周末小金卷六-【周末小金卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

周末小金卷六 (考试范围：15.3~综合与实践)（时间：45分钟 满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是 ( A.50° B.65° C.80° D.100° 2.如图，在三角测平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤，让它自然下垂， 如果调整架身，使重锤线正好经过点A,那么就能确认BC处于水平位置.这种做 法依据的数学原理是 A.等腰三角形的三线合一 B.等角对等边 C.三角形具有稳定性 D.等边对等角 C D B 北 个→东 409 拟 D M 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，BD=AD=DC,∠B=62°，则∠C的度数为 A.30° B.32 C.28 D.48° 4.新考法〔跨学科〕如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海 里/小时的速度向正北方向航行，2h后到达灯塔P的北偏东40°方向的N处，则 N处与灯塔P的距离为 A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里 5.新考法〔数学文化〕“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借 助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC=CD=DE,点 D,E可在槽中滑动，若LBDE=69°，则∠CDE的度数是 () A.60° B.69° C.76 D.88° EA 0 -K F 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，EF是BC的垂直平分线，点P是直线EF上的一个动点.若 AB=8,BC=6,AC=4,则△APC周长的最小值是 ( A.10 B.12 C.14 D.18 主题情境古代建筑智慧请完成第7~8题 贞观年间，长安城光宅寺重修七宝塔时，匠师宇文恺亲历两桩几何玄机，后写 道“凡等腰之用，必察顶角之阴阳，如塔顶两解实为天时地势之别；而分形破局，当 循数术穷尽所有道.” 7.当宇文恺测绘西塔尖顶时，测得等腰三角形塔顶一腰上的高线（自宝珠垂至鸱 chi尾)与另一腰夹角为40°，那么该等腰三角形塔顶的底角是 A.65° B.35o C.65°或25° D.35°或55 8.如图，东塔藻井的雕花是一个三角形（∠C=36°）的图案.宇文恺尝试在边AC上 选取一点D,沿BD剪开图案，结果发现剪开后的两部分竟然都是等腰三角形.这 个图形中∠A的度数可能有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题4分，共16分） 9.如图，∠AOB=60°，点C是B0延长线上的一点，OC=6cm,动点P从点C出发沿 射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度 移动，如果点P,Q同时出发，用t(单位：s)表示移动的时间，当t= s时， △POQ是等边三角形 A B 0 CP O M 第9题图 第11题图 第12题图 10.在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，点D在线段AB上，△ACD是等腰三角 形，则∠BCD的度数为 11.如图，在等边三角形ABC中，D为边BC的中点，DE⊥AB交AB于点E,DF⊥DE 交AC于点F,若BE=2,则AF的长为 12.散改题如图，∠A0B=30°，点P在∠AOB内部，OP=6.5,点M,N分别是OA,0B 上的动点，若存在点M,N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是 三、解答题（本大题共6个小题，共52分） 13.(6分)如图，已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直角尺DEMN如图所示摆 放，使边EM与边OB重合，顶点D落在边OA上，边DN与OC交于点P.判断 △DOP是否为等腰三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由. A D P 平Ψ平mTm 0 0 1234 E B M 周末小金卷·数学·八年级上册 ·11… 14.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,CA平分∠BCD,AM⊥CD于点M, BN⊥AC于点N,连接MN. (1)求证AB=BC; (2)若∠BAC=30°，求证△AMN是等边三角形. 15.（8分)新情境〔实际情境〕晓晓想测量一棵树的高度AB,如图，树干AB上的C处 开始有分枝长出，晓晓在地面上的点D处测得∠CDB=45°，他操控一架无人 机，使无人机停留在空中点P处时，恰好测得PA=PE,PC=PD,且A,P,D三点 在一条直线上，C,P,E三点在一条直线上，点E在BD的延长线上，若BD= 6米，DE=5米，AB⊥BE于点B,请你求出这棵树的高度AB. 16.(8分)如图，某公路（可视为x轴）的同一侧有A,B,C三个村庄，要在公路边 (x轴上)建一仓库D,向A,B,C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D 或D→C→B→A→D.请运用所学知识并结合该图，在坐标系中x轴上标出使送 货路线之和最短的点D所在的位置.（要求：完成作图并简要说明作法） 4fB职4 3 2 A(1,2 1 C(4,1) 01234x ·12· 周末小金卷·数学·八年级上册 17.（10分)新素养〔推理能力〕如图，点0是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°， ∠BOC=a.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AD, (1)当=150时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 1100 B 18.（12分)如图，∠ABC=∠ADC=90°，AC与BD相交于点E,∠ABD=∠ADB. 掘 (1)求证AC垂直平分BD; (2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F,AB=AF ①求证△BCD是等边三角形； ②如果G,H分别是线段AC,线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请 确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系EBH=7(AC+CD)·BM=21,即2×14· EM=21,解得EM=3. :AB=8.5,Sm=7AB·BM=7× 85×3- 周末小金卷五 1.C2.B3.B4.A5.C6.C7.B 8.B【解析】：DE垂直平分BC,交BC于点D, 交AB于点E,∴.BE=CE,BD=CD. ,·△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，∴.CE+DE+CD=24,① (AB+BC+AC)-(AE +DE+CD+AC)= (AE +BE +2CD +AC)-(AE +DE +CD +AC) =BE+CD-DE=12.② ①-②，得2DE=12,解得DE=6. 9.角的平分线上的点到角两边的距离相等 10.(4,1)11.22 12.708【解析】·，点B关于△ABC的角平分 线CB1的对称，点为A1, .CB=CAL,BB=BA1. CB1=CB1,∴.△CB,B≌△CB1A1(SSS). .∠CA1B1=∠CBB1=80° ∠A=180°-∠ACB-∠ABC=10°， ∠CA1B1=∠A1B1A+∠A, .∠A1B1A=70°. 同法可得∠A2B2A=60°，…， ∠An-1Bn-1A=80°-10°×(n-1), 当∠An-1Bn-1A=∠A时，点Bn-1与A重合， ∴.80°-10°×(n-1)=10°，解得n=8, 13.解：如图所示.（答案不唯一) 图1 图2 图3 14.解：(1)如图，△AB1C1即为所求作 4-3:-2-10 12345x -3 -4 5引 A1(4,1),B1(3,3),C1(1,2) (2):△ADC兰△ABC,∴.AD=AB,CD=CB. 点D在x轴上，∴点D的位置如图所示 ∴.点D的坐标为(-2,0). 15.(1)证明：'AD∥BC,.∠ADE=∠FCE. E为CD的中点，∴.DE=CE. ∠ADE=∠FCE, 在△ADE与△FCE中，{DE=CE, ∠DEA=∠CEF, .△ADE≌△FCE(ASA).∴.AD=FC. (2)解：当BC的长为2时，点B在线段AF的 垂直平分线上.理由如下： .BC=2,AD=3,AB=5, .AB=BC AD. 又.CF=AD,BC+CF=BF, ∴AB=BF ∴.点B在线段AF的垂直平分线上 16.解：(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y,∠BAQ=z. ,MP和NQ分别垂直平分AB和AC, .AP=BP,AQ=CQ,∠AMP=∠BMP= ∠ANQ=∠CNQ=90°. MP =MP,NO =NO, ∴.Rt△AMP≌Rt△BMP(HL), Rt△ANQ≌Rt△CNQ(HL). ∴.∠B=∠BAP=x+z,∠C=∠CAQ=x+y. :∠BAC=80°，.∠B+∠C=100° ∴.x+y+z=80°，x+z+x+y=100°. ∴.x=20°，即∠PAQ=20° 3.C【解析】：在△ABD中，BD=AD,∠B= (2).△APQ的周长为12， 62°，∴.∠B=∠BAD=62°. ∴.AQ+PQ+AP=12. ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=124°.'AD=CD, .AQ=CO,AP =BP, .∠C=(180°-∠ADC)÷2=28°， .CQ +PO+BP =12. 4.D【解析】由平行可得∠M=70°，∠N=40°， .CQ+BQ+2P0=12,BC+2PQ=12. 则∠NPM=180°-∠M-∠N=70°. BC=8,.PQ=2. .NP=NM=40×2=80(海里). 17.解：(1)：11是边AB的垂直平分线，l2是边 5.D【解析】OC=CD=DE, AC的垂直平分线，∴.AD=BD,AE=CE, ∴.∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC. ·△ADE的周长为8cm, ∴.∠DCE=∠0+∠ODC=2∠ODC. .BC=BD +DE CE =AD +DE +AE=8 cm. :∠0+∠OED=3∠ODC=∠BDE=69°， (2)如图，设直线1与 .∠0DC=23. 边AB交于点G,直线2 .:∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=111°， 与边AC交于点H. ∴.∠CDE=111°-∠0DC=88°. 1是边AB的垂直平 6.B【解析】如图，连接BP 分线， .∴.∠AGD=∠BGD=90 AD BD,DG=DG, ∴.Rt△ADG≌Rt△BDG(HL). .∠BAD=∠ABC. :直线EF是△ABC中边BC的垂直平分线， 同理可得∠CAE=∠ACB. 点P是直线EF上的一个动点， ,·∠BAC=128°， ∴.BP=CP.∴.AP+CP=AP+BP ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=52°. ∴.AP+CP≥AB. .∴.∠BAD+∠CAE=52°. .△APC周长的最小值=AB+AC=8+4=12. ∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=76. 7.C【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,BD为 腰AC上的高，∠ABD=40°. (3)11是边AB的垂直平分线，L2是边AC 的垂直平分线， 当BD在△ABC内部时，如图1， ∴.OA=0B,0A=OC. BD为高，∴.∠ADB=90° ∴.∠BAD=90°-40°=50. ∴.OA=OB=0C .AB=AC, △OBC的周长为18cm, ∴.OB+OC+BC=18cm. LABC=∠ACB=7×(180°-50)=65； 由(1)，得BC=8cm. 0B=0C=2(18-BC)=5cm .OA =5 cm. 周末小金卷六 图1 图2 1.C2.A 当BD在△ABC外部时，如图2， 周末小金卷·数学·八年级上册 ·27· BD为高，∴.∠ADB=90° :DE⊥AB,∴.∠BDE=30 ∴.∠BAD=90°-40°=50°. ∴.BD=2BE=4.∴.CD=4,AC=BC=8. AB=AC, :DF⊥DE,.∠CDF=60°. ÷∠ABC=∠ACB=7∠BAD=250 ,∠C=60°，.△CDF为等边三角形， .CF=CD=4. 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65 ∴.AF=AC-CF=8-4=4. 或25°. 12.6.5【解析】如图，分别作点P关于0A,OB 小斗科普 的对称点C,D,连接CD,分别交OA,OB于点 宇文恺在《测圆海镜》中强调：“阴解为权，阳解为经， M',N',连接OC,OD,DN,CM,PN',PM'. 经权互用方成妙法.”实际工程中：长安皇家寺庙主塔 多取65°，以强化庄重感与结构稳定性.地方佛塔如剑 南道（今四川）多雨区，则用25°兼顾排水与结构轻 量化. 8.D【解析】由题意知，△ABD与△DBC均为等 C 腰三角形. 点P关于OA的对称，点为C, ①BC=CD,此时∠CDB=∠CBD .PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA =(180°-∠C)÷2=72°， ,点P关于OB的对称，点为D, ∴.∠BDA=180°-∠CDB=180°-72°=108. .PN=DN,OP=OD,∠DOB=∠POB. 当AB=AD时，∠ABD=108(舍去)； .0C=0D=0P=6.5. 当AB=BD时，∠A=108(舍去)； ∴.∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+ 当AD=BD时，∠A=72°÷2=36°； ∠D0OB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60° ②BC=BD,此时∠CDB=∠C=36°， .△COD是等边三角形. ∴.∠BDA=180°-∠CDB=180°-36°=144°， ∴.CD=0C=0D=6.5. 当AB=AD时，∠ABD=144(舍去)； ∴.△PNM周长的最小值为 当AB=BD时，∠A=144°（舍去）； PN+MN+PM=CM+MN DNCD =6.5. 当AD=BD时，∠A=36°÷2=18°； 13.解：△DOP为等腰三角形.证明如下： ③CD=BD,此时∠CDB=180°-2∠C=108°， :OC平分LAOB, ∴.∠BDA=180°-∠CDB=180°-108°=72°. 当AB=AD时，∠A=180°-2∠BDA=36°； &∠D0P=∠BOP=7∠A0B 当AB=BD时，∠A=72°； 由题意可知，DN∥EM, 当AD=BD时，∠A=108°÷2=54° .∠DPO=∠BOP. 综上所述，∠A的度数可以是18°或36°或54 .∠DOP=∠DPO 或72. .OD=PD.∴.△DOP为等腰三角形 9.610.30° 14.证明：(1)在四边形ABCD中，AB∥CD, 11.4【解析】在等边三角形ABC中，D为边BC ∴.∠BAC=∠ACD. 的中点， :CA平分∠BCD,∴.∠BCA=∠ACD. .∠B=∠C=60°，AC=BC, ∴.∠BCA=∠BAC..∴.AB=BC. ∠BAD=∠CAD=30°，BD=CD (2).:∠BAC=30°， ·28· 周末小金卷·数学·八年级上册 ∴.∠BCA=∠ACD=∠BAC=30° .∠B0C=a=150°，∠0DC=60°， .AM⊥CD, ∴.∠AD0=150°-60°=90°. LMC+LACD=90°，AM=24C .△AOD是直角三角形 (2)设∠CB0=∠CAD=a,∠AB0=b, .∠MAC=60°. ∠BAO=c,∠CAO=d, :AB=BC,BN⊥AC,AN=2AC 则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°， c+d=60°. .AN=AM..△AMN是等边三角形 ∴.b-d=10°.∴.(60°-a)-d=10°. 15.解：：∠CDB=45°，∠CBD=90° ∴.a+d=50°，即∠0AD=50°. ∴.△CBD是等腰直角三角形.∴.BC=BD. ①要使A0=AD,需∠AOD=∠ADO, PA=PE, 在△PAC与△PED中，∠APC=∠EPD, ∠A0D=360°-110°-60°-a=190°-a, .190°-a=a-60°.∴.a=125°； PC PD. ②要使OA=0D,需∠0AD=∠AD0=50°. .△PAC≌△PED(SAS).∴.AC=DE. .∠A0D=180°-50°×2=80° ∴.AC+BC=DE+BD,即AB=BE. 110°+80°+60°+=360°，∴.=110°； BD=6米，DE=5米， ③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD=50°. ∴.BE=BD+DE=6+5=11(米) :110°+50°+60°+a=360°，.a=140°. .AB=BE=11米 综上所述，当a为110°或125°或140°时， 所以这棵树的高度AB为11米. △AOD是等腰三角形. 16.解：两条路线中，AB,BC的长度是固定的， 18.（1)证明：，∠ABD=∠ADB, .送货路线之和最短，即点D到点A,C的路 ∠ABC=∠ADC=90°， 径最短. ∴.AB=AD,∠ABC-∠ABD=∠ADC- ∴作点A关于x轴的对称点A',再连接A'C, ∠ADB,即∠CBE=∠CDE. A'C与x轴交于点D,点D即为所求. B2,4) ∴.点A在BD的垂直平分线上，CB=CD, ∴.点C在BD的垂直平分线上 A(1,2) .AC垂直平分BD. 1 D.C4,1) (2)①证明：如图1，设∠F=ax 0234 A水 17.解：(1)△AOD是直角三角形.理由如下： .△OCD是等边三角形，∴.OC=CD. :△ABC是等边三角形，∴.BC=AC. 图1 .∠ACB=∠OCD=60°，.∠BC0=∠ACD. ,AB=AF,.∠ABF=∠F=a OC=CD, .∠BAC=∠F+∠ABF=2a. 在△BOC与△ADC中 ∠BCO=∠ACD, 由(1)知，AC⊥BD,CB=CD, BC =AC, ∴.∠BCE=∠DCE. .△BOC≌△ADC(SAS). .BF∥CD,∴.∠F=∠DCE. .∴.∠BOC=∠ADC. .∠F=∠BCE=. .∠ABC=90°， ∴.∠BCE+∠BAC=90°，即+2a=90° ∴.a=30° .∴.∠BCD=2∠BCE=60° .CB=CD, ∴.△BCD是等边三角形 ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关 系是CH=2GH, 理由：如图2，延长AD至点A',使A'D=AD. 图2 CD⊥AD, .点A与点A'关于CD成轴对称 过点A'作A'G⊥AC于点G交CD于点H,连 接AH,.AH=A'H. ∴.AH+GH=A'H+GH=A'G,此时GH+AH 为最小值， 由①知，∠DCE=30°，即∠GCH=30°. .A'G⊥AC,.CH=2GH. ∴.GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关 系是CH=2GH. 周末小金卷七 1.B2.C3.B4.B5.D6.A7.A 8.C【解析】(x+1)(x+3)-(2x+2)(2x+6) =-3x2-12x-9=3(-x2-4x-3).故① 正确； (x+1)(2x+6)-(x+3)(2x+2)=0.故② 错误； (x+1)(2x+2)-(x+3)(2x+6)=-8x-16, (x+3)(2x+2)-(x+1)(2x+6)=0, (x+3)(2x+6)-(x+1)(2x+2)=8x+16, (2x+2)(2x+6)-(x+1)(x+3)=3x2+12x+9, 共5种.故③正确. 9.x≠310.子13y-y+2 12.>【解析】.S,=（m+7)(m+1)=m2+ 8m+7, S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8, ∴.S1-S2 =(m2+8m+7)-(m2+6m+8) =m2+8m+7-m2-6m-8 =2m-1. .m为正整数，∴.2m-1>0. S1-S2>0.∴.S1>S2 13.解：(1)原式=x6+(-8x)=-7x (2)原式=3x2y÷（-2xy）-xy2÷(-2xy）+ 4切÷(-2)=-2+7-2 (3)原式=(y-x)·(y-x)3÷(y-x)2= (y-x)5 (4)原式=x2+4xy-xy-4y2+3x2-3x =x2+3x2+4xy-xy-3xy-4y2 =4x2-4y2. 14,解：原式=(-27x2y)÷(-2y）=-27× (-号x-y-2=18x2-y=-my, ∴.-m=18,12-n=8,解得m=-18,n=4. 15.解：原式=2x2+4x-2x2+2xy-xy+y =4x+xy+y2. 当x=1,y=-2时， 原式=4×1+1×(-2)+(-2)2=6. 16.解：(1)2x+y2x-yy2+4x2 (2)A·B+A2 =(2x+y)(2x-y)+(2x+y)2 =(2x+y)(2x-y+2x+y) =(2x+y）·4x =8x2+4xy. 17.解：(1)绿化的面积是(2a+b)(a+b)-a2= 2a2+3ab+b2-a2=(a2+3ab+b2)平方米 (2)当a=3,b=2时，原式=9+3×3×2+ 4=31(平方米). =21川1+1+1+品制+员 18.(1)解：20±3【解析】根据新定义可知 42=16,.【4,16】=2. =211+1+动)+品 70=1,.【7,1】=0. (±3)4=81，.【±3,18】=4. 21++员 (2)证明：设【6,9】=x,【6,5】=y, =2-动)+ 则6*=9,6'=5. .45=9×5=6*·6=6*+y ∴.【6,45】=x+y. =2. ∴.【6,45】-【6,9】=【6,5】. 周末小金卷八 12.解：(1)原式=-(20-号)×(20+号) 1.D2.C3.D4.B5.A 6.D【解析】.a※b=a(b-1), =-2-(] .（x-1)※x =(x-1)(x-1) =-40+奇 =(x-1)2 -3997 1 =x2-2x+1. (2)原式=(100-0.3)2 7.C【解析】令t=x-2026,则原式可化简为 =1002-2×100×0.3+0.32 (t-2)2+(t+2)2=34, =10000-60+0.09 即t2-4t+4+t2+4t+4=34, 解得=13，即(x-2026)2=13. =9940.09. 8.C 13.解：(1)原式=x2-(y-6)2 9.1 =x2-y2+12y-36. 10.3.5【解析】设原来正方形的边长为xcm, (2)原式=(4x2+12xy+9y2）-(4x2-4y2) 则变化后的正方形的边长为(x+4)cm.由题 =4x2+12xy+9y2-4x2+4y2 意，得(x+4)2-x2=44,解得x=3.5. =12xy+13y2. 12【解析1+21+1+2(1+2动】 (3)原式=[(2-32x+川 (+2+员 =4x2-g)月 =21-21+21+21+21+2) =16x-8y+8 (4)原式=y2-(3x)2-(3xy-9x2) 1+2)+0 =y2-9x2-3xy+9x2 =y2-3xy. =21-2(1+21+2)1+21+2)+14.解：(1)原式=(4-4x+1)-(2-4)-4x =4x2-4x+1-x2+4-4x2 =-x2-4x+5. 周末小金卷·数学·八年级上册 ·29·