专题03等腰三角形（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03 等腰（边）三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称图形的识别 掌握轴对称图形的定义，学会识别常见轴对称图形及对称轴数量。 基础题，选择 / 填空为主，难度低，易因忽略 “完全重合” 条件或漏数对称轴出错。 轴对称的性质 掌握轴对称的性质，学会利用性质找对称点、补全轴对称图形。 高频基础题，常考 “找对称点坐标”，易因 “垂直平分” 理解不深出错。 轴对称与折叠问题 掌握折叠问题的本质，学会利用折叠性质列等式，求线段长度、角度。 中档题，常结合矩形、正方形折叠，易因折叠后对应关系找错出错。 等腰三角形的三线合一 掌握 “三线合一” 内容，学会利用 “三线合一” 证明线段相等、角相等或垂直。 高频考点，解答题证明 / 计算为主，易因忽略 “等腰三角形” 前提（非等腰三角形不适用）出错。 等腰三角形的等边对等角 掌握 “等边对等角” 性质，会利用该性质计算等腰三角形的内角。 基础题，常结合三角形内角和定理，易因混淆 “腰与底” 对应的角出错。 等腰三角形的定义 掌握等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形），学会识别等腰三角形，区分腰、底、顶角、底角。 基础题，多结合其他考点（如性质、判定）考查，难度低，易因腰和底区分错误影响后续计算。 等腰三角形的性质 掌握等腰三角形的核心性质，学会综合运用性质解决线段、角度问题。 高频基础题，贯穿选择、填空、解答题，是等腰三角形相关题目的核心，易因性质混淆（如与等边三角形性质混淆）出错。 等边三角形的性质 掌握等边三角形的性质，学会利用性质计算边长、角度。 中档题，易因忽略 “三角均为 60°” 或 “三边相等” 的特殊性出错。 等腰三角形的判定 掌握等腰三角形的判定方法（两边相等、等角对等边），学会根据已知条件（边或角）判定三角形是否为等腰三角形。 高频考点，解答题证明为主，易因 “等角对等边” 的条件（需在同一三角形内）忽略而出错。 等边三角形的判定 掌握等边三角形的判定方法（三边相等、三角均为 60°、有一个角为 60° 的等腰三角形），学会根据边或角的条件判定等边三角形。 中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，易因漏用 “有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形” 这一简便判定方法出错。 将军饮马问题 掌握将军饮马问题的解题思路，学会在直线上找一点，使该点到两定点距离和最小。 高频中档题，常结合三角形、四边形背景，易因找错对称点（如对称点找反）导致路径计算错误。 等腰三角形上最短路径问题 掌握等腰三角形中最短路径的求解方法，学会求等腰三角形内一点到各顶点 / 边的最短距离和。 中档偏难题，填空 / 解答题小问，易因未结合等腰三角形的对称性（如对称轴上的点到两腰距离相等）简化计算出错。 等腰三角形与全等三角形综合 掌握等腰三角形性质 / 判定与全等三角形判定的结合运用，学会通过证明全等推导等腰三角形的边 / 角关系，或反之。 高频解答题，拉分点之一，易因全等条件找错（如忽略等腰三角形的边 / 角等量关系）或证明逻辑混乱出错。 等边三角形与全等三角形综合 学会利用等边三角形的 “三边相等、三角 60°” 构造全等条件，解决证明、计算问题。 中档偏难题，解答题为主，常考 “构造等边三角形证明全等”，易因未利用 60° 角或等边的特殊性构造全等出错。 知识点01 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 知识点02 轴对称的性质 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点03 等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 知识点04 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点05 等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 知识点06 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 轴对称图形的识别 【典例1】（22-23八年级下·浙江·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下面四个图形中，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 题型二 轴对称图形的性质 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点B关于的对称点E恰好落在上．若，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，三个顶点都在小方格的顶点上，请在的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）      题型三 轴对称与折叠问题 【典例1】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 【变式1】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，交于点F，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线分别交边、于点、，将沿翻折，使点恰好与点重合．若，，则的周长是 ． 【变式3】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在，的位置上，与交于G点，若，则 ． 【变式4】（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 题型四 等腰三角形的三线合一 【典例1】如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示) 【变式3】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ． 【变式4】如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式5】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 题型五 等腰三角形的等边对等角 【典例1】如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 【变式3】如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若与的周长之差为，求的长． 【变式4】如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【变式5】（24-25八年级上·山东济宁·期中）在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 【变式6】如图，在中，高线和角平分线相交于点F．已知． (1)求证：； (2)求的度数． 题型六 等腰三角形的定义 【典例1】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（    ） A． B．或 C． D． 【变式1】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3】（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 度． 题型七 等腰三角形的性质 【典例1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点作于点，交于点，若为的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在中，是高，是中线，，是的中点．求证： (1)； (2)． 【变式2】如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：    (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是内两点，平分，，若，求的长． 题型八 等边三角形的性质 【典例1】如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【变式3】如图、都是等边三角形，点在延长线上．求证： (1)； (2)求的度数． 【变式4】如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 题型九 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.等角判定法（高频）： 已知 “两角相等”（如∠B=∠C），直接用 “等角对等边” 证 AB=AC，判定为等腰三角形； 2.三线逆用法： 若 “一个三角形中，一条线段既是中线又是高”（如 AD 是△ABC 的中线且 AD⊥BC），则 AB=AC，判定为等腰； 3.全等辅助法： 缺角相等时，作角平分线 / 高，证三角形全等（如作 AD 平分∠BAC，证△ABD≌△ACD），得 AB=AC。 【典例1】已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【变式1】如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 【变式3】如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【变式4】如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 题型十 等边三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.等腰 + 60° 法（高频）： 已知 “等腰三角形 + 一个角 = 60°”（无论顶角还是底角），直接判定为等边，如 AB=AC 且∠A=60°→AB=AC=BC； 2.三角相等法： 已知 “三个角都相等”（如∠A=∠B=∠C=60°），直接判定； 3.全等证边法： 已知 “一个三角形与等边三角形全等”（如△ABC≌△DEF，△DEF 是等边），则△ABC 是等边。 【典例1】如图，、均是的两边，的垂直平分线交的垂直平分线于点． (1)若的周长为，求的长． (2)若，求的度数． (3)若、是线段的三等分点（点在点的左侧），直接判断的形状． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【变式2】如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【变式4】如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 题型十一 将军饮马问题 解｜题｜技｜巧 两点一线模型： 目标：在直线 l 上找 P，使 PA+PB 最小； 步骤：①作 A 关于 l 的对称点 A'；②连 A'B，与 l 的交点即为 P；③PA+PB=A'B（最短）； 两点两线模型： 目标：在 l、m 上找 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小； 步骤：①作 A 关于 l 的对称点 A'，B 关于 m 的对称点 B'；②连 A'B'，交 l 于 P、交 m 于 Q；③PA+PQ+QB=A'B'； 【典例1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【变式1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小，此时 ； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【变式2】如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F； (3)请用尺规作图法在上找一点P，使的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法） 题型十二 等腰三角形上最短路径问题 【典例1】如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【变式3】如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． (1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； (2)连接，求为何值时，； (3)若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 题型十三 等腰三角形与全等三角形综合 【典例1】如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中，，点在上，连接，过作于，． (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【变式2】如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【变式3】如图，在等腰中，，为的中点． (1)如图1，若，，垂足分别为，，请你说明． (2)如图2，连接．若是上一点（点，除外），，，垂足分别为，，成立吗？请说明理由． (3)如图3，若（2）中，分别不垂直于，，要使，需添加什么条件？请在你添加的条件下说明． 题型十四 等边三角形全等三角形综合 【典例1】如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 【变式1】如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 【变式2】已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【变式3】综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列图形中，对称轴最多的是（   ） A．线段 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．同位角相等 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）“三等分角”被称为三个古希腊尺规作图三大难题之一．如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，且，点可在槽中滑动．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 6．（19-20八年级上·浙江温州·期中）等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个等腰三角形的周长为 ． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知正，，分别是，的中点，，，，相交于点，则 度． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)作出关于直线l的对称图形； (2)在直线l上找一点D，使最小． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A．8 B． C． D．6 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，都是等边三角形，则的度数是 ． 6．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则 ． 5．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      6．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 7．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 8．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰（边）三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称图形的识别 掌握轴对称图形的定义，学会识别常见轴对称图形及对称轴数量。 基础题，选择 / 填空为主，难度低，易因忽略 “完全重合” 条件或漏数对称轴出错。 轴对称的性质 掌握轴对称的性质，学会利用性质找对称点、补全轴对称图形。 高频基础题，常考 “找对称点坐标”，易因 “垂直平分” 理解不深出错。 轴对称与折叠问题 掌握折叠问题的本质，学会利用折叠性质列等式，求线段长度、角度。 中档题，常结合矩形、正方形折叠，易因折叠后对应关系找错出错。 等腰三角形的三线合一 掌握 “三线合一” 内容，学会利用 “三线合一” 证明线段相等、角相等或垂直。 高频考点，解答题证明 / 计算为主，易因忽略 “等腰三角形” 前提（非等腰三角形不适用）出错。 等腰三角形的等边对等角 掌握 “等边对等角” 性质，会利用该性质计算等腰三角形的内角。 基础题，常结合三角形内角和定理，易因混淆 “腰与底” 对应的角出错。 等腰三角形的定义 掌握等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形），学会识别等腰三角形，区分腰、底、顶角、底角。 基础题，多结合其他考点（如性质、判定）考查，难度低，易因腰和底区分错误影响后续计算。 等腰三角形的性质 掌握等腰三角形的核心性质，学会综合运用性质解决线段、角度问题。 高频基础题，贯穿选择、填空、解答题，是等腰三角形相关题目的核心，易因性质混淆（如与等边三角形性质混淆）出错。 等边三角形的性质 掌握等边三角形的性质，学会利用性质计算边长、角度。 中档题，易因忽略 “三角均为 60°” 或 “三边相等” 的特殊性出错。 等腰三角形的判定 掌握等腰三角形的判定方法（两边相等、等角对等边），学会根据已知条件（边或角）判定三角形是否为等腰三角形。 高频考点，解答题证明为主，易因 “等角对等边” 的条件（需在同一三角形内）忽略而出错。 等边三角形的判定 掌握等边三角形的判定方法（三边相等、三角均为 60°、有一个角为 60° 的等腰三角形），学会根据边或角的条件判定等边三角形。 中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，易因漏用 “有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形” 这一简便判定方法出错。 将军饮马问题 掌握将军饮马问题的解题思路，学会在直线上找一点，使该点到两定点距离和最小。 高频中档题，常结合三角形、四边形背景，易因找错对称点（如对称点找反）导致路径计算错误。 等腰三角形上最短路径问题 掌握等腰三角形中最短路径的求解方法，学会求等腰三角形内一点到各顶点 / 边的最短距离和。 中档偏难题，填空 / 解答题小问，易因未结合等腰三角形的对称性（如对称轴上的点到两腰距离相等）简化计算出错。 等腰三角形与全等三角形综合 掌握等腰三角形性质 / 判定与全等三角形判定的结合运用，学会通过证明全等推导等腰三角形的边 / 角关系，或反之。 高频解答题，拉分点之一，易因全等条件找错（如忽略等腰三角形的边 / 角等量关系）或证明逻辑混乱出错。 等边三角形与全等三角形综合 学会利用等边三角形的 “三边相等、三角 60°” 构造全等条件，解决证明、计算问题。 中档偏难题，解答题为主，常考 “构造等边三角形证明全等”，易因未利用 60° 角或等边的特殊性构造全等出错。 知识点01 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 知识点02 轴对称的性质 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 知识点03 等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 知识点04 等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点05 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 知识点06 等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 轴对称图形的识别 【典例1】（22-23八年级下·浙江·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下面四个图形中，是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二 轴对称图形的性质 【典例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点B关于的对称点E恰好落在上．若，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和的运用，解决问题的关键是作出正确辅助线． 连接，过A作于F，依据，，即可得出，再根据三角形内角和，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，三个顶点都在小方格的顶点上，请在的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）      【答案】见解析 【分析】本题主要考查了网格作图——画成轴对称图形．解题的关键是熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称． 根据成轴对称的定义，图1，作点A，B关于对角线所在直线为对称轴的对称点D，E，连接，，，即可；图2，作点B，C关于对角线所在直线为对称轴的对称点F，G，连接，，，即可 （答案不唯一）． 【详解】如图1，作点A，B关于对角线所在直线为对称轴的对称点D，E，连接，，，即为所求作（答案不唯一）； 如图2，作点B，C关于对角线所在直线为对称轴的对称点F，G，连接，，，即为所求作（答案不唯一）． 题型三 轴对称与折叠问题 【典例1】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A．与互余 B． C．平分 D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角、角平分线的定义，由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴与互余，故A正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故C错误，符合题意； ∵， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，交于点F，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 先根据平角的定义求出，然后根据折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线分别交边、于点、，将沿翻折，使点恰好与点重合．若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，关键是根据翻折得出． 根据翻折的性质，结合三角形周长定义，数形结合求解即可得到答案． 【详解】解：将沿翻折，使点恰好与点重合， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在，的位置上，与交于G点，若，则 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据平行线的性质求得的度数，再根据折叠求得的度数，最后根据平角的定义计算的大小． 【详解】解：∵为长方形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①或；②的度数为或或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵将沿翻折至， ， ， ， ； （2）①如图，当点在下方时， ， ， ， ， ， ； 当点在上方时， ， ， 由折叠可得， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 当点在上方时， 设， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 题型四 等腰三角形的三线合一 【典例1】如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接、，如图所示，由，为边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得，根据，，求出，因为是垂直平分线，则周长，当三点共线时，最小，值为，又，得到周长最小值为． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，为边的中点， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∵，的面积为， 即， 则， 解得， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， 则当三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度， 又∵为边的中点，， ∴， ∴周长最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在 中，，，，，垂足为 ．若，则 的长为 ．(用含的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，三线合一，画出辅助线以及熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解题关键．作于，先根据三角形内角和定理，得出，再得出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，作于， 在中， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点． 先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】解：∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， 故答案为：． 【变式4】如图，在中，，于点，于点，，相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）先根据角的代换求得，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在与中 ， . （2）解：， ，   ， ， ， . 【变式5】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据证明即可； （2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出； （3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ．    题型五 等腰三角形的等边对等角 【典例1】如图，在中，，的垂直平分线交于E，D为垂足，连接，若，则等于（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【变式1】在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质， 根据垂线的定义得到，从而求得，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意，①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上所述：或 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】如图，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若与的周长之差为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）在中，，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得，即可求得的度数，继而求得答案； （）根据垂直平分得，，根据由的周长为，的周长为，又与的周长之差为，则求出的长即可； 此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴在中，， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， 由的周长为，的周长为， ∵与的周长之差为， ∴， ∴． 【变式4】如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5】（24-25八年级上·山东济宁·期中）在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到点F，使，连接，则，而，，即可根据“”证明，则，而，由，然后可求解； （2）延长到点H，使，连接，则，而，所以，，可证明，得，，再证明，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，延长到点F，使，连接，则， ∵是的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （2）证明：如图2，延长到点H，使，连接，则， ∵是的中线，是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式6】如图，在中，高线和角平分线相交于点F．已知． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，角平分线的定义，等边对等角，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，然后根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到解题即可； （2）根据全等得到，然后得到，然后利用角平分线的定义和三角形的内角和的定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的高线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵由（1）得， ∴． 题型六 等腰三角形的定义 【典例1】（24-25八年级上·广东肇庆·期中）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时：两腰之和为， ∴每条腰长为， 此时三边为，满足三角形三边关系，成立； 当为腰时：底边长， 此时三边为，不满足三角形三边关系，不成立； 综上可知：底边长为， 故选：． 【变式1】（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据题意可分当边长为腰长和当边长为腰长时，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 当边长为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，，，符合三角形三边关系， 所以它的周长为； 故选C． 【变式2】等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要分情况进行分析求解． 【详解】解：等腰三角形的一个角是， 当顶角为时，那么底角为：； 当底角为时，那么另一个底角为， 故选：． 【变式3】（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分的外角， ∴， 故答案为：． 题型七 等腰三角形的性质 【典例1】（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点作于点，交于点，若为的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，过作，垂足为，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，；根据等腰直角三角形的性质，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，设，根据边的关系代换得到，再根据，即可． 【详解】解：延长，过作，垂足为， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边． 【变式1】（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，在中，是高，是中线，，是的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质解答即可； （2）由（1）知：是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的中点， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，则，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）延长交于，连接，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到是的垂直平分线，则，，根据平行线的判定和性质，则，，根据，推出，根据全等三角形性质，则，得到，根据为边的中点，全等三角形的判定和性质，则，根据边的等量关系，即可． 【详解】（1）证明，如下： ∵，， ∴， ∵平分交于点 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明，如下： 延长交于，连接， ∵ 平分，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，是内两点，平分，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形性质．延长交于，延长交于，如图所示，由等腰三角形三线合一性确定、，再由等边三角形的判定与性质求出相关角度与线段长，在中，由含的直角三角形性质得出，数形结合表示出线段，代值求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于，延长交于，如图所示： 在中，，平分， 由等腰三角形三线合一性可得，是边上的中线， ， ， 是等边三角形，则，， ， ， 在中，，则， ，则， ． 题型八 等边三角形的性质 【典例1】如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，同理即可求出． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【详解】解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 【变式3】如图、都是等边三角形，点在延长线上．求证： (1)； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是证明． （1）首先根据等边三角形的性质可得，再证明，即可利用判定，再根据全等三角形对应边相等可证出． （2）由得，再由平角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∵,且， ∴． 【变式4】如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，可得，再进一步证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.等角判定法（高频）： 已知 “两角相等”（如∠B=∠C），直接用 “等角对等边” 证 AB=AC，判定为等腰三角形； 2.三线逆用法： 若 “一个三角形中，一条线段既是中线又是高”（如 AD 是△ABC 的中线且 AD⊥BC），则 AB=AC，判定为等腰； 3.全等辅助法： 缺角相等时，作角平分线 / 高，证三角形全等（如作 AD 平分∠BAC，证△ABD≌△ACD），得 AB=AC。 【典例1】已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 【变式1】如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）证明，可得，可证明，可得结论； （2）由（1）可得，又因为垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ． 又， ， ， 又， ， ， ， 又为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质得出，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式3】如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形． （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数； （3）可证是等边三角形，可得，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴， ， 是等腰三角形； （2）， ， ， ， ， ； （3），， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4】如图，在中，，的平分线交于点D，过B作，垂足为F，延长交于点E． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求证； （2）连接，由（1）可知垂直平分，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中，，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接，如图所示： ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十 等边三角形的判定 解｜题｜技｜巧 1.等腰 + 60° 法（高频）： 已知 “等腰三角形 + 一个角 = 60°”（无论顶角还是底角），直接判定为等边，如 AB=AC 且∠A=60°→AB=AC=BC； 2.三角相等法： 已知 “三个角都相等”（如∠A=∠B=∠C=60°），直接判定； 3.全等证边法： 已知 “一个三角形与等边三角形全等”（如△ABC≌△DEF，△DEF 是等边），则△ABC 是等边。 【典例1】如图，、均是的两边，的垂直平分线交的垂直平分线于点． (1)若的周长为，求的长． (2)若，求的度数． (3)若、是线段的三等分点（点在点的左侧），直接判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质进行求解即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理及平角的概念即可求解； （3）利用三等分点得出，再利用线段的垂直平分线的性质得出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∵的周长为， 即， ∴, ∴的长为：； （2）解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵、是线段的三等分点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴是等边三角形． 【变式1】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式2】如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级上·天津·期中）在中，． (1)尺规作图：在图中作的角平分线，交于点（ 不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图，在（）条件，若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟记角平分线的作法，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． （）根据角平分线的作法作出图形即可； （）由（）知，是的角平分线，，然后证明，所以，则有，从而求证． 【详解】（1）解：如图所示，角平分线即为所求； （2）证明：由（）知，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形． 【变式4】如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【详解】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 题型十一 将军饮马问题 解｜题｜技｜巧 两点一线模型： 目标：在直线 l 上找 P，使 PA+PB 最小； 步骤：①作 A 关于 l 的对称点 A'；②连 A'B，与 l 的交点即为 P；③PA+PB=A'B（最短）； 两点两线模型： 目标：在 l、m 上找 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小； 步骤：①作 A 关于 l 的对称点 A'，B 关于 m 的对称点 B'；②连 A'B'，交 l 于 P、交 m 于 Q；③PA+PQ+QB=A'B'； 【典例1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）连接，与直线l的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，点P即为所求． ； （3）解：如图，点Q即为所求． ． 【变式1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上作点P，使的值最小，此时 ； (3)在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、正方形的性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质定理，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）连接，与直线l的交点即为点Q． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 根据题意得：，，， ∴， ∴为直角三角形，且； 故答案为： （3）解：如图，点Q即为所求． 【变式2】如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F； (3)请用尺规作图法在上找一点P，使的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决； （1）利用线段垂直平分线的作法得出的垂直平分线即可； （2）利用角平分线的作法得出即可； （3）由于的周长，而是定值，故只需在上找一点，使最小，作出关于的对称点为，连接得出即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：如图所示：点即为所求． 题型十二 等腰三角形上最短路径问题 【典例1】如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题等知识，正确地画出图形找到的最小值时点H的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为，此时最短，利用条件求解即可． 【详解】解： 是等边三角形，是边上的高， ，平分，， ， 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：D． 【变式1】如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 【变式2】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点． (1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； (2)连接，求为何值时，； (3)若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 【答案】(1)与始终相等，理由见解析． (2)． (3)7 【分析】（1）本题根据题干的条件证明，利用全等三角形性质，即可解题． （2）本题考查几何动点问题及等腰三角形的性质，根据，推出，得到，结合（1）中，等量代换得到，再题意列出方程，即可求解． （3）本题考查利用将军饮马模型求线段和的最小值及等边三角形的判定和性质，作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P，再利用轴对称性确定线段，证明为等边三角形，再由等边三角形的性质求解的长即可解题． 【详解】（1）解：与始终相等，理由如下： 为等边三角形， ，， 又动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由A向和由向A运动， ， ， ， 与始终相等； （2）解：连接， 平行于， ， ， 由（1）可知，， ， ， 解得． （3）解：， 平分， 作D点关于的对称点交于点，连接，交于点P， ， ， ， ，， ，又， 为等边三角形， ， 的最小值为7． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、几何动点问题、将军饮马模型求线段和的最小值，解题的关键在于利用轴对称找出动点取得最小值的位置． 题型十三 等腰三角形与全等三角形综合 【典例1】如图，为内一点，平分，，垂足为点，交于点，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据等角对等边，则，即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，中，，点在上，连接，过作于，． (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活应用各性质定理是解题的关键． （1）设，，根据等边对等角，以及三角形内角和等于，可得到，在中，根据两锐角互余可得，进而根据求解即可； （2）过作于，证明，得到，从而根据三角形面积公式即可得证； （3）在上截取，连接，，则，通过证明，得到，，最后根据 求解即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， 在中， ， ， ； （2）证明：如图，过作于， 在和中， ， ， ， ，即； （3）解：如图，在上截取，连接，，则， 在中，， ， 平分， ， ， 易证， ， 延长交于，于， 在中，， ， ， ，， ， ，舍负值，即． 【变式2】如图①，已知点在线段上，在和中，， ，且为的中点． (1)若的延长线交于点，求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）作交的延长线于，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线， ∴． （3）解：仍成立，证明如下： 作交的延长线于，连接，如图． ∴． 在与中， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线，． 【变式3】如图，在等腰中，，为的中点． (1)如图1，若，，垂足分别为，，请你说明． (2)如图2，连接．若是上一点（点，除外），，，垂足分别为，，成立吗？请说明理由． (3)如图3，若（2）中，分别不垂直于，，要使，需添加什么条件？请在你添加的条件下说明． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)要使，可以添加，理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的三线合一、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据等边对等角，中线可以得到，，再根据垂线性质得到，利用证明即可； （2）同理证明； （3）根据三角形全等的判定定理定理解答． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的中点， ，， ，， 在与中， ， （2）成立， 理由如下：是的中点， 则为中线， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）要使，可以添加， 理由如下：在和中， ． 题型十四 等边三角形全等三角形综合 【典例1】如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 【答案】(1) ； (2)，见解析 (3)成立．证明见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中，， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； （2）同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴． （4）证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图． 由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【变式1】如图所示，已知为等边三角形，点为延长线上的一点，平分，求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状． （1）利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到； （2）根据得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ． （2）证明：， ， 即， ， 为等边三角形． 【变式2】已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 【变式3】综合探究． 【初步感知】（1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点(点D不与点B，点C重合)．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当点D在边的延长线上时，写出与的位置关系为 ；线段，，之间的数量关系为 ； 【拓展应用】（3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；证明见解析；（3）有；5 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，，结合，，则，； （3）在射线上截取，连接，证，则，得出是等边三角形，则，即点在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解： ，， 和是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴； ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 即点在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ， ， 由三角形三边关系可得，，即当点与点重合时，时，有最小值， ， ， ． ∴的最小值为5 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）下列图形中，对称轴最多的是（   ） A．线段 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了求对称轴条数，轴对称的性质等知识点，确定出各图形的对称轴的条数是解题的关键． 逐项判断出各图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：A. 线段有一条对称轴； B. 等边三角形有三条对称轴； C. 直角三角形不一定是轴对称图形，因而不一定有对称轴； D. 等腰直角三角形有一条对称轴； 对称轴最多的是等边三角形， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列命题中，是真命题的是（　　） A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据全等三角形的判定的定理（SAS），对称轴的定义，垂线的性质，平行线的性质逐项判断即可．需要注意的是对称轴是直线而非线段，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线的前提是在同一平面内，掌握相关定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项A不符合题意； B、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，故选项B不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，是真命题，故选项C符合题意； D、只有两直线平行，同位角才相等，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 4．（22-23八年级上·浙江温州·期中）“三等分角”被称为三个古希腊尺规作图三大难题之一．如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，且，点可在槽中滑动．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质和等腰三角形的性质得到，即得，求出即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，垂直 平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据题意得到是的垂直平分线，可证，得到，由此可得阴影部分的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵是的对称轴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 6．（19-20八年级上·浙江温州·期中）等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】19或23/23或19 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．分边长为的边为腰和边长为的边为腰两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5的边长为腰时，三角形的三边长为：、、，满足三角形的三边关系，其周长为， ∴这个等腰三角形的周长为19或23． 故答案为：19或23． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知正，，分别是，的中点，，，，相交于点，则 度． 【答案】240 【分析】本题考查等边三角形性质，全等三角形性质和判断，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用等边三角形性质证明，结合全等三角形性质得到，再结合三角形外角性质得到，，即可解题． 【详解】解： 为正三角形， ，， ，分别是，的中点， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中点A，B，C均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)作出关于直线l的对称图形； (2)在直线l上找一点D，使最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)点D见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接交直线l于点D，则点D即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接交直线l于点D，点D即为所求作的点，连接， 根据轴对称的性质可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得到，则可证明，从而对①进行判断；再证明，则可对②③进行判断；可对④进行判断． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确； ， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，②正确； ，③正确： ∴是等边三角形，④正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　） A．8 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形．添加辅助线，构造全等三角形，熟知全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 延长到点H，使，连接，证明，得，得，得，得，得，根据，，得，即得． 【详解】解：延长到点H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则 ． 【答案】3.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，证明，得出，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再根据已知可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，都是等边三角形，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，利用证出是解题的关键．利用等边三角形的性质得到，，，从而推出，得到，再利用三角形的外角性质得到，即可解答． 【详解】解：都是等边三角形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 故答案为：． 6．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据线段的和差可得出，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∴在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图1，在中，，点为直线上一动点（不与点，重合），在的左侧作，使得，，连结． (1)当点在线段上时，求证：． (2)如图2，若，． ①求的周长； ②在点D在运动过程中，若的最小角为，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)① ②或或或 【分析】（1）由可得，再利用即可得出结论； （2）①设所在直线为，过点作于点，由（1）可得，于是可得，由可得，由可得，于是可得，进而可得，可知是等边三角形，从而得出答案；②分点在线段上或点在延长线上或点在延长线上三种情形，分别画出图形，根据，可得，从而解决问题． 【详解】（1）证明：当点在线段上时， ， ， 即：， 在和中， ， ； （2）解：①如图，设所在直线为，过点作于点， 则， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长为， 即的周长为； ②在点在运动过程中，若的最小角为， 而， 或， 若， 而， 则； 当点在延长线上时，如图， 由题意可知，， 由（1）同理可得：， ， ， ； 当点在延长线上时，如图， 当时，； 当时，由（1）同理可得：， ， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两直线平行同位角相等，等边对等角，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 8．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值是一个定值， 【分析】（1）根据证根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，过A作于M，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （3）连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 过A作于M， ∴， ∴ ∴的面积； （3）解：的值是一个定值， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的面积公式，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解的面积为，的面积为，进一步可得答案． 【详解】解：∵的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴的面积为， ∴， 故答案为： 5．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 6．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 7．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 8．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论； （2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵点P与点A重合， ∴PB=AB，PC=AC，PA=0， ∴或； （2）解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：图③结论：， 理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AB=AC，BP=CF， ∴（SAS），   ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $