南通地区2024-2025学年期中考试压轴题培优集训-2025-2026学年七年级上册人教版数学压轴题考点考法专题集训及单元期中期末培优试卷

南通地区2024-2025学年期中考试压轴题精选培优集训 一．选择题（共19小题） 1．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；② ﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③ 设x、y、z分别为第①②③行的第99个数，则4x﹣2y﹣4z的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，以下结论：①abc＞0；②c﹣a＜0；③a+b＞0；④|b﹣c|+|a﹣b|＝|a﹣c|．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法：①若a、b互为相反数，则1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④两个四次多项式的和一定是四次多项式；⑤若a3+b3＝0，则a与b互为相反数．其中错误的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　） A．24 B．20 C．18 D．16 5．如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，当图形中含有2025个三角形时，需要的火柴棍根数为（　　） A．4039 B．4049 C．4051 D．2025 6．将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为C1，图2中阴影部分的周长为C2，则C1﹣C2的值（　　） A．0 B．a﹣b C．2a﹣2b D．2b﹣2a 7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子•天下篇》，大意为一根长1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取第1次剩下长度的一半，第3次截取第2次剩下长度的一半，如此反复，截取100次后木杆剩下的长度为（　　） A． B． C． D． 8．如图，火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图an比图an﹣1多出的火柴棒根数是（　　） A．2m B．2n﹣1 C．2n D．2n﹣1 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子一定成立的是（　　） A．a＜﹣b B．b﹣a＜0 C．a+b＞0 D．ab＞0 10．下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a﹣b＝﹣13；④若a+b+c＝0，则可能的值为0或±2；正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应26，25，24，…，1这26个整数（见表格），当明文中的字母对应的序号为α时，将α+8除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文r对应密文j．按上述规定，将明文“shuxue”译成密文后是（　　） 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A．kzmpmw B．wmpmzk C．kzwpwm D．ixmpmu 12．如图所示，在数轴上有理数a，b，c，﹣2的位置如图所示，若m＝|2a+b|﹣|﹣2﹣b|﹣|2a﹣2c|﹣4，则6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3的值是（　　） A．77 B．78 C．﹣77 D．﹣78 13．某窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为a cm，长方形的长和宽分别为b cm和c cm．给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是（πa+3b+2c）cm；②窗户的面积是（πa2+2bc+b2）cm2； ③b+2c＝2a；④b＝3c．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 14．在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作3＝（11）2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（　　） A．35 B．82 C．83 D．135 15．对于数133，规定第一次操作为13+33+33＝55，第二次操作为53+53＝250，按此规律操作下去，则第2024次操作后得到的数是（　　） A．250 B．133 C．55 D．24 16．定义：如果两个有理数m，n满足2m＝3n，则称m，n为一对“相随数”．已知有理数a，b为一对“相随数”，若p＝|2a|+|3b﹣4|，则p的值可以为（　　） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 17．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示为远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，则这个孩子自出生后的天数为（　　） A．241 B．142 C．71 D．47 18．如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个图案需要的棋子个数为（　　） A．81 B．91 C．109 D．111 19．曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二．填空题（共20小题） 20．有一组按规律排列的式子：﹣3，，，，…第n个式子是　 　 （n为正整数）． 21．如图，找出图形变化的规律，则第20个图形中黑色小正方形的个数是 　 　 ． 22．对a，b定义运算“*”如下：a*b，已知3*m＝48，则有理数m＝　 　 ． 23．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有　 　 个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）． 24．如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是 　 （用含有字母a，b的代数式表示）． 25．有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，，则a2024的值为 　 　 ． 26．小聪和小明在数学活动课上表演了一个纸牌游戏：小聪背对着小明，让小明将一副纸牌按以下步骤操作： 第一步，把部分纸牌分发为左、中、右三堆，每堆张数相同，且不少于2张； 第二步，从右边一堆中拿出3张，放入中间一堆； 第三步，从左边一堆中拿出2张，放入中间一堆； 第四步，从中间一堆中拿出与右边一堆张数相等的牌放入左边． 此时小聪准确地说出了中间一堆牌现有的张数，这个张数为 　 　 ． 27．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则m＝ 　 　 ． 28．若3x|m|﹣（2﹣m）x+5是关于x的二次三项式，那么m的值为 　 　 ． 29．若实数x满足x2+2x﹣1＝0，则2x3+7x2+4x+2025的值为 　 　 ． 30．如图，已知数轴上有三点A，B，C，AC＝2AB，AB＝30，点A对应的数是20．动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R速度的2倍，经过2秒，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，动点Q的速度 为　 个单位长度/秒． 31．在a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好是﹣4，0，2这三个数值中的一个，若a+b+c+d+e+f+g+h＝﹣2，则|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|＝ 　 　 ． 32．幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化．在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的数字，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若A＝2n+1，C＝4n，F＝2n，则H＝　 　 ． 33．如图1，在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示．根据图中信息，用等式表示a，b，c满足的关系为　 　 ． 34．已知A＝ax2﹣6x+by﹣1，B＝3﹣2y﹣cx+x2，若无论x，y为何值，A﹣2B的值始终不变，则代数式ab+c的值为 　 　 ． 35．定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时，则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时，则取该数的一半，一直取到结果为奇数停止为一次“H运算”．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过3次“H运算”的结果为46．那么数28经过2024次“H运算”得到的结果是 　 　 ． 36．数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y，则10号正方形的边长可用含x，y的代数式表示为 　 ． 37．“退位减法”是一种逐位相减的方法．例如，十进制数的减法，当同一数位不够减时，向高一位借1当10，11﹣9＝2；二进制的减法，当同一数位不够减时，向高一位借1当2，（10）2﹣1＝1．其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d分别代表四进制中4个互不相同的数，且三位数比三位数大1，则c代表的数是 　 　 ． 38．按如图的程序计算，当输入x＝﹣1后，最后输出的结果是 　 　 ． 39．如图，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是4，则这个长方形的面积是 　 ． 三．解答题（共20小题） 40．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　 　 ，线段AB的中点C表示的数为　 　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　 ；点Q表示的数为　 　 ； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 41．如图在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且满足（a+6）2+|b﹣12|＝0． （1）点A表示的数为 　 　 ，点B表示的数为 　 　 ； （2）点C在数轴上，且点C与点B之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点D为折点，将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为 　 　 ； （3）若在原点O处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点M）从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点B，并停止运动．设运动的时间为t秒，在整个运动过程中，当它把线段AB分为3：2的两段时，求t的值；并直接判断此时小蚂蚁与点A，O，B，E（E是AB的中点）的距离和是否最短？ 42．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 【理解应用】如图1，已知数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，其中b是最大的负整数，且a，b，c满足（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0． （1）请你直接写出a，b，c的值，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）若D为数轴上的一个动点，且DC＝3DB，求点D在数轴上表示的数． 【拓展延伸】（3）若点P，R，Q分别从点A，B，C同时出发在数轴上运动，点P以每秒4个单位的速度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值． 43．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是 ， 显然，9a能被3整除，因此，若a+b能被3整除，那么9a+（a+b），就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： （1）下列各数中，能被3整除的有 　 　 ；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025． （2）设是一个四位数，若a+b+c+d能被3整除，试说明这个数能被3整除； （3）设表示任意一个（n+1）位自然数，若an+an﹣1+⋯+a1+a0能被3整除，试说明能被3整除． 44．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x﹣3的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+3的值为15，求代数式3﹣2x2﹣2x的值； （2）当x＝8时，代数式ax3+bx+4的值为11，求当x＝﹣8时，代数式ax3+bx+4的值； 【拓展应用】 （3）若3m+n＝﹣5，mn＝2，求6（m+n）﹣（4n﹣mn）的值． 45．阅读材料： 问题背景：数学活动课上，老师提出问题：用式子表示十位上的数是a，个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位数与个位数交换位置，计算所得数与原数的和．这个和能够被11整除吗？ 解决思路：原数是10a+b，交换位置后10b+a，两个两位数相加的结果是：11a+11b＝11（a+b）；由于a与b均为整数，所以这个和能够被11整除． 问题提出：某同学根据上述解题思路提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差．例如：782﹣287＝99×（7﹣2）． 请聪明的你来回答问题： （1）这位同学的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由． （2）已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于 　 　 ．（直接用含m，n的式子表示） 46．综合与实践：七年级某班的一个学习小组利用收集到的小石子开展有关“形数”的探究活动． 【操作与发现】 同学们在摆放小石子的过程中发现了一些有趣的“形数”． 如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，不妨将这些数称为“三角形数”．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，不妨将这些数称为“正方形数”． 【观察与思考】 同学们设第n个“三角形数”为x，第n个“正方形数”为y，并列出下面的表格尝试从不同的角度寻找其中的规律． n 1 2 3 4 5 .… x 1 3 6 10 a … y 1 4 9 16 b … （1）上表中，a，b的值分别为　 　 ，　 　 ； （2）下列各数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是　 　 （填序号）； ①21；②25；③36；④49． 【猜想与应用】 （3）观察图形与表格，猜想n与x，y之间的关系，并直接写出用含x，y的代数式表示n为　 　 ； （4）同学们还发现当n＞1时，任意一个“正方形数”均可以看作某两个相邻的“三角形数”之和．据此请判断196可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和，并写出你的判断过程． 47．如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“2.5cm”，“1cm“两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足|a+1|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）若将图1中的数轴沿水平方向移动1个单位，此时刻度“1.7cm”对应数轴上的数为 　 　 ； （3）若刻度尺右端M的刻度为“0.5cm”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧MN的长度，并说明理由． 48．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 　 　 的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝　 　 ，AC＝　 　 ，BC＝　 　 ．（用含t的代数式表示） 49．为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，我市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元/m3） 第一档气量 不超出300m3的部分 2.7 第二档气量 超出300m3不超出600m3的部分 a 第三档气量 超出600m3的部分 a+0.5 （说明：户籍人口超过4人的家庭，每增加1人，各档年用气量基数按每人增加60立方米依次调整．） （1）若甲用户户籍人口登记有4人，今年前三个月已使用天然气200m3，则应缴费 　 　 元． （2）若乙用户户籍人口登记有5人，今年已使用天然气560m3，共缴费用1632元，则a的值为 　 　 ． （3）在（2）的条件下，若乙用户年用气量为x（m3），请用含x的代数式表示每年支出的燃气费． 50．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制的自然数可以写成2的方幂和的形式，如：21（10）＝16+4+1＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝10101（2），即十进制的数21对应二进制的数10101． 根据上述规则，解答下列问题： （1）二进制的数11011对应的十进制的数是 　 　 ； （2）计算：110100（2）+1302（4）＝ 　 　 （10）；（规定当a≠0时，a0＝1） （3）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满六进一，根据图示求孩子已经出生的天数，并用二进制数表示． 51．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：|2x|＝1． 解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是； ②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是． 原方程的解为或． （1）依例题的解法，方程的解是　 　 ； （2）尝试解绝对值方程：3|x﹣2|＝7； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|x﹣2|+|x+1|＝5． 52．卓越中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次）：+18，﹣1，+22，﹣2，﹣5，+12，﹣8，+1，+8，+15． （1）求该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差多少？ （2）求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？ （3）规定：每分钟跳绳次数为标准数量，不加分；超过标准数量，每多跳1个加1分；未达到标准数量，每少跳1个，扣0.5分，若班级跳绳总积分超过60分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班能否得到学校奖励？ 53．如图是一个运算程序， （1）当a＝﹣1，b＝2时，求输出结果m； （2）若a＝3，输出结果m恰好与b的值相等，求b的值； （3）若输入非零有理数满足a+b＝0，试比较代数式2a﹣3b+4m的值与0的大小． 54．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积：S1＝ 　 　 ，S2＝ 　 　 ； （2）根据图1与图2的面积关系，得到等式：　 　 ＝ 　 　 ； 运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算51×49，可作如下变形： 51×49＝（50+1）×（50﹣1）＝502﹣12＝2500﹣1＝2499． （3）运用上述方法计算199×201． 55．某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 　 　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 56．已知数轴上点M表示的数是﹣5，点N在点M的右边，且与点M相距3个单位长度，点P，Q是数轴上的两个动点． （1）直接写出点N所表示的数为 　 　 ； （2）若点P运动到与M，N两点的距离之和是7个单位长度的位置时，点P表示的数为 　 　 ； （3）如果点P，Q分别从点M，N同时出发，沿数轴向同一方向运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，则4秒后点P，Q两点之间的距离是多少？ 57．观察下列等式，并完成下列问题： 第1个：1＝2﹣1； 第2个：1+2＝22﹣1； 第3个：1+2+22＝23﹣1； 第4个：1+2+22+23＝24﹣1； …… （1）请写出第5个等式：　 　 ； （2）请用含n的式子表示这个规律：1+2+22+23+⋯+2n＝　 　 ； （3）运用上述结论，计算：22024﹣22023﹣22022﹣22021﹣22020（写出必要的解题过程）． 58．已知关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项，求m2n+mn2的值． 59．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是 　 　 ，点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值； （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通地区2024-2025学年期中考试压轴题精选 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C D C A B B A C A 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B B D A D D B A 一．选择题（共19小题） 1．观察下面三行数： ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；① 0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；② ﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③ 设x、y、z分别为第①②③行的第99个数，则4x﹣2y﹣4z的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】A 【分析】根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第99个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得：第一行的第99个数是（﹣2）99，第二行数据的第99个数是（﹣2）99+2，第三行数据的第99个数是， 原式＝4×（﹣2）99﹣2×（﹣2）99﹣2×2﹣4×（﹣298） ＝﹣4×299+2×299﹣4+2100 ＝（﹣4+2）×299﹣4+2100 ＝﹣2100﹣4+2100 ＝﹣4， 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类，发现数字的变化规律是关键． 2．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，以下结论：①abc＞0；②c﹣a＜0；③a+b＞0；④|b﹣c|+|a﹣b|＝|a﹣c|．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后求出abc，c﹣a，a+b，b﹣c，a﹣b的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解． 【详解】解：根据图形可得，a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴abc＞0，c﹣a＜0，a+b＜0， a﹣b﹣c＞0，b﹣a＜0，b+c＜0，∴|b﹣c|+|a﹣b|＝b﹣c+a﹣b＝a﹣c ＝|a﹣c|． 所以①②④正确，正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键． 3．下列说法：①若a、b互为相反数，则1；②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④两个四次多项式的和一定是四次多项式；⑤若a3+b3＝0，则a与b互为相反数．其中错误的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】利用相反数的性质，整式的加减法则，有理数的混合运算法则一一判断即可． 【详解】解：①若a、b互为相反数，则1；错误，a＝b＝0时，不成立； ②若b＜0＜a，且|a|＜|b|，则|a+b|＝﹣|a|+|b|；正确； ③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；错误，也可能为0； ④两个四次多项式的和一定是四次多项式；错误，不一定是四次多项式； ⑤若a3+b3＝0，则a与b互为相反数．正确． 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，相反数，绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，有理数的除法，解题的关键是掌握相关知识． 4．若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【分析】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵a2﹣4a﹣12＝0， ∴a2﹣4a＝12， ∴2a2﹣8a﹣8 ＝2（a2﹣4a）﹣8 ＝2×12﹣8 ＝24﹣8 ＝16， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，将2a2﹣8a﹣8变形为2（a2﹣4a）﹣8是解题的关键． 5．如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，当图形中含有2025个三角形时，需要的火柴棍根数为（　　） A．4039 B．4049 C．4051 D．2025 【答案】C 【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棍的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图形中含1个三角形时，需要的火柴棍的根数为：3＝1×2+1； 图形中含2个三角形时，需要的火柴棍的根数为：5＝2×2+1； 图形中含3个三角形时，需要的火柴棍的根数为：7＝3×2+1； …， 所以图形中含n个三角形时，需要的火柴棍的根数为（2n+1）根． 当n＝2025时， 2n+1＝4051（根）， 即图形中含2025个三角形时，需要的火柴棍的根数为4051根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棍的根数依次增加2是解题的关键． 6．将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为C1，图2中阴影部分的周长为C2，则C1﹣C2的值（　　） A．0 B．a﹣b C．2a﹣2b D．2b﹣2a 【答案】A 【分析】根据周长的计算公式，列式子计算解答． 【详解】解：由题意知：C1＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a， 因为四边形ABCD是长方形， 所以AB＝CD ∴C1＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a＝2AD+2AB﹣2b， 同理，C2＝AD﹣b+AB﹣a+a﹣b+a+BC﹣a+AB＝2AD+2AB﹣2b， 故C1﹣C2＝0． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减的法则是解题的关键． 7．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子•天下篇》，大意为一根长1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取第1次剩下长度的一半，第3次截取第2次剩下长度的一半，如此反复，截取100次后木杆剩下的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次求出每次截取后木杆剩下的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 截取1次后，木杆剩下的长度为：； 截取2次后，木杆剩下的长度为：； 截取3次后，木杆剩下的长度为：； …， 所以截取n次后，木杆剩下的长度为， 当n＝100时， ， 即截取100次后，木杆剩下的长度为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给截取方式发现截取n次后，木杆剩下的长度为是解题的关键． 8．如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图an比图an﹣1多出的火柴棒根数是（　　） A．2m B．2n﹣1 C．2n D．2n﹣1 【答案】B 【分析】由图形可得到第n个图中火柴棒的根数为：1+21+22+23+…+2n﹣1，据此可求解． 【详解】解：∵第a1个图形中火柴棒的根数为：1； 第a2个图形中火柴棒的根数为：3＝1+2＝1+21； 第a3个图形中火柴棒的根数为：7＝1+2+4＝1+21+22； 第a4个图形中火柴棒的根数为：15＝1+2+4+8＝1+21+22+23； …， ∴第an个图中火柴棒的根数为：1+21+22+23+…+2n﹣1， ∴第an﹣1个图中火柴棒的根数为：1+21+22+23+…+2n﹣2， ∴图an比图an﹣1多出的火柴棒根数是：1+21+22+23+…+2n﹣1﹣（1+21+22+23+…+2n﹣2）＝2n﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子一定成立的是（　　） A．a＜﹣b B．b﹣a＜0 C．a+b＞0 D．ab＞0 【答案】A 【分析】直接利用a，b在数轴上的位置得出a＜0，b＞0，且|a|＞b，a+b＜0，进而分别得出答案． 【详解】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞b，a+b＜0， A、a＜﹣b，正确； B、b﹣a＞0，故此选项错误； C、a+b＜0，故此选项错误； D、ab＜0，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出各式的符号是解题关键． 10．下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a﹣b＝﹣13；④若a+b+c＝0，则可能的值为0或±2；正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】由四舍五入可判断①；根据整式的加减可判断②；求出a，b相加可判断③；根据a+b+c＝0，abc≠0，可判断出，a、b、c中负数的个数为1个或2个，然后分类化简可判断④． 【详解】解：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0，故①正确； ②两个三次多项式的和不一定是三次多项式；故②错误； ③由条件可知a＝﹣8，b＝5，a﹣b＝﹣13，故③正确； ④由条件可知a、b、c中负数的个数为1个或2个， 当a、b、c中负数的个数为1个时， 原式＝﹣1+1+1+（﹣1）＝0． 当a、b、c中负数的个数为2个时， 原式＝﹣1+（﹣1）+1+1＝0，故④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查近似数，绝对值，相反数及整式加减，解题的关键是掌握相关概念，能进行准确计算． 11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应26，25，24，…，1这26个整数（见表格），当明文中的字母对应的序号为α时，将α+8除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文r对应密文j．按上述规定，将明文“shuxue”译成密文后是（　　） 字母 a b c d e f g h i j k l m 序号 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 字母 n o p q r s t u v w x y z 序号 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A．kzmpmw B．wmpmzk C．kzwpwm D．ixmpmu 【答案】A 【分析】首先找出每个明文对应的数字，然后加8除以26看余数，最后根据密码表找出对应字母即可解答． 【详解】解：s：（8+8）÷26 ＝16÷26 ＝0…16， 余数是16，对应的字母是k， h：（19+8）÷26 ＝27÷26 ＝1…1， 余数是1，对应的字母是z， u：（6+8）÷26 ＝14÷26 ＝0…14， 余数是14，对应的字母是m， x：（3+8）÷26 ＝11÷26 ＝0…11， 余数是11，对应的字母是p， u：（6+8）÷26 ＝14÷26 ＝0…14， 余数是14，对应的字母是m， e：（22+8）÷26 ＝30÷26 ＝1…4， 余数是4，对应的字母是w， ∴将明文“shuxue”译成密文后是kzmpmw， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．如图所示，在数轴上有理数a，b，c，﹣2的位置如图所示，若m＝|2a+b|﹣|﹣2﹣b|﹣|2a﹣2c|﹣4，则6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3的值是（　　） A．77 B．78 C．﹣77 D．﹣78 【答案】B 【分析】根据实数与数轴的关系可得b＜a＜﹣2＜0＜c，则2a+b＜0，﹣2﹣b＞0，2a﹣2c＜0，然后将m化简后代入6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3中计算即可． 【详解】解：由数轴可得b＜a＜﹣2＜0＜c， 则2a+b＜0，﹣2﹣b＞0，2a﹣2c＜0， m＝|2a+b|﹣|﹣2﹣b|﹣|2a﹣2c|﹣4 ＝﹣2a﹣b﹣（﹣2﹣b）﹣（2c﹣2a）﹣4 ＝﹣2a﹣b+2+b﹣2c+2a﹣4 ＝﹣2c﹣2， 则m+2c＝﹣2， 6（m+2c﹣1）2+3（m+2c+4）3 ＝6×（﹣2﹣1）2+3×（﹣2+4）3 ＝6×9+3×8 ＝54+24 ＝78， 故选：B． 【点睛】本题考查实数与数轴及有理数的运算，结合已知条件求得2a+b＜0，﹣2﹣b＞0，2a﹣2c＜0是解题的关键． 13．某窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为a cm，长方形的长和宽分别为b cm和c cm．给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是（πa+3b+2c）cm； ②窗户的面积是（πa2+2bc+b2）cm2； ③b+2c＝2a； ④b＝3c． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质，圆的面积公式，圆的周长公式即可得到结论． 【详解】解：①窗户外围的周长＝2b+2c+b2aπ＝（3b+2c+aπ）cm，故①符合题意； ②窗户的面积＝（a2π+2bc+b2）cm2；故②不符合题意； ③根据矩形的性质得b+2c＝2a，故③符合题意； ④无法求得b＝3c，故④不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，圆的面积，正确地识别图形是解题的关键． 14．在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和微处理器设备中．现用二进制记数法表示正整数，例如：3＝2+1＝1×21+1×20，记作3＝（11）2，12＝8+4＝1×23+1×22+0×21+0×20，记作12＝（1100）2，八进制记数法表示正整数，例如：83＝64+16+3＝1×82+2×81+3×80，记作83＝（123）8．则（1011101）2等于八进制中的数为（　　） A．35 B．82 C．83 D．135 【答案】D 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1011101）2化为1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20＝64+0+16+8+4+0+1＝93， 则93＝64+24+5＝1×82+3×81+5×80， 那么（1011101）2等于八进制中的数为135， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．对于数133，规定第一次操作为13+33+33＝55，第二次操作为53+53＝250，按此规律操作下去，则第2024次操作后得到的数是（　　） A．250 B．133 C．55 D．24 【答案】A 【分析】分别计算出第1次操作、第2次操作、第3次操作、第4次操作……的值，找出规律，再计算求值即可． 【详解】解：根据题意有， 第1次操作：13+33+33＝55， 第2次操作：53+53＝250， 第3次操作：23+53+03＝133， 第4次操作：13+33+33＝55， 第5次操作：53+53＝250， ……， 易知，数字以55，250，133为一个周期出现， 2024÷3＝674……2， ∴第2024次操作后得到的数是250． 故选：A． 【点睛】本题考查了数字的变化，通过计算求值找出数字变化的规律，再根据周期性计算求值是解本题的关键，难度不大，仔细计算即可． 16．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示为远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，则这个孩子自出生后的天数为（　　） A．241 B．142 C．71 D．47 【答案】D 【分析】根据满五进一，仿照十进制求解． 【详解】解：根据“满五进一”得：1×52+4×5+2＝25+20+2＝47， 即这个孩子自出生后的天数为47． 故选：D． 【点睛】本题考查了用数字表示事件，仿照十进制原理是解题的关键． 17．定义：如果两个有理数m，n满足2m＝3n，则称m，n为一对“相随数”．已知有理数a，b为一对“相随数”，若p＝|2a|+|3b﹣4|，则p的值可以为（　　） A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【答案】D 【分析】根据“相随数”的定义得出2a＝3b，即可得到p＝|2a|+|3b﹣4|＝|3b|+|3b﹣4|，再分当b时；当0＜b时；当b≤0时；分别化简绝对值进行判断即可． 【详解】解：∵有理数a，b为一对“相随数”， ∴2a＝3b， ∴p＝|2a|+|3b﹣4|＝|3b|+|3b﹣4|， 当b时，p＝3b+3b﹣4＝6b﹣4≥4； 当0＜b时，p＝3b+4﹣3b＝4； 当b≤0时，p＝﹣3b+4﹣3b＝4﹣6b≥4； 综上所述，p的最小值是4，故p的值可以为4.5， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值，理解题中的新定义以及熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 18．如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个图案需要的棋子个数为（　　） A．81 B．91 C．109 D．111 【答案】B 【分析】根据图形的变化归纳出第n个图案需要黑色棋子个数为：n2+n+1，即可求解． 【详解】解：由图知，第1个图案中黑色棋子的个数为1+2＝12+1+1， 第2个图案中黑色棋子的个数为4+3＝22+2+1， 第3个图案中黑色棋子的个数为9+4＝32+3+1， 第4个图案中黑色棋子的个数为16+5＝42+4+1， …， 第n个图案需要黑色棋子个数为n2+n+1， ∴第⑨个这样的图案需要黑色棋子个数为92+9+1＝81+10＝91， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图案需要黑色棋子个数为（n2+n+1）是解题的关键． 19．曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖，根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖，根据糖果数量相等列出等式即可解答． 【详解】解：∵根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖， 根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖， ∴ma+b＝3（m+10）+（b+1）， ∴a＝3， ∵a，m为正整数， ∴m＝31或1， 当m＝31时， ∴a＝4， 当m＝1时，a＝34，没有这个选项，舍弃． 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式的应用，关键是能根据题意表示出糖果的数量． 二．填空题（共20小题） 20．有一组按规律排列的式子：﹣3，，，，…第n个式子是　　 （n为正整数）． 【答案】． 【分析】分析这列式子：正负相间，且其分母依次是1，2，3…，分子依次是3，5，7，9，…，故第n个式子是． 【详解】解：观察发现：第n个式子是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字类规律探究．发现规律是关键． 21．如图，找出图形变化的规律，则第20个图形中黑色小正方形的个数是 　30　 ． 【答案】30． 【分析】根据所给图形，依次求出第偶数个图形中黑色小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第2个图形中黑色小正方形的个数是：3； 第4个图形中黑色小正方形的个数是：6； 第6个图形中黑色小正方形的个数是：9； …， 所以第2n个图形中黑色小正方形的个数是3n个（n为正整数）， 当2n＝20，即n＝10时， 3n＝30（个）， 即第20个图形中黑色小正方形的个数是30个． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现第2n个图形中黑色小正方形的个数是3n个（n为正整数）是解题的关键． 22．对a，b定义运算“*”如下：a*b，已知3*m＝48，则有理数m＝　4　 ． 【答案】4． 【分析】根据定义的运算分情况讨论求得对应的m的值即可． 【详解】解：若3≥m， 则9m＝48， 解得：m3，不符合题意； 若3＜m， 则3m2＝48， 则m＝±4， ∵3＜m， ∴m＝4； 综上，m＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查有理数，解一元一次方程及平方根，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 23．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有　（4n+1）　 个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1＝9， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2＝13， …， 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）＝4n+1． 故答案为：（4n+1）． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键． 24．如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是 　2a+2b　 （用含有字母a，b的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】设正方形的边长为x，则最大的长方形的周长是（a+b﹣x+x）×2，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为x， 则最大的长方形的周长是（a+b﹣x+x）×2＝2a+2b， 故答案为：2a+2b． 【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是表示出长方形的长和宽． 25．有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，，则a2024的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，依次求出a2，a3，a4，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为a1＝2， 所以， ， ， …， 由此可见，， 因为2024为偶数， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现是解题的关键． 26．小聪和小明在数学活动课上表演了一个纸牌游戏：小聪背对着小明，让小明将一副纸牌按以下步骤操作： 第一步，把部分纸牌分发为左、中、右三堆，每堆张数相同，且不少于2张； 第二步，从右边一堆中拿出3张，放入中间一堆； 第三步，从左边一堆中拿出2张，放入中间一堆； 第四步，从中间一堆中拿出与右边一堆张数相等的牌放入左边． 此时小聪准确地说出了中间一堆牌现有的张数，这个张数为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】设每堆张数为a，从右边一堆中拿出3张，放入中间一堆，此时中间一堆的张数为（a+3）张，右边为（a﹣3）张；从左边一堆中拿出2张，放入中间一堆，此时中间一堆为（a+3+2）张；从中间一堆中拿出与右边一堆张数相等的牌放入左边，此时中间一堆为（a+3+2）﹣（a﹣3）张，据此可得出结论． 【详解】解：设每堆张数为a， 由题意得，中间的张数＝（a+3+2）﹣（a﹣3） ＝a+3+2﹣a+3 ＝8（张）． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 27．幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则m＝ 　15　 ． 【答案】15． 【分析】设第一行第三列的方格中的数字为a，由每行及对角线上的数字之和都相等，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，由每行、每列上的数字之和都相等，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第一行第三列的方格中的数字为a，如图所示， ∵每行及对角线上的数字之和都相等， ∴﹣1+11＝﹣3+a， 解得：a＝13． ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴﹣1+13＝m﹣3， 解得：m＝15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 28．若3x|m|﹣（2﹣m）x+5是关于x的二次三项式，那么m的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：∵多项式3x|m|﹣（2﹣m）x+5是二次三项式， ∴|m|＝2，﹣（2﹣m）≠0， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题主要考查多项式的项数，次数和系数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数． 29．若实数x满足x2+2x﹣1＝0，则2x3+7x2+4x+2025的值为 　2028　 ． 【答案】2028． 【分析】变形整理等式和代数式，整体代入求值． 【详解】解：∵x2+2x﹣1＝0， ∴x2+2x＝1， ∴2x3+7x2+4x+2025 ＝2x3+4x2+3x2+4x+2025 ＝2x（x2+2x）+3x2+4x+2025 ＝2x+3x2+4x+2025 ＝3x2+6x+2025 ＝3（x2+2x）+2025 ＝3+2025 ＝2028， 故答案为：2028． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值法． 30．如图，已知数轴上有三点A，B，C，AC＝2AB，AB＝30，点A对应的数是20．动点P，Q同时从点C，A出发向右运动，同时动点R从点A出发向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R速度的2倍，经过2秒，点P，R之间的距离与点Q，R之间的距离相等，动点Q的速度为　60或　 个单位长度/秒． 【答案】60或． 【分析】根据AC＝2AB，AB＝30，得出AC＝60，利用点A对应的数是20，即可得出点C对应的数；假设点R速度为v个单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可． 【详解】解：∵数轴上有三点A，B，C，AC＝2AB，AB＝30，点A对应的数是20． ∴AC＝60． ∵点A对应的数是20， ∴点C对应的数是20﹣60＝﹣40． 假设点R的速度为v个单位长度/秒，则点P的速度是3v个单位长度/秒，点Q的速度是2v个单位长度/秒， ∴2秒后P点表示的数为﹣40+3v×2＝﹣40+6v，R点表示的数为：20﹣2v，Q点表示的数为：20+2v×2＝20+4v，QR＝6v，PR＝|8v﹣60|， 由当t＝2时，PR＝QR，得：|8v﹣60|＝6v． 有两种情况：8v﹣60＝6v， 解得：v＝30． 或8v﹣60＝﹣6v， 解得：． 则2v＝60或． 故答案为：60或． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 31．在a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好是﹣4，0，2这三个数值中的一个，若a+b+c+d+e+f+g+h＝﹣2，则|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|＝ 　6或14或22　 ． 【答案】6或14或22． 【分析】根据已知条件a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好是﹣4，0，2这三个数值中的一个，a+b+c+d+e+f+g+h＝﹣2，求出其中5个字母的值的和为0，进行推导即可． 【详解】解：∵a，b，c，d，e，f，g，h中，每个字母的值恰好是﹣4，0，2这三个数值中的一个，a+b+c+d+e+f+g+h＝﹣2，﹣4+0+2＝﹣2， ∴有3个字母的值分别为﹣4，0，2，另5个字母的值的和为0， ∴这5个字母的值分别为：0，0，0，0，0或2，2，0，0，﹣4， 或﹣4，2，2，﹣4，2，2，﹣4，2， ∴|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|＝|﹣4|+|2|+|0|+|0|+|0|+|0|+|0|+|0| ＝4+2+0+0+0+0+0+0 ＝6， 或|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|＝|﹣4|+|2|+|0|+|2|+|2|+|0|+|﹣4|+|0| ＝4+2+0+2+2+0+4+0 ＝14， 或|a|+|b|+|c|+|d|+|e|+|f|+|g|+|h|＝|﹣4|+|2|+|2|+|﹣4|+|2|+|2|+|﹣4|+|2| ＝4+2+2+4+2+2+4+2 ＝22． 故答案为：6或14或22． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数． 32．幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化．在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的数字，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若A＝2n+1，C＝4n，F＝2n，则H＝　4n﹣1　 ． 【答案】4n﹣1． 【分析】由A+B+D＝C+B+E＝F+D+G，可得E＝A+D﹣C＝2n+1+D﹣4n＝D﹣2n+1，G＝A+B﹣F＝2n+1+B﹣2n＝B+1，又A+B+D＝H+G+E，故H＝A+B+D﹣G﹣E＝4n﹣1． 【详解】解：根据题意得：A+B+D＝C+B+E＝F+D+G， ∴E＝A+D﹣C＝2n+1+D﹣4n＝D﹣2n+1， G＝A+B﹣F＝2n+1+B﹣2n＝B+1， ∵A+B+D＝H+G+E， ∴H＝A+B+D﹣G﹣E ＝2n+1+B+D﹣（B+1）﹣（D﹣2n+1） ＝4n﹣1； 故答案为：4n﹣1． 【点睛】本题考查幻方，解题的关键是根据幻方的特点，列方程得到E＝D﹣2n+1，G＝B+1． 33．如图1，在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图2所示．根据图中信息，用等式表示a，b，c满足的关系为　b+c﹣a＝4　 ． 【答案】b+c﹣a＝4． 【分析】根据宽相等得出等量关系式即可． 【详解】解：由图知该长方形区域的宽为a+b+c或2a+4， ∴a+b+c＝2a+4， 故答案为：b+c﹣a＝4． 【点睛】本题主要考查列代数式的知识，根据图中数量关系列出代数式是解题的关键． 34．已知A＝ax2﹣6x+by﹣1，B＝3﹣2y﹣cx+x2，若无论x，y为何值，A﹣2B的值始终不变，则代数式ab+c的值为 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】直接把已知A，B代入，进而去括号合并同类项，结合无论x，y为何值时，A﹣2B的值始终不变，得出含有x，y的系数为0，进而得出答案． 【详解】解：A﹣2B ＝ax2﹣6x+by﹣1﹣2（3﹣2y﹣cx+x2） ＝ax2﹣6x+by﹣1﹣6+4y+2cx﹣2x2 ＝（a﹣2）x2+（2c﹣6）x+（b+4）y﹣7， ∵A﹣2B的值始终不变， ∴a﹣2＝0，b+4＝0，2c﹣6＝0， ∴a＝2，b＝﹣4，c＝3， ∴ab+c＝2×（﹣4）+3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 35．定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时，则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时，则取该数的一半，一直取到结果为奇数停止为一次“H运算”．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过3次“H运算”的结果为46．那么数28经过2024次“H运算”得到的结果是 　16　 ． 【答案】16． 【分析】从28开始，分别按照偶数和奇数的计算法则依次计算， 【详解】解：第1次：； 第2次：3×7+13＝34； 第3次：； 第4次：3×17+13＝64； 第5次：； 第6次：3×1+13＝16； 第7次：，等于第5次． 所以从第5次开始，奇数次等于1，偶数次等于16． 因为2024是偶数，所以数28经过2024次“H运算”得到的结果是16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，直到出现循环是解题的关键． 36．1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y，则10号正方形的边长可用含x，y的代数式表示为 　10y﹣7x　 ． 【答案】10y﹣7x． 【分析】根据各个正方形的边的和差关系分别表示出第10的边长，即可求解； 【详解】解：第1、2的正方形边长分别为x、y， 则第3个正方形的边长＝x+y； 第4个正方形的边长＝x+y+y＝x+2y； 第5个正方形的边长＝x+2y+y＝x+3y； 第6正方形的边长＝x+3y+y﹣x＝4y； 第7正方形的边长＝4y﹣x； 第8正方形的边长＝4y﹣x﹣x﹣（x+y）＝4y﹣x﹣x﹣x﹣y＝3y﹣3x； 第9正方形的边长＝4y﹣x+（3y﹣3x）＝7y﹣4x； 第10正方形的边长＝（7y﹣4x）+（3y﹣3x）＝10y﹣7x； 故答案为：10y﹣7x． 【点睛】本题考查了列代数式，正确理解各个正方形的边之间的和差关系是关键． 37．“退位减法”是一种逐位相减的方法．例如，十进制数的减法，当同一数位不够减时，向高一位借1当10，11﹣9＝2；二进制的减法，当同一数位不够减时，向高一位借1当2，（10）2﹣1＝1．其它几进制的退位减法也是类似的．若a，b，c，d分别代表四进制中4个互不相同的数，且三位数比三位数大1，则c代表的数是 　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据题中的减法，及四进制的特点求解． 【详解】解：∵a，b，c，d分别代表四进制中4个互不相同的数， ∴a，b，c，d是0、1、2、3中不相等是数，且a≠0， ∵三位数比三位数大1， ∴b+4﹣d＝1，a﹣1＝b， ∴a＝1，b＝0，d＝3， ∴c＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考出来整式的加减，理解题中的新方法是解题的关键． 38．按如图的程序计算，当输入x＝﹣1后，最后输出的结果是 　﹣11　 ． 【答案】﹣11． 【分析】按照程序进行计算，即可解答． 【详解】解：当x＝﹣1时， 5﹣x2＝5﹣（﹣1）2＝5﹣1＝4＞0， 当x＝4时， 5﹣x2＝5﹣42＝5﹣16＝﹣11＜0， ∴最后输出的结果是﹣11， 故答案为：﹣11． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，按照程序进行计算是解题的关键． 39．如图所示，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是4，则这个长方形的面积是 　2288　 ． 【答案】2288． 【分析】设正方形B的边长为x，则正方形A、C、E的边长分别为x+4、x﹣4、（x+8），根据长方形的对边相等列方程得x+4（x+8）＝x+x﹣4，解方程求出x的值，再分别求出长方形的长和宽，进而求出长方形的面积即可等到问题的答案． 【详解】解：设正方形B的边长为x，则正方形A、C、E的边长分别为x+4、x﹣4、（x+8）， 根据题意得x+4（x+8）＝x+x﹣4， 解得x＝24， ∴x+x+4＝24+24+4＝52，x+x﹣4＝24+24﹣4＝44， ∴52×44＝2288， ∴这个长方形的面积是2288， 故答案为：2288． 【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示6个正方形中的每个正方形的边长是解题的关键． 三．解答题（共20小题） 40．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　 ，线段AB的中点C表示的数为　3　 ； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　﹣2+6t　 ；点Q表示的数为　8﹣4t　 ； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】（1）①10；3；②﹣2+6t；8﹣4t； （2）或； （3）不变，MN＝5． 【分析】（1）①利用两点之间的距离公式和线段中点公式求解即可； ②）根据题意，t秒后，点P表示的数是﹣2+6t，点Q表示的数是8﹣4t， （2）利用数轴上两点的距离公式列绝对值方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点P在线段AB上；②当点P在线段AB的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可． 【详解】解：（1）①由题意可得：AB＝|﹣2﹣8|＝10， 线段AB的中点表示的数为， 故答案为：10；3； ②根据题意，t秒后，点P表示的数是﹣2+6t，点Q表示的数是8﹣4t， 故答案为：﹣2+6t；8﹣4t； （2）解：∵， ∴， 解得：或， 答：当或时，； （3）解：线段MN的长度不变，理由如下： ①当点P在线段AB上时， ∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴； ②当点P在线段AB的延长线上时， ∵点M为PA的中点，点N为PB的中点， ∴； 所以线段MN的长度不变，是5． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． 41．如图在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且满足（a+6）2+|b﹣12|＝0． （1）点A表示的数为 　﹣6　 ，点B表示的数为 　12　 ； （2）点C在数轴上，且点C与点B之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点D为折点，将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为 　2或4　 ； （3）若在原点O处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点M）从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点B，并停止运动．设运动的时间为t秒，在整个运动过程中，当它把线段AB分为3：2的两段时，求t的值；并直接判断此时小蚂蚁与点A，O，B，E（E是AB的中点）的距离和是否最短？ 【答案】（1）﹣6，12；（2）2或4；（3）见解析． 【分析】（1）结合非负数的性质确定答案即可； （2）分点C在点B左侧和点C在点B右侧两种情况，分别确定点C表示的有理数，然后计算折点D表示的数即可； （3）首先求得AB的中点E表示的有理数以及AB之间的距离；再分点M接近点A和点M接近点B两种情况讨论，确定M表示的有理数为6.6；分小蚂蚁从点B处向原点O处运动过程中和小蚂蚁从原点O处向点B处运动过程中两种情况，计算t的值；然后计算此时与点A，O，B、E的距离和，并计算若点M与点E重合时与点A，O，B、E的距离和，比较即可求解． 【详解】（1）解：（a+6）2+|b﹣12|＝0， ∴a+6＝0，b﹣12＝0， 解得a＝﹣6，b＝12， 故答案为：﹣6，12； （2）由（1）可知，点B表示的有理数为12，点A表示的有理数为﹣6， 当点C在点B左侧时，点C表示的有理数为10， 将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的有理数为14， 将数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为， 综上所述，折点D表示的数为2或4． 故答案为：2或4； （3）∵点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为12， 则AB的中点E表示的有理数为，AB＝12﹣（﹣6）＝18， 小蚂蚁运动到M点，使得线段AB分为3：2的两段， 当点M接近点A时，可有， 此时M表示的有理数为﹣6+5.4＝﹣0.6，不符合题意； 当点M接近点B时，可有． 此时M表示的有理数为12﹣7.2＝4.8． 在小蚂蚁从点B处向原点O处运动过程中，可有t＝7.2÷3＝2.4（秒）， 在小蚂蚁从原点O处向点B处运动过程中，可有t＝（6.6﹣0）÷2+（12﹣0）÷3＝7.3（秒）， 当小蚂蚁运动到M点，则与点A，O，B，E的距离和为[6.6﹣（﹣6）]+（6.6﹣0）+（12﹣6.6）+（6.6﹣3）＝12.6+6.6+5.4+3.6＝28.2， 若点M与点E重合，则与点A，O，B，E的距离和为[3﹣（﹣6）]+（3﹣0）+（12﹣3）+（3﹣3）＝9+3+9+0＝21， ∵21＜28.2， ∴此时小蚂蚁与点A，O，B、E的距离和不是最短的． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． 42．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 【理解应用】如图1，已知数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，其中b是最大的负整数，且a，b，c满足（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0． （1）请你直接写出a，b，c的值，a＝　﹣4　 ，b＝　﹣1　 ，c＝　11　 ． （2）若D为数轴上的一个动点，且DC＝3DB，求点D在数轴上表示的数． 【拓展延伸】（3）若点P，R，Q分别从点A，B，C同时出发在数轴上运动，点P以每秒4个单位的速度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值． 【答案】（1）﹣4，﹣1，11；（2）2或﹣7；（3）n或n． 【分析】（1）依据题意，由非负数的性质，求出b＝﹣1，a﹣4b＝0，c﹣11＝0，进而计算可以得解； （2）依据题意，分点D在线段BC上和点D在线段CB的延长线上两种情况列方程，解方程可得答案； （3）分R向左或向右两种情况分别用t表示点P、Q、R表示的数，然后根据PQ+nRQ为定值计算即可． 【详解】解：（1）∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1． ∵（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0， ∴a﹣4b＝0，c﹣11＝0． ∴a＝﹣4，c＝11． 故答案为：﹣4，﹣1，11． （2）设D表示的数d， 当点D在线段BC上时，则CD＝11﹣d，DB＝d+1． ∵DC＝3DB， ∴11﹣d＝3（d+1）． 解得d＝2； 当点D在线段CB的延长线上时，则CD＝11﹣d，DB＝﹣1﹣d． ∵DC＝3DB， ∴11﹣d＝3（﹣1﹣d）． ∴d＝﹣7． 综上，点D表示的数是2或﹣7． （3）当R以每秒3个单位的速度向左运动时， 点P表示的数为﹣4﹣4t，点Q表示的数为11+5t，点R表示的数为﹣1﹣3t， ∴PQ＝11+5t﹣（﹣4﹣4t）＝9t+15，RQ＝11+5t﹣（﹣1﹣3t）＝8t+12． ∴PQ+nRQ＝9t+15+n（8t+12）＝（9+8n）t+（15+12n）． 又∵PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化， ∴9+8n＝0． ∴n． 当R以每秒3个单位的速度向右运动时， 点P表示的数为﹣4﹣4t，点Q表示的数为11+5t，点R表示的数为﹣1+3t， ∴PQ＝11+5t﹣（﹣4﹣4t）＝9t+15，RQ＝11+5t﹣（﹣1+3t）＝2t+12． ∴PQ+nRQ＝9t+15+n（2t+12）＝（9+2n）t+（15+12n）． 又∵PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化， ∴9+2n＝0． ∴n． ∴n或n． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 43．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是 ， 显然，9a能被3整除，因此，若a+b能被3整除，那么9a+（a+b），就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： （1）下列各数中，能被3整除的有 　②④　 ；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025． （2）设是一个四位数，若a+b+c+d能被3整除，试说明这个数能被3整除； （3）设表示任意一个（n+1）位自然数，若an+an﹣1+⋯+a1+a0能被3整除，试说明能被3整除． 【答案】（1）②④； （2）证明过程见解答； （3）证明过程见解答． 【分析】（1）根据“如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除”判断即可； （2）根据1000a+100b+10c+d＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）证明即可； （3）根据10nan+10n﹣1an﹣1+…+10a1+a0＝（anan﹣1+…9a1）+（an+an﹣1+⋯+a1+a0）证明即可． 【详解】（1）解：2+5＝7， ∵7不能被3整除， ∴25不能被3整除， ∴①不符合题意； 2+2+5＝9， ∵9能被3整除， ∴225能被3整除， ∴②符合题意； 1+0+2+5＝8， ∵8不能被3整除， ∴1025不能被3整除， ∴③不符合题意； 2+0+2+5＝9， ∵9能被3整除， ∴2025能被3整除， ∴④符合题意． 故答案为：②④． （2）证明：1000a+100b+10c+d＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）， ∵999a+99b+9c能被3整除， ∴若a+b+c+d能被3整除，则就能被3整除． （3）证明：10nan+10n﹣1an﹣1+…+10a1+a0＝（anan﹣1+…9a1）+（an+an﹣1+⋯+a1+a0）， ∵anan﹣1+…9a1能被3整除， ∴若an+an﹣1+⋯+a1+a0能被3整除，则就能被3整除． 【点睛】本题考查整式的加减﹣化简求值、数字的变化规律，掌握“如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除”是解题的关键． 44．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如图所示是老师安排的作业题． 代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x﹣3的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3＝7，所以x2+x＝4，所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5，所以代数式2x2+2x﹣3的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式x2+x+3的值为15，求代数式3﹣2x2﹣2x的值； （2）当x＝8时，代数式ax3+bx+4的值为11，求当x＝﹣8时，代数式ax3+bx+4的值； 【拓展应用】 （3）若3m+n＝﹣5，mn＝2，求6（m+n）﹣（4n﹣mn）的值． 【答案】（1）﹣21； （2）﹣3； （3）﹣8． 【分析】（1）根据已知条件，列出算式，求出x2+x的值，再把所求代数式写成含有x2+x的形式，然后整体代入求值即可； （2）先把x＝8代入ax3+bx+4＝11，求出512a+8b的值，然后再把x＝﹣8代入ax3+bx+4，进行计算即可； （3）先根据去括号法则和合并同类项法则，把所求代数式化简，并化成含有3m+n和mn的形式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：（1）∵x2+x+3＝15， ∴x2+x＝12， ∴3﹣2x2﹣2x ＝3﹣2（x2+x） ＝3﹣2×12 ＝3﹣24 ＝﹣21； （2）把x＝8代入ax3+bx+4＝11得： 512a+8b+4＝11， ∴512a+8b＝7， ∴把x＝﹣8代入ax3+bx+4得： ﹣512a﹣8b+4 ＝﹣（512a+8b）+4 ＝﹣7+4 ＝﹣3； （3）∵3m+n＝﹣5，mn＝2， ∴6（m+n）﹣（4n﹣mn） ＝6m+6n﹣4n+mn ＝6m+2n+mn ＝2（3m+n）+mn ＝2×（﹣5）+2 ＝﹣10+2 ＝﹣8． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，灵活应用整体代入求值的数学思想． 45．阅读材料： 问题背景：数学活动课上，老师提出问题：用式子表示十位上的数是a，个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位数与个位数交换位置，计算所得数与原数的和．这个和能够被11整除吗？ 解决思路：原数是10a+b，交换位置后10b+a，两个两位数相加的结果是：11a+11b＝11（a+b）；由于a与b均为整数，所以这个和能够被11整除． 问题提出：某同学根据上述解题思路提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差．例如：782﹣287＝99×（7﹣2）． 请聪明的你来回答问题： （1）这位同学的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由． （2）已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于 　9999（m﹣n）　 ．（直接用含m，n的式子表示） 【答案】（1）猜想正确，说明见解析；（2）9999（m﹣n）． 【分析】（1）设这个三位正整数的百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c（a≠0），分别表示出原数和所得数，然后求出它们的差即可得到答案； （2）设这个五位正整数的千位数字，百位数字，十位数字分别为a、b、c，分别表示出原数和所得数，然后求出它们的差即可得到答案． 【详解】解：（1）这位同学的猜想正确，说明如下： 设这个三位正整数的百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c（a≠0）， ∴这个三位正整数为100a+10b+c， ∴交换位置后的正整数为100c+10b+a， ∴原数与所得数的差为100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99a﹣99c＝99（a﹣c）， ∴原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差； （2）设这个五位正整数的千位数字，百位数字，十位数字分别为a、b、c， ∴这个五位正整数为10000m+1000a+100b+10c+n， ∴交换位置后的正整数为10000n+1000a+100b+10c+m， ∴原数与所得数的差为： 10000m+1000a+100b+10c+n﹣（10000n+1000a+100b+10c+m） ＝10000m+1000a+100b+10c+n﹣10000n﹣1000a﹣100b﹣10c﹣m ＝9999（m﹣n）， 故答案为：9999（m﹣n）． 【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，正确理解题意表示出原数和所得数是解题的关键． 46．综合与实践：七年级某班的一个学习小组利用收集到的小石子开展有关“形数”的探究活动． 【操作与发现】 同学们在摆放小石子的过程中发现了一些有趣的“形数”． 如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，不妨将这些数称为“三角形数”．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，不妨将这些数称为“正方形数”． 【观察与思考】 同学们设第n个“三角形数”为x，第n个“正方形数”为y，并列出下面的表格尝试从不同的角度寻找其中的规律． n 1 2 3 4 5 .… x 1 3 6 10 a … y 1 4 9 16 b … （1）上表中，a，b的值分别为　15　 ，　25　 ； （2）下列各数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是　③　 （填序号）； ①21；②25；③36；④49． 【猜想与应用】 （3）观察图形与表格，猜想n与x，y之间的关系，并直接写出用含x，y的代数式表示n为　2x﹣y　 ； （4）同学们还发现当n＞1时，任意一个“正方形数”均可以看作某两个相邻的“三角形数”之和．据此请判断196可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和，并写出你的判断过程． 【答案】（1）15，25； （2）③； （3）2x﹣y； （4）196可以看作91与105这两个“三角形数”之和，理由见解析过程． 【分析】（1）根据所给图形，发现“三角形数”及“正方形数”的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）观察表格中的数据，发现规律即可解决问题． （4）根据题意，建立方程即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给表格可知， 当n＝1时， x＝1，y＝1＝12； 当n＝2时， x＝3＝1+2，y＝4＝22； 当n＝3时， x＝6＝1+2+3，y＝9＝32； 当n＝4时， x＝10＝1+2+3+4，y＝16＝42； …， 所以x＝1+2+3+…+n，y＝n2； 则当n＝5时， a，b＝52＝25． 故答案为：15，25． （2）因为21不是平方数， 所以①不符合题意． 因为25×2＝50，且50不能写成两个连续正整数的积， 所以②不符合题意． 因为36×2＝72，且8×9＝72，36＝62， 所以36是第8个“三角形数”，是第6个“正方形数”． 故③符合题意． 因为49×2＝98，且98不能写成两个连续正整数的积， 所以④不符合题意． 故答案为：③． （3）因为1＝2×1﹣1，2＝2×3﹣4，3＝2×6﹣9，4＝2×10﹣16，…， 所以n＝2x﹣y． 故答案为：2x﹣y． （4）196可以看作91与105这两个“三角形数”之和，理由如下： 因为， 令（n+1）2＝196， 解得n＝13（舍负）， 所以， 即196＝91+105， 所以196可以看作91与105这两个“三角形数”之和． 【点睛】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给表格及图形发现“三角形数”和“正方形数”的特征是解题的关键． 47．如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“2.5cm”，“1cm“两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足|a+1|+（b﹣2）2＝0． （1）a＝ 　﹣1　 ，b＝ 　2　 ； （2）若将图1中的数轴沿水平方向移动1个单位，此时刻度“1.7cm”对应数轴上的数为 　﹣0.4或1.6　 ； （3）若刻度尺右端M的刻度为“0.5cm”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧MN的长度，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值； （2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出1.7cm对应的数为0.6，再分类讨论向左向右移动，进而可得出1.7cm对应数轴上的数； （3）设N表示的数为：n，求出n的值，再得出N的刻度，进而可求得刻度尺有刻度一侧MN的长度． 【详解】解：（1）由题意得：a+1＝0，且b﹣2＝0， 解得：a＝﹣1，b＝2， 故答案为：﹣1，2； （2）依题意，可得a，b两数之间的距离为：2﹣（﹣1）＝3， 对应刻度尺上的距离为：2.5﹣1＝1.5， 因为（2.5﹣1.7）×2+（﹣1）＝1.6﹣1＝0.6， 所以1.7cm对应数轴上的数为0.6， ①若向左移动一个单位，则对应0.6﹣1＝﹣0.4， ②若向右移动一个单位，则对应0.6+1＝1.6， 所以1.7cm对应的数为：﹣0.4或1.6， 故答案为：﹣0.4或1.6； （3）依题意，设N表示的数为n， 因为刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合， 所以n＝1﹣6＝﹣5， 所以N得刻度为：[﹣1﹣（﹣5）]÷2+2.5＝4.5（cm）， 所以MN＝4.5﹣0.5＝4（cm）， 则这把刻度尺有刻度一侧MN的长度为4cm． 【点睛】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性，有理数混合运算的应用，关键是搞懂题意，弄清对应点． 48．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0． （1）a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ，c＝　5　 ； （2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 　3　 的点重合； （3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝　3t+2　 ，AC＝　4t+6　 ，BC＝　t+4　 ．（用含t的代数式表示） 【答案】（1）﹣1，1，5； （2）3； （3）3t+2，4t+6，t+4． 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得AB、AC、BC的长． 【详解】解：（1）∵（c﹣5）2+|a+b|＝0， ∴a+b＝0，c﹣5＝0． 解得：a＝﹣b，c＝5． ∵b是最小的正整数， ∴b＝1，a＝﹣1． 故答案为：﹣1，1，5； （2）点A与点C的中点对应的数为： ， 点B到2的距离为1，所以与点B重合的是：2+1＝3． 故答案为：3； （3）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴t秒钟过后，点A表示为﹣1﹣t，点B表示为2t+1，点C表示为3t+5， ∴AB＝2t+1﹣（﹣1﹣t）＝3t+2， AC＝3t+5﹣（﹣1﹣t）＝4t+6， BC＝3t+5﹣（2t+1）＝t+4， 故答案为：3t+2，4t+6，t+4． 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 49．为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，我市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元/m3） 第一档气量 不超出300m3的部分 2.7 第二档气量 超出300m3不超出600m3的部分 a 第三档气量 超出600m3的部分 a+0.5 （说明：户籍人口超过4人的家庭，每增加1人，各档年用气量基数按每人增加60立方米依次调整．） （1）若甲用户户籍人口登记有4人，今年前三个月已使用天然气200m3，则应缴费 　540　 元． （2）若乙用户户籍人口登记有5人，今年已使用天然气560m3，共缴费用1632元，则a的值为 　3.3　 ． （3）在（2）的条件下，若乙用户年用气量为x（m3），请用含x的代数式表示每年支出的燃气费． 【答案】（1）540； （2）3.3； （3）当年用气量不超过360m3时，每年支出的燃气费为：2.7x； 当年用气量超过360m3不超过660m3时，每年支出的燃气费为：3.3x﹣216； 当年用气量超过660m3时，每年支出的燃气费为：3.8x﹣546． 【分析】（1）由于甲用户使用天然气200m3，则直接用第一档的计算方式即可求解； （2）由于乙用户有5人，则其基数分别调整为不超过360m3，超过360m3不超过660m3，超出660m3，据此进行作答即可； （3）利用分段函数进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：2.7×200＝540（元）， 故答案为：540； （2）由题意得：2.7×（300+60）+[560﹣（300+60）]a＝1632， 解得：a＝3.3， 故答案为：3.3； （3）当年用气量不超过360m3时，每年支出的燃气费为：2.7x； 当年用气量超过360m3不超过660m3时，每年支出的燃气费为：2.7×360+3.3（x﹣360）＝3.3x﹣216； 当年用气量超过660m3时，每年支出的燃气费为：2.7×360+3.3×（660﹣360）+（x﹣660）×（3.3+0.5）＝3.8x﹣546． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的等量关系． 50．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．十进制的自然数可以写成2的方幂和的形式，如：21（10）＝16+4+1＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝10101（2），即十进制的数21对应二进制的数10101． 根据上述规则，解答下列问题： （1）二进制的数11011对应的十进制的数是 　27（10）　 ； （2）计算：110100（2）+1302（4）＝ 　166　 （10）；（规定当a≠0时，a0＝1） （3）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满六进一，根据图示求孩子已经出生的天数，并用二进制数表示． 【答案】（1）27（10）； （2）166； （3）孩子已经出生137天，用二进制数表示为10001001（2）． 【分析】（1）将二进制的数11011转换为十进制的数即可； （2）将二进制及四进制的数转换为十进制，相加后即可得出结论； （3）将六进制的数转换为十进制，可得出孩子已经出生的天数，再将其用二进制数表示出来即可． 【详解】解：（1）根据题意得：11011（2）＝1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝16+8+2+1＝27（10）． 故答案为：27（10）； （2）根据题意得：110100（2）+1302（4）＝（1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+0×20）+（1×43+3×42+0×41+2×40）＝（32+16+4）+（64+48+2）＝52+114＝166（10）． 故答案为：166； （3）根据题意得：3×62+4×61+5×60＝108+24+5＝137（10）； 137（10）＝128+8+1＝1×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝10001001（2）． 答：孩子已经出生137天，用二进制数表示为10001001（2）． 【点睛】本题考查了计数方法，熟练掌握数制之间的转换方法是解题的关键． 51．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：|2x|＝1． 解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是； ②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是． 原方程的解为或． （1）依例题的解法，方程的解是　x＝10或x＝﹣10　 ； （2）尝试解绝对值方程：3|x﹣2|＝7； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|x﹣2|+|x+1|＝5． 【答案】（1）x＝10或x＝﹣10； （2）或； （3）x＝﹣2或x＝3． 【分析】（1）分类讨论：①当x≥0时，②当x＜0时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当x﹣2≥0时，②当x﹣2＜0时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当x﹣2≥0，②当x+1≤0，③当﹣1＜x＜2时，去绝对值并解一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）①当x≥0时，原方程可化为， 解得：x＝10． ②当x＜0时，原方程可化为， 解得：x＝﹣10． ∴原方程的解为：x＝10或x＝﹣10， 故答案为：x＝10或x＝﹣10． （2）①当x﹣2≥0时，原方程可化为3（x﹣2）＝7，它的解是； ②当x﹣2＜0时，原方程可化为﹣3（x﹣2）＝7，它的解是； ∴原方程的解为：或． （3）①当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为x﹣2+x+1＝5，它的解是x＝3； ②当x+1≤0，即x≤﹣1时，原方程可化为2﹣x﹣1﹣x＝5，它的解是x＝﹣2； ③当﹣1＜x＜2时，原方程可化为2﹣x+x+1＝5，此时方程无解； ∴原方程的解为：x＝3或x＝﹣2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程、绝对值，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 52．卓越中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次）：+18，﹣1，+22，﹣2，﹣5，+12，﹣8，+1，+8，+15． （1）求该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差多少？ （2）求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？ （3）规定：每分钟跳绳次数为标准数量，不加分；超过标准数量，每多跳1个加1分；未达到标准数量，每少跳1个，扣0.5分，若班级跳绳总积分超过60分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班能否得到学校奖励？ 【答案】（1）30次；（2）166次；（3）能得到学校奖励． 【分析】（1）用记录中的最大数减去最小数即可； （2）根据平均数的意义，可得答案； （3）根据题意列式计算求出该班的总积分，再与60比较即可． 【详解】解：（1）+22﹣（﹣8）＝22+8＝30（次）， 答：该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差30次； （2）160+（18﹣1+22﹣2﹣5+12﹣8+1+8+15）÷10 ＝160+60÷10 ＝160+6 ＝166（次）， 答：该班参赛代表一分钟平均每人跳绳166次； （3）（18+22+12+1+8+15）×1﹣（1+2+5+8）×0.5 ＝76﹣8 ＝68（分）， 68＞60， 答：该班能得到学校奖励． 【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． 53．如图是一个运算程序， （1）当a＝﹣1，b＝2时，求输出结果m； （2）若a＝3，输出结果m恰好与b的值相等，求b的值； （3）若输入非零有理数满足a+b＝0，试比较代数式2a﹣3b+4m的值与0的大小． 【答案】（1）﹣3； （2）﹣3； （3）当a＞0时，2a﹣3b+4m＞0；当a＜0时，2a﹣3b+4m＜0． 【分析】（1）将a＝﹣1，b＝2代入对应的代数式并计算即可； （2）分别计算a＞b，a＜b两种情况下b的值即可； （3）分别计算a＞0，a＜0两种情况下m的值，将m的值代入2a﹣3b+4m计算并与0比较大小即可． 【详解】解：（1）当a＝﹣1，b＝2时，m＝|a|﹣2b＝|﹣1|﹣2×2＝﹣3． 答：输出结果m为﹣3． （2）当a＞b，即b＜3时，m＝|a|+2b＝b， ∴b＝﹣3； 当a＜b，即b＞3时，m＝|a|﹣2b＝b， ∴b＝1（舍去）， ∴b＝﹣3． 答：b的值为﹣3． （3）当a＞0时，则b＜0， ∴a＞b， ∴m＝|a|+2b＝a+2b， ∴2a﹣3b+4m ＝2a﹣3b+4（a+2b） ＝6a+5b ＝a+5（a+b） ＝a， ∵a＞0， ∴2a﹣3b+4m＞0； 当a＜0时，则b＞0， ∴a＜b， ∴m＝|a|﹣2b＝﹣a﹣2b， ∴2a﹣3b+4m ＝2a﹣3b+4（﹣a﹣2b） ＝﹣2a﹣11b ＝﹣2（a+b）﹣9b ＝﹣9b， ∵b＞0， ∴﹣9b＜0， ∴2a﹣3b+4m＜0． 综上，当a＞0时，2a﹣3b+4m＞0；当a＜0时，2a﹣3b+4m＜0． 【点睛】本题考查代数式求值、有理数大小比较、有理数的混合运算，掌握代数式求值的方法和有理数的混合运算法则是解题的关键． 54．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积：S1＝ 　a2﹣b2　 ，S2＝ 　（a+b）（a﹣b）　 ； （2）根据图1与图2的面积关系，得到等式：　a2﹣b2　 ＝ 　（a+b）（a﹣b）　 ； 运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算51×49，可作如下变形： 51×49＝（50+1）×（50﹣1）＝502﹣12＝2500﹣1＝2499． （3）运用上述方法计算199×201． 【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （2）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （3）39999． 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）由（1）可得答案； （3）将199×201化成（200﹣1）×（200+1），再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积S2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）， （2）由（1）可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）； （3）199×201 ＝（200﹣1）×（200+1） ＝2002﹣1 ＝40000﹣1 ＝39999． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 55．某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台（x＞2）． （1）若该客户按方案一购买，需付款 　（200x+1200）　 元．（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 　（180x+1440）　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝5时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意卖场购买微波炉2台，电磁炉x台，分别计算出需付款金额，即可求解； （2）将x＝5代入（1）中代数式，比较大小；即可求解． 【详解】解：（1）若该客户按方案一购买，需付款800×2+（x﹣2）×200＝200x+1200元， 若该客户按方案二购买，需付款（800×2+200x）×90%＝180x+1440元； 故答案为：（200x+1200）；（180x+1440）； （2）当x＝5时，方案一；200×5+1200＝2200（元）； 方案二：180×5+1440＝2340（元）， 因为2200＜2340， 所以按方案一购买较合算． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值的应用，列出代数式是关键． 56．已知数轴上点M表示的数是﹣5，点N在点M的右边，且与点M相距3个单位长度，点P，Q是数轴上的两个动点． （1）直接写出点N所表示的数为 　﹣2　 ； （2）若点P运动到与M，N两点的距离之和是7个单位长度的位置时，点P表示的数为 　﹣7或0　 ； （3）如果点P，Q分别从点M，N同时出发，沿数轴向同一方向运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度，则4秒后点P，Q两点之间的距离是多少？ 【答案】（1）﹣2；（2）﹣7或0；（3）1或7． 【分析】（1）根据题意，可以计算出点N表示的数； （2）根据题意可知，分三种情况，然后计算出点P表示的数即可； （3）根据题意，可以分两种情况，计算出4秒后点P，Q两点之间的距离． 【详解】解：（1）由题意可得， 点N表示的数为﹣5+3＝﹣2， 故答案为：﹣2； （2）设点P表示的数为a， 当点P在店M的左侧时，（﹣5﹣a）+（﹣2﹣a）＝7，解得a＝﹣7； 当点P在点M和点N之间时，[a﹣（﹣5）]+（﹣2﹣a）＝3≠7，故此种情况不符合题意； 当点P在点N的右侧时，[a﹣（﹣5）]+[a﹣（﹣2）]＝7，解得a＝0； 由上可得，点P表示的数为﹣7或0， 故答案为：﹣7或0； （3）若同时向左运动，则4秒后点P，Q两点之间的距离是：[（﹣5）﹣2×4]﹣[（﹣2）﹣3×4]＝1； 若同时向右运动，4秒后点P，Q两点之间的距离是：[﹣2+3×4]﹣[（﹣5）+2×4]＝7； 由上可得，4秒后点P，Q两点之间的距离是1或7． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 57．观察下列等式，并完成下列问题： 第1个：1＝2﹣1； 第2个：1+2＝22﹣1； 第3个：1+2+22＝23﹣1； 第4个：1+2+22+23＝24﹣1； …… （1）请写出第5个等式：　1+2+22+23+24＝25﹣1　 ； （2）请用含n的式子表示这个规律：1+2+22+23+⋯+2n＝　2n+1﹣1　 ； （3）运用上述结论，计算：22024﹣22023﹣22022﹣22021﹣22020（写出必要的解题过程）． 【答案】（1）1+2+22+23+24＝25﹣1； （2）2n+1﹣1； （3）22020，答案见解析． 【分析】依题意，找出题目中的规律：等号左边最高指数是n时，等号右边结果为：2n+1﹣1，进一步进行求解即可． 【详解】解：（1）依题意，找出题目中的规律： 等号左边最高指数是n时，等号右边结果为：2n+1﹣1， 第5个等式为：1+2+22+23+24＝25﹣1； （2）依题意，结合上面的规律可得： 1+2+22+23+...+2n＝2n+1﹣1； （3）依题意，结合上面规律可得：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1， 原式＝22023﹣22022﹣22021﹣22020 ＝22022﹣22021﹣22020 ＝22021﹣22020 ＝22020． 【点睛】本题考查了有理数的规律探究问题，做题的关键在于找准规律，仔细计算即可． 58．已知关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项，求m2n+mn2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用多项式中不含三次项和一次项，进而得出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的多项式x4﹣（m﹣2）x3+6x2﹣（n+1）x+3不含三次项和一次项， ∴， ∴解得：， ∴m2n+mn2＝22×（﹣1）+2×（﹣1）2 ＝﹣4+2 ＝﹣2． 【点睛】此题主要考查了多项式，正确得出m，n的值是解题关键． 59．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是 　10　 ，点B表示的数是 　﹣6　 ，点P表示的数是 　10﹣8t　 （用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM﹣PN的值； （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 【答案】（1）10，﹣6，10﹣8t； （2）8； （3）点P运动5秒或3秒时，P、Q两点相距4个单位长度． 【分析】（1）由（a﹣10）2+|b+6|＝0可得a＝10，b＝﹣6，即可得到答案； （2）M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t，可得PM＝4t，PN＝4t﹣8，即得PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8； （3）Q表示的数是﹣6﹣4t，可得|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4，即可解得答案． 【详解】解：（1）∵（a﹣10）2+|b+6|＝0， ∴a﹣10＝0，b+6＝0， ∴a＝10，b＝﹣6， ∴点A表示的数是10，点B表示的数是﹣6，点P表示的数是10﹣8t； 故答案为：10，﹣6，10﹣8t； （2）∵点P在点B的左侧运动，M、N分别是PA、PB的中点， ∴M表示的数是10﹣4t，N表示的数是2﹣4t， ∴PM＝（10﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t，PN＝（2﹣4t）﹣（10﹣8t）＝4t﹣8， ∴PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8； （3）∵动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴Q表示的数是﹣6﹣4t， 又点P表示的数是10﹣8t； ∵P、Q两点相距4个单位长度， ∴|（﹣6﹣4t）﹣（10﹣8t）|＝4， ∴4t﹣16＝4或4t﹣16＝﹣4， 解得t＝5或t＝3， 答：点P运动5秒或3秒时，P、Q两点相距4个单位长度． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $南通地区2024-2025学年期中考试压轴题精选 一.选择题（共19小题） 1.观察下面三行数： -2,4,-8,16,-32,64,:① 0,6,-6,18,-30,66,:② -1,2,-4,8,-1632,:③ 设x、八、z分别为第①②③行的第99个数，则4x-2y-4z的值为() A.-4 B.4 C.-2 D.2 2.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，以下结论：①abc>0:②c-a<0:③atb>0;④b-c+a- bl=a-c斗.其中正确结论的个数为() cb 0 a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列说法：①若a、b互为相反数，则片-1：②若<0<a,且4<必，则a=:®几个有理 数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负：④两个四次多项式的和一定是四次多项式；⑤若+b3 =0,则a与b互为相反数.其中错误的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4.若2-4a-12=0,则2a2-8a-8的值为() A.24 B.20 C.18 D.16 5.如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，当图形中含有2025个三角形时，需要的火柴棍根 数为( A.4039 B.4049 C.4051 D.2025 6.将两边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD中，（图1、图2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴 影部分的周长为C1,图2中阴影部分的周长为C2,则C1·C2的值() 图1 A.0 B.a-b C.2a-2b D.2b-2a 7.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子•天下篇》，大意为一根长1尺的木杆，第1 次截取其长度的一半，第2次截取第1次剩下长度的一半，第3次截取第2次剩下长度的一半，如此反 复，截取100次后木杆剩下的长度为() 1 1 A.299 B.2100 C.1-2 1 D.1-200 8.如图，火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图4比图4.1多出的火柴棒根数是() d, 0 A.2m B.2n1 C.2n D.2m-1 1 9.实数α，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子一定成立的是() 0 A.a<-b B.b-a<0 C.a+b-0 D.ab>0 10.下列说法中：①2.04（精确到0.1)取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若α 是8的相反数，b比4的相反数小3，则a-6=-13:④若brc=0.则风+包L++lbc可能的值 十 a b c abc 为0或±2；正确的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 11.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）.已 知有一种密码，将英文26个小写字母α，b,c,.,z依次对应26,25,24，.，1这26个整数（见表 格)，当明文中的字母对应的序号为时，将+8除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例 如明文r对应密文j.按上述规定，将明文shuxue”译成密文后是（ ) 字母 a b d e h 1 序号 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 字母 n 0 p 9 5 t 1 序号13 12 11 10 0 P 7 6 2 1 A.kzmpmw B.wnpnzk C.kzwpwm D.ixnipnu 12.如图所示，在数轴上有理数a,b,c,-2的位置如图所示，若1=|2a+bl-|-2-b-2a-2c-4,则6 (+2c-1)243(m+2c+4)3的值是（) p50 A.77 B.78 C.-77 D.-78 13.某窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm),其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正 方形构成.已知半圆的半径为ac,长方形的长和宽分别为bcm和cc.给出下面四个结论： ①窗户外围的周长是（πa3b+2c)cm;②窗户的面积是（πa2+2bc+b2)cm2; ③b+2c=24:④b=3C.上述结论中，所有正确结论的序号是（) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 14.在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯 片编程和微处理器设备中.现用二进制记数法表示正整数，例如：3=2+1=1×2+1×2°，记作3=(11) 2,12=8+4=1×23+1×22+0×2+0×2°，记作12=(1100)2，八进制记数法表示正整数，例如：83=64+16+3 =1×82+2×8+3×8,记作83=（123)8.则（1011101)2等于八进制中的数为() A.35 B.82 C.83 D.135 15.对于数133，规定第一次操作为13+33+33=55，第二次操作为53+53=250，按此规律操作下去，则第 2024次操作后得到的数是() A.250 B.133 C.55 D.24 16.定义：如果两个有理数，n满足2=31，则称，n为一对“相随数”.己知有理数a,b为一对“相随 数”，若p=2d3b-4,则p的值可以为() A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.5 17.在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示为远古时期一位母亲记 录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，则这个孩子自出生后的天 数为( ) A.241 B.142 C.71 D.47 18.如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个图案需要的棋子个数为() 0●ǒo● ① ② 回 A.81 B.91 C.109 D.111 19.曹老师有一包糖果，若分给个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗(b<a);若分给（叶10）个学 生，则每个学生分3颗，还剩(b+1)颗，则α的值可能是() A.4 B.5 C.6 D.7 二.填空题（共20小题） 20,有一组按规牌排列的式子：3》子号…结n个式子是 (n为正整数). 21.如图，找出图形变化的规律，则第20个图形中黑色小正方形的个数是 第1个第2个 第3个 第4个 第5个 (a2b,当a≥b时 22.对a,b定义运算*如下：a*b= 已知3*=48，则有理数m= ab2,当a<b时 23.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规 律，第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）. 第1个 第2个 第3个 24.如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是 (用含有字母a,b的代数式表示). 1 (n为偶数 25.有一列数，记第n个数为a,已知m=2,当n>1时，a.= an-1 1 则a2024的值 1-an-1 (n为奇数 为 26.小聪和小明在数学活动课上表演了一个纸牌游戏：小聪背对着小明，让小明将一副纸牌按以下步骤操 作 第一步，把部分纸牌分发为左、中、右三堆，每堆张数相同，且不少于2张： 第二步，从右边一堆中拿出3张，放入中间一堆； 第三步，从左边一堆中拿出2张，放入中间一堆： 第四步，从中间一堆中拿出与右边一堆张数相等的牌放入左边 此时小聪准确地说出了中间一堆牌现有的张数，这个张数为 27.幻方是中国古代的一种谜题，又称九宫图，即在正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线 上的数字之和都相等.图中给出了幻方的部分数字，则m= m -3 11 28.若3rm-(2-m)x+5是关于x的二次三项式，那么m的值为 29.若实数x满足x2+2x-1=0,则2x3+7x2+4x+2025的值为 30.如图，已知数轴上有三点A,B,C,AC=2AB,AB=30,点A对应的数是20.动点P,Q同时从点C, A出发向右运动，同时动点R从点A出发向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度 是点R速度的2倍，经过2秒，点P,R之间的距离与点Q,R之间的距离相等，动点Q的速度 为 个单位长度/秒 RQ ←> A 31.在a,b,c,d,e,fg,h中，每个字母的值恰好是-4,0,2这三个数值中的一个，若什b叶c+什+升g+h =-2,a+b+c+ld+lel+lf+lg+ 32.幻方是一类数字方阵，是流行于欧亚的世界性文化.在如图所示的图形中，每个字母分别代表不同的 数字，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.若A=2什1，C =4n,F=2n,则H= C D H 33.如图1，在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格 如图2所示.根据图中信息，用等式表示a,b,c满足的关系为 半径=2 图 图2 34.已知A=2-6x+by-1,B=3-2y-cx+x2,若无论x,y为何值，A-2B的值始终不变，则代数式ab+c 的值为 4 35.定义一种正整数的“H运算”：①当它是奇数时，则该数乘3加13为一次“H运算”；②当它是偶数时， 则取该数的一半，一直取到结果为奇数停止为一次“H运算”.如：数3经过1次“H运算的结果是22， 经过2次“H运算的结果为11，经过3次“H运算”的结果为46.那么数28经过2024次“H运算”得到的 结果是 36.数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其 中标注为1号和2号的正方形边长分别为x,y,则10号正方形的边长可用含x,y的代数式表示为一· 6 9 10 37.“退位减法”是一种逐位相减的方法.例如，十进制数的减法，当同一数位不够减时，向高一位借1当 10,11-9=2:二进制的减法，当同一数位不够减时，向高一位借1当2，(10)2-1=1.其它几进制的 退位减法也是类似的.若a,b,c,d分别代表四进制中4个互不相同的数，且三位数(aab)4比三位数(abd)4 大1，则c代表的数是 38.按如图的程序计算，当输入x=-1后，最后输出的结果是 /输入r7Y,5-x2 →是翰出了 39,如图，一个长方形恰好分成6个正方形，其中最小的正方形的边长是4，则这个长方形的面积是 B ED 三。解答题（共20小题） 40.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现 了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b,则A,B两点之间的距离AB=|a-b, 线段AB的中点表示的数为十也 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒6个单 位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动.设 运动时间为t秒(t>0). 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离AB= ,线段AB的中点C表示的数为 ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 一；点Q表示的数为 (2)求当1为何值时，PQ=AB: (3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，请求出线段MW的长 A B 5 41.如图在数轴上点A,B表示的数分别为a,b,且满足(+6)2+b-12=0. (1)点A表示的数为 ,点B表示的数为 (2)点C在数轴上，且点C与点B之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点D为折点，将 数轴对折后，点C与点A重合，则折点D表示的数为 (3)若在原点O处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点M)从点B处以3个单位/秒的速度向左运 动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点B,并停止运动.设运动的时间为t秒，在整个运动过 程中，当它把线段AB分为3：2的两段时，求t的值；并直接判断此时小蚂蚁与点A,O,B,E(E是 AB的中点)的距离和是否最短？ B 42.【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非表达了数形结合的 重要性.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之 间的距离AB=a-b. 【理解应用】如图I,已知数轴上的点A,B,C分别表示有理数a,b,c,其中b是最大的负整数，且a, b,c满足(a-4b)2+c-11=0. ABO BO 图1 备用图 (1)请你直接写出a,b,c的值，a= ,b= ,C= (2)若D为数轴上的一个动点，且DC=3DB,求点D在数轴上表示的数. 【拓展延伸】(3)若点P,R,Q分别从点A,B,C同时出发在数轴上运动，点P以每秒4个单位的速 度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若 PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值. 6 43.在小学，我们知道像12,27,36,45,108，.这样的自然数能被3整除.一般地，如果一个自然数所 有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除.事实上，我们可以证明这个结论的正 确性. 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为α，b,则通常记这个两位数为ab,于是 ab=10a+b=9a+(a+b), 显然，9a能被3整除，因此，若a叶b能被3整除，那么9at(a+b),就能被3整除，即ab能被3整除. 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有 ；(填序号) ①25：②225：③1025：④2025. (2)设abcd是一个四位数，若atb+c+d能被3整除，试说明这个数能被3整除： （3)设anan-1…aa表示任意一个（什1）位自然数，若a+a.1+…++a0能被3整除，试说明a,a-1…a1a 能被3整除 44.“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛.如图所示是 老师安排的作业题， 代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x-3的值. 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为x2+x+3=7,所以x2+x=4,所以2x2+2x-3=2(x2+x) -3=2×4-3=5,所以代数式2x242x-3的值为5. 【方法运用】 (1)若代数式x2+x+3的值为15，求代数式3-2x2-2x的值； (2)当x=8时，代数式ax3+bx+4的值为11，求当x=-8时，代数式ax3+bx+4的值： 【拓展应用】 (3)若3+n=-5,m=2,求6(+n)-(4n-m)的值. 45.阅读材料： 问题背景：数学活动课上，老师提出问题：用式子表示十位上的数是，个位上的数字是b的两位数， 再把这个两位数的十位数与个位数交换位置，计算所得数与原数的和.这个和能够被11整除吗？ 解决思路：原数是10+b,交换位置后10b+a,两个两位数相加的结果是：11t11b=11(a+b):由于a 与b均为整数，所以这个和能够被11整除. 问题提出：某同学根据上述解题思路提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换 位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差.例如：782 -287=99×(7-2). 请聪明的你来回答问题： (1)这位同学的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明：若不正确，说明理由 (2)己知一个五位正整数的万位上的数为，个位上的数为，把万位上的数与个位上的数交换位置， 其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于 ·(直接用含m,n的式子表示) 46.综合与实践：七年级某班的一个学习小组利用收集到的小石子开展有关“形数”的探究活动. 【操作与发现】 同学们在摆放小石子的过程中发现了一些有趣的“形数” 如图1，当小石子的数是1,3,6，…时，小石子能摆成三角形，不妨将这些数称为“三角形数”.如图2， 当小石子的数是1,4,9，时，小石子能摆成正方形，不妨将这些数称为正方形数”. 【观察与思考】 同学们设第个“三角形数”为x,第n个“正方形数”为y,并列出下面的表格尝试从不同的角度寻找其中 的规律， n12 4 x13 6 10 a … y149 16 b 。。。 (1)上表中，a,b的值分别为 (2)下列各数中，既是“三角形数”又是“正方形数的是 (填序号)； ①21；②25：③36：④49. 【猜想与应用】 (3)观察图形与表格，猜想n与x,y之间的关系，并直接写出用含x,y的代数式表示n为 (4)同学们还发现当>1时，任意一个“正方形数”均可以看作某两个相邻的“三角形数”之和.据此请 判断196可以看作哪两个相邻的三角形数”之和，并写出你的判断过程. 。。。。 。。 0② ③④ ①② ③ ④ 图1 图2 8 47.如图1，M,N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上2.5m”, 1c“两个刻度分别对应着数轴上表示数a,b的两点，且a,b两数满足a叶1+(b-2)2=0. (1)a= ,b= (2)若将图1中的数轴沿水平方向移动1个单位，此时刻度“1.7c”对应数轴上的数 为一 (3)若刻度尺右端M的刻度为0.5cm”,将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端 点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧MN的长度，并说明理由. 2.5 1 M a b 图1 w☒ 2.5 1 之M b 备用图 48.如图：在数轴上A点表示数aB点表示数b,C点表示数c,b是最小的正整数，且a、b、c满足(c -5)2+atb=0. (1)a= ,b= ,C= (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合： (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C 分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离 表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC.则AB=_ AC= BC= (用含t的代数式表示) B C 49.为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，我市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元mm3) 第一档气量 不超出300m3的部分 2.7 第二档气量 超出300m3不超出600m3的部分 a 第三档气量 超出600m3的部分 +0.5 (说明：户籍人口超过4人的家庭，每增加1人，各档年用气量基数按每人增加60立方米依次调整.) (1)若甲用户户籍人口登记有4人，今年前三个月已使用天然气200m3,则应缴费 元 (2)若乙用户户籍人口登记有5人，今年已使用天然气560r3,共缴费用1632元，则a的值 为 (3)在(2)的条件下，若乙用户年用气量为x(m),请用含x的代数式表示每年支出的燃气费. 9 50.进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进 制.也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.十进制的自然数可以写成2的方幂和的 形式，如：2110，=16+4+1=1×24+0×23+1×2240×2+1×20=101012)即十进制的数21对应二进制的数 10101. 根据上述规则，解答下列问题： (1)二进制的数11011对应的十进制的数是 (2)计算：1101002)+13024= 10:（规定当a0时，a°=1) (3)在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数， 在粗细不同的绳子上打结（如图)，由细到粗（右细左粗），满六进一，根据图示求孩子已经出生的天数， 并用二进制数表示. 51.先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题. 例：解绝对值方程：2x=1. 解：讨论：①当20时，原方程可化为2x=1,它的解是x= ②当x<0时，原方程可化为-2x=1,它的解是x=-2 原方程的解为x=或x=2 (1)依例题的解法，方程12刘=5的解是 (2)尝试解绝对值方程：3x-2=7; (3)在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：x-2+x+1=5. 52.卓越中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛.七年级某班10名 参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次）： +18,-1,+22,-2,-5,+12,-8,+1,+8,+15 (1)求该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差多少？ (2)求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？ (3)规定：每分钟跳绳次数为标准数量，不加分；超过标准数量，每多跳1个加1分；未达到标准数量， 每少跳1个，扣0.5分，若班级跳绳总积分超过60分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班能否 得到学校奖励？ 10