专题13 一文搞定等腰三角形中需分类讨论的九种类型（两解或多解问题2025-2026学年人教版八年级数学上册典例剖析及举一反三训练

专题13 一文搞定等腰三角形中需分类讨论的九种类型（两解或多解问题） 类型一 腰和底不明时需讨论 【例1】（2025春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（　　） A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对 【分析】分4cm为等腰三角形的腰和6cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长． 【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时， 三角形的三边分别是4cm，4cm，6cm符合三角形的三边关系， ∴周长为14cm； 当6cm为等腰三角形的腰时， 三边分别是，6cm，6cm，4cm，符合三角形的三边关系， ∴周长为16cm， 故选：C． 【点睛】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2023春•平阴县期末）等腰三角形的周长为11cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．4cm B．3.5cm C．4cm或3.5cm D．3cm 【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时． 【解答】解：分情况考虑：当4cm是腰时，则底边长是11﹣2×4＝3（cm），此时4cm，4cm，3cm能组成三角形，此时腰长是4cm． 当4cm是底边时，腰长是（11﹣4）3.5（cm），4cm，3.5cm，3.5cm能够组成三角形．此时腰长是3.5cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 2．（2024秋•桑植县期末）一等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．18 D．16或20 【分析】根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边． 【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是8，但是4+4＝8，故不构成三角形，舍去． ②若4是底，则腰是8，8． 4+8＞8，符合条件．成立． 故周长为：4+8+8＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 类型二 顶角和底角不明时需讨论 【例2】（2024秋•汾阳市期末）已知等腰三角形有一个角为50°，则其底角为 　65°或50°　 ． 【分析】等腰三角形的顶角和底角都有可能是50°，于是得到答案． 【解答】解：当等腰三角形的顶角是50°时， ∴底角（180°﹣50°）＝65°， 等腰三角形的底角也可能是50°， ∴等腰三角形的底角为65°或50°． 故答案为：65°或50°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 【变式训练】 1．（2023秋•绍兴期中）若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为 　72°或45°　 ． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角是底角的一半时；当等腰三角形的底角是顶角的一半时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角是底角的一半时， 设等腰三角形的顶角为x，则底角为2x， 由题意得：x+2x+2x＝180°， 解得：x＝36°， ∴等腰三角形的底角为72°； 当等腰三角形的底角是顶角的一半时， 设等腰三角形的底角为x，则顶角为2x， 由题意得：x+x+2x＝180°， 解得：x＝45°， ∴等腰三角形的底角为45°； 综上所述：此三角形底角度数为72°或45°， 故答案为：72°或45°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 2．（2023秋•长丰县期末）已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是（　　） A．20° B．50° C．60° D．80° 【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析． 【解答】解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°，另外两个角的度数都为50°； 当100°的角是底角的外角时，两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°，顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°； 故∠A的度数不能取的是60°． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质等知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 3．（2024秋•项城市期末）若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72° 【分析】分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案． 【解答】解：①设三角形底角为α，顶角为2α， 则α+α+2α＝180°， 解得：α＝45°， ②设三角形的底角为2α，顶角为α， 则2α+2α+α＝180°， 解得：α＝36°， ∴2α＝72°， ∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°， 故选：C． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 类型三 涉及高位置的讨论 【例3】（2024秋•阜城县期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（　　） A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115° 【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣25°＝65°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的知识点． 【变式训练】 1．（2023•沙县一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（　　） A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150° 【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB． 【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝60°， 当BD在△ABC内部时，如图1， ∵BD为高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣30°）＝75°； 当BD在△ABC外部时，如图2， ∵BD为高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 而∠BAD＝∠ABC+∠ACB， ∴∠ACB∠BAD＝15°， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 2．（2020秋•上杭县期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则底角度数为（　　） A．30° B．75° C．15° D．15°或75° 【分析】分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时；当等腰三角形是钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形是锐角三角形时，如图： ∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝90°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠ABD＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C75°； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图： ∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝90°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BAD＝150°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C15°； 综上所述：它的底角度数为75°或15°， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 3．（2024秋•冷水滩区期中）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．不能确定 【分析】本题要分两种情况解答：当BD在三角形内部以及当BD在三角形外部．再根据等腰三角形的性质进行解答． 