3.3 幂函数（思维导图+2大知识点+9大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、幂函数概念 4 知识点二、幂函数的图象及性质 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：幂函数的判断 6 题型二：求幂函数的解析式 6 题型三：幂函数的定义域问题 7 题型四：幂函数的值域问题 7 题型五：幂函数的图象问题 9 题型六：幂函数的定点问题 11 题型七：解不等式问题 11 题型八：比较大小问题 12 题型九：幂函数性质的综合性质运用 13 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数的判断 【例题1】下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【例题2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 【变式1】（2025·高一·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高三·山东日照·开学考试）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求幂函数的解析式 【例题3】（2025·高一·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【例题4】已知幂函数的图象经过点，则 ． 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式4】（2025·高一·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【变式5】（2025·高一·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【变式6】幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 题型三：幂函数的定义域问题 【例题5】（2025·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例题6】（2025·高一·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 【变式7】（2025·高一·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式8】已知幂函数的定义域是，则 ． 【变式9】（2025·高一·浙江·期中）已知幂函数的图象经过点，则 ，函数的定义域为 . 题型四：幂函数的值域问题 【例题7】（2025·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【例题8】已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 【变式10】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【变式11】（2025·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【变式12】已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 题型五：幂函数的图象问题 【例题9】在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例题10】如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【变式13】（2025·高一·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式14】（2025·高一·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式15】（2025·山东济南·一模）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 题型六：幂函数的定点问题 【例题11】（2025·高一·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【例题12】（2025·高一·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 【变式16】（2025·高一·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【变式17】幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【变式18】（2025·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 题型七：解不等式问题 【例题13】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【例题14】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式19】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【变式20】已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【变式21】（2025·高一·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 题型八：比较大小问题 【例题15】（2025·高一·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【例题16】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式22】（2025·高一·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式23】（2025·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【变式24】设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型九：幂函数性质的综合性质运用 【例题17】（2025·高一·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【例题18】（2025·高一·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【方法技巧与总结】 【变式25】（2025·高一·全国·单元测试）定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件． (1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由； (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围． 【变式26】（2025·高一·全国·单元测试）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【变式27】（2025·高一·全国·单元测试）已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一、幂函数概念 5 知识点二、幂函数的图象及性质 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：幂函数的判断 7 题型二：求幂函数的解析式 8 题型三：幂函数的定义域问题 9 题型四：幂函数的值域问题 11 题型五：幂函数的图象问题 14 题型六：幂函数的定点问题 17 题型七：解不等式问题 18 题型八：比较大小问题 21 题型九：幂函数性质的综合性质运用 22 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型一：幂函数的判断 【例题1】下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【解析】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 【例题2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 【方法技巧与总结】 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数． 【变式1】（2025·高一·上海·期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于AB，与都是幂函数，在上都单调递增，AB不是； 对于C，函数不是幂函数，C不是； 对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，D是. 故选：D 【变式2】（2025·高三·山东日照·开学考试）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为形如的函数为幂函数，显然A、C不符合定义，B、D符合幂函数定义； 又在上单调递减，在上单调递增，故D正确， 在上单调递增，在上单调递减，即C错误. 故选：D 【变式3】下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 题型二：求幂函数的解析式 【例题3】（2025·高一·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】/ 【解析】因为函数为幂函数，所以. 又，所以. 故. 故答案为： 【例题4】已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】因为是幂函数，图象经过点，设， 则，解得，故, 故答案为： 【方法技巧与总结】 幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 【变式4】（2025·高一·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【解析】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 【变式5】（2025·高一·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【答案】 【解析】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 【变式6】幂函数满足，则此函数可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】令幂函数（为常数），题中没有给出的定义域的限制信息， 因此的定义域可为．由“”可知，函数是偶函数． 又，则函数在上单调递增， 因此可以为正偶数，所以此函数可以是，,． 故答案为： （答案不唯一）． 题型三：幂函数的定义域问题 【例题5】（2025·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【例题6】（2025·高一·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 【方法技巧与总结】 使表达式有意义． 【变式7】（2025·高一·湖北·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 【变式8】已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【解析】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为: 【变式9】（2025·高一·浙江·期中）已知幂函数的图象经过点，则 ，函数的定义域为 . 【答案】 【解析】利用幂函数经过的点，求出幂函数的解析式，然后代入即可求得；因为，所以令即可得出函数的定义域.幂函数的图象经过点，所以，. 所以幂函数为：， 故， 由，解得：， 故答案为：，. 题型四：幂函数的值域问题 【例题7】（2025·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【解析】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 【例题8】已知幂函数，其中，满足： ①在区间上单调递增； ②对任意的，都有. 求同时满足条件①②的幂函数的解析式，并求时的值域. 【解析】因幂函数在区间为增函数， 则，即， 解得：， 又因，所以或， 当时，为偶函数，不满足； 当时，为奇函数，满足； 故， 当时，， 即函数的值域. 【方法技巧与总结】 利用单调性求解． 【变式10】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【解析】（1）因为，所以， 整理得，即或（舍去）， 则，故． （2）由（1）可知，． 因为，所以，，所以． 故在上的值域为． 【变式11】（2025·高一·全国·期中）已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【解析】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 【变式12】已知幂函数在上满足，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为A、B，设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 由幂函数在上满足，得在上单调递增， 则，而时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 所以. （2）由（1）知，，当时，，则， 函数在上单调递增，，则， 由p是q成立的必要不充分条件，得，则或， 解得或，因此， 所以实数k的取值范围是. 题型五：幂函数的图象问题 【例题9】在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 【例题10】如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【解析】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 【方法技巧与总结】 先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 【变式13】（2025·高一·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 【变式14】（2025·高一·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 【变式15】（2025·山东济南·一模）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【解析】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 题型六：幂函数的定点问题 【例题11】（2025·高一·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【解析】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 【例题12】（2025·高一·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【解析】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【方法技巧与总结】 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 【变式16】（2025·高一·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【解析】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 【变式17】幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【解析】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 【变式18】（2025·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 题型七：解不等式问题 【例题13】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 【例题14】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 【方法技巧与总结】 运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径． 【变式19】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以． 又幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，故不等式为， 因为函数的定义域为，且在和上单调递减， 当时，，当时，， 故不等式可化为或或，解得或，即实数的取值范围为． 故答案为： 【变式20】已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 【变式21】（2025·高一·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 题型八：比较大小问题 【例题15】（2025·高一·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 【例题16】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 【方法技巧与总结】 （1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断． （2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的． （3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论． 【变式22】（2025·高一·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 【变式23】（2025·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 【变式24】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 题型九：幂函数性质的综合性质运用 【例题17】（2025·高一·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 【例题18】（2025·高一·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 【方法技巧与总结】 【变式25】（2025·高一·全国·单元测试）定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件． (1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由； (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围． 【解析】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件． 理由如下：对于， ，只需， 所以存在正数，使对任意恒成立， 所以满足1阶李普希兹条件． 对于， ，不妨设，则， ，即不存在正数，使不等式对任意恒成立， 所以不满足1阶李普希兹条件． （2）不妨设，则时，， 所以 ， 故时，对任意，均有 故函数在区间上满足阶李普希兹条件， 的取值范围为． 【变式26】（2025·高一·全国·单元测试）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【解析】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 【变式27】（2025·高一·全国·单元测试）已知幂函数的图象不关于原点对称. (1)求函数的解析式； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增. 【解析】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，定义域为R，关于原点对称， 显然成立，故为奇函数，其图象关于原点对称，所以不符合题意； 当时，， 此时的定义域为，不关于原点对称， 故不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以符合题意. 故. （2）由（1）可知，，则， 任取，，且， 则 . 因为，所以，， 则，，所以， 则， 所以， 则，即， 故在上单调递增. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $