周末小金卷四-【周末小金卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

周末小金卷四 (考试范围：14.2HL~14.3) （时间：45分钟 满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=5,BD=3,则点D到 AB的距离是 A.2 B.3 C.4 D.5 D B 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,若BE=CF,则Rt△BCF≌Rt△CBE的理 叔 由是 A.AAS B.HL C.SAS D.ASA 3.如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD,CB⊥AB,垂足分别为D,B,CD=CB.求证Rt△ADC ≌Rt△ABC.以下是排乱的证明过程：①∠D=∠B=90°；②∴.Rt△ADC≌ Rt△ABC(HL);③：CD⊥AD,CB⊥AB;④在Rt△ADC和R△ABC中，CD=CB. 「AC=AC, 证明步骤正确的顺序是 A.③②④① B.③①④② C.①②③④ D.①③④② 4.新情境〔实际情境〕如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水 供应设备，备受大众喜爱.该太阳能安装后，我们可以将其看作△ABC(如图2).为 了使其更加牢固，安装工人增加了AE,DE两根支架若支架AE与地面CE呈60°， 支架DE⊥AB,∠C=90°，∠BAC=2∠B,CE=0.8m,则DE的长为 () A.0.6m B.1.6m C.0.8m D.1 m 图1 图2 D E 第4题图 第5题图 5.如图，∠D=∠E=∠ACB=90°，能保证Rt△ADC≌Rt△CEB的成立条件有（ ①∠ABC=45°；②AD=CE;③AC=2AD;④CD=BE. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，在△ABC中，D,E为边AC上两点，连接BD,BE,DF⊥BE于点F,若∠A= 90°，AD=DF,∠DBF=25°，则∠BEC的度数为 () A.115° B.120° C.125° D.140° B B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC,CD⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论：①∠AED= 90°：②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.四个结论中成立的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点F,作DE⊥AC,垂足为 E,连接AD,若∠BAD=90°，AD=4,AC=7,则EF的长为 () A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 二、填空题（每小题4分，共16分）》 9.如图，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D=90°，AC=DE,若要用“斜边、直角边 (HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件： D P E 第9题图 第10题图 第12题图 10.如图，点P是△ABC内部的一点，点P到三边AB,AC,BC的距离PD=PE=PF, 若∠BPC=142°，则∠BAC的度数为 11.下列条件中，①一条直角边及其对角对应相等；②斜边和一条直角边对应相等； ③斜边和一锐角对应相等；④两个锐角对应相等.能使两个直角三角形全等的 有 12.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4, 则四边形ABCD的面积是 三、解答题（本大题共6个小题，共52分） 13.(6分)教改题已知命题：全等三角形的对应边上的高相等 R (1)写成“如果…那么…” 周末小金卷·数学·八年级上册 。7 (2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程 14.(8分)如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于点 E,CF⊥EF于点F,AE=CF,求证Rt△ADE≌Rt△CDF. 15.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD,连接BD,延长AB,DC交于点E, ∠ABD=∠CBD. (1)求证AD=CD; (2)若BE=BD,∠BCD=90°，AD=2,求DE的长. 16.(8分)数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用无刻度的直尺和圆规作角 平分线，方法如下： 作法： ①在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. \®B 2分别以点D,E为圆心，大于2DE的长为半径作弧，两孤在∠40B内 交于点C D ③作射线OC,射线OC即为∠AOB的平分线 (1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 (2)小聪只带了一个直角三角板，他发现利用直角三角板也可以作角平分线，方 法如下： 步骤： ①利用三角板上的长直角边，在OA和OB上分别截取OM,ON,使OM=ON. ②分别过点M,N作OM,ON的垂线，交于点P. ·8 周末小金卷·数学·八年级上册 ③作射线OP,射线OP即为∠AOB的平分线. 小聪的作法正确吗？请说明理由. 17.（10分)数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.求证BD=AC. 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AA$’证明两个三角形全等，从而 得到BD=AC.” 小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等， 从而得到BD=AC.” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC.” 你认为他们的办法可行吗？并试着证明 南 0 18.(12分)新素养〔应用意识〕如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，连接 AD,∠ACB=110°，∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H, 且∠CEH=55 的 (1)求∠ACE的度数； (2)求证AE平分∠CAF; (3)若AC+CD=14,AB=8.5,且SA4CD=21,求△ABE的面积符合条件的点D的坐标为D(-1,3), D2(4,-1),D3(-1,-1). :0A=3x0B-号 9.1 13.解：如图，沿正中间竖直的一条直线可将这块 10.4【解析】(1)(6)是全等形，(2)(3)(5)是 地分成形状，大小相同的两块，再沿正中间水 全等形，全等图形共4对. 平的一条直线可将这块地分成形状、大小相 11.225°【解析】在△ABC和△AEF中， 同的四块地.（答案不唯一） AB=AE, ∠B=∠E, BC=EF, ∴.△ABC≌△AEF(SAS).∴.∠5=∠BCA. .∠1+∠5=∠1+∠BCA=90. 14.(1)解：如图1所示，△BAD即为所求作. rAB=AE, 在△ABD和△AEH中 ∠B=∠E, BD HE, ∴.△ABD≌△AEH(SAS)..∠4=∠BDA. D ∴.∠2+∠4=∠2+∠BDA=90° 图1 .∠3=45°， (2)证明：如图2，·△BAD≌△ABC, ∴.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+ ∴AD=BC,BD=AC. 45°=225° 在△ADC和△BCD中， 2.号 【解析】如图，过点C作CM上y轴于点 rAD=BC, 0 AC=BD, M,CN⊥x轴于点N. DC =CD, 0 Y 图2 M ·.△ADC≌△BCD(SSS). (3)解：如图2，∠ABC=115°，∠ACB=30°， ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=35 .:△BAD≌△ABC,∴.∠ABD=∠BAC=35 C(5,5),∴.CN=CM=5. .∠AOD=∠ABD+∠BAC=70° .OM=ON CN =CM=5. .△ADC≌△BCD,∴.∠ACD=∠BDC. .·∠ACB=90°，∴.∠ACB=∠MCN. .·∠ACM=90°-∠ACN,∠BCN=90°-∠ACN, ∴.∠AOD=∠BDC+∠ACD=2∠ACD. .∠ACM=∠BCN. LACD=7∠A0D=350 ∠ACM=∠BCN, 15.解：(1).：△ABD≌△EBC, 在△ACM和△BCN中，CM=CN, .'BE=AB =3 cm,BD =BC=5 cm. L∠CMA=∠CNB=90°， .'DE BD BE =2 cm. ∴.△ACM≌△BCW(ASA)..AM=BN. (2)AC⊥BD.理由如下： .OA +OB =0A +ON BN =0A ON ,△ABD≌△EBC,∴.