【解答】解：本题分两种情况讨论： （1）当BD在三角形内部时， ∵BDAB，∠ADB＝90°， ∴∠A＝30°； （2）当BD在三角形外部时， ∵BDAB，∠ADB＝90°， ∴∠DAB＝30°，∠ABC＝180°﹣∠DAB＝30°＝150°． 故选：C． 【点睛】本题较简单，考查的是等腰三角形及直角三角形的性质，在解答此题时要注意分两种情况讨论，不要漏解． 4．（2024秋•临县校级期末）如果等腰三角形一条边上的高等于这条边长的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是 　30°或90°或150°　 ． 【分析】三种情形①BD是腰上的高．②AD是底边上的高，分别求解即可．③△ABC是钝角三角形． 【解答】解：①如图1中， ∵AB＝AC，BD⊥AC， BDACAB， ∴sinA， ∴∠A＝30°； ②如图2中， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵ADBC， ∴AD＝DB＝DC， ∴∠DAB＝∠DAC＝45°， ∴∠BAC＝90°； ③如图，AB＝AC，BD⊥AC，BDAB， 则∠BAD＝30°，∠BAC＝150°， ∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°． 故答案为：30°或90°或150°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 类型四 等腰三角形个数的讨论 【例4】（2023•源城区三模）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，作AB的垂直平分线，即可确定点C的位置． 【解答】解：如图所示： 分三种情况： ①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1，C2，C3即为点C的位置； ②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4，C5，C6，C7，C8即为点C的位置； ③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点； ∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，利用两圆一线来解答是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋•长汀县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点的个数有 　6　 ． 【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形；以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形；以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案． 【解答】解：如图，以AB为腰，B为顶角的顶点的等腰三角形有， △BAP1，△BAP2，△BAP3， 以AB为腰，A为顶角的顶点的等腰三角形有， △ABP3，△ABP4，△ABP5， 以AB为底边，P为顶角的顶点的等腰三角形有△P6AB， 其中△ABP3是等边三角形， ∴符合条件的点的个数有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，关键是等腰三角形判定定理的应用． 2．（2021秋•顺义区期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【分析】分三种情况，AP＝AC，CA＝CP，PA＝PC． 【解答】解：分三种情况：如图： 当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2， 当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4， 当PA＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5， ∵直线l是边AB的垂直平分线， ∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形， ∴满足条件的点P的个数共有5个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 3．（2024秋•番禺区期末）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点P，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形． 【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的P点． 类型五 动点引起的讨论 【例5】（2023秋•广平县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　25°　 ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　小　 （填“大”或“小”）； （2）当DC＝2时，求证：△ABD≌△DCE； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 【分析】（1）由三角形内角和定理可得出答案； （2）根据ASA可证明△ABD≌△DCE； （3）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案． 【解答】（1）解：∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°； 从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小； 故答案为：25°；小． （2）证明：∵∠EDC+∠ADE＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°， ∴∠EDC＝∠DAB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）； （3）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ①当AE＝AD时，∠ADE＝∠AED＝40°， ∵∠AED＞∠C， ∴此时不符合题意； ②当AD＝DE时，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣40°）＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣70°＝30°； ∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°； ③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣40°＝60°， ∴∠BDA＝180°﹣∠ABD﹣∠B＝180°﹣60°﹣40°＝80°； 综上所述，当∠BDA＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•城阳区期末）如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　或10　 时，△POQ是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求． 【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时， 设t时后△POQ是等腰三角形， 有OP＝OC﹣CP＝OQ， 即10﹣2t＝t， 解得，ts； （2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s， 当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ， 即2（t﹣5）＝t， 解得，t＝10s 故填或10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 2．（2020秋•嵊州市期中）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数是　50°或65°或80°或25°　 ． 【分析】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解． 【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论： ①当OB1＝AB1时，∠OAB＝∠1＝50°； ②当OA＝AB2时，∠OAB＝180°﹣2×50°＝80°； ③当OA＝OB3时，∠OAB＝∠OBA（180°﹣50°）＝65°； 当OA＝OB4时，∠OAB＝∠OBA∠1＝25°； 综上所述，∠OAB的度数是50°或65°或80°或25°， 故答案为：50°或65°或80°或25°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 类型六 分割等腰三角形 【例6】（2024秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（　　） A．100°、140°或100°、20° B．100°、140° C．100°、20° D．140°、20° 【分析】有两种情况：把120°的角分为100°和20°或40°和80°，分别画出图形，即可求解． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，把120°的角分为100°和20°， 则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，140°； ②把120°的角分为40°和80°， 则△ABD与△ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是100°，20° 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形各角之间的关系，难度适中，画出图形是关键． 【变式训练】 1．（2017•周村区一模）如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可． 【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形； B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形； C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形； D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题时注意：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． 2．（2020•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示： 当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键． 3．（2024秋•同安区期中）定义：若一个三角形能被两条线段分割成3个等腰三角形，则这两条线段称为此三角形的“三分线”． 例如：如图1所示的三角形中，三个内角分别为20°，60°，100°．如图2所示，两条线段将其分割成3个等腰三角形，顶角分别为60°，100°，140°．则这两条线段称为此三角形的“三分线”． （1）在图3中画出图1三角形的另一组“三分线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数； （2）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的“三分线”，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝BD，DE＝CE．设∠C＝x°，求出x的值． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据“三阶等腰线”的定义，又由等腰三角形ADE的不确定性，分三种情况进行讨论： ①当AD＝AE时，如图3，根据三角形的外角的性质列方程：2x+x＝36+36，可得x的值； ②当AD＝DE时，如图4，根据三角形的内角和定理列方程：36+36+2x+x＝180，可得x的值； ③当EA＝DE时，根据三角形的内角和定理列方程：90﹣x+36+36+x＝180，无解，x不存在． 【解答】解：（1）图形如图3所示； （2）①当AD＝AE时，如图4， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD＝36°， ∵DE＝EC， ∴∠C＝∠EDC＝x° ∴∠AED＝2x°， ∴2x+x＝36+36， ∴x＝24°． ②当AD＝DE时，如图5， 同理：∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EDC＝x°，∠DAE＝∠AED＝2x°， ∴36+36+2x+x＝180， ∴x＝36°． ③当EA＝DE时， ∵90﹣x+36+36+x＝180 ∴x不存在，应舍去． 综合上述：满足条件的x＝24°或36°． 【点睛】本题考查作图﹣应用与时间、等腰三角形的性质等知识，理解三角形的“三分线”的定义是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解． 类型七 遇中线或垂直平分线时需分类讨论 【例7】（2023秋•武昌区校级期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为（　　） A．50° B．20° C．50°或130° D．50°或100° 【分析】分两种情况：当点P在△ABC内时；当点P在△ABC外时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当点P在△ABC内时，如图：连接AP， ∵AB和AC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠BAP＝∠ABP，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠ACP， ∵∠BPC＝100°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝80°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝100°， ∴2∠BAP+2∠CAP＝100°， ∴∠BAP+∠CAP＝50°， ∴∠BAC＝50°； 当点P在△ABC外时，如图：连接AP， ∵AB和AC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠BAP＝∠ABP，∠PAC＝∠ACP， ∵∠BPC＝100°， ∴∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠ACP＝360°﹣∠BPC＝260°， ∴2∠BAP+2∠CAP＝260°， ∴∠BAP+∠CAP＝130°， ∴∠BAC＝130°； 综上所述：等腰三角形的顶角为50°或130°， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•兴化市校级一模）已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为　15　 cm． 【分析】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长5cm，即可列方程求解． 【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm． 当AD+AC与BC+BD的差是5cm时，即x+x﹣（x+10）＝5， 解得：x＝15， 15，15，10能够组成三角形； 当BC+BD与AD+AC的差是5cm时，即10x﹣（x+x）＝5， 解得：x＝5， 5，5，10不能组成三角形． 故这个三角形的腰长为15cm． 故答案为：15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系． 类型八 遇动线段时需要分类讨论 【例8】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC．若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 　130或100或160　 ． 【分析】由旋转的性质可知BD＝AB＝BC，结合△ADC为等腰三角形，分三种情况求解，①当DA＝DC时，求出m即可； ②当AD＝AC时，③当CA＝CD时，分别求出m即可． 【解答】解：由旋转的性质可知BD＝AB＝BC， ∵△ADC为等腰三角形， ∴分三种情况： ①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD（360°﹣∠ABC）＝130°， ∴m＝130． ②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°， ∴m＝100． ③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°， ∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°， ∴m＝160． 综上所述：m所有可能的取值为130或100或160． 故答案为：130或100或160． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，掌握和理解旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 类型九 构造等腰三角形时需分类讨论 【例9】（2023秋•潍坊期末）在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F．当△AEG是等腰三角形时，∠B与∠C的不可能的数量关系是（　　） A．∠B+2∠C＝90° B．∠C+2∠B＝90° C． D．∠B＝∠C 【分析】由线段垂直平分线性质可知，EA＝EB，GA＝GC，可推出∠AEG＝2∠B，∠AGE＝2∠C，当△AEG是等腰三角形时，分情况讨论：①当AE＝AG时，∠AEG＝∠AGE，所以可推出∠B＝∠C，故选项D不符合题意；②当EA＝EG时，∠EAG＝∠EGA，由三角形内角和定理，得∠AEG+2∠AGE＝180°，所以2∠B+4∠C＝180°，从而可推出∠B+2∠C＝90°，故选项A不符合题意；③当GA＝GE时，同理可得到∠C+2∠B＝90°，故选项B不符合题意．由此可作出选择． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点G， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠AEG＝2∠B，∠AGE＝2∠C， 当△AEG是等腰三角形时，分三种情况： ①当AE＝AG时，∠AEG＝∠AGE， ∴2∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠C， 故选项D不符合题意； ②当EA＝EG时，∠EAG＝∠EGA， ∴∠AEG+2∠AGE＝180°， ∴2∠B+4∠C＝180°， ∴∠B+2∠C＝90°， 故选项A不符合题意； ③当GA＝GE时， 同理可得到∠C+2∠B＝90°， 故选项B不符合题意． 由已知条件无法得到2∠C∠B＝90°， 故选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用相关图形的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•章贡区模拟）有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 　25°或40°或10°　 ． 【分析】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形， 对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝80°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°， ∠C（180°﹣100°）＝40°， ②AB＝AD，此时∠ADB（180°﹣∠A）（180°﹣80°）＝50°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°， ∠C（180°﹣130°）＝25°， ③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°， ∠C（180°﹣160°）＝10°， 综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°． 故答案为：25°或40°或10°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论． 2．（2025•南京模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3） 【分析】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可，⑥以A为端点在AD上截取3个单位，再作这条线段的垂直平分线交BC一点，连接即可（和⑤大小一样）；⑦以A为端点在AD上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交CD一个点，连接即可（和③大小一样）． 【解答】解：满足条件的所有图形如图所示： 共5个． 【点睛】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一文搞定等腰三角形中需分类讨论的九种类型（两解或多解问题） 类型一 腰和底不明时需讨论 【例1】（2025春•景德镇期中）已知一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为6cm，那么这个等腰三角形的周长为（　　） A．14cm B．16cm C．14cm或16cm D．以上都不对 【变式训练】 1．（2023春•平阴县期末）等腰三角形的周长为11cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．4cm B．3.5cm C．4cm或3.5cm D．3cm 2．（2024秋•桑植县期末）一等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．18 D．16或20 类型二 顶角和底角不明时需讨论 【例2】（2024秋•汾阳市期末）已知等腰三角形有一个角为50°，则其底角为 　 　 ． 【变式训练】 1．（2023秋•绍兴期中）若一个等腰三角形一个内角是另一个内角的一半，则此三角形底角度数为 　 　 ． 2．（2023秋•长丰县期末）已知，在等腰△ABC中，一个外角的度数为100°，则∠A的度数不能取的是（　　） A．20° B．50° C．60° D．80° 3．（2024秋•项城市期末）若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72° 类型三 涉及高位置的讨论 【例3】（2024秋•阜城县期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（　　） A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115° 【变式训练】 1．（2023•沙县一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（　　） A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150° 2．（2020秋•上杭县期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则底角度数为（　　） A．30° B．75° C．15° D．15°或75° 3．（2024秋•冷水滩区期中）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．不能确定 4．（2024秋•临县校级期末）如果等腰三角形一条边上的高等于这条边长的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是 　 ． 类型四 等腰三角形个数的讨论 【例4】（2023•源城区三模）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练】 1．（2023秋•长汀县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点的个数有 　 　 ． 2．（2021秋•顺义区期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2024秋•番禺区期末）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型五 动点引起的讨论 【例5】（2023秋•广平县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　 ；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　 　 （填“大”或“小”）； （2）当DC＝2时，求证：△ABD≌△DCE； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 【变式训练】 1．（2024秋•城阳区期末）如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 时，△POQ是等腰三角形． 2．（2020秋•嵊州市期中）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数是　 ． 类型六 分割等腰三角形 【例6】（2024秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若将△ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（　　） A．100°、140°或100°、20° B．100°、140° C．100°、20° D．140°、20° 【变式训练】 1．（2025•周村区一模）如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（　　） A．B． C．D． 2．（2020•浙江自主招生）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 3．（2024秋•同安区期中）定义：若一个三角形能被两条线段分割成3个等腰三角形，则这两条线段称为此三角形的“三分线”． 例如：如图1所示的三角形中，三个内角分别为20°，60°，100°．如图2所示，两条线段将其分割成3个等腰三角形，顶角分别为60°，100°，140°．则这两条线段称为此三角形的“三分线”． （1）在图3中画出图1三角形的另一组“三分线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数； （2）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的“三分线”，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝BD，DE＝CE．设∠C＝x°，求出x的值． 类型七 遇中线或垂直平分线时需分类讨论 【例7】（2023秋•武昌区校级期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为（　　） A．50° B．20° C．50°或130° D．50°或100° 【变式训练】 1．（2024•兴化市校级一模）已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为　 　 cm． 类型八 遇动线段时需要分类讨论 【例8】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC．若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 　 ． 类型九 构造等腰三角形时需分类讨论 【例9】（2023秋•潍坊期末）在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F．当△AEG是等腰三角形时，∠B与∠C的不可能的数量关系是（　　） A．∠B+2∠C＝90° B．∠C+2∠B＝90° C． D．∠B＝∠C 【变式训练】 1．（2024•章贡区模拟）有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 　 ． 2．（2025•南京模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3） 1 学科网（北京）股份有限公司 $