周末小金卷九-【周末小金卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

所以LB=60,BC=7AB=2 所以∠ADC=60°。故②正确； 因为∠B=∠BAD=30°， 因为以，点B为圆心，BC为半径画孤，交边AB 所以AD=BD。 于点D, 所以，点D在线段AB的垂直平分线上。故③ 所以△BCD是等边三角形。 正确； 所以CD=BC=2。 因为∠C=90°，∠B=30°， 11.30° 所以AB=2AC。 12.45°或135°小斗提示：注意分类讨论。 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB, 【解析】①如图1，垂足落在三角形内部时， 所以CD=DE。 ∠ACD=45°， 所以S△ACD:S△ABD=AC:AB=1:2。故④ 由互余定义，得∠A=45°，即顶角为45°； 错误。 14.解：因为∠A=30°，∠ACB=90°，AB=6, 所以BC=2AB=3。 D 因为CD⊥AB, 图1 图2 所以∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°。 ②如图2，垂足落在三角形外部时， 所以∠BCD=∠A=30°。 ∠ACD=45°， 所以Bm=28c=。 由互余定义，得∠C4D=45°，即顶角为135°。 15.证明：因为BD是∠ABC的平分线， 13.①②③【解析】如图，过点D作DE⊥AB于 所以∠ABD=∠CBD。 点E。 AB=CB, 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, M E BDBD, 所以△ABD≌△CBD(SAS). 所以∠ADB=∠CDB。 根据作图可知AD是∠BAC的平分线， 因为点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, 所以AD平分∠BAC。故①正确； 所以PM=PN。 因为∠C=90°，∠B=30°， 16.解：(1)作法：如图， 所以∠BAC=60°。 ①作线段BC=a; 所以∠CAD=∠BAD=30°。 ②作线段BC的垂直平分线MN,交BC于 因为∠C=90°， 点D; ③在MN上截取AD=b; 所以∠ABC=∠BDC。 ④连接AB,AC。 所以CD=CB。 △ABC即为求作的等腰三角形。 (2)①证明：因为BE⊥AC, M 所以∠BEC=90°。 设∠CBE=a, 则∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a。 因为∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=2a, 所以∠BCD=2∠CBE。 ②解：∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+2a=3a。 当BD=BF时，∠BDC=∠BFD=3a。 (2)如图所示，线段BE即为所求作。 所以90°-a=3a,解得a=22.5°。 17.解：(1)在等边三角形ADE中， 所以∠A=∠BCD=2=45°； ∠CAE=∠ADE=60°。 当DB=DF时，∠DBE=∠BFD=3a。 因为∠BAE=2∠BAC, 因为∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-2a, 所以∠BAC=20°。 所以90°-2a=3a,獬得a=18°。 因为AB=AC, 所以∠A=∠BCD=2a=36°； 所以∠ABC=∠ACB=80°。 因为∠BDF=∠ABC>∠DBF, 因为BD=BC, 所以不存在BF=DF。 所以∠BDC=∠ACB=80°。 综上所述，∠A的度数为45°或36°。 所以∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE=40°。 (2)△BDF是等边三角形。理由如下： 周末小金卷九 由(1)可得∠BDC=∠ACB=80°， 1.C2.B3.C 所以∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=20°。 4.B【解析】A.2+32≠42，不能构成直角三角形； 因为∠ABC=80°， B.32+42=52,能构成直角三角形； 所以∠DBF=∠ABC-∠CBD=60°。 C.32+52≠7，不能构成直角三角形； 因为DF=BD, D.42+52≠62，不能构成直角三角形。 所以△BDF是等边三角形。 5.B6.B 18.（1)证明：因为AB=AC, 7.C【解析】在Rt△ABC中，AB=60米， 所以∠ABC=∠ACB。 BC=80米， 因为∠BDC=∠A+∠ACD, 由勾股定理，得 ∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A, AC2=AB2+BC2=602+802=10000。 所以∠BDC=∠ACB。 所以AC=100米。 。周末小金卷·数学·八年级上册 ·29· 所以AB+BC-AC=60+80-100=40(米)， 即沿AC比沿AB→BC少走40米。 8.A【解析】如图，连接AC。 D 在Rt△ACD中，AD=4m,CD=3m, ∠ADC=90°， 由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=42+32=25。 因为AB=13m,BC=12m, 所以AB2=BC2+AC2。 所以△ABC为直角三角形。 所以这块地的面积为S△ABc-S△ACm =7AC:Bc-74D.CD=7x5×12-7× 4×3=24(m2)。 9.√5 10.-1【解析】因为√a-1+b-2|=0, 所以a-1=0,b-2=0,解得a=1,b=2。 所以(a-b)225=(1-2)2025=-1。 小斗总结… 几个非负数的和等于零，则这几个非负数都等于零。 11.240【解析】如图，作边BC上的高AD。 因为AB=AC,BC=20, 所以BD=2BC=10。 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26, ·30· 。周末小金卷·数学·八年级上册 BD=10, 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=262-102= 576。 所以AD=24。 所以△ABC的面积=2BC·AD=子×20X 24=240。 12.0.071 13.3-√5【解析】如图，连接AD。 D E A 根据题意可知，AD=AB=3。 因为DE=√AD2-AE2=√32-22=√5， 所以CD=CE-DE=3-√5。 14.解：(1)在Rt△ABC中，a=40,c=41, 由勾股定理，得62=c2-a2=412-402=81。 所以b=9。 (2)在Rt△ABC中，c=13,b=5, 由勾股定理，得a2=c2-b2=132-52=144。 所以a=12。 (3)设a=3x,b=4x。 在Rt△ABC中，a=3x,b=4x,c=15。 由勾股定理，得a2+b2=c2, 即(3x)2+(4x)2=152。 解方程，得x=3。 所以3x=9,4x=12。 所以a=9,b=12。 15.解：(1)当h=125米时，1=√5 /125 -N5 √/25=5（秒）。 所以落到地面需要5秒。 (2)当1=2时停-2，号-4，解得么=20。 h 所以物体下落前离地面20米。 16.解：根据题意，得PQ=16×1.5=24(海里)， 此时BP的长就是线段BP的最小值， PR=12×1.5=18(海里)，QR=30海里。 因为242+182-302，即PQ2+PR2=QR2, S版=4x4-7×3x4-7×1×2-2×2x4 所以△PQR为直角三角形，∠QPR=90°。 =16-6-1-4=5。 由“远航号”沿东北方向航行可知， 因为5am分AC,B即号x5,P=5, ∠QPS=45°， 所以BP=2。 所以∠RPS=45°， 即“海天”号沿西北方向航行。 周末小金卷十 1.C2.C3.A 1n.解：(（1)Se=7b,Sam=之， 1 4.C 【解析】求1.2按健：C2ndF□1 Sa=2ab。 2 故选项A按键不正确； (2)因为S四边形ABCD= a+b)(a+b)=22+ 1 求 2 /3 按键：□2÷3) 28+b, 0 故选项B按键不正确； 1 求5+1按键：□3+1 SAADE+SACE+ACE=b+ +分b= 故选项C按键正确； 2+b, 求/-2-π按键：2ndD-)2- 所以2+2+b=2+b。 2ndF) 三。故选项D按键不 正确。 所以a2+b=c2。 5.A【解析】根据题意，得m2=(m+n)2=x。 18.解：(1)AB=√42+2=√20， 所以m2x+(m+n)2x=x2+x2=2x2=50。 BC=√+2=5，AC=√42+32=√25=5。 所以x=5或x=-5(舍)。 (2)证明：由(1)，知AB2+BC2=AC, 6.A【解析】观察图形可知，点M表示的数小于 所以△ABC为直角三角形。 -2且大于-3。 所以∠ABC=90°。 因为2<√6<3，所以-2>-√6>-3。 (3)2【解析】如图，过，点B作BP⊥AC。 7.D周末小金卷九 (考试范围：5.1~5.3)（时间：45分钟 满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 孤 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1.9的算术平方根是 A.±3 B.±√9 C.3 D.-3 2.下列各数中，是无理数的是 ( B.√7 C.√16 D.-4 3.若x-3有算术平方根，则x的取值范围是 毁 A.x>3 B.x<3 C.x≥3 D.x≤3 4.若△ABC的三边分别为a,b,c,下列给出的条件能构成直角三角形的是（ A.a=2,b=3,c=4 B.a=3,b=4,c=5 C.a=3,b=5,c=7 D.a=4,b=5,c=6 5.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1， 则正方形ABCD的边长可能为 ( A.1 B.√3 C.5 D.3 量 B D 0 E A B 第5题图 第6题图 6.数改题如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知正方形A, B,C,D的面积分别为12,16,9,12，则最大正方形E的面积为 A.7 B.49 C.25 D.625 主题情境王大伯的菜地请完成第7~8题 7.如图是一块长为80米，宽为60米的长方形菜地ABCD,王大伯要从A处到C处 去，则沿AC比沿AB→BC少走 () A.20米 B.30米 C.40米 D.50米 B 60米 ◇D B C 80米 第7题图 第8题图 8.今年收成好，王大伯打算明年多承包一块菜地，去实地考察时相中了四边形菜地 ABCD如图所示，已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°，AB=13m,BC=12m,则 这块地的面积为 () A.24m2 B.30m2 C.48m2 D.60m2 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9.√25的算术平方根是 10.已知√/a-1+b-2|=0,那么(a-b)225的值为 11.教改题在△ABC中，若AB=AC=26,BC=20,则△ABC的面积为 12.已知√0.5≈0.71，√5≈2.24，√50≈7.1，√500≈22.4，根据以上规律得到 √0.005的结果约为 0 13.新素养〔运算能力〕如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点 上，以点A为圆心，AB为半径作弧，交最上方的网格线于点D,则CD的长 为 D B 。周末小金卷·数学·八年级上册 ·15· 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 14.（10分)教改题在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边。 (1)若a=40,c=41,求b; (2)若c=13,b=5,求a; (3)已知a:b=3:4,c=15,求a,b。 15.（(8分)新考法〔跨学科〕经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h(单位： 米)和下落时间（单位：秒）可以用公式：-√悟来估计。 (1)一个物体从125米高的塔顶自由下落，问落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面多少米？ 16.(8分)新情境〔实际情境〕如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上。“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口1.5小时后相距30海里。 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 远航 海天 。16· 。周末小金卷·数学·八年级上册 17.（10分)新素养〔几何直观〕历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯 形，其中E是边AB上的点。 (1)请用a,b,c分别表示△ADE,△CDE,△BCE的面积； (2)请你利用等面积法验证勾股定理。 C 郑 A B a E b 18.（12分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1。 掘 (1)求△ABC的各边长； (2)求证：∠ABC=90°； (3)若P是直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为