∠EBC=∠ABD. AM=0N+OM=5+5=10. 又.∠ABD+∠EBC=180°， ∴.∠ABD=∠EBC=90°..AC⊥BD. (3)当点P在AC上，点Q在BC上时， 16.证明：.将线段DE绕点D顺时针旋转90°至 .∠ACB=90,.∠PCE+∠QCF=90° DF的位置， PE⊥l于点E,QF⊥1于点F, .DE=DF,∠EDF=90° ∴.∠PEC=∠CFQ=90°. 在正方形ABCD中，CD=AD,∠ADC=90°， ∴.∠EPC+∠PCE=90°..∴.∠EPC=∠FCQ. ∴.∠EDF-∠ADE=∠ADC-∠ADE, ,△PEC≌△CFQ..PC=CQ 即∠ADF=∠CDE. 6-t=8-3t,解得t=1.∴.CQ=8-3t=5; DF=DE, 当点P在AC上，点Q在AC上，即点P,Q重 在△ADF与△CDE中，{∠ADF=∠CDE, 合时，CQ=PC.∴.6-t=3t-8,解得t=3.5. LAD =CD, ∴.CQ=3t-8=2.5; .△ADF≌△CDE(SAS). 当点P在BC上，点Q在AC上，即点A,Q重 17.证明：(1)CE∥AB, 合时，CQ=AC=6. ∴.∠ABD=∠CED,∠BAD=∠ECD. 综上，当△PEC与△CFQ全等时，满足条件 ·BD是△ABC中边AC上的中线， 的CQ的长为5或2.5或6. .AD=CD 周末小金卷四 r∠ABD=∠CED, 1.A2.B3.B4.C5.C 在△ABD和△CED中，{∠BAD=∠ECD, 6.D【解析】DF⊥BE,∴.∠DFB=90 LAD CD, .∠A=90°， ∴.△ABD≌△CED(AAS). BD =BD, (2):△ABD≌△CED,∴.BD=DE. 在Rt△ADB和Rt△FDB中 AD=DF, 又DE=DF,∴.BD=DF ∴.Rt△ADB≌Rt△FDB(HL). ,'∠ADF=∠CDE,∠CDE=∠ADB, ∴.∠ABD=∠FBD .∠ADB=∠ADF. ∴.BD是∠ABE的角平分线. .180°-∠ADB=180°-∠ADF ∠DBF=25°，.∠ABE=2∠DBF=50. ∴.∠BDC=∠FDC. ∴.∠BEC=∠A+∠ABE=90°+50°=140°. BD DF, 7.C【解析】如图，过点E作EF⊥AD于点F. 在△BDC和△FDC中，{∠BDC=∠FDC, CD CD, ∴.△BDC≌△FDC(SAS). ∴.∠BCD=∠FCD. D ∴.CA平分∠BCF. .:AB⊥BC,AE平分∠BAD, 18解：(1)由题意，得1+31=6+8，解得1=子 ∴.∠AFE=∠B=90°，∠EAF=∠EAB. 当P,Q两点相渴时，4的值为子 r∠AFE=∠B, 在△AEF和△AEB中，∠EAF=∠EAB, (2)由题意可知AP=t, LAE=AE, ∴.△AEF≌△AEB(AAS) 则CP的长为 6-t(t≤6)， 1t-6(6<t≤14). ∴.BE=EF,AB=AF,∠AEF=∠AEB. 周末小金卷·数学·八年级上册 ·25· ,点E是BC的中点.∴.CE=EF=BE.故③错 误；'.Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)..FD=CD, ∠FDE=∠CDE,∠DEF=∠DEC.故②正确； ∴.AD=AF+FD=AB+CD.故④正确； 6 :LAED=LAEF+∠DEP=7∠BEC=90 .BD平分∠ABC,.DE=DC=4 故①正确. S85m=Sam+SAm=分AB·DE 8.A【解析】如图，作DH⊥BC交BC的延长线 28c.GD-7×6x4+7x9x4=30 于点H,连接CD,则∠H=90°， 13.解：(1)如果两条线段是全等三角形的对心 边上的高，那么这两条线段相等 (2)已知：如题图，△ABC≌△A'B'C', AD⊥BC,A'D'⊥B'C 求证：AD=A'D' :∠BAD=90°，BD平分∠ABC, 证明：.△ABC≌△A'B'C', .AB=A'B',∠B=∠B' .'HD =AD =4. AD⊥BC,A'D'⊥B'C', ,DE⊥AC,∴.∠DEC=∠ACB=90. ∴.∠ADB=∠A'D'B'=90 ∴.DE∥BC,∠DEC=∠H. 在△ABD和△A'B'D'中， ∴.∠EDC=∠HCD. ,∠ADB=∠A'D'B'=90°， r∠DEC=∠H, ∠B=LB', 在△EDC和△HCD中 ∠EDC=∠HCD, LAB=A'B', DC=CD, ∴.△ABD≌△A'B'D'(AAS) ∴.△EDC≌△HCD(AAS). .AD =A'D'. .EC=HD =4. 14.证明：如图，连接BD .AC=7,.AE=AC-EC=7-4=3. 在R△HBD和R△ABD中，D=AD, [BD=BD, ·.Rt△HBD≌Rt△ABD(HL). ∴.∠HDB=∠ADB. B ∠BAD=∠BCD=90°， :∠H=∠ACB=90°，∴.DH∥AC. 在R△ABD和R△CBD中，AB=CB, (BD =BD, .∴.∠HDB=∠AFD. ∴.∠ADB=∠AFD.∴.AF=AD=4. ∴.Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)..AD=CD. .EF=AF-AE=4-3=1. AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, 9.BC=FE(或BE=CF)10.104°11.①②③ ∴.∠E=∠F=90° 12.30【解析】如图，过点D作DE⊥BA,交BA [AD =CD, 在Rt△ADE和Rt△CDF中， 的延长线于点E. AE =CF, ·26· 周末小金卷·数学·八年级上册 .∴.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). ∴.∠D=∠C=90° 15.(1)证明：在△ABD和△CBD中， 在Rt△ABD和Rt△BAC中， [AB=BA, r∠A=∠BCD, AD=BC, ∠ABD=∠CBD, ∴.Rt△ABD≌Rt△BAC(HL). BD =BD, ∴.BD=AC. ∴.△ABD≌△CBD(AAS)..AD=CD. (2)解：.∠BCD=90°，∴.∠BCE=90°， BE=BD, 在Rt△BCE和Rt△BCD中，{ BC=BC, 证明3：如图，由证明1，得 .Rt△BCE≌Rt△BCD(HL). △AOD≌△B0C, .CE CD. .SAA0D=S△B0C 又AD=CD,AD=2, .S AAOD+SAA0B=S△BOC+S△A0B, .DE =2CD =2AD=4. 即S AABD=S△ABC: 16.解：(1)SSS【解析】如图，连接CE,CD. 又：Sam=2ADBD,Sc=2BC·AC, E 2AD~BD-C·4AC DI AD=BC,∴.BD=AC 由作图可知，OE=OD,CE=CD. 18.（1)解：∠ACB=110°， :0C=0C,∴.△E0C≌△D0C(SSS). .∠ACD=180°-110°=70°. ∴.∠EOC=∠D0C.∴.OC平分∠A0B. EH⊥BD,∴.∠CHE=90° (2)小聪的作法正确. ∠CEH=55°，∴.∠ECH=90°-55°=35. 理由：由作图可知，OP=OP,OM=ON, .∠ACE=∠ACD-∠ECH=35°. ∠ONP=∠OMP=90°， (2)证明：如图，过点E分别作EM⊥BF于点 ∴.Rt△OWP≌Rt△OMP(HL). M,EN⊥AC与点N. ∴.∠PON=∠POM..OP平分∠AOB. .BE平分∠ABC,∴.EM=EH. 17.解：都可行. ·∠ACE=∠ECH=35°， 证明1：·AC⊥BC,BD⊥AD, .CE平分∠ACD.∴.EN=EH. ∴.∠D=∠C=90 .EM=EN..AE平分∠CAF ∠AOD=∠B0C, 在△AOD和△BOC中， ∠D=∠C, M NA LAD=BC, ∴.△AOD≌△BOC(AAS). B ∴.A0=B0,D0=C0. (3)解：如图，：AC+CD=14,SA4cD=21, ∴.B0+D0=AO+C0,即BD=AC. EM=EN=EH, 证明2：如图，连接AB. AC⊥BC,BD⊥AD, MC=SC+C=AC EN+CD EBH=7(AC+CD)·BM=21,即2×14· EM=21,解得EM=3. :AB=8.5,Sm=7AB·BM=7× 85×3- 周末小金卷五 1.C2.B3.B4.A5.C6.C7.B 8.B【解析】：DE垂直平分BC,交BC于点D, 交AB于点E,∴.BE=CE,BD=CD. ,·△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，∴.CE+DE+CD=24,① (AB+BC+AC)-(AE +DE+CD+AC)= (AE +BE +2CD +AC)-(AE +DE +CD +AC) =BE+CD-DE=12.② ①-②，得2DE=12,解得DE=6. 9.角的平分线上的点到角两边的距离相等 10.(4,1)11.22 12.708【解析】·，点B关于△ABC的角平分 线CB1的对称，点为A1, .CB=CAL,BB=BA1. CB1=CB1,∴.△CB,B≌△CB1A1(SSS). .∠CA1B1=∠CBB1=80° ∠A=180°-∠ACB-∠ABC=10°， ∠CA1B1=∠A1B1A+∠A, .∠A1B1A=70°. 同法可得∠A2B2A=60°，…， ∠An-1Bn-1A=80°-10°×(n-1), 当∠An-1Bn-1A=∠A时，点Bn-1与A重合， ∴.80°-10°×(n-1)=10°，解得n=8, 13.解：如图所示.（答案不唯一) 图1 图2 图3 14.解：(1)如图，△AB1C1即为所求作 4-3:-2-10 12345x -3 -4 5引 A1(4,1),B1(3,3),C1(1,2) (2):△ADC兰△ABC,∴.AD=AB,CD=CB. 点D在x轴上，∴点D的位置如图所示 ∴.点D的坐标为(-2,0). 15.(1)证明：'AD∥BC,.∠ADE=∠FCE. E为CD的中点，∴.DE=CE. ∠ADE=∠FCE, 在△ADE与△FCE中，{DE=CE, ∠DEA=∠CEF, .△ADE≌△FCE(ASA).∴.AD=FC. (2)解：当BC的长为2时，点B在线段AF的 垂直平分线上.理由如下： .BC=2,AD=3,AB=5, .AB=BC AD. 又.CF=AD,BC+CF=BF, ∴AB=BF ∴.点B在线段AF的垂直平分线上 16.解：(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z. ,MP和NQ分别垂直平分AB和AC, .AP=BP,AQ=CQ,∠AMP=∠BMP= ∠ANQ=∠CNQ=90°. MP =MP,NO =NO, ∴.Rt△AMP≌Rt△BMP(HL), Rt△ANQ≌Rt△CNQ(HL). ∴.∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y. :∠BAC=80°，.∠B+∠C=100° ∴.x+y+z=80°，x+z+x+y=100°. ∴.x=20°，即∠PAQ=20° 3.C【解析】：在△ABD中，BD=AD,∠B= (2).△APQ的周长为12， 62°，∴.∠B=∠BAD=62°. ∴.AQ+PQ+AP=12. ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=124°.'AD=CD, .AQ=CO,AP =BP, .∠C=(180°-∠ADC)÷2=28°， .CQ +PO+BP =12. 4.D【解析】由平行可得∠M=70°，∠N=40°， .CQ+BQ+2P0=12,BC+2PQ=12. 则∠NPM=180°-∠M-∠N=70°. BC=8,.PQ=2. .NP=NM=40×2=80(海里). 17.解：(1)：11是边AB的垂直平分线，l2是边 5.D【解析】OC=CD=DE, AC的垂直平分线，∴.AD=BD,AE=CE, ∴.∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC. ·△ADE的周长为8cm, ∴.∠DCE=∠0+∠ODC=2∠ODC. .BC=BD +DE CE =AD +DE +AE=8 cm. :∠0+∠OED=3∠ODC=∠BDE=69°， (2)如图，设直线1与 .∠0DC=23. 边AB交于点G,直线2 .:∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=111°， 与边AC交于点H. ∴.∠CDE=111°-∠0DC=88°. 1是边AB的垂直平 6.B【解析】如图，连接BP 分线， .∴.∠AGD=∠BGD=90 AD BD,DG=DG, ∴.Rt△ADG≌Rt△BDG(HL). .∠BAD=∠ABC. :直线EF是△ABC中边BC的垂直平分线， 同理可得∠CAE=∠ACB. 点P是直线EF上的一个动点， ,·∠BAC=128°， ∴.BP=CP.∴.AP+CP=AP+BP ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=52°. ∴.AP+CP≥AB. .∴.∠BAD+∠CAE=52°. .△APC周长的最小值=AB+AC=8+4=12. ∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=76. 7.C【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,BD为 腰AC上的高，∠ABD=40°. (3)11是边AB的垂直平分线，L2是边AC 的垂直平分线， 当BD在△ABC内部时，如图1， ∴.OA=0B,0A=OC. BD为高，∴.∠ADB=90° ∴.∠BAD=90°-40°=50. ∴.OA=OB=0C .AB=AC, △OBC的周长为18cm, ∴.OB+OC+BC=18cm. LABC=∠ACB=7×(180°-50)=65； 由(1)，得BC=8cm. 0B=0C=2(18-BC)=5cm .OA =5 cm. 周末小金卷六 图1 图2 1.C2.A 当BD在△ABC外部时，如图2， 周末小金卷·数学·八年级上册 ·27·