不等式的解法 讲义-2026届高三数学一轮复习

第5讲　不等式的解法 课前必备知识 课标要求 　1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.掌握一元二次不等式的解法，会求解简单的分式不等式． 知识梳理 1．一元二次不等式的定义 只含　1　个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式叫做一元二次不等式． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的相应关系 判别式 图象 f(x)＝0 的根 f(x)>0 的解集 f(x)<0 的解集 Δ>0 有两个不相等的实根x1，x2 {x|x>x2 或x<x1} {x|x1<x<x2} Δ＝0 有两个相等的实根x＝－ {x∈R|x≠－} ∅ Δ<0 无实根 R ∅ 　　3.分式不等式与一元二次不等式的关系 (1)>0⇔　(x－a)(x－b)>0　； (2)<0⇔　(x－a)(x－b)<0　； (3)≥0⇔　　； (4)≤0⇔　 课前训练 1．(教材母题必修2.3练习T1改编)不等式x2－4x＋3<0的解集是(　　) A．{x|1<x<3} B．{x|x<3} C．{x|x<1或x>3} D．{x|x>1} 解析：A　由题意知，x2－4x＋3<0⇒(x－1)·(x－3)<0，所以原不等式的解集为{x|1<x<3}．故选A. 2．不等式<0的解集为(　　) A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2} C．{x|x<－2或x>3} D．{x|x>3} 解析：A　由<0得(x＋2)(x－3)<0，解得－2<x<3.故选A. 3．已知关于x的一元二次不等式x2－3x＋2<0的解集为{x|m<x<n}，则m＋n的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：A　依题意可得，m，n分别是关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，根据韦达定理可得m＋n＝3.故选A. 4．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2) B．(－1，2] C．(－2，1) D．[－1，2] 解析：B　关于x的不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R. ①当a－2＝0时，即当a＝2时，则有－12<0恒成立，符合题意； ②当a－2≠0时， 则有 解得－1<a<2. 综上所述，实数a的取值范围是(－1，2].故选B. 5．不等式≥0的解集是_______________． 解析：{x|x≥2或x<－1}　因为≥0，所以 解得x≥2或x<－1， 所以不等式≥0的解集是{x|x≥2或x<－1}． 课堂核心考点 考点1　一元二次不等式、分式不式的解法 【例1】 (教材母题必修习题2.3T1)解下列不等式： (1)－3x2＋5x－4≥0； (2)(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1； (3)≥2. 解析：(1)不等式－3x2＋5x－4≥0可化为3x2－5x＋4≤0， 由Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0可知，一元二次方程3x2－5x＋4＝0无实根， 则不等式3x2－5x＋4≤0的解集为∅， 故不等式－3x2＋5x－4≥0的解集为∅. (2)不等式(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1可化为2x2＋2x－1<0， 一元二次方程2x2＋2x－1＝0有两根， x1＝，x2＝， 则不等式2x2＋2x－1<0的解集为 {x|<x<}， 故不等式(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1的解集为{x|<x<}． (3)由≥2，可得－2＝≥0， 所以解得<x≤1， 所以原不等式的解集为{x|<x≤1}． (1)解一元二次不等式的一般步骤： ①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集． (2)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解． 解分式不等式常有如下两种等价变形方式：>0⇔或⇔f(x)g(x)>0. (3) 利用数形结合也是解不等式的重要方法，特别是解选择、填空题时要注意灵活运用． 变式探究 1．(多选)已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，集合N＝{x|≥1，x∈R}，则(　　) A．M＝{x|－1≤x≤3} B．N＝{x|－1≤x≤4} C．M∪N＝{x|－1≤x≤4} D．M∩N＝{x|－1<x≤3} 解析：ACD　由题设可得M＝[－1，3]，N＝(－1，4]，A正确，B错误； M∪N＝{x|－1≤x≤4}，C正确； M∩N＝{x|－1<x≤3}，D正确．故选ACD. 2．已知集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|≥2}，若A∩B≠∅且A∪B≠A，则实数a的取值范围是　　　　　． 解析：(1，3]　由≥2得1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}， 因为A∩B≠∅且A∪B≠A，所以a∈(1，3]. 考点2　含参变量不等式的解法 【例2】 (1)已知关于x的不等式>0的解集为{x|－1<x<2}，其中a，b∈R，则关于x的不等式<1的解集为　　　　　　． (2)求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集． 解析：(1)(0，1)　不等式>0等价于(ax－1)(x＋b)>0， 所以－1和2为方程(ax－1)(x＋b)＝0的两根，且a<0， 所以解得 所以原不等式为<1⇒－1<0⇒<0⇒<0， 即x(x－1)<0，解得0<x<1. 即不等式<1的解集为(0，1). (2)ax2－3x＋2>ax－1⇒ax2－(a＋3)x＋3>0⇒(ax－3)(x－1)>0. 当a＝0时，不等式化为x－1<0，不等式的解集为{x|x<1}． 当a<0时，不等式化为(x－)(x－1)<0，不等式的解集为{x|<x<1}． 当a>0时，不等式化为(x－)(x－1)>0. 方程ax2－3x＋2＝ax－1的两个根分别为，1. 当a＝3时，两根相等，故不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>3时，<1，不等式的解集为{x|x<或x>1}； 当0<a<3时，>1，不等式的解集为{x|x<1或x>}． 综上：当a<0时，不等式的解集为{x|<x<1}； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x<1}； 当0<a<3时，不等式的解集为{x|x<1或x>}． 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>3时，不等式的解集为{x|x<或x>1}． 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式的符号进行分类讨论． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． 变式探究 3．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集为_________________________． 解析：(－∞，－)∪(，＋∞) 由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1，3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3. 所以f(x)＝－x2＋2x＋3，所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3， 由－4x2－4x＋3<0，得x>或x<－， 故不等式f(－2x)<0的解集是(－∞，－)∪(，＋∞). 4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－<x<}，则ax＋b>0的解集为(　　) A．(－∞，－) B．(－∞，) C．(－，＋∞) D．(，＋∞) 解析：A　不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－<x<}， 则根据对应方程的韦达定理得到 解得 则－12x－2>0的解集为(－∞，－)，故选A. 5．解关于x的不等式>0. 解析：当a＝0时，原不等式可化为－>0，解得x<0. 若a>0，则原不等式可化为>0， 即(x－a)(x－)>0. 当0<a<1时，a<，解得x<a或x>； 当a＝1时，不等式化为(x－1)2>0，解得x∈R且x≠1； 当a>1时，a>，解得x<或x>a. 若a<0，则原不等式可化为(x－a)(x－)<0. 当a<－1时，a<，解得a<x<； 当a＝－1时，不等式可化为(x＋1)2<0，其解集为∅； 当－1<a<0时，a>，解得<x<a. 综上，当a<－1时，不等式的解集为{x|a<x<}；当a＝－1时，不等式的解集为∅ ；当－1<a<0时，不等式的解集为{x|<x<a}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<a或x>}；当a＝1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a>1时，不等式的解集为{x|x<或x>a}． 考点3　不等式的综合应用 【例3】 (1)(2025·江苏徐州质检)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－，0) B．(－，0) C．[－，0] D．[－，0] (2)(2024·上海黄浦三模)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　． (3)(2024·浙江宁波一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，若不等式|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立，则满足要求的有序数对(a，b)有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：(1)B　由题意，对于∀x∈[m，m＋1]都有f(x)＝x2＋mx－1<0成立， 所以f(m)＝m2＋m2－1<0， f(m＋1)＝(m＋1)2＋m(m＋1)－1<0， 解得－<m<0， 即实数m的取值范围是(－，0).故选B. (2)[，＋∞)　因为关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)， 所以ax2－|x|＋2a≥0在R上恒成立． 令f(x)＝ax2－|x|＋2a，易知f(x)为偶函数， 所以ax2－|x|＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立， 即f(x)＝ax2－|x|＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立， 所以，当x＝0时，由ax2－x＋2a＝2a≥0，得a≥0， 当x>0时，由ax2－x＋2a≥0，得a≥＝， 又因为x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以a≥＝. 综上，实数a的取值范围为[，＋∞). (3)B　若不等式|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立， 则必须满足 即 由 两式相加得－4≤8＋2a≤4⇒－6≤a≤－2，① 再由 两式相加得－4≤16＋2a≤4⇒－10≤a≤－6，② 结合①②两式可知a＝－6. 代入不等式组得解得b＝7. 经检验，当a＝－6，b＝7时，f(x)＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2， 当x∈[1，5]时，有f(x)max＝f(1)＝f(5)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2，满足|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立． 综上所述，满足要求的有序数对(a，b)为(－6，7)，共1个．故选B. (1)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是a>0，且b2－4ac<0. ②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是a<0，且b2－4ac<0. (2)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 ①若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). ②转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 变式探究 6．(2024·江苏扬州模拟)若关于x的不等式x2－(m＋4)x＋4m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(7，8] B．(0，1] C．(0，1]∪[7，8) D．[0，1)∪(7，8] 解析：D　不等式x2－(m＋4)x＋4m<0化为(x－4)(x－m)<0，显然m≠4，否则不等式解集为空集，不符合题意． 当m<4时，不等式的解集为(m，4)，依题意，在(m，4)中恰有3个整数，即为3，2，1，则0≤m<1， 当m>4时，不等式的解集为(4，m)，显然在(4，m)中恰有3个整数，即为5，6，7，则7<m≤8， 所以实数m的取值范围为[0，1)∪(7，8].故选D. 7．若x2＋x＋a＋|x2－x－a|≥2对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　　. 解析：[2，＋∞)　(方法1)因为x2＋x＋a＋|x2－x－a|≥2对x∈R恒成立， 当x2－x－a≥0时，x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝2x2≥2，所以x≥1或x≤－1恒成立． 因此所以a≥2； 当x2－x－a<0时，x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝2x＋2a≥2， 所以x≥1－a恒成立， 因此所以a≥2. 综上，a≥2. (方法2)令f(x)＝x2，g(x)＝x＋a， 则x2＋x＋a＋|x2－x－a|＝f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|＝2max{f(x)，g(x)}≥2恒成立， 作出f(x)和g(x)的图象(如图)， 由图可知，a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　不等式的解法 课前必备知识 课标要求 　1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.掌握一元二次不等式的解法，会求解简单的分式不等式． 知识梳理 1．一元二次不等式的定义 只含　1　个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式叫做一元二次不等式． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的相应关系 判别式 图象 f(x)＝0 的根 f(x)>0 的解集 f(x)<0 的解集 Δ>0 有两个不相等的实根x1，x2 {x|x>x2 或x<x1} {x|x1<x<x2} Δ＝0 有两个相等的实根x＝－ {x∈R|x≠－} ∅ Δ<0 无实根 R ∅ 　　3.分式不等式与一元二次不等式的关系 (1)>0⇔　(x－a)(x－b)>0　； (2)<0⇔　(x－a)(x－b)<0　； (3)≥0⇔　　； (4)≤0⇔　 课前训练 1．(教材母题必修2.3练习T1改编)不等式x2－4x＋3<0的解集是(　　) A．{x|1<x<3} B．{x|x<3} C．{x|x<1或x>3} D．{x|x>1} 2．不等式<0的解集为(　　) A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2} C．{x|x<－2或x>3} D．{x|x>3} 3．已知关于x的一元二次不等式x2－3x＋2<0的解集为{x|m<x<n}，则m＋n的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 4．不等式(a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2) B．(－1，2] C．(－2，1) D．[－1，2] 5．不等式≥0的解集是_______________． 课堂核心考点 考点1　一元二次不等式、分式不式的解法 【例1】 (教材母题必修习题2.3T1)解下列不等式： (1)－3x2＋5x－4≥0； (2)(x＋1)(x＋2)<(x＋1)(2－x)＋1； (3)≥2. (1)解一元二次不等式的一般步骤： ①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集． (2)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解． 解分式不等式常有如下两种等价变形方式：>0⇔或⇔f(x)g(x)>0. (3) 利用数形结合也是解不等式的重要方法，特别是解选择、填空题时要注意灵活运用． 变式探究 1．(多选)已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，集合N＝{x|≥1，x∈R}，则(　　) A．M＝{x|－1≤x≤3} B．N＝{x|－1≤x≤4} C．M∪N＝{x|－1≤x≤4} D．M∩N＝{x|－1<x≤3} 2．已知集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|≥2}，若A∩B≠∅且A∪B≠A，则实数a的取值范围是　　　　　． 考点2　含参变量不等式的解法 【例2】 (1)已知关于x的不等式>0的解集为{x|－1<x<2}，其中a，b∈R，则关于x的不等式<1的解集为　　　　　　． (2)求关于x的不等式ax2－3x＋2>ax－1的解集． 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式的符号进行分类讨论． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． 变式探究 3．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)>0的解集为(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集为_________________________． 4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－<x<}，则ax＋b>0的解集为(　　) A．(－∞，－) B．(－∞，) C．(－，＋∞) D．(，＋∞) 5．解关于x的不等式>0. 考点3　不等式的综合应用 【例3】 (1)(2025·江苏徐州质检)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1<0成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－，0) B．(－，0) C．[－，0] D．[－，0] (2)(2024·上海黄浦三模)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围为　　　　　　　　　． (3)(2024·浙江宁波一模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，若不等式|f(x)|≤2在x∈[1，5]上恒成立，则满足要求的有序数对(a，b)有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 (2)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 ①若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围). ②转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 变式探究 6．(2024·江苏扬州模拟)若关于x的不等式x2－(m＋4)x＋4m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(7，8] B．(0，1] C．(0，1]∪[7，8) D．[0，1)∪(7，8] 7．若x2＋x＋a＋|x2－x－a|≥2对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $