单元检测卷（二）直线与圆的方程-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

单元检测卷（二） 直线与圆的方程 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 2．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆和点，为坐标原点，若圆上存在点满足，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．方程表示的曲线是 A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 6．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线l：恒过点G，的顶点，，的重心为G，则AC边上的垂直平分线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10．设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最大值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 11．已知圆，直线．则下列结论正确的是（    ） A．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 B．对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1） C．若圆C与圆恰有三条公切线，则 D．若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为 . 13．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆，直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时，直线的方程为 . 14．（23-24·广东·模拟预测）已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程： (2)求过点且与圆相切的直线方程. 16．已知圆的圆心坐标为，且圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，点为的中点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最大值. 17．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知两条直线， (1)若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程； (2)若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值； (3)设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围． 18．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆. (1)证明：圆过定点. (2)当时，求直线被圆截得的弦长. (3)当时，若直线与圆交于两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围. 19．（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线． (1)求曲线的方程； (2)若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为、，设点在圆上，求点到直线距离的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元检测卷（二） 直线与圆的方程 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·期末）直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 2．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与圆的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，由，得点共线，    显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，且， 由消去x得：，设， 则，又， 所以. 故选：B 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可. 【详解】 一束光线从出发，经直线反射,与交于点P, 由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上， 设,则,, 故光线从A到B所经过的最短路程是. 故选：C. 4．已知圆和点，为坐标原点，若圆上存在点满足，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用已知求出点的轨迹方程，再利用两圆的几何关系即可求出的最大值. 【详解】设，由可得， 整理得， ∴点在圆上，且圆心为,半径为， 又∵点在圆上， ∴圆与圆有公共点， ∴，且, ∴， 则的最大值为， 故选：. 5．方程表示的曲线是 A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】曲线与方程的概念 【详解】由题意可化为或）， 在的右方， ）不成立，， 方程表示的曲线是一条直线. 故本题正确答案为 6．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、过圆外一点的圆的切线方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，根据直线与圆的位置关系可求得切线斜率，进而得到结果. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 7．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线l：恒过点G，的顶点，，的重心为G，则AC边上的垂直平分线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线过定点问题 【分析】由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，借助坐标及斜率可求出其垂直平分线的方程. 【详解】将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心，，， 所以，解得，所以， 又中点坐标为，即，且， 则AC边上的垂直平分线的方程为，即. 故选：A 8．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围. 【详解】画家曲线得，画出图像如图：    当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以. 当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时. 由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．方程表示过点的所有直线 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以、为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可判断A选项；根据点斜式方程可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可知，当直线与垂直时，合乎题意，可求出的值，可判断C选项；作出图形，进而根据斜率与倾斜角的变化关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，A对； 对于B选项，方程表示过点，且斜率为的直线，但不包括直线，B错； 对于C选项，将直线方程变形为，由可的， 所以，直线过定点， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大时， 因为，则，C对； 对于D选项，如图， ，，所以由图可知，或， 则斜率的取值范围是，D对. 故选：ACD. 10．设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最大值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、切线长 【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】圆心到直线的距离， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得， 当时取得等号， 所以的取值范围为，A正确； 因为， 所以四边形的面积等于， 四边形面积的最小值为，故B错误； 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 设，因为， 整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，C正确； 因为 所以当，即，面积有最大值为， 此时四边形为正方形，则，满足要求， 故D错误， 故选:AC. 11．已知圆，直线．则下列结论正确的是（    ） A．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 B．对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1） C．若圆C与圆恰有三条公切线，则 D．若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】对于A，通过计算圆心到直线的距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出的值，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为代入圆C方程中化简可得答案 【详解】对于A，圆的圆心为，半径，当时，直线，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误， 对于B，由，得，由于，所以，得，所以直线恒点，所以B正确， 对于C，因为圆C与圆恰有三条公切线，所以两圆相外切，由，得，所以，解得，所以C正确， 对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为，因为动点D在圆C上，所以，化简得，所以线段中点M的轨迹方程为，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、相交圆的公共弦方程 【分析】两圆的方程相减得出两圆的公共弦所在直线方程，然后根据直线方程求出定点即可. 【详解】由圆与圆， 两式相减得公共弦所在直线方程为：， 即，令，解得：， 所以圆与圆的公共弦所在直线恒过点. 故答案为：. 13．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆，直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时，直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先求出直线所过的定点，再根据当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，求出直线的斜率，进而可得出答案. 【详解】在直线中，令，解得，即直线过定点， 圆的圆心，半径， 当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，直线斜率，此时直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 14．（23-24·广东·模拟预测）已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得，从而利用两点距离公式求得点的轨迹方程，进而得到直线与圆有交点，由此得解. 【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有， 易知， 故，， 不妨设，，， ，化简得， P的轨迹为以圆心，为半径的圆， 又P在直线上，直线与圆有交点， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得，从而利用阿氏圆的相关知识可知点的轨迹方程为圆，进而得解. 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程： (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)； (2)和. 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程. （2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程. 【详解】（1）设圆心 依题意，的中点为，直线的斜率，则线段的垂直平分线方程为， 显然圆心在线段的垂直平分线上，由，解得， 因此圆心的坐标是，圆的半径， 所以圆的方程是． （2）依题意，过点且与圆相切的直线斜率存在，设该切线方程为，即， 于是，解得或， 所以所求切线方程为和.    16．已知圆的圆心坐标为，且圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，点为的中点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）运用点到直线距离公式求出圆C的半径； （2）求出点P的运动轨迹，再确定 的最大值. 【详解】（1）由题意知点到直线的距离为 ，也是圆C的半径， 圆的半径为， 则圆的标准方程为； （2） 依题意作上图，为弦的中点，由垂径定理知： ，又过定点A， 点的轨迹为以为直径的圆，圆心为A，C的中点，半径为 ， ；     综上，圆的标准方程为， 的最大值为 . 17．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知两条直线， (1)若直线与两坐标轴分别交于两点，又过定点，当为何值时， 有最小值，并求此时的方程； (2)若，设与两坐标轴围成一个四边形，求这个四边形面积的最大值； (3)设，直线与轴交于点，的交点为，如图现因三角形中的阴影部分受到损坏，经过点的任意一条直线MN将损坏的部分去掉，其中直线的斜率，求保留部分三角形面积的取值范围． 【答案】(1)；； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、直线围成图形的面积问题 【分析】（1）根据题意求出点A、B、P的坐标，利用两点间的距离公式和基本不等式即可求解； （2）根据题意求出与x轴的交点A坐标，与y轴的交点B坐标，利用三角形面积公式可得，结合二次函数的性质即可求解； （3）当时求出、方程，设直线MN方程，联立方程求出点M坐标，联立方程求出点N坐标，结合图形和三角形面积公式可得，由k得范围即可求解. 【详解】（1）由直线，令， 得，直线恒过定点， 则， 当且仅当时，最小值为9．此时直线； （2）由直线，知恒过定点， 分别与轴交于两点，且， 故， 又函数在上单调递增， 因为，故当时，面积； （3）由，可得，均恒过定点， 设直线，由； ，设直线交轴于点，而, 则 ， 又，所以，故. 18．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆. (1)证明：圆过定点. (2)当时，求直线被圆截得的弦长. (3)当时，若直线与圆交于两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】圆过定点问题、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦、利用数量积求参数 【分析】（1）对式子变形为，由于与无关，列方程求解即可得定点； （2）求出圆心到直线距离，再结合垂径定理求解弦长即可； （3）联立直线与圆的方程，韦达定理，利用数量积的坐标运算列不等式，求解即可. 【详解】（1）由， 得， 令，得，解得， 所以圆过定点，且定点的坐标为. （2）当时，圆的标准方程为， 则圆的圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. （3）将代入，得. 则恒成立， 设，则， 所以 ，整理得，则， 所以的取值范围是. 19．（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线． (1)求曲线的方程； (2)若与曲线交于不同的，两点，且（为坐标原点），求直线的斜率； (3)若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为、，设点在圆上，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】（1）设，利用两点间的距离公式表示出，，再代入，化简即可； （2）取中点，连接，可求得，再利用点到线的距离公式求解即可； （3）根据四点在以为直径的圆上，可求得直线过定点，作出图象，结合图象可知当为的延长线与圆的交点时，点到直线距离的最大值，求解即可. 【详解】（1）解：设， 则有， 又因为， 即有， 整理得， 所以曲线的方程为； （2）解：因为，， 取中点，连接， 则且平分， 又因为， 所以， 即圆心到直线的距离为， 由点到线的距离公式可得：， 解得， 所以直线的斜率为； （3）解：因为，所以直线， 设， 由题意可知四点在以为直径的圆上， 所以此圆的方程为， 即， 由，可得， 即， 即直线的方程为：， 所以直线过定点：， 点在圆上， 所以当为的延长线与圆的交点时，点到直线距离的最大值， 此时， 又因为， 所以. 即点到直线距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题第（3）问的关键是求出直线过定点，再数形结合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $