单元检测卷（一）空间向量与立体几何-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

单元检测卷（一） 空间向量与立体几何 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，则两点间的距离为 A． B．25 C．5 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求空间中两点间的距离 【详解】A（1，3，-2）、B（-2，3，2），则A、B两点间的距离为 故选C 2．（24-25高二上·青海西宁·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解． 【详解】解：是的中点，是上靠近点的四等分点， 则． 故选：B． 4．（24-25高二上·上海静安·期中）已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线垂直 【分析】①若α∥β，则由若m⊥α，n⊥β，推出m∥n与m⊥n矛盾，因此α与β不平行，所以一定相交，由α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β．②若α∩β＝l，也满足条件，③由条件也可能α∥β．④由条件也可能α与β相交． 【详解】①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，这与m⊥n矛盾； 若α与β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α与β的法向量垂直，则可以得出α⊥β，因此①正确． ②若α∩β＝l，且m∥n∥l，则可满足m∥α，n∥β，故满足已知条件的α与β不一定平行，因此②不正确． ③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也满足条件，故③不正确． ④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，则可能有m∥n，故④不正确．综上可知只有①正确． 故选：B． 5．如图，在平行六面体中，是与的交点，若，，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】以为一组基底可表示出，从而求得的值，进而得到结果. 【详解】， ，，，. 故选：D. 6．在正四棱柱中, ，动点 分别在线段上，则线段 长度的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间中两点间的距离 【详解】 建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,4), 当且仅当时，PQ取最小值 ，选C. 7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)    A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，根据 求出点E的坐标，再求＝(－，，)，最后求得点B到直线A1C的距离||＝. 【详解】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)． 因为，所以， 解得，所以＝(－，，)， 所以点B到直线A1C的距离||＝， 故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查空间点到直线的距离的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求空间点到直线的距离，一般先作出点到直线的垂线段，再求该垂线段的长度. 8．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即得. 【详解】在半圆柱下底面半圆所在平面内过作直线的垂线，由于垂直于半圆柱下底面半圆所在平面， 则以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    于是，， 又为的中点，则，，,， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（   ） A． B．点A关于平面对称的点的坐标为 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、由空间向量共线求参数或值、空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据点的坐标可得向量坐标，即可求得A，根据对称的性质可求得B，向量法可判断直线的位置关系，即可求得C，根据向量共线定理可判断D. 【详解】对于A，由题意，A正确； 对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反， 因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误； 对于C，若，则，所以，C正确； 对于D，若且，则，解得，D正确， 故选：ACD． 10．（24-25·湖南·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 11．如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（    ） A．∥平面 B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点B到平面的距离为 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立平面直角坐标系，通过空间向量运算依次判断4个选项. 【详解】以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，，，，， ，，，，． 对于选项A，B： 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，得， 所以与平面不平行，与平面不垂直，即A，B错误． 对于选项C： ，则异面直线与所成角的余弦值为，即C正确． 对于选项D： 又，所以点B到平面的距离为，即D正确． 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答. 【详解】空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量是， 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. 故答案为：. 13．已知，若四点共面，则实数为 . 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间中四点共面可得向量共面，进而可求解. 【详解】四点共面，存在实数，使得， ，解得. 故答案为：8 14．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为 ． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答. 【详解】设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为12. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）连接，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到，，以为坐标原点，设， 求得，再求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，进而得出答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为，且为中点，所以， 在菱形中，，可得为等边三角形 ，所以， 又因为平面，且，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为，平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点满足题意，设， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成角为，则 解得或（舍），所以存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 此时. 16．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）先证明四边形是菱形，从而证明平面ABC，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）证明：∵在梯形中，， ，，为的中点， ∴，，， ∴是正三角形，四边形为菱形， ∴，， ∵， 又∵平面ABC， ∴平面ABC， ∵平面， ∴平面⊥平面ABC. （2）存在，，理由如下： ∵平面，OP⊥AC， ∴，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， 设， ∵，， ∴， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， ∴线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 17．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)1 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 18．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.94 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明垂直； （2）求出平面的法向量，利用线面角的公式可求答案. 【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2），, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 19．（24-25高二上·上海静安·期中）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 【答案】(1) (2)矩形截面的梁的截面形状最好，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、圆柱轴截面的有关计算、组合体截面的形状 【分析】（1）通过设矩形长、宽与外接圆直径的关系，结合比例求出长和宽，代入矩形抗弯截面系数公式，得出当时，其抗弯截面系数为； （2）根据题意，得到，，，结合题意，推理得出 即得结论． 【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足 ， 因，设, 代入 ，得，即，解得（舍负根）， 因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为， 将b、h代入，可得 ， 综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为； （2）假设截面面积均为正常数S，则，，，因， ，又因为，所以，即， 综上， ，故矩形截面的梁的截面形状最好． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元检测卷（一） 空间向量与立体几何 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，则两点间的距离为 A． B．25 C．5 D． 2．（24-25高二上·青海西宁·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海静安·期中）已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．如图，在平行六面体中，是与的交点，若，，，且，则等于（    ） A． B． C． D． 6．在正四棱柱中, ，动点 分别在线段上，则线段 长度的最小值是 A． B． C． D． 7．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)    A． B． C． D．1 8．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（   ） A． B．点A关于平面对称的点的坐标为 C．若，则 D．若，则 10．（24-25·湖南·三模）如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 11．如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（    ） A．∥平面 B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点B到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影是 .（用坐标表示） 13．已知，若四点共面，则实数为 . 14．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为 ． 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面底面，，，是中点，点在侧棱上（不包括端点）． (1)求证：； (2)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 18．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 19．（24-25高二上·上海静安·期中）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁剪而制为长方体形状，例如图1所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如表所列． 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽，h＞b 抗弯截面系数 (1)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为3:2的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图2所示，当h:b＝3:2时，求其抗弯截面系数； (2)假设如表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $