本题得以解决． 【解答】解：﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） ＝﹣6﹣7﹣2+9， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法． 【变式题1-2】．（2025秋•襄城区校级月考）计算： （1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）8；（2）6；（3）6；（4）． 【分析】（1）先去括号，再计算加减即可； （2）先将分数转化为小数，再去括号，最后计算加减即可； （3）先去括号，再计算加减即可； （4）先去括号，并计算绝对值，再通分，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣12﹣5﹣14+39 ＝8； （2）原式＝（﹣0.5）﹣（﹣3.25）+3.75﹣（+0.5） ＝﹣0.5+3.25+3.75﹣0.5 ＝6； （3）原式 ＝6； （4）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•肇源县期中）计算： （1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13； （2）； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4）； （4）（）（﹣0.5）+（）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算； （3）先进行绝对值运算，再进行加减法运算； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算． 【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 ＝﹣20+（﹣14）+（﹣13）+18 ＝﹣47+18 ＝﹣29； （2） ＝﹣6+1 ＝﹣5； （3）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4） ＝﹣3+（﹣5）+（﹣6）+4 ＝﹣14+4 ＝﹣10； （4）（）（﹣0.5）+（） ＝﹣2.5+（﹣0.5）+（） ＝﹣3+2 ＝﹣1． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． 【题型2】加法运算律的基础应用 1.核心知识点总结 加法交换律：（交换时带性质符号）； 加法结合律：，优先结合同号、同分母或小数。 2.高频考点梳理 用运算律简化整数/小数加减； 带分数分整数、分数部分分别结合； 优先结合互为相反数（和为0）的数。 3.易错点警示 交换加数漏带符号（如误变为）； 同分母结合通分错误（如误算为）。 4.解题技巧拆解 标记分组：标注待结合的数（如正数标“↑”）； 分步计算：先算每组和，再汇总（正数和+负数和）。 【例题2】．（2024-2025•迁安市期末）如图，是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（　　） A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】根据有理数的加法交换律：a+b＝b+a与有理数的加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）作答． 【解答】解：由有理数的加法交换律：a+b＝b+a可知， ①中使用的是加法交换律． 由有理数的加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）可知， ②中使用的加法结合律． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数加法交换律与结合律的正确辨别，明确这两种运算律的区别是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•裕华区期末）小明同学在解题时，将式子变成]后再进行计算，该同学运用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】根据加法的结合律和交换律的定义解答即可． 【解答】解：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：C． 【点评】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•德惠市期中）下列运用加法交换律正确的是（　　） A．﹣3﹣8+9﹣11＝﹣3﹣8+11﹣9 B．﹣3+8﹣9﹣11＝﹣11+3+8﹣9 C．﹣8+5﹣2+13＝﹣8﹣2+5+13 D．﹣8+5﹣2﹣13＝﹣8+5+2﹣13 【答案】C 【分析】利用加法交换律变形后，即可作出判断． 【解答】解：A、﹣3﹣8+9﹣11＝﹣3﹣8﹣11+9，本选项错误； B、﹣3+8﹣9﹣11＝﹣11﹣3+8﹣9，本选项错误； C、﹣8+5﹣2+13＝﹣8﹣2+5+13，本选项正确； D、﹣8+5﹣2﹣13＝﹣8﹣2﹣13+5，本选项错误， 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律是解本题的关键． 【变式题2-3】．运用交换律和结合律计算： （1）3﹣10+7＝3 　+　 7 　﹣　 10＝　0　 ； （2）﹣6+12﹣3﹣5＝　﹣　 6 　﹣　 3 　﹣　 5 　+　 12＝　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】原式利用加法交换律与结合律变形即可． 【解答】解：（1）3﹣10+7＝3+7﹣10＝0； （2）﹣6+12﹣3﹣5＝﹣6﹣3﹣5+12＝﹣2， 故答案为：（1）+，﹣，0；（2）﹣，﹣，﹣，+，﹣2 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型3】凑整法在加减混合运算中的基础应用 1.核心知识点总结 依据加法结合律，将和为整数/易算值（如10、0.5、1）的数结合； 常见类型：整数凑整（）、小数凑整（）、分数凑整（）。 2.高频考点梳理 直接凑整计算（如与凑整为）； 实际问题中凑整（产量、里程接近整十/百的数）。 3.易错点警示 凑整时符号错（如误算为）； 漏加未凑整的项（如凑整后漏加两组和）。 4.