《2.3二次根式》同步自主达标测试题2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册《2.3二次根式》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．当时，下列二次根式有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各数中，与的差为有理数的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则可化简为（   ）． A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 7．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 8．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦-秦九韶公式．在中，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．计算： ； ； ． 10．比较大小： （填“”、“”或“”）． 11．计算：＝ ． 12．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 13．若，则化简 ． 14．已知，则 ． 15．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ． 16．如图，在四边形中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，求的长为 ． 三、解答题 17．计算 (1) (2) 18．已知，求的值 19．已知满足． (1)求的值； (2)判断长度为的三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 20．阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 李聪同学是这样解答的： ∵． ∴． 这种方法称为“构造对偶式” 已知．求的值． 21．如图，某校有一块长方形活动区域，为积极响应国家号召，保障学生每天的综合体育活动时间不低于，现准备将活动区域扩大，在原来的长方形基础上，扩大得到一个面积为的正方形活动区域．已知边增加得到边，边增加得到边，求学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积．    22．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 23．学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值． 她是这样解答的： 解：， ， ， ． 请你根据小美的解题过程，解答下列问题． (1)计算：_______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 参考答案 1．D 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫做二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； B中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； C中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； D中，当时，，被开方数大于0，二次根式有意义，故选项符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 【详解】A、，即不是最简二次根式，不符合题意； B、，即不是最简二次根式，不符合题意； C、，即不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，实数，根据二次根式的加减法、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：成立， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算逐项判断即可，掌握二次根式相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 6．A 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题关键在于掌握运算法则．把的分子分母同乘，进一步化简与a比较得出结论即可． 【详解】解：， ∴a与b互为相反数. 故选：A． 7．A 【详解】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长． 【解答】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于， 所以不满足三角形的三边关系； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于 所以满足三角形的三边关系，此时周长为 综上可知，三角形的周长为． 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长p，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，则， 代入海伦公式：， 因此的面积为， 故选：C． 9． 6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，除法运算，减法运算，平方差公式，据此相关性质内容进行化简运算，即可作答． 【详解】解：； ； ； 故答案为：，，6． 10． 【分析】通过估算和的取值范围，分别确定与的正负性，进而比较大小．本题主要考查了无理数的估算以及实数大小比较，熟练掌握无理数的估算方法和倒数法比较正数大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 又∵，， ∴，则． ∵；，， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】先根据绝对值的意义逐项化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的性质，以及实数的混合运算，正确化简各项是解答本题的关键． 12．2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 13． 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是代数式求值及完全平方公式的应用，先求出，得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2022． 15． 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】解： ， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 16．25 【分析】本题考查了勾股定理的应用和矩形的判定和性质，解题关键是构造直角三角形利用双勾股列方程求长，过点作，连接、，构造求出，再利用双勾股求出， ，由此即可在中求出， 【详解】解：过点作，连接、， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵在和中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，， 故答案为． 17．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先分别计算绝对值、二次根式的除法、平方差公式部分，再进行加减运算． （2）先分别化简二次根式、计算完全平方、二次根式的乘法，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 根据求代数式值中的整体思想，即可解答． 【详解】解：， ， 原式． 19．(1)，， (2)长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形，见解析 【分析】本题考查非负性，勾股定理逆定理，熟练掌握绝对值，完全平方和算术平方根的非负性，勾股定理逆定理是解题的关键： （1）根据非负性进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 解得，，； （2）长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形． 理由如下： ，， ； 即； 长度为a，b，c的三条线段能构成直角三角形． 20．解：由题意得： ； ∵， ∴； 21．学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，先根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，即可得到，据此可求出的长，则可求出长方形的面积，再用正方形面积减去长方形的面积即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得正方形的边长为，即． ，． 原活动区域的面积为． ． 答：学校需扩大的活动区域（阴影部分）的面积为． 22．(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 23．(1) (2) (3)2026 【分析】(1)仿照阅读资料中的化简解答即可． (2) 仿照阅读资料中的化简解答即可． (3) 仿照阅读资料中的化简解答即可． 本题考查了二次根式的分母有理化，平方差公式，化简求值，熟练掌握新方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：， ， ， ， 故 ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $