21.2.1.二次根式的乘法课件 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“二次根式的乘法”，系统讲解法则及应用，通过预习导航衔接算术平方根知识，以归类探究为支架，从基础计算到含字母运算再到实际应用，构建完整知识脉络。 其亮点在于分层设计与素养融合，借助矩形与圆形面积关系实例培养数学眼光，通过三角形形状判断发展推理能力，利用篱笆围花圃问题渗透模型意识。基础到拓展的训练助学生逐步提升，也为教师提供清晰教学路径。

21.2　二次根式的乘除 1.二次根式的乘法 预习导航 归类探究 当堂测评 分层训练 二次根式的乘法 法　　则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的 ⁠ ，用式子表示为 · ＝ 　 　(a≥0，b≥0). 注　　意：上述法则成立的条件是 ，法则可推广到多个 二次根式相乘的情形，二次根式相乘的结果应尽量化简. 积的算术平方 根　 　 a≥0，b≥0　 预习导航 课件导航 目录页 尾页 类型之一　利用二次根式的乘法法则计算 　计算： (1) × ； 解：(1)原式＝ ＝ ＝6. (2)2 ×3 × ； 解：(2)原式＝2×3× ＝6×20＝120. 解：原式＝ ＝ ＝6. 解：原式＝2×3× ＝6×20＝120. 归类探究 课件导航 目录页 尾页 (3) × ； 解：(3)原式＝ × × ＝ ×18＝3. (4)2 · ； 解：(4)原式＝2 ＝20a. (5)3a ·(－ )(a≥0，b≥0). 解：(5)原式＝－2a ＝－12a2b. 解：原式＝ × × ＝ ×18＝3. 解：原式＝2 ＝20a. 解：原式＝－2a ＝－12a2b. 课件导航 目录页 尾页 类型之二　二次根式乘法的应用 　小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长为 cm，宽为 cm，她又想设计一幅和矩形面积相等的圆形图片，请你帮助小静求 出圆的半径. 解：设圆的半径为R. 根据题意，得πR2＝ · ， 即πR2＝70π， 解：设圆的半径为R. 根据题意，得πR2＝ · ， 即πR2＝70π， 解得R1＝ ，R2＝－ (舍去). 答：所求圆的半径为 cm. 课件导航 目录页 尾页 【点悟】 本题使用了矩形、圆的面积公式，利用的等量关系是两个图 形的面积相等.在求圆的半径时，根据实际情况中圆的半径大于零，故只 取正值. 【点悟】 本题使用了矩形、圆的面积公式，利用的等量关系是两个图 形的面积相等.在求圆的半径时，根据实际情况中圆的半径大于零，故只 取正值. 课件导航 目录页 尾页 1. [2023·衡阳]对于二次根式的乘法运算，一般地，有 · ＝ .该运 算法则成立的条件是(　D　) A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＜0 C. a≤0，b≤0 D. a≥0，b≥0 2. [2024·湖南]计算 × 的结果是(　D　) A. 2 B. 7 C. 14 D. D D 当堂测评 课件导航 目录页 尾页 3. 下列计算中，错误的是(　D　) A. × ＝ B. (－3 )×(－4 )＝48 C. －5 ×3 ＝－15 D. 2 ×3 ＝5 D 4. 计算： (1) × ＝ ⁠； (2) · ＝ ⁠. 3　 4a　 课件导航 目录页 尾页 5. [2024·内江月考]计算： (1) × ； 解：(1)原式＝ ＝ . (2) × . 解：(2)原式＝ ＝ ＝3. 解：原式＝ ＝ . 解：原式＝ ＝ ＝3. 课件导航 目录页 尾页 1. 下列各数中，与 的积为有理数的是(　C　) A. B. 3 C. 2 D. 2－ 2. 从 、－ 、－ 这三个实数中任选两数相乘，所得的积中小于2的 有(　C　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C C 分层训练 课件导航 目录页 尾页 3. 计算： (1) × ； 解：(1)原式＝ ＝14. (2) × ； 解：(2)原式＝ ＝ ＝ . 解：原式＝ ＝14. 解：原式＝ ＝ ＝ . 课件导航 目录页 尾页 (3) × × ； 解：(3)原式＝ ＝ ＝25. (4)4 · ； 解：(4)原式＝4 ＝4 . 解：原式＝ ＝ ＝25. 解：原式＝4 ＝4 . 课件导航 目录页 尾页 (5)6 ×(－3 )； 解：(5)原式＝6×(－3)× ＝－18×4＝－72. (6) · (a＞0，b≥0). 解：(6)原式＝ ＝ ｜b｜＝ b. 解：原式＝6×(－3)× ＝－18×4＝－72. 解：原式＝ ＝ ｜b｜＝ b. 课件导航 目录页 尾页 4. (1)一个正方形的边长为2 ，求这个正方形的面积； 解：(1)S＝2 ×2 ＝4 ＝4×5＝20. (2)一个圆的半径为4 ，求这个圆的面积(结果保留π)； 解：(2)S＝π×(4 )2＝π×16×()2＝80π. (3)一个三角形的一边长为2 ，该边上的高为3 ，求这个三角形的 面积. 解：(3)S＝ ×2 ×3 ＝ ×(× )＝3 . 解：S＝2 ×2 ＝4 ＝4×5＝20. 解：S＝π×(4 )2＝π×16×()2＝80π. 解：S＝ ×2 ×3 ＝ ×(× )＝3 . 课件导航 目录页 尾页 5. 一个三角形的三边长分别为 、 、 ，试判断该三角形的形 状，并求出它的面积. 解：∵()2＋()2＝27＋48＝75＝()2， ∴该三角形为直角三角形， ∴S＝ × × ＝ × ＝ ×36＝18， 故该三角形是直角三角形，它的面积为18. 解：∵()2＋()2＝27＋48＝75＝()2， ∴该三角形为直角三角形， ∴S＝ × × ＝ × ＝ ×36＝18， 故该三角形是直角三角形，它的面积为18. 课件导航 目录页 尾页 6. (模型观念)(1)用“＞”“＜”或“＝”填空： 4＋3 2 ； 1＋ 2 ； 5＋5 2 . ＞　 ＞　 ＝　 课件导航 目录页 尾页 解：m＋n≥2 (m≥0，n≥0).理由如下： 当m≥0，n≥0时， ∵(－ )2≥0， ∴()2－2 · ＋()2≥0， ∴m－2 ＋n≥0， ∴m＋n≥2 . (2)由(1)中各式猜想m＋n与2 (m≥0，n≥0)的大小关系，并说明 理由. 课件导航 目录页 尾页 (3)请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行改造，计划在该区域用篱笆围成一 个矩形的花圃.如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 200m2的花圃，至少需要用篱笆 m. 40　 【解析】设花圃的长为am，宽为bm，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200， 根据(2)的结论可得a＋2b≥2 ＝2 ＝2 ＝2×20＝40， ∴至少需要篱笆40m. 课件导航 目录页 尾页 $