解题技巧拆解 找“凑整搭档”：优先标记和为0或10的数； 用添括号法则：括号前“”时，括号内符号全变（如）。 【例题3】．（2024-2025•江汉区月考）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，同分母的结合． 【解答】解：（）+（）． 故选：D． 【点评】本题考查有理数的加减法混合云，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到题目的特征是解决问题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•永年区期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲：11+（﹣14）+19﹣（﹣6）＝11+19+[（﹣14）+（﹣6）]＝10 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 【解答】解：甲：11+（﹣14）+19﹣（﹣6） ＝11+19+[（﹣14）+6] ＝30﹣8 ＝22， 乙：原式＝（）+（）+（） ＝[（）+（）]+（） ＝（﹣1）+（） ， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•薛城区月考）计算（能使用简便方法的使用简便方法）： （1）﹣20﹣（﹣15）+（﹣12）﹣（+5）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣22；（2）﹣2；（3）0；（4）﹣18． 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再将式子变形为，计算即可得到答案； （3）将式子变形为，进行计算即可得到答案； （4）将式子变形为，进行计算即可得到答案． 【解答】解：原式＝﹣20+15﹣12﹣5 ＝﹣22； （2）原式 ＝﹣9+7 ＝﹣2； （3）原式 ＝10﹣9﹣1 ＝0； （4）原式 ＝﹣21+3 ＝﹣18． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•龙潭区校级月考）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … （1）计算过程中，第一步变形的依据是　有理数的减法法则　 ，从第　二　 步开始出现错误； （2）为了计算简便，第二步和第三步分别应用了　加法交换律，加法结合律　 （填数学定律）； （3）请将正确解答过程补充完整． 【答案】（1）有理数的减法法则，二； （2）加法交换律，加法结合律； （3）原式（第一步） （第二步） （第三步） ＝﹣5+0 ＝﹣5． 【分析】（1）利用有理数的减法法则即可得出结果； （2）利用加法交换律和加法结合律即可得出结果； （3）利用有理数的加减运算法则和加法运算律进行计算即可． 【解答】解：（1）第一步变形的依据是有理数的减法法则，从第二步开始出现错误，因为移动﹣1.6时未移动负号， 故答案为：有理数的减法法则，二； （2）第二步应用了加法交换律，第三步应用了加法结合律， 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）原式（第一步） （第二步） （第三步） ＝﹣5+0 ＝﹣5． 【点评】本题主要考查了有理数的加减法运算，加法交换律，加法结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则． 【题型4】拆项法在带分数加减中的应用（提升） 1.核心知识点总结 拆项原理：带分数拆为“整数+真分数”（负带分数拆“负整数+负分数”）； 适用场景：带分数多且分母相同/易通分的运算。 2.高频考点梳理 纯带分数加减拆项； 带分数与整数/小数混合拆项（整数、小数分别结合）。 3.易错点警示 负带分数拆项漏负号（如误拆为）； 分数部分通分错误（如误算为）。 4.解题技巧拆解 步骤：拆项→分组（整数组、分数组）→算组和→汇总； 验证：拆项后总和与原带分数一致。 【例题4】．（2024-2025•界首市期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式． 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣5； （2）原式＝（2024）+（﹣1890）+（1008）+（﹣1142） ＝（2024﹣1890+1008﹣1142）+（） ＝0 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•济南校级月考）例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】． 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加法混合运算，掌握有理数的加法混合运算法则是解题关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•祁阳市校级期中）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（﹣4）+（+8）+（﹣3）． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用题干中的拆项法将式子变形后，利用加法的运算律解答即可． 【解答】解：原式＝[（﹣4）+（）]+[（+8）+（）]+[（﹣3）+（）] ＝﹣483 ＝（﹣4+8﹣3）+（） ＝1+（） ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，本题是阅读型题目，正确理解并熟练应用拆项法解答是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•新郑市月考）漯河某初中数学小组学完有理数加减后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小丽：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式， 我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小明：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ． 任务： （1）小明的解题过程中，A，B，C处依次代表的数据是　0　 、　　 、　　 ； （2）按小明的方法计算． 【答案】（1）0，，； （2）． 【分析】（1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程，求解即可． 【解答】解：（1）原式 ， 故答案为：0，，； （2） ． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． 【题型5】有理数加减混合与24点的运算（提升） 1.核心知识点总结 24点运算规则：用给定的4个有理数（通常为1-13的整数或简单负有理数），通过加减混合运算（可结合基础乘除）组合，每个数仅用1次，最终结果为24； 核心思路：围绕“凑目标因数”（如3×8、4×6、12×2、24-0等），用有理数加减将给定数字转化为目标因数。 2.高频考点梳理 4个正整数的24点加减（含简单乘除）组合（如用3、4、5、8凑24：3×8+(5-4)=24）； 含负有理数的24点运算（如用-3、4、5、7凑24：4×5-(-3)+7=24）； 结合凑整思想的24点（如用2、5、7、8凑24：(2+5)+7+8=24）。 3.易错点警示 数字使用错误：重复使用或遗漏给定数字（如4个数只用3个凑24）； 负号处理失误：含负有理数时，误忽略负号（如-3误作3，导致结果偏差）； 思路局限：仅依赖加减，未结合简单乘除（如3、4、6、2，忽略3×4+6+2=24）。 4.解题技巧拆解 凑数法：优先瞄准“3×8、4×6”等常见目标，用加减将数字凑成对应因数（如用5、7、8、9：9-5=4，7+8=15，4+15+5？错，修正为9-7=2，5+8=13，2×13-2？不对，正确：(9-5)×(8-7)+24？不，正确：(5+7)×(9-8)×2？哦给定数字是5、7、8、9的话：(9-5+8)×7？不对，正确：(5+7-9)×8=24）； 逆推法：从24反向拆（如24=18+6，再用给定数字凑18和6）； 负有理数技巧：用“负负得正”凑正数因数（如-4、-6、2、1：(-4)×(-6)+2-1=24）。 【例题5】．（2024-2025•滨海县校级开学）“算24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以用括号）连起来，使得运算的结果为24，每个数字只能用一次．请你用“6，6，6，10”这四个数字“算24点”列出的算式是　10×6﹣6×6（答案不唯一）　 ． 【答案】10×6﹣6×6．（答案不唯一） 【分析】利用运算符号将四个数连接，结果为24即可． 【解答】解：根据题意得，10×6﹣6×6＝60﹣36＝24． ∴用“6，6，6，10”这四个数字“算24点”列出的算式是10×6﹣6×6． 故答案为：10×6﹣6×6．（答案不唯一） 【点评】此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是掌握整数的四则混合运算． 【变式题5-1】．（2024-2025•惠城区一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中A＝1，J＝11，Q＝12，K＝13．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为（9﹣7）×11+2＝24．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：　（9﹣3）×2+12＝24　 ． 【答案】（9﹣3）×2+12＝24 【分析】根据题意列式求解即可． 【解答】解：∵抽出的牌是2、3、9、Q， ∴（9﹣3）×2+12＝24． 故答案为：（9﹣3）×2+12＝24． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•禅城区期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的4张牌，写出一个符合规则的算式：　（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24　 ． 【答案】（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24． 【分析】根据有理数的混合运算法则进行解答即可． 【解答】解：（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24， 故答案为：（﹣9+7）×4×（﹣3）＝24． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来解答． 【变式题5-3】．（2024-2025•成都期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是±24的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 　（1+2）×23（本题答案不唯一）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，写出一个结果是24的算式即可，答案不唯一． 【解答】解：（1+2）×23＝24， 故答案为：（1+2）×23（本题答案不唯一）． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型6】有理数加减混合的复杂实际应用(提升) 1.核心知识点总结 正负设定：定正方向(上升为正)，相反为负； 核心公式：①最终状态=初始值+变化量和；②总路程=变化量绝对值和。 2.高频考点梳理 行程问题：求最终位置(和)与总耗油量(绝对值和×单位油耗)； 产量/客流量问题：求总产量与最大变化差； 温度/高度问题：求最终温度/高度。 3.易错点警示 正负设定混乱(如“减产-5辆”误为“减产5辆”)； 混淆“和”与“绝对值和”(求耗油量代变化量和)。 4.解题技巧拆解 四步：定正负→列算式→算结果→验意义； 复杂问题：用表格整理变化量，防漏项。 【例题6】．（2024-2025•香洲区校级开学）有10袋大米，以每袋25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下（单位：kg）：+0.5，+0.3，0，﹣0.2，﹣0.3，+1.1，﹣0.7，﹣0.2，+0.6，+0.7． （1）10袋大米共超过（或不足）多少千克？ （2）10袋大米共多少千克？ 【答案】（1）10袋大米共超过1.8千克； （2）10袋大米共251.8千克． 【分析】（1）将题目中的数据相加，然后观察结果即可解答本题； （2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出10袋大米共多少千克． 【解答】解：（1）0.5+0.3+0+（﹣0.2）+（﹣0.3）+1.1+（﹣0.7）+（﹣0.2）+0.6+0.7＝1.8（千克）， 即10袋大米共超过1.8千克； （2）25×10+1.8 ＝250+1.8 ＝251.8（千克）， 即10袋大米共251.8千克． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•定州市期末）在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行情况记录如下（单位：千米）：10，﹣9，﹣5，+7，﹣11，+2，﹣10，+6． （1）B地在A地哪个方向，距离为多少？ （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，出发时油箱有油25升，求途中至少还需补充多少升油？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可； （2）求出总路程，乘以油耗减去原来的油量即可． 【解答】解：（1）10﹣9﹣5+7﹣11+2﹣10+6＝﹣10； ∴B地在A地的西面，距离10千米处； （2）（10+9+5+7+11+2+10+6）×0.5﹣25＝5（升）． 答：至少还需补充5升油． 【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加减运算，注意不论向哪行驶都耗油． 【变式题6-2】．（2024-2025•邻水县期末）近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“+”，不足10万辆的部分记为“﹣”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆 +3.5 +6.0 ﹣0.8 +2.2 ﹣1.7 ﹣2.2 +1.2 （1）该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ （2）小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电0.16千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有60%的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余20%时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】（1）78.2万辆；（2）130km． 【分析】（1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出40%的电量的里程即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，该汽车生产厂家这七个月一共销售的新能源汽车数量为： 10×7+（+3.5+6.0﹣0.8+2.2﹣1.7﹣2.2+1.2） ＝70+8.2 ＝78.2（万辆）， 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了78.2万辆新能源汽车； （2）52×（60%﹣20%）÷0.16 ＝52×40%÷0.16 ＝52×0.4÷0.16 ＝130（km）， 答：该汽车充电前还能行驶130km． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•安阳期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）．已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）“■”处的数为 　+5　 ，“●”处的数为 　﹣6　 ； （2）若该新能源汽车每行驶1km耗电量为0.2度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． （3）已知王老师这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的20%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了45km，第六天行驶了34km，然后根据以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再根据1km耗电量和每度电的电费，计算即可求解； （3）结合新能源纯电汽车7天行驶的总路程，再求出用电量剩余15%时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【解答】解：（1）由题意可得第三天行驶了45km，第六天行驶了34km， ∴第三天处的数为+5，第六天处记录的数为﹣6， 故答案为：+5；﹣6； （2）﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7＝7（km）， 40×7+7＝287（km）， 287×0.2×0.5＝28.7（元）， 即王老师这一星期开新能源汽车的电费为28.7元； （3）350﹣350×20%＝350﹣70＝280（km）， ∵280＜287， ∴行车电脑会发出充电提示． 【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意，列出正确的算式． 【题型7】新定义运算与加减混合的结合(培优) 1.核心知识点总结 新定义规则：自定义符号(如“※”)或图形，明确运算公式； 解题核心：转化为常规加减混合运算。 2.高频考点梳理 直接代入新定义计算； 新定义与数轴/绝对值结合； 图形类新定义(如图形表)。 3.易错点警示 误解新定义规则(括号位置错)； 代入时漏符号(如误代为1)。 4.解题技巧拆解 三步：译规则→代数值→算结果； 多层运算：先算内层，再算外层。 【例题7】．（2024-2025•茂名期末）在生活中为表达简单化，经常将六时五十八分说成差二分七时．基于这种想法，定义以下一种记数法：如8写成110﹣2；199写成20200﹣1；8765写成15＝10000﹣1240+5．即数字上画一横线表示减去它对应的数，则按这种方法可将　2889　 写成3． 【答案】2889． 【分析】根据新定义列出，计算可得答案． 【解答】解：∵8写成110﹣2；199写成20200﹣1；8765写成15＝10000﹣1240+5 ∴， ∴按这种方法可将2889写成． 故答案为：2889． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意掌握新定义并熟练加以运用． 【变式题7-1】．（2024-2025•科左中旗期中）我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为　﹣3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先认真读题，再根据列出算式，最后根据有理数的加法法则进行计算即可． 【解答】解：+ ＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7） ＝2﹣3+4﹣5+6﹣7 ＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了有理数的加减法则的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键，主要考查了学生的理解能力和计算能力． 【变式题7-2】．（2024-2025•湘阴县月考）观察下列两个等式，3+2＝3×2﹣1，41，给出定义如下： 我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），都是“金桥有理数对”． （1）数对（﹣2，1），中是“金桥有理数对”的是 　　 ； （2）若（a，﹣3）是“金桥有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“金桥有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　一定不是　 “金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 【答案】（1）；（2）；（3）一定不是． 【分析】（1）根据“金桥有理数对”的定义即可判断； （2）根据“金桥有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“金桥有理数对”的定义即可判断． 【解答】解：（1）﹣2+1＝﹣1，﹣2×1﹣1＝﹣3， ∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1， ∴（﹣2，1）不是“金桥有理数对”； ∵， ∴， ∴中是“金桥有理数对”． 故答案为：； （2）∵（a，﹣3）是“金桥有理数对”， ∴a+（﹣3）＝﹣3a﹣1， 解得：； （3）一定不是， 理由：﹣n+（﹣m）＝﹣n﹣m， ﹣n•（﹣m）﹣1＝mn﹣1， ∵（m，n）是“金桥有理数对”， ∴m+n＝mn﹣1， ∴﹣n﹣m＝﹣（mn﹣1）＝﹣（﹣n）×（﹣m）+1＝﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]， ∴（﹣n，﹣m）一定不是“金桥有理数对”． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•通州区校级月考）观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，，给出定义如下：我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“成达数对”，记为（a，b），如：数对（3，2）、都是“成达数对”． （1）数对（﹣2，1）、中是“成达数对”的是 　　 ； （2）若（a，3）是“成达数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“成达数对”，则（﹣m，﹣n） 　不是　 “成达数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）； （4）请再写出一对符合条件的“成达数对”．（不能与题目中已有的数对重复） 【答案】（1）； （2）a＝2； （3）不是； （4）是“成达数对”，（答案不唯一）． 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据新定义计算进而即可求解．， （4）根据题意，取m＝6代入m+n＝mn﹣1，解方程即可求解． 【解答】解：（1）∵﹣2+1≠﹣2×1﹣1， ∴（﹣2，1）不是“成达数对”， ∵， ∴是“成达数对”； 故答案为：； （2）∵（a，3）是“成达数对”， ∴a+3＝3a﹣1， 解得a＝2； （3）不是，理由如下： ∵（m，n）是“成达数对”， ∴m+n＝mn﹣1， 由条件可知（﹣m）+（﹣n）≠（﹣m）（﹣n）﹣1， ∴（﹣m，﹣n）不是“成达数对”； 故答案为：不是； （4）答案不唯一， 由条件可知m、n满足m+n＝mn﹣1， 取m＝6，则6+n＝6n﹣1，解得， ∴是“成达数对”． 【点评】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，一元一次方程，整式的运算，理解新定义是解题的关键． 【题型8】有理数加减混合的规律探究与证明(培优) 1.核心知识点总结 规律类型：符号、数值、和的规律； 探究方法：算前3-5项→总结规律→验证第n项。 2.高频考点梳理 数列和的规律(如）； 实际变化规律（如小虫爬行周期）； 自定义数列规律（如“差数操作”）。 3.易错点警示 规律总结片面（漏符号规律）； 验证不充分（仅用前2项）。 4.解题技巧拆解 三步：算前项→找共性→猜公式→验证； 证明：用“n=1、k、k+1”验证或加减推导。 【例题8】．（2024-2025•沈丘县校级月考）在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．根据上述规律，计算：||+||+||+…+||＝　　 ． 【答案】． 【分析】先根据题意先将式子进行变形，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：||+||+||+…+|| ＝||+||+||+⋯+|| ⋯ ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•乾县校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|7﹣21|＝　21﹣7　 ； ②　　 ． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）①21﹣7，②； （2）． 【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案． 【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7； ②； 故答案为：①21﹣7；②； （2） ． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加减法则． 【变式题8-2】．（2024-2025•利通区校级月考）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：|7+8|＝7+8，|5﹣7|＝﹣（5﹣7）＝7﹣5，|7﹣4|＝7﹣4． （1）【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． |3﹣10|＝　10﹣3　 ；　　 ； （2）【拓展延伸】 ． 【答案】（1）10﹣3；； （2）． 【分析】（1）根据进行化简绝对值即可； （2）先根据化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【解答】解：（1）|3﹣10|＝﹣（3﹣10）＝10﹣3； ； 故答案为：10﹣3；； （2） ． 【点评】本题主要考查了相反数、绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 【变式题8-3】．（2024-2025•东海县校级月考）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7，|6﹣7|＝7﹣6，|7﹣6|＝7﹣6，|﹣6﹣7|＝6+7． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①|5﹣12|＝　12﹣5　 ； ②|3.5﹣7|＝　7﹣3.5　 ； ③　　 ； ④　　 ． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：　　 ． （3）简便的方法计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①②③④根据题目可得规律当a＞0，b＞0时，|a+b|＝a+b；当a≥b时|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案； （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为0可得答案． 【解答】解：（1）由题目运算可得：当a＞0，b＞0时，|a+b|＝a+b；当a≥b时|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a； ①∵5＜12， ∴|5﹣12|＝12﹣5； ②∵3.5＜7， ∴|3.5﹣7|＝7﹣3.5； ③∵， ∴； ④∵， ∴； 故答案为：12﹣5；7﹣3.5；；； （2）， 故答案为：． （3） ． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C A B A D 一．选择题（共5小题） 1．把6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）写成省略加号的和得形式为（　　） A．6﹣4+7+3 B．6+4﹣7﹣3 C．6﹣4+7﹣3 D．6﹣4﹣7+3 【答案】C 【分析】根据省略括号的法则：奇数个负号省略成负号，偶数个负号省略成正号写出即可． 【解答】解：6﹣（+4）﹣（﹣7）+（﹣3）＝6﹣4+7﹣3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算中省略括号的写法，熟练掌握省略的法则是解题的关键． 2．下表是小明的妈妈元旦当天的微信零钱收支明细（单位/元）：观察表格信息，可知小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比（　　） 微信转账 +80 如意水果店 ﹣75 微信红包 +36 便民菜场 ﹣18 A．多了23元 B．少了23元 C．多了116元 D．少了95元 【答案】A 【分析】将表格中的数据相加后，根据和的情况进行判断即可． 【解答】解：+代表收入，﹣代表支出，全部相加后的结果说明跟前一天的差别， +80﹣75+36﹣18＝+23（元）； 故小明的妈妈元旦当晚微信零钱余额和前一天相比多了23元； 故选：A． 【点评】本题考查正负数的应用，有理数加法的应用，解题的关键是正确列式计算． 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝﹣14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【答案】B 【分析】根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可． 【解答】解：6个小棍正放表示6，8个小棍斜放表示﹣8， 因此图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的加减运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 4．潜水艇停在海平面以下800m处，先上浮150m，又下潜200m，则此时潜水艇的位置是在（　　） A．海平面以下850m处 B．海平面以下﹣850m处 C．海平面以上850m处 D．海平面以上800m处 【答案】A 【分析】设海平面以下800m处记作﹣800m，根据题意，得﹣800+150﹣200＝﹣850m即海平面以下850m处，解答即可． 【解答】解：根据题意，得﹣800+150﹣200＝﹣850（m）， 故位于海平面以下850m处． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 5．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动5个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．﹣5﹣2＝﹣7 B．5+2＝7 C．5﹣2＝3 D．﹣5+2＝﹣3 【答案】D 【分析】根据数轴上，向左是减，向右是加，由此即可求解． 【解答】解：根据题意可知，用算式表示上述过程与结果为﹣5+2＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，数轴，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 二．填空题（共5小题） 6．将式子（﹣25）+（﹣7）﹣（﹣15）+（﹣11）﹣（+2）写成省略加号的和的形式 　﹣25﹣7+15﹣11﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果． 【解答】解：（﹣25）+（﹣7）﹣（﹣15）+（﹣11）﹣（+2） ＝﹣25﹣7+15﹣11﹣2． 故答案为：﹣25﹣7+15﹣11﹣2． 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 7．到2026年，我国人工智能产业将新制订50项以上国家标准和行业标准，以推动人工智能产业高质量发展的标准体系加快形成．某批人工智能零件的标准质量为270g，偏差为±10g．现从中选取八个零件进行检测，则它们的质量最多相差 　20　 g． 【答案】20． 【分析】根据规定人工智能零件的标准质量得到标准质量范围，再进行计算即可． 【解答】解：根据题意可知，人工智能零件的质量的最小值为：270﹣10＝260（g）， 人工智能零件的质量的最大值为：270+10＝280（g）， ∴它们的质量最多相差为：280﹣260＝20（g）． 故答案为：20． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 8．规定图形表示运算a﹣b+c，图形表示运算x+z﹣y﹣w，则+＝ 　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据题意列式求解即可． 【解答】解：原式＝（1﹣2+3）+（4+7﹣6﹣5） ＝1﹣2+3+4+7﹣6﹣5 ＝2+0 ＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 9．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是 　1　 ． 【答案】1． 【分析】先求得国表示的数，再求得中表示的数，然后求得梦表示的数，最后将它们相加即可． 【解答】解：﹣2﹣1+0＝﹣3， 那么国表示的数是﹣3+5+1＝3， 中表示的数是﹣3+2﹣3＝﹣4， 梦表示的数是﹣3+4+1＝2， 则3﹣4+2＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 10．　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】按运算顺序，把前两项相加，再将所得结果与第三项相加，再按从左到右依次相加即可． 【解答】解：原式33557799 ＝2 ＝2 ＝2 ． 【点评】本题考查了有理数的加法运算，难度较大，找出规律是解答本题的关键． 三．解答题（共8小题） 11．计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的加减混合运算的法则计算即可． 【解答】解： ＝1 ＝1 ＝1 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，熟记法则是解题的关键． 12．计算： （1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）8；（2）6；（3）6；（4）． 【分析】（1）先去括号，再计算加减即可； （2）先将分数转化为小数，再去括号，最后计算加减即可； （3）先去括号，再计算加减即可； （4）先去括号，并计算绝对值，再通分，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣12﹣5﹣14+39 ＝8； （2）原式＝（﹣0.5）﹣（﹣3.25）+3.75﹣（+0.5） ＝﹣0.5+3.25+3.75﹣0.5 ＝6； （3）原式 ＝6； （4）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 13．已知a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c的绝对值是2，求a﹣b+c的值． 【答案】3或﹣1． 【分析】根据绝对值的性质及负整数的意义得到a，b，c的值，代入计算即可 【解答】解：根据题意可知，a＝0，b＝﹣1，c＝±2， 当c＝2时，a﹣b+c＝0﹣（﹣1）+2＝3， 当c＝﹣2时，a﹣b+c＝0﹣（﹣1）+（﹣2）＝﹣1， 综上，a﹣b+c的值为3或﹣1． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 14．有10袋大米，以每袋25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下（单位：kg）：+0.5，+0.3，0，﹣0.2，﹣0.3，+1.1，﹣0.7，﹣0.2，+0.6，+0.7． （1）10袋大米共超过（或不足）多少千克？ （2）10袋大米共多少千克？ 【答案】（1）10袋大米共超过1.8千克； （2）10袋大米共251.8千克． 【分析】（1）将题目中的数据相加，然后观察结果即可解答本题； （2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出10袋大米共多少千克． 【解答】解：（1）0.5+0.3+0+（﹣0.2）+（﹣0.3）+1.1+（﹣0.7）+（﹣0.2）+0.6+0.7＝1.8（千克）， 即10袋大米共超过1.8千克； （2）25×10+1.8 ＝250+1.8 ＝251.8（千克）， 即10袋大米共251.8千克． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 15．某检修小队在东西走向的公路上进行电路检修，约定向东为正，小队从A地出发到收工时，记录如下（单位：km）：﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+1，﹣6． （1）收工时，小队在A地的什么方向？距离A地多远？ （2）若小队从A地出发，检修结束后直接回到A地，求该小队当天行走的总路程． 【答案】（1）收工时，小队在A地正东方，距离A地2km；（2）该小队当天行走的总路程为32km 【分析】（1）将从A地出发到收工时行走记录相加，根据计算的结果和题中规定的正方向即可确定出检修小队在A地的哪一边以及距离A地的距离； （2）把记录的数的绝对值相加，再加上收工后从终点返回A地的路程，求出总路程即可． 【解答】解：（1）﹣2+5+（﹣1）+10+（﹣3）+（﹣2）+1+（﹣6） ＝﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2+1﹣6 ＝+2， 故收工时，小队在A地正东方，距离A地2km； （2）|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+1+|﹣6|+2 ＝2+5+1+10+3+2+1+6 ＝32， 答：该小队当天行走的总路程为32km． 【点评】本题考查了正数和负数、有理数的加减运算，绝对值的意义，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． 16．七年级（3）班同学李亮在一次班级运动会上参加三级跳远比赛，共跳了5次，他第一次跳了6m，第二次比第一次多跳0.1m，第三次比第二次少跳0.3m，第四次比第三次多跳0.5m，第五次比第四次少跳了0.4m．他那一次跳得最远？成绩是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】相当于前一次，多跳加，少跳减，分别计算每一次的距离，再作回答． 【解答】解：第一次跳了6m； 第二次跳了6+0.1＝6.1m； 第三次跳了6.1﹣0.3＝5.8m； 第四次跳了5.8+0.5＝6.3m， 第五次跳了6.3﹣0.4＝5.9m， 故第四跳最远，成绩为6.3m． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，需要根据题意，列出算式． 17．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示． 根据以上阅读材料探索下列问题： （1）数轴上表示4和8的两点之间的距离是　4　 ；数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是　9　 ．（直接写出最终结果） （2）若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是12，则x的值为　10或﹣14；　 ． （3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）4；9；（2）10或﹣14；（3）|x+1|+|x﹣3|有最小值，最小值为4． 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可； （3）由于所给式子表示x到﹣1和3的距离之和，当x在﹣1和3之间时和最小，故只需求出﹣1和3的距离即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，因为数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用|4﹣（﹣3）|表示， 所以数轴上表示4和8的两点之间的距离是|8﹣4|＝4，数轴上表示3和﹣6的两点之间的距离是|3﹣（﹣6）|＝9． 故答案为：4；9； （2）根据题意，得：|x﹣（﹣2）|＝12， ∴|x+2|＝12， ∴x+2＝﹣12或x+2＝12， 解得：x＝﹣14或x＝10， 故答案为：10或﹣14； （3）∵|x+1|+|x﹣3|表示x到﹣1和3的距离之和， ∴当x在﹣1和3之间时距离和最小，最小值为|﹣1﹣3|＝4， 故|x+1|+|x﹣3|有最小值，最小值为4． 【点评】本题考查数轴上两点之间的距离，有理数的加减混合运算，绝对值，掌握数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键． 18．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“+”，不足10万辆的部分记为“﹣”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆 +3.5 +6.0 ﹣0.8 +2.2 ﹣1.7 ﹣2.2 +1.2 （1）该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ （2）小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电0.16千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有60%的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余20%时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】（1）78.2万辆；（2）130km． 【分析】（1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出40%的电量的里程即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，该汽车生产厂家这七个月一共销售的新能源汽车数量为： 10×7+（+3.5+6.0﹣0.8+2.2﹣1.7﹣2.2+1.2） ＝70+8.2 ＝78.2（万辆）， 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了78.2万辆新能源汽车； （2）52×（60%﹣20%）÷0.16 ＝52×40%÷0.16 ＝52×0.4÷0.16 ＝130（km）， 答：该汽车充电前还能行驶130km． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，掌握相应的运算法则是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $