15.2画轴对称的图形讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

15.2画轴对称的图形 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 1 【知识点2】坐标与图形变化-对称 2 【知识点3】作图-轴对称变换 3 【题型1】关于坐标轴对称的点的坐标 3 【题型2】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 5 【题型3】用轴对称与平移变换作图 9 【题型4】镜面中的轴对称 12 【题型5】折叠中的轴对称 14 【题型6】台球桌面上的轴对称 17 【题型7】画成轴对称的两个图形 21 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 1.（2025•湖北模拟）已知P、Q两点关于y轴对称，P点坐标为（-3，2），则点Q坐标为（　　） A．（3，2） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（3，-2） 【答案】A 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特征求解，即可得到答案． 【解答】解：由题意得，点Q坐标为（3，2）． 故选：A． 【知识点2】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称      横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称      纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称      ①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）      ②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b） 1.（2024秋•西城区校级期中）如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（-2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（-2，-1） C．（4，1） D．（4，-1） 【答案】C 【分析】设点（-2，1）为A点，其对称点为B点，根据轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质在坐标系中得到对应点的坐标． 【解答】解：设点（-2，1）为A点，其对称点为B点，连接AB与直线x=1相交于C点，A（-2，1）， 又关于直线x=1对称，所以AC=BC=2+1=3，所以对称点B的坐标为（4，1）． 故选：C． 2.（2024•海南模拟）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（-3，2） B．（3，2） C．（-3，-2） D．（3，-2） 【答案】B 【分析】让点A的横坐标为原来横坐标的相反数，纵坐标不变可得所求点的坐标． 【解答】解：∵A的坐标为（-3，2）， ∴A关于y轴的对应点的坐标为（3，2）． 故选：B． 【知识点3】作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 【题型1】关于坐标轴对称的点的坐标 【典型例题】某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣8，2），则点B的坐标为（　　） A.（2，8） B.（2，﹣8） C.（﹣8，﹣2） D.（8，2） 【答案】D 【解析】解：∵A，B关于y轴对称，点A的坐标为（﹣8，2）， ∴点B的坐标为（8，2）， 故选：D． 【举一反三1】若点A与点A′是平面直角坐标系中关于y轴对称的两个点，则下列说法正确的是（　　） A.点A与点A′横坐标相等 B.点A与点A′横坐标互为相反数，纵坐标相等 C.点A与点A′纵坐标互为相反数 D.点A与点A′横坐标相等，纵坐标互为相反数 【答案】B 【解析】解：∵点A与点A′是平面直角坐标系中关于y轴对称的两个点， ∴点A与点A′横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴四个选项中只有B选项说法正确，符合题意； 故选：B． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称，则m的值为（　　） A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【答案】D 【解析】解：∵在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称， ∴m﹣1＝3， ∴m＝4， 故选：D． 【举一反三3】直角坐标系内点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为　 　． 【答案】（﹣2，﹣3）． 【解析】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 【举一反三4】点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为            . 【答案】（－2，－3） 【解析】解：关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标互为相反数. 【举一反三5】已知点P（m﹣3，2m+4），根据下列条件求出各点的坐标． （1）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，则P点的坐标； （2）若点到两坐标轴的距离相等，则P关于x轴的对称点Q的坐标． 【答案】解：（1）∵点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2， ∴2m+4＝2， ∴2m+4＝2， 解得m＝﹣1， ∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4， ∴P（﹣4，2）； （2）∵点到两坐标轴的距离相等， ∴|m﹣3|＝|2m+4|， 即m﹣3＝2m+4或m﹣3＝﹣2m﹣4， 解得m＝﹣7或m＝﹣， ∴P（﹣10，﹣10）或（﹣，）， ∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为（（﹣10，10）或（﹣，﹣）． 【题型2】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 【典型例题】将△ABC的三个顶点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，则所得图形（ ） A.与原图形关于x轴对称 B.与原图形关于y轴对称 C.与原图形关于原点对称 D.向y轴的负方向平移了一个单位 【答案】B 【解析】解：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【举一反三1】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A.（﹣4，﹣2） B.（4，﹣2） C.（4，2） D.（﹣2，﹣4） 【答案】C 【解析】解：由所给图形可知， 此图形关于y轴对称， 所以点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（4，2）． 故选：C． 【举一反三2】在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC先向左平移3个单位，再作出其关于x轴的对称图形，则A点的对应点的坐标为（　　） A.（﹣3，﹣2） B.（﹣1，﹣2） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣3） 【答案】D 【解析】解：如图所示： △A′B′C′为平移后的三角形； △A″B″C″为关于x轴的对称图形． 由图可知，A点的对应点A″（﹣2，﹣3）． 故选：D． 【举一反三3】已知点A（-2，4），B（2，4），C（-1，2），D（1，2），E（-3，1），F（3，1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下的三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可以找出     组对称三角形. 【答案】4 【解析】解：分析易得，A、B的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；则A，B关于y轴对称，同理C、D，E、F都关于y轴对称，故在A、B，C、D，E、F三组点中，任取一个点，连接后形成的三角形与剩下三个点连成另一个三角形是对称三角形；进而可得，共4组不同的取法；故答案为：4． 【举一反三4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，﹣2）． （1）请在网格平面内画出平面直角坐标系； （2）若点C的坐标为（3，5），请标出点C，并画出△ABC； （3）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （4）直接写出△ABC的面积为 　      　． 【答案】解：（1）如图， （2）如图，点C和△ABC为所作； （3）如图，△A1B1C1为所作； （4）△ABC的面积＝×5×5＝． 故答案为：． 【举一反三5】在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△ABC的顶点B关于x轴对称的点B″的坐标为：B″　     　，A关于y轴对称的点A″的坐标为：A″　     　； （3）求△A′B′C′的面积． 【答案】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）∵点B（﹣4，3）， ∴点B关于x轴对称的点B″的坐标为（﹣4，﹣3）， 故答案为：（﹣4，﹣3）； ∵点A（﹣2，6）， ∴点A关于y轴对称的点A″的坐标为（2，6）， 故答案为：（2，6）； 综上所述：B″（﹣4，﹣3），A″（2，6）； （3）△A′B′C′的面积＝6×6﹣×6×3﹣×2×3﹣×4×6＝36﹣9﹣3﹣12＝12． 【题型3】用轴对称与平移变换作图 【典型例题】在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　　） A.（1，1） B.（3，1） C.（3，﹣1） D.（1，﹣1） 【答案】B 【解析】解：∵将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为（3，﹣1）， ∴得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（3，1）． 故选：B． 【举一反三1】将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变， ∴所得小旗的点与原来的小旗的点关于y轴对称， 故选：C． 【举一反三2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于y轴对称的点的坐标是 　     　． 【答案】（﹣1，2）． 【解析】解：∵点B（﹣1，2）， ∴向右平移两个单位后，B′（1，2）． ∴点B′（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 【举一反三3】△ABC与△A1B1C1关于直线x=1的对称，点A与A1是对称点，如果点A的坐标是（-2，3）那么点A1的坐标是            . 【答案】（4，3） 【解析】解：点A与A1是对称点，所以它们到对称轴x=1的距离相等，都为3，从而求得点A1的横坐标是1+3=4，而纵坐标不变，故点A1的坐标是（4，3）. 【举一反三4】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将△ABC向下平移6个单位，得△A1B1C1，△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请在图中作出△A2B2C2； （2）直接写出A2，B2，C2的坐标； （3）△A2B2C2的面积＝　      　． 【答案】解：（1）如图，△A2B2C2即为所求； （2）A2（﹣1，﹣3），B2（﹣2，﹣6），C2（﹣4，﹣1）； （3）△A2B2C2的面积＝3×5﹣×2×3﹣×2×5﹣×1×3＝5.5． 故答案为：5.5． 【题型4】镜面中的轴对称 【典型例题】室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　） A.3：20 B.3：40 C.4：40 D.8：20 【答案】B 【解析】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40． 故选：B． 【举一反三1】小明从镜中看到电子钟示数是11：01，则此时时间是（　　） A.11：01 B.01：11 C.11：10 D.10：11 【答案】D 【解析】解：此时实际时间是10：11． 故选：D． 【举一反三2】小明从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（　　） A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：21 【答案】D 【解析】解：此时实际时间是10：21． 故选：D． 【举一反三3】小明从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（　　） A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：21 【答案】D 【解析】解：此时实际时间是10：21． 故选：D． 【举一反三4】室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　） A.3：20 B.3：40 C.4：40 D.8：20 【答案】B 【解析】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40． 故选：B． 【举一反三5】小明从平面镜子中看到电子钟示数如图所示，这时的时刻应是 　  　 ． 【答案】16：25：08． 【解析】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是16：25：08． 故答案为：16：25：08． 【举一反三6】小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是 　     　 ． 【答案】12：08：51． 【解析】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是12：08：51． 故答案为：12：08：51． 【举一反三7】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　     　 ． 【答案】15：01 【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01． 故答案为：15：01． 【题型5】折叠中的轴对称 【典型例题】如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝α，则∠1的度数为（　　） A.2α B.90°﹣α C. D. 【答案】D 【解析】解：由折叠可得：∠AEF＝∠A'EF， ∴， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴， 故选：D． 【举一反三1】将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪成图d的样式，将纸展开铺平所得到的图形是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：严格按照图中的顺序先向上对折，然后向右对折，再分别从右下角剪去一个四分之一圆，从左上角和左下角各剪去一个直角三角形，展开得到D选项的图形． 【举一反三2】如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．解：由于得到的图形的中间是正方形，那么它的四分之一为等腰直角三角形．故选D． 【举一反三3】如图△ABC，D、E分别是AB、AC上两点，点A与点A'关于DE轴对称，DA'∥BC，∠A＝34°，∠CEA'＝54°，则∠BDA′＝　   　°． 【答案】122°． 【解析】解：∵点A与点A'关于DE轴对称， ∴∠A'＝∠A＝34°． 令AC与DA'的交点为F， 则∠AFD＝∠CEA'+∠A'， ∴∠AFD＝54°+34°＝88°， ∴∠BDA'＝∠A+∠AFD＝34°+88°＝122°． 故答案为：122°． 【举一反三4】如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝n，则∠DAE的度数为 　        　．（用含n的式子表示） 【答案】． 【解析】解：由折叠的性质可知∠DAE＝∠EAD'，由长方形的性质可知∠BAD＝90°， ∴∠DAE+∠EAD'+∠BAD'＝90°， ∴2∠EAD'+∠BAD'＝90°， ∴2（∠CAE+∠CAD'）+∠BAD'＝90°， ∵∠CAE＝2∠BAD'，∠CAD'＝n， ∴2（2∠BAD'+n）+∠BAD'＝90°， ∴2n+5∠BAD'＝90°， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕．求∠BDF的度数. 【答案】解：∵BF=CF=8，∴∠FBC=∠C=30°， ∵折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕， ∴∠EBF=∠CBF=30°，∴∠EBC=60°， ∴∠BDF=90°. 【题型6】台球桌面上的轴对称 【典型例题】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 【答案】D 【解析】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2020÷6=336…4， ∴当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹， ∴第2020次碰到矩形的边时的点为图中的点D； 故选：D． 【举一反三1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A.A 筐 B.B 筐 C.C 筐 D.D 筐 【答案】C 【解析】解：由题意，可画出图形如下：    由图可知，球Q最终会落在C筐， 故选：C． 【举一反三2】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A.号袋 B.号袋 C.号袋 D.号袋 【答案】C 【解析】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【举一反三3】如图是一个经过改造的台球桌面示意图(该图由相同的小正方形组成)，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入        号球袋． 【答案】1 【解析】解：根据题意，每次反射，都成轴对称变化，一个球按图中所示的方向被击出，经过3次反射后，落入1号球袋. 故答案为1. 【举一反三4】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是     【答案】673 【解析】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【举一反三5】已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【答案】解：如图所示：运动路线：． 【举一反三6】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】解：（1）如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【题型7】画成轴对称的两个图形 【典型例题】如图，正六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形A'B'C'D'E'F'．下列判断错误的是（　　） A.AB＝A'B' B.BC∥B'C' C.直线l⊥BB' D.∠A＝∠A' 【答案】B 【解析】解：由图形可知： A、点A和B对称点是点A′和B′，所以AB＝A′B′．故A是正确的； B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以BC∥D′E′，DE∥B′C′．故B是错误的． C、点B、E对称点分别是点B′、E′，所以BB’⊥直线l．故C是正确的． D、点A对称点是点A′，则∠A＝∠A'．故D是正确的． 故选：B． 【举一反三1】作已知点关于某直线的对称点的第一步是（　　） A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 【答案】B 【解析】作已知点关于某直线的对称点的第一步是过已知点作一条直线与已知直线垂直，故选：B． 【举一反三2】已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示） （1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点           ，          ，         . （2）分别延长DM，EP，FN至            ，使            ，            ，            ； （3）顺次连接            ，            ，           ，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI． 【答案】（1）M P N （2）点G、H、I MG=DM PH=EP NI=FN （3）GH HI IG 【举一反三3】如图，已知直线l和四边形ABCD，画四边形ABCD关于直线l的对称图形，将作图步骤补充完整： (1)分别过点A，B，C，D画直线l的垂线，垂足分别是________； (2)分别延长AP，DQ，BT，CG至点________，使________，________，________，________； (3)顺次连接________，________，________，________，得四边形ABCD关于直线l的对称图形四边形A1B1C1D1即为所求. 【答案】(1)P，T，G，Q (2)A1，B1，C1，D1　A1P＝AP　D1Q＝DQ　B1T＝BT　C1G＝CG (3)A1B1　B1C1　C1D1　D1A1 【举一反三4】如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1； （2）在直线l上找一点P，使点P到点B与点C的距离之和最小． 【答案】解：（1）如图1，△A1B1C1为所求； （2）如图，点P为所求． 【举一反三5】如图，每一个小正方形的边长为1． （1）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A'B'C'； （2）求△ABC的面积． 【答案】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求． （2）△ABC的面积为（1+5）×3﹣﹣＝9﹣1﹣＝． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2画轴对称的图形 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 1 【知识点2】坐标与图形变化-对称 2 【知识点3】作图-轴对称变换 2 【题型1】关于坐标轴对称的点的坐标 3 【题型2】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 4 【题型3】用轴对称与平移变换作图 5 【题型4】镜面中的轴对称 7 【题型5】折叠中的轴对称 8 【题型6】台球桌面上的轴对称 9 【题型7】画成轴对称的两个图形 11 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 1.（2025•湖北模拟）已知P、Q两点关于y轴对称，P点坐标为（-3，2），则点Q坐标为（　　） A．（3，2） B．（-3，2） C．（-3，-2） D．（3，-2） 【知识点2】坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称      横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称      纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称      ①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）      ②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b） 1.（2024秋•西城区校级期中）如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（-2，1），则点A关于直线l对称点的坐标是（　　） A．（2，1） B．（-2，-1） C．（4，1） D．（4，-1） 2.（2024•海南模拟）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（-3，2） B．（3，2） C．（-3，-2） D．（3，-2） 【知识点3】作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 【题型1】关于坐标轴对称的点的坐标 【典型例题】某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小路对称．在如图所示的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣8，2），则点B的坐标为（　　） A.（2，8） B.（2，﹣8） C.（﹣8，﹣2） D.（8，2） 【举一反三1】若点A与点A′是平面直角坐标系中关于y轴对称的两个点，则下列说法正确的是（　　） A.点A与点A′横坐标相等 B.点A与点A′横坐标互为相反数，纵坐标相等 C.点A与点A′纵坐标互为相反数 D.点A与点A′横坐标相等，纵坐标互为相反数 【举一反三2】在平面直角坐标系中，点A（5，m﹣1）与点B（﹣5，3）关于y轴对称，则m的值为（　　） A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【举一反三3】直角坐标系内点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为　 　． 【举一反三4】点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为            . 【举一反三5】已知点P（m﹣3，2m+4），根据下列条件求出各点的坐标． （1）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，则P点的坐标； （2）若点到两坐标轴的距离相等，则P关于x轴的对称点Q的坐标． 【题型2】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 【典型例题】将△ABC的三个顶点的横坐标乘以-1，纵坐标不变，则所得图形（ ） A.与原图形关于x轴对称 B.与原图形关于y轴对称 C.与原图形关于原点对称 D.向y轴的负方向平移了一个单位 【举一反三1】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A（﹣4，2）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A.（﹣4，﹣2） B.（4，﹣2） C.（4，2） D.（﹣2，﹣4） 【举一反三2】在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC先向左平移3个单位，再作出其关于x轴的对称图形，则A点的对应点的坐标为（　　） A.（﹣3，﹣2） B.（﹣1，﹣2） C.（﹣2，﹣2） D.（﹣2，﹣3） 【举一反三3】已知点A（-2，4），B（2，4），C（-1，2），D（1，2），E（-3，1），F（3，1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下的三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可以找出     组对称三角形. 【举一反三4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，﹣2）． （1）请在网格平面内画出平面直角坐标系； （2）若点C的坐标为（3，5），请标出点C，并画出△ABC； （3）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （4）直接写出△ABC的面积为 　      　． 【举一反三5】在平面直角坐标系中，点A、B、C、O都在边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△ABC的顶点B关于x轴对称的点B″的坐标为：B″　     　，A关于y轴对称的点A″的坐标为：A″　     　； （3）求△A′B′C′的面积． 【题型3】用轴对称与平移变换作图 【典型例题】在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　　） A.（1，1） B.（3，1） C.（3，﹣1） D.（1，﹣1） 【举一反三1】将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于y轴对称的点的坐标是 　     　． 【举一反三3】△ABC与△A1B1C1关于直线x=1的对称，点A与A1是对称点，如果点A的坐标是（-2，3）那么点A1的坐标是            . 【举一反三4】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将△ABC向下平移6个单位，得△A1B1C1，△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请在图中作出△A2B2C2； （2）直接写出A2，B2，C2的坐标； （3）△A2B2C2的面积＝　      　． 【题型4】镜面中的轴对称 【典型例题】室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　） A.3：20 B.3：40 C.4：40 D.8：20 【举一反三1】小明从镜中看到电子钟示数是11：01，则此时时间是（　　） A.11：01 B.01：11 C.11：10 D.10：11 【举一反三2】小明从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（　　） A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：21 【举一反三3】小明从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（　　） A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：21 【举一反三4】室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（　　） A.3：20 B.3：40 C.4：40 D.8：20 【举一反三5】小明从平面镜子中看到电子钟示数如图所示，这时的时刻应是 　  　 ． 【举一反三6】小红站在平面镜前，通过镜子看到电子钟的示数如图所示，这时的时刻应是 　     　 ． 【举一反三7】小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 　     　 ． 【题型5】折叠中的轴对称 【典型例题】如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝α，则∠1的度数为（　　） A.2α B.90°﹣α C. D. 【举一反三1】将一个正方形纸片依次按图a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪成图d的样式，将纸展开铺平所得到的图形是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图△ABC，D、E分别是AB、AC上两点，点A与点A'关于DE轴对称，DA'∥BC，∠A＝34°，∠CEA'＝54°，则∠BDA′＝　   　°． 【举一反三4】如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝n，则∠DAE的度数为 　        　．（用含n的式子表示） 【举一反三5】如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕．求∠BDF的度数. 【题型6】台球桌面上的轴对称 【典型例题】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 【举一反三1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A.A 筐 B.B 筐 C.C 筐 D.D 筐 【举一反三2】如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A.号袋 B.号袋 C.号袋 D.号袋 【举一反三3】如图是一个经过改造的台球桌面示意图(该图由相同的小正方形组成)，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入        号球袋． 【举一反三4】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是     【举一反三5】已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【举一反三6】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【题型7】画成轴对称的两个图形 【典型例题】如图，正六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形A'B'C'D'E'F'．下列判断错误的是（　　） A.AB＝A'B' B.BC∥B'C' C.直线l⊥BB' D.∠A＝∠A' 【举一反三1】作已知点关于某直线的对称点的第一步是（　　） A.过已知点作一条直线与已知直线相交 B.过已知点作一条直线与已知直线垂直 C.过已知点作一条直线与已知直线平行 D.不确定 【举一反三2】已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示） （1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点           ，          ，         . （2）分别延长DM，EP，FN至            ，使            ，            ，            ； （3）顺次连接            ，            ，           ，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI． 【举一反三3】如图，已知直线l和四边形ABCD，画四边形ABCD关于直线l的对称图形，将作图步骤补充完整： (1)分别过点A，B，C，D画直线l的垂线，垂足分别是________； (2)分别延长AP，DQ，BT，CG至点________，使________，________，________，________； (3)顺次连接________，________，________，________，得四边形ABCD关于直线l的对称图形四边形A1B1C1D1即为所求. 【举一反三4】如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1． （1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1； （2）在直线l上找一点P，使点P到点B与点C的距离之和最小． 【举一反三5】如图，每一个小正方形的边长为1． （1）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A'B'C'； （2）求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $