周末小金卷八-【周末小金卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

周末小金卷八 (考试范围：4.3~4.4)（时间：45分钟 满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1.在△ABC中，已知∠B=∠C,则 A.AB=BC B.AB=AC C.BC=AC D.∠A=60° 2.如图，0C平分∠A0B,在OC上取一点P,过点P作PQ⊥OB,若PQ=4cm,则点 P到OA的距离为 ( A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm B 毁 D 第2题图 第4题图 3.下列不一定是等边三角形的是 A.有两个角等于60°的三角形 B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C.有一个角等于60的等腰三角形 D.三个外角都相等的三角形 蜜 4.如图，在△ABC中，∠B=90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①BD=DE; ②LCDE=∠CAB;③AB+CE=AC。下列判断正确的是 ( A.只有①对 B.只有②对 C.只有③对 D.①②③都对 5.如图，在下列三角形中，若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形 的是 ( A A 369 B 459 C. 90° 108° 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分外角∠CAE,则∠DAE与∠C的关系是() A.∠DAE=∠CB.∠DAE>∠C C.∠DAE<∠CD.∠DAE≥∠C B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，B,y三个角的数 量关系为 () A.a+B+y=60°B.-B+y=60° C.a+B-y=60° D.+2B-y=60° 8.如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的垂直平分线DM交AC于点D,交AB于点 M,以下结论：①△BCD是等腰三角形；②BD是△ACB的角平分线；③△BCD的 周长=AC+BC;④△ADM≌△BCD。正确的有 A.①② B.①③ C.①②③ D.③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,垂足为E。若 AC=5,DE=2,则AD的长为 E M B B B D 第9题图 第10题图 第11题图 第13题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,以点B为圆心，BC为半径 画弧，交边AB于点D,则CD的长为 11.如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC的延长线上，且CD=CE,则∠D的 度数为 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为 13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，以适当的长为半径作 弧，分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心，以大于之MW的长为半 径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说 法：①AD平分∠BAC;②∠ADC=60°；③点D在线段AB的垂直平分线上； ④SADAG:SAABD=1:3。正确的有 。(填序号) 。周末小金卷·数学·八年级上册 ·13· 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 14.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D,若AB=6,求 BD的长。 D 15.(8分)新素养〔推理能力〕如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD 上，PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N。求证：PM=PN。 A M D N B 16.（10分)新素养〔几何直观)尺规作图： (1)已知线段a,b,求作等腰三角形ABC,要求以线段a为底，线段b为底边上 的高； (2)作出第(1)题中的等腰三角形ABC任一底角的平分线。（不写作法，保留作 图痕迹) b ·14。 。周末小金卷·数学·八年级上册 17.（10分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在边AC上取点D,连接BD, 使BD=BC。以AD为一边作等边三角形ADE,且使点E与点B位于直线AC的 同侧，∠BAE=2∠BAC。 (1)求∠BDE的度数； (2)点F在AB上，连接DF,DF=BD,请判断△BDF是否是等边三角形，并说明 理由。 数 18.(12分)新素养〔推理能力〕已知在△ABC中，AB=AC,点D是边AB上一点， ∠BCD=∠A。 (1)如图1，求证：CD=CB; (2)如图2，过点B作BE⊥AC,垂足为E,BE与CD相交于点F。 ①求证：∠BCD=2∠CBE; ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数。 A A 图1 图2 备用图于点G。 因为△ABC与△DEF关于直线L对称，点B 到直线1的距离为4， 所以BG=EG=4。 所以B,E两点间的距离=4+4=8。 (2)因为△ABC与△DEF关于直线l对称，且 ∠A=78°，∠F=48°， 所以∠D=∠A=78°。 所以∠E=180°-∠D-∠F=54°。 15.解：(1)如图所示，线段AB1即为所求作。 (2)如图所示，直线l即为所求作。 B 16.解：(1)因为MN垂直平分BC, 所以CD=BD,CE=BE。 因为CE=4,所以BE=4。 因为△BDC的周长为18， 所以BD+CD=10。所以BD=5。 (2)因为∠ADM=60°，所以∠CDN=60°。 因为MN垂直平分BC,所以∠DEC=90°。 所以∠C=∠DBC=30°。 因为∠ABD=20°，所以∠ABC=50°。 所以∠A=180°-∠C-∠ABC=100°。 ·28· ©周未小金卷·数学·八年级上册 17.解：(1)如图1，直线1即为所求作。 图1 图2 (2)在 (3)如图2，直线1即为所求作。 18.解：(1)100°30°或150°【解析】因为∠1 和∠2互为等差角， 所以1∠1-∠21=60°。 当∠1=40°时， 40°-∠2=60°或40°-∠2=-60°， 解得∠2=-20°（舍去）或∠2=100°； 当∠1=90°时， 90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°， 解得∠2=30°或∠2=150°。 (2)因为∠EPB'与∠B'PC互为等差角， 当∠EPB'<∠B'PC时，∠B'PC-∠EPB'=60, 即∠B'PC=∠EPB'+60°。 因为△BEP翻折，得△B'EP, 所以∠EPB=∠EPB'。 因为∠EPB+∠EPB'+∠B'PC=180°， 所以∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180°， 解得∠EPB'=40°； 当∠EPB'>∠B'PC时，∠EPB'-∠B'PC=60°， 同理可得∠EPB'=80°。 综上所述，∠EPB的度数为40°或80°。 (3)因为点E,C',P在同一直线上， 且∠B'PC'与∠EPF互为等差角， 所以∠B'PC<∠EPF, ∠EPF-∠B'PC'=60°=∠B'PF。 因为∠BPE=∠B'PE=∠EPF-60°，∠CPF= ∠EPF,∠BPE+∠EPF+∠CPF=18O°， 所以∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°。 所以∠EPF=80°。 因为△ABC,△DEC,△FGC都是等边三角形， 周末小金卷八 所以∠ACB=∠DCE=∠FCG=60°。 1.B2.B3.B 所以a=∠ACB-∠ACD=60°-∠ACD, 4.D【解析】由作图可得AD平分∠BAC,DE B=∠DCE-∠ACD-∠ECF=60°-∠ACD- ⊥AC。 ∠ECF, 因为∠B=90°， Y=∠FCG-∠ECF=60°-∠ECF。 所以BD=DE,∠CDE=∠CAB。故①②正确； 所以a-B+y=60°-∠ACD-(60°-∠ACD- [AD=AD, 在Rt△ABD和Rt△AED中， ∠ECF)+60°-∠ECF=60°。 BD=ED, 8.C【解析】因为AB=AC,∠A=36°， 所以Rt△ABD≌Rt△AED(HL)。 所以∠ABC=∠C=72°。 所以AB=AE。 因为DM是AB的垂直平分线，所以AD=BD。 所以AC=AE+CE=AB+CE。故③正确。 所以∠ABD=∠A=36°。所以∠CBD=36°。 5.B【解析】A.作∠B的平分线即可； 所以BD是△ACB的角平分线。故②正确； C.过点A作BC的垂线即可； 所以∠C=∠CDB。 D.以，点B为圆心，AB为半径作孤交BC于一 所以△BCD是等腰三角形。故①正确； 点即可； 因为AD=BD,AB=AC, 只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰 所以△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+ 三角形。 BC。故③正确； 6.A【解析】因为AB=AC,所以∠B=∠C。 因为AM⊥DM,而△BCD是锐角三角形， 因为∠CAE=∠B+∠C, 所以△ADM和△BCD不全等。故④错误； 所以∠C=分∠CMB。 9.3 10.2【解析】如图，连接CD。 因为AD平分外角∠CAE, 所以LHB=号∠CAB。 所以∠DAE=∠C。 A 7.B【解析】如图，标注点A,B,C,D,E,F,G。 因为∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4, 所以LB=60,BC=7AB=2 所以∠ADC=60°。故②正确； 因为∠B=∠BAD=30°， 因为以，点B为圆心，BC为半径画孤，交边AB 所以AD=BD。 于点D, 所以，点D在线段AB的垂直平分线上。故③ 所以△BCD是等边三角形。 正确； 所以CD=BC=2。 因为∠C=90°，∠B=30°， 11.30° 所以AB=2AC。 12.45°或135°小斗提示：注意分类讨论。 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB, 【解析】①如图1，垂足落在三角形内部时， 所以CD=DE。 ∠ACD=45°， 所以S△ACD:S△ABD=AC:AB=1:2。故④ 由互余定义，得∠A=45°，即顶角为45°； 错误。 14.解：因为∠A=30°，∠ACB=90°，AB=6, 所以BC=2AB=3。 D 因为CD⊥AB, 图1 图2 所以∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°。 ②如图2，垂足落在三角形外部时， 所以∠BCD=∠A=30°。 ∠ACD=45°， 所以Bm=28c=。 由互余定义，得∠C4D=45°，即顶角为135°。 15.证明：因为BD是∠ABC的平分线， 13.①②③【解析】如图，过点D作DE⊥AB于 所以∠ABD=∠CBD。 点E。 AB=CB, 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, M E BDBD, 所以△ABD≌△CBD(SAS). 所以∠ADB=∠CDB。 根据作图可知AD是∠BAC的平分线， 因为点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, 所以AD平分∠BAC。故①正确； 所以PM=PN。 因为∠C=90°，∠B=30°， 16.解：(1)作法：如图， 所以∠BAC=60°。 ①作线段BC=a; 所以∠CAD=∠BAD=30°。 ②作线段BC的垂直平分线MN,交BC于 因为∠C=90°， 点D; ③在MN上截取AD=b; 所以∠ABC=∠BDC。 ④连接AB,AC。 所以CD=CB。 △ABC即为求作的等腰三角形。 (2)①证明：因为BE⊥AC, M 所以∠BEC=90°。 设∠CBE=a, 则∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a。 因为∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=2a, 所以∠BCD=2∠CBE。 ②解：∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+2a=3a。 当BD=BF时，∠BDC=∠BFD=3a。 (2)如图所示，线段BE即为所求作。 所以90°-a=3a,解得a=22.5°。 17.解：(1)在等边三角形ADE中， 所以∠A=∠BCD=2=45°； ∠CAE=∠ADE=60°。 当DB=DF时，∠DBE=∠BFD=3a。 因为∠BAE=2∠BAC, 因为∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-2a, 所以∠BAC=20°。 所以90°-2a=3a,獬得a=18°。 因为AB=AC, 所以∠A=∠BCD=2a=36°； 所以∠ABC=∠ACB=80°。 因为∠BDF=∠ABC>∠DBF, 因为BD=BC, 所以不存在BF=DF。 所以∠BDC=∠ACB=80°。 综上所述，∠A的度数为45°或36°。 所以∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE=40°。 (2)△BDF是等边三角形。理由如下： 周末小金卷九 由(1)可得∠BDC=∠ACB=80°， 1.C2.B3.C 所以∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=20°。 4.B【解析】A.2+32≠42，不能构成直角三角形； 因为∠ABC=80°， B.32+42=52,能构成直角三角形； 所以∠DBF=∠ABC-∠CBD=60°。 C.32+52≠7，不能构成直角三角形； 因为DF=BD, D.42+52≠62，不能构成直角三角形。 所以△BDF是等边三角形。 5.B6.B 18.（1)证明：因为AB=AC, 7.C【解析】在Rt△ABC中，AB=60米， 所以∠ABC=∠ACB。 BC=80米， 因为∠BDC=∠A+∠ACD, 由勾股定理，得 ∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A, AC2=AB2+BC2=602+802=10000。 所以∠BDC=∠ACB。 所以AC=100米。 。周末小金卷·数学·八年级上册 ·29·