2.3二次根式（第1课时）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

2.3 二次根式（第1课时） 导学案 1. 准确叙述二次根式定义及条件；熟练运用乘除法则化简、计算. 2.经历二次根式概念的抽象过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养逻辑推理能力．在运算练习中，提高运算的准确性和灵活性. 3.在二次根式运算的过程中，感受数学概念的严谨性，体会从具体到抽象的认知规律，增强对数学的兴趣.重点：二次根式的概念以及有意义的条件. 难点：二次根式乘除法则的应用及与整式乘法的融合. 第一环节 自主学习 温故知新： 本节课将进入二次根式的概念与乘除法则的学习，先回顾以下知识点： 1、平方根的概念：若，则x是a的__________，记作x=_______．算术平方根就是当平方根结果取_____时的结果，记作 2、算术平方根由意义的条件，中的取值范围为__________. 3、回想整式的乘除运算： ①乘法公式：完全平方公式：______________________________ 平方差公式：______________________________ ②除法运算：除以一个数等于乘以这个数的_____ 新知自研：自研课本第41-42页的内容. 【学法指导】 自研课本P41页尝试思考上方的内容，完成下列问题： 1.观察以下式子，回答下列问题： 、、、​、（其中，） （1）在上面的几个数中，它们都具有__________，且被开方数都__________. （2）在以上这些数中，容易发现只有________________________________________可以去掉根号，去掉根号之后的结果为_______________； 不可以去掉根号的数有：________________________________________ （3）像上面这样不可以去掉根号的数，我们有以下定义： 一般地，形如__________的式子叫作__________，叫作被开方数. （4）下列式子中，属于二次根式的是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. （） （5）下列式子中，无论取何实数，都有意义的是（ ） A. B.​ C. ​ ​ D. 第二环节 合作探究 小组群学 先自研课本P41-P42页的内容,在小组长的带领下，思考以下问题： 1.完成下列各式，回答以下问题： ① =_________，=_____； ② _____，_____； ③ _____， _____； ④ _____， _____ 2.在以上四组式子中，①中式子的结果都是_____，②中式子的结果都是_____ ③中式子的结果都是_____，④中式子的结果都是_____ 3.由①②容易发现，在二次根式的乘法中，两个二次根式相乘，等于它们的__________相乘； 符号表示为：=__________ 由③④容易发现，在二次根式的除法中，两个二次根式相除，等于它们的__________相除; 符号表示为：=__________ 4.验证猜想： 根据上面的猜想，估计每组中的两个式子是否相等. ① ​ 与 ​； ② 与 ​ 5.由以上归纳与计算结果可知，二次根式的乘除有如下法则： 6. 计算​的结果是（ ） A. ​ B. C. ​ D. ​ 7. ​​的结果是（ ） A. ​ ​ B. C. ​​ D. 7.归纳总结二次根式的概念与乘除法则（随堂笔记部分） 第三环节 自研自探 尝试完成下列例题，回答相应问题： 例1 (1) ​； (2) ​​. 解：(1) (2) 例2 (1) ​； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ​； (6) ​​. 1.在例一的计算中，我们发现二次根式的乘除运算主要是将__________进行乘除，再_____. 2.例2的计算中，如（1）中，既有整数，又有二次根式，此时可以将整数与_____相乘，再将二次根式与__________相乘；同时发现，二次根式的运算依旧遵循__________后加减. 3.再涉及到乘法公式时，与整数运用乘法公式的规律一致. 4.拓展提升  已知二次根式 和 满足以下条件： ①和 均为正整数； ②； ③ 1.据上述两个等式，求 和 的值； 2.直接写出 和 的值（, ）。 1.计算： (1) ​； (2) ； (3) ； (4) ​； (5) ​​； (6) ​. 类型一：二次根式的概念辨析 1. 判断下列式子那些是二次根式：_____ ① ​； ② ​； ③ ； ④ ； ⑤ . 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 类型二：被开方数的非负性 3.求下列式子有意义的取值范围： ① ； ② ③ 类型三：二次根式的乘除运算 4.基础乘法： ① ； ② 5.基础除法： ① ； ③ 类型四：二次根式的混合运算 6. ① ② 1.（2024·云南）：式子 ​在实数范围内有意义，则的取值范围是：_____ 2.（2024·黑龙江）：若式子​​有意义，则的取值范围是：__________ 3.（2024·贵州）：计算​的结果是_____ 4.（2024·天津·中考真题）：计算的结果为_____ 1、二次根式的定义：_____________________________________________ 2、二次根式的乘除运算法则： ①乘法法则：____________________ ②除法法则：____________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次根式（第1课时） 导学案 1. 准确叙述二次根式定义及条件；熟练运用乘除法则化简、计算. 2.经历二次根式概念的抽象过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养逻辑推理能力．在运算练习中，提高运算的准确性和灵活性. 3.在二次根式运算的过程中，感受数学概念的严谨性，体会从具体到抽象的认知规律，增强对数学的兴趣.重点：二次根式的概念以及有意义的条件. 难点：二次根式乘除法则的应用及与整式乘法的融合. 第一环节 自主学习 温故知新： 本节课将进入二次根式的概念与乘除法则的学习，先回顾以下知识点： 1、平方根的概念：若，则x是a的平方根，记作．算术平方根就是当平方根结果取正数时的结果，记作 2、算术平方根由意义的条件，中的取值范围为. 3、回想整式的乘除运算： ①乘法公式：完全平方公式： 平方差公式： ②除法运算：除以一个数等于乘以这个数的倒数 新知自研：自研课本第41-42页的内容. 【学法指导】 自研课本P41页尝试思考上方的内容，完成下列问题： 1.观察以下式子，回答下列问题： 、、、​、（其中，） （1）在上面的几个数中，它们都具有根号，且被开方数都大于0. （2）在以上这些数中，容易发现只有、（其中，）可以去掉根号，去掉根号之后的结果为、7； 不可以去掉根号的数有：、、 （3）像上面这样不可以去掉根号的数，我们有以下定义： 一般地，形如（）的式子叫作二次根式，叫作被开方数. （4）下列式子中，属于二次根式的是（ B ） A. ​ B. ​ C. ​ D. （） （5）下列式子中，无论取何实数，都有意义的是（ B ） A. B.​ C. ​ ​ D. 第二环节 合作探究 小组群学 先自研课本P41-P42页的内容,在小组长的带领下，思考以下问题： 1.完成下列各式，回答以下问题： ① =6，=6； ② 20，20； ③ ， ； ④ ， 2.在以上四组式子中，①中式子的结果都是6，②中式子的结果都是20 ③中式子的结果都是，④中式子的结果都是 3.由①②容易发现，在二次根式的乘法中，两个二次根式相乘，等于它们的被开方数相乘； 符号表示为：= 由③④容易发现，在二次根式的除法中，两个二次根式相除，等于它们的被开方数相除; 符号表示为：= 4.验证猜想： 根据上面的猜想，估计每组中的两个式子是否相等. ① ​ 与 ​； ② 与 ​ ①解：，，； ； 故​ = ②解：由一知；​ 故=​ 5.由以上归纳与计算结果可知，二次根式的乘除有如下法则： 6. 计算​的结果是（ B ） A. ​ B. C. ​ D. ​ 7. ​​的结果是（ B ） A. ​ ​ B. C. ​​ D. 7.归纳总结二次根式的概念与乘除法则（随堂笔记部分） 第三环节 自研自探 尝试完成下列例题，回答相应问题： 例1 (1) ​； (2) ​​. 解：(1) ; (2) . 例2 (1) ​； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ​； (6) ​​. 解：(1) ​； (2) ； (3) ​； (4) ； (5) ； (6) . 1.在例一的计算中，我们发现二次根式的乘除运算主要是将被开方数进行乘除，再开方. 2.例2的计算中，如（1）中，既有整数，又有二次根式，此时可以将整数与整数相乘，再将二次根式与二次根式相乘；同时发现，二次根式的运算依旧遵循先乘除后加减. 3.再涉及到乘法公式时，与整数运用乘法公式的规律一致. 4.拓展提升  已知二次根式 和 满足以下条件： ①和 均为正整数； ②； ③ 1.据上述两个等式，求 和 的值； 2.直接写出 和 的值（, ）。 解：1.由③可得 将上式带入②可得 解得，则（取正值） 将带入②可得（取1正） 2.由1可得 1.计算： (1) ​； (2) ； (3) ； (4) ​； (5) ​​； (6) ​. 解：(1) =； (2) ； (3) =； (4) = (5) = (6) = 类型一：二次根式的概念辨析 1. 判断下列式子那些是二次根式：①④ ① ​； ② ​； ③ ； ④ ； ⑤ . 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ B ） A. B. C. D. 类型二：被开方数的非负性 3.求下列式子有意义的取值范围： ① ； ② ③ 解：①； ②； ③，由此可得可取任何实数. 类型三：二次根式的乘除运算 4.基础乘法： ① ； ② 解：①原式= ②原式= 5.基础除法： ① ； ③ 解：①原式=； ②原式= 类型四：二次根式的混合运算 6. ① ② 解；①原式=5-2=3 ②原式=3++1=4+2 1.（2024·云南）：式子 ​在实数范围内有意义，则的取值范围是： 2.（2024·黑龙江）：若式子​​有意义，则的取值范围是： 3.（2024·贵州）：计算​的结果是6 4.（2024·天津·中考真题）：计算的结果为2 1、二次根式的定义：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。 2、二次根式的乘除运算法则： ①乘法法则： ②除法法则： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$