专项突破一 双角平分线夹角模型-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

专项突破一 双角平分线夹角模型 类型一 两条内角平分线的夹角模型 1.如图，直线MN与直线PQ相交于点O,∠POM=40°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运 动，AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线， (1)点A,B在运动的过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？请说明理由； (2)在(1)的条件下，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的4倍，请直接写出∠BAC的度数. 训 救 类型二两条外角平分线的夹角模型 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，E为边AC上一点（不与点A,C重合），连接BE,在BE的延长线上取 点D,连接CD.∠ABE的邻补角的平分线和∠DCE的邻补角的平分线交于点P. (1)当∠D=90°时，求证：①∠ABE=∠DCE;②BP⊥CP; (2)判断∠D与∠P的数量关系，并说明理由. 养 类型三一条内角平分线与一条外角平分线的夹角模型 3.新素养〔推理能力〕如图，已知∠AOB,点C,D分别在射线OA,OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反 向延长线与∠CDO的平分线交于点F (1)如图1，若∠A0B=90°，当∠0CD=40°时，直接写出∠F的度数； (2)如图2，若∠AOB=90°，当点C,D在射线OA,OB上任意移动时（不与点O重合），∠F的大小是否 变化？请说明理由； (3)如图3，设∠AOB的度数为m,当点C,D在射线OA,OB上任意移动时（不与点O重合），你能求 出∠F的度数吗？请用含m的式子表示，并写出你的解答过程， A B 图1 图2 图3 类型四内外角平分线夹角的综合模型 4.在△ABC中，∠A=40° (1)如图1，∠ACE为△ABC的外角，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F,求∠BFC的 度数； (2)在(1)的条件下，如图2，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC,∠CBG的平分线与 ∠BCG的平分线交于点M,求∠BMC的度数. 图1 图2 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·33· 5.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. (1)如图1，若∠A=80°，求∠BPC的度数； (2)如图2，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线，相交于点Q,试探究∠Q与∠A之间的数量关系； (3)如图3，延长线段BP,QC交于点E,若在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A 的度数 Q 图1 图2 图3 ·34· 全程复习大考卷·数学·八年级上册 类型五“8字型”下的双角平分线夹角模型 6.背景知识：三角形的一边和另一边的反向延长线组成的角叫作三角形的外角，如图1，∠ACD是三角 形的外角.容易说明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即∠ACD=∠A+∠B. 请你用所学的知识和背景知识解决下列问题： (1)如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠D=40°，∠B=30°， 求∠E的大小； (2)如图3，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠D=m°，∠B=n°，求∠E的大小； (3)如图4，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,则∠E,∠D,∠B之间是否存在某种 等量关系？若存在，请写出结论，并给出证明；若不存在，请说明理由. A 图2 图 图421.解：(1)设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型选做题 机器人每小时搬运(x+30)千克原料 1 根据题意，得1500-1200 D【解析】将方程x+ x-1 =m+3+ m+2转化为 x+30x 1 1 解得x=120. tx-i(m+2)+ (x-1)+ m+2 经检验，x=120是原方程的解，且符合题意。 “方程=m 的两根分别为m,m 1 ∴.x+30=120+30=150. m 答：A型机器人每小时搬运150千克原料，B型机器人 1 每小时搬运120千克原料. .x-1=m+2,x-1= m+2 2.解：(1)）由2-3x+1 =-1知，x≠0， x=m+3,x=m+3 m+2 -3x+1-1,即x-3+-1x+=2 1 专项突破一双角平分线夹角模型 1.解：(1)∠ACB的大小不变.理由如下： :BC平分∠AB0,AC平分∠BAO, x2 ∴.∠ABC= =(x+)2-2-7 2∠AB0,∠BAC=1 BAO. 1 =22-2-7 ∴.∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC)=180°- 2 =-5. 7的值为-1 (LAB0+∠BA0)=180°号(180°-∠P0M)=909 5 (21+-1,11-1111 2∠P0M=110. ab6’bc9’ac15' ∴，点A,B在运动的过程中，∠ACB的大小不发生变化. 221+=13别 (2)由(1)可知，∠ACB=110°，∠BAC+∠ABC=70°. abc7-691590 :△ABC中有一个角是另一个角的4倍， 1+1+1-31 ∴.∠ACB=4∠BAC或∠ACB=4∠ABC或∠ABC= a b c 180 4∠BAC或∠BAC=4∠ABC. ab+bctac 111 abc 180 ∴.∠BAC=27.5°或42.5°或14°或56° abe c ab,. 三一十一十 ab+bc+ac 31 2.解：(1)证明：①∠A=90°，∠D=90° ∴.∠A=∠D. 23.解：320=2x每支A种花卉单价为a心 :∠A+∠ABE+∠AEB=∠D+∠DCE+∠DEC=180°， ∠AEB=∠DEC, 【解析】设用320元购买的A种花卉的数量为x. ∴.LABE=∠DCE. ②标记字母M,N,如图. 根据题意，得320 00 =2x. 5 :2×320800 a a+51 320表示用320元胸买的A种花卉教量， .·∠ABE=∠DCE,∠ABE+∠MBE=∠DCE+∠NCE, ∴.∠MBE=∠NCE. .BP平分∠MBE,CP平分∠NCE, +5表示用800元购买的B种花卉数量) ∴.∠MBE=2∠MBP,∠NCE=2∠PCE. 即小组成员乙设每支A种花卉单价为a元， ∴.∠MBP=∠PCE. (2)单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完 .∠MBP+∠ABP=180°， 成(9-m)盆大盆栽的插花任务， ∴.∠PCE+∠ABP=180° ·完成小盆栽的插花任务的效率为】，完成大盆栽的 .∠A+∠ABP+∠P+∠PCE=360°，∠A=90°， m ∴.∠P=90°.∴.BP⊥CP 插花任务的效率为，一m 1 (2)∠D+2∠P=270°.理由如下： 设∠PBE=x,∠PCE=y,则∠DBM=2x,∠ACN=2y. 1 1 ∴.∠ABE=180°-2x,∠DCE=180°-2y. 根据题意，得35×二=10×。 9-m 由(1)①，得∠ABE+∠A=∠DCE+∠D. 解得m=7. ∴.∠D=∠ABE+∠A-∠DCE=180°-2x+90°-(180° 经检验，m=7是原分式方程的解，且符合题意。 2y)=90°-2x+2y m的值为7. 由(1)②，得∠A+∠ABP+∠P+∠ACP=360°. .·∠ABP=∠ABE+∠PBE=180°-2x+x=180°-x, ·66. 全程复习大考卷·数学·八年级上册 .∴.∠P=360°-∠A-∠ABP-∠ACP=360°-90°-(180°- x)-y=90°+x-y. L0BC+∠0CB=7(LMBC+∠NCB)=7(360 .∠D+2∠P=90°-2x+2y+2(90°+x-y)=270°. 3.解：(1)：∠A0B=90°，∠0CD=40°， ∠ABC-∠ACB)=号180+∠A)=0+分∠A .∠CD0=50°. CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线， ∠0=180-(0+24A)=90-34 ·∠ECD=180°-L0cD 2 70,∠cDF=7Lc0=25 (3)如图，延长BC至点F. CQ是∠NCB的平分线， ,∠ECD=∠F+∠CDF, ∴.CE是∠ACF的平分线. ∴.∠F=∠ECD-∠CDF=70°-25°=45°. ∴.∠ACF=2∠ECF. (2)不变理由如下： .BE平分∠ABC, .·∠AOB=90°， .∠ABC=2∠EBC. .∴∠CD0=90°-∠OCD,∠ACD=180°-∠OCD. .'∠ECF=∠EBC+∠E, :CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线， ∴.2LECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E. ∠ECD=90P7∠0CD,∠Cr=450 2∠0cD ∠ACF=∠ABC+∠A, ,∠ECD=∠F+∠CDF, LA=2LE,即∠E=2∠A ∴.∠F=LECD-∠CDF 2∠0CD-(450- =90° 2∠0CD)=450 LEBQ=LBBC+∠QBC=2∠ABC+ 1 ·∠MBC= (3)∠A0B=m, 2(∠ABC+∠A+LACB)=90 ∴.∠CD0=180°-m-∠0CD. :CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线， 若在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，则 ∠ACD=180°-∠0CD, 分四种情况： ∠BCD=902∠0CD,∠CDF=90e-1m-1 ①LEBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°； 2m2∠0cD, ②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A= 2∠E=90°； .∠ECD=∠F+L∠CDF, ∠F∠BCD-∠Dr=90°-2∠0CD-(90 1 2m、 ③∠Q=2∠E,则90-2LA=∠4，解得∠A=60: 0c0)=2n 1 ④∠E=2∠Q,则2∠A=2(90-2∠A),解得∠A=120 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°. 4.解：(1)：∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F, 6.解：(1)CE平分∠BCD,AE平分∠BAD, LPBC=∠ABC,LPCE=∠4CE ∠BCD-=∠BCB=5LBCD,∠BMD=LBB=LBMD ,∠ACE=∠A+∠ABC,∠FCE=∠BFC+∠FBC, :∠D+LECD=∠E+LEAD,LB+LEAB=∠E+LECB, 24ACE-1 LBFC=L FCE-L FBC=1 ABC ∴.∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB. -2A+LAG)∠AC=分A-20 ∠D+∠B=2LE.∠E=(LD+LB). 2 (2):∠CBG的平分线与∠BCG的平分线交于点M, ∠D=40°，∠B=30∠E=2×(40°+30)=35 ∠cBM=2∠CBC,∠BCM F2∠BCG (2)CE平分∠BCD,AE平分∠BAD, .∠BMC=180°-∠CBM-∠BCM=180°- 2(180 :∠BCD=∠BGB=3∠nCD,∠BAD=∠BAB=2∠BAD :∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB, ∠G)=90°+ 2人G .∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+EAD+∠E+∠ECB. ·将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC, ∠nrLB=2ZRLE=rL ∴.∠G=∠BFC=20°. ∴.∠BMC=90°+10°=100°. ∠D=m°，LB=n,∠E=m+n 2 5.解：(1)∠A=80°， .∠ABC+∠ACB=100°. (3)∠E=∠B-∠D 2理由如下： :∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P, 如图，延长BC交AD于点F ∠BPC=180°- T7(∠ABC+LACB)=180°- .:∠BFD=∠B+∠BAD, ∴.∠BCD=∠CFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D. 100°=130°. ·CE平分∠BCD,AE平分LBAD, (2):∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q, 1 .∠ECD=∠ECB=2∠BCD,LEAD=LEAB 2∠BAD ·.'∠BNC=∠NBF+∠NFB=60° ∴.∠NFB=∠NBF=30°.∴.∠CFB=30°. :∠E+∠ECB=∠B+∠EAB 3.解：(1)①==【解析】∠BCA=90°，∠=90°， ∴，∠E=∠B+∠EAB-∠ECB ∴.∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°. =∠B+LEAB-L∠BCD ∴.∠CBE=∠ACF .CB=AC,∠BEC=∠CFA,∴.△BCE≌△CAF(AAS). .BE=CF.CE=AF...EF=ICF-CEI=BE-AFI. =∠B+∠EAB- 2(∠B+∠BAD+LD) ②∠a+∠BCA=180°.证明如下： =∠B-∠D 在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠ 2 .∠BCA=180°-∠a,∴.∠CBE+∠BCE=∠BCA, .∠ACF+∠BCE=∠BCA,∴.∠CBE=∠ACF. 专项突破二三角形全等的难点模型 .BC=CA,∠BEC=∠CFA,.△BCE≌△CAF(AAS). 1.解：(1)证明：.∠ACB=90°，∴.∠ACM+∠BCN=90°. ∴.BE=CF,CE=AF. .·AM⊥MN,BN⊥MN,·.∠AMC=∠CNB=90° EF=ICF-CEI,..EF=IBE-AFI. ..∠BCN+∠CBN=90°.∴.∠ACM=∠CBN. (2)EF=BE+AF.证明如下： r∠AMC=∠CWB, :'∠BEC=∠CFA=La,La=∠BCA,∠BCA+LBCE+ 在△ACM和△CBN中 ∠ACM=∠CBN, ∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°， LAC=CB. ∴.LBCE=LCAF. ∴.△ACM≌△CBN(AAS).∴.CM=BN,AM=CN. ,BC=CA,∴.△BCE≌△CAF(AAS). MN=CN+CM,..MN=AM+BN. .BE=CF.CE=AF...EF=CF+CE=BE+AF. (2)(1)中的结论不成立，应为MW=AM-BN 4.解：(1)证明：OM是∠AOB的平分线，CD1OA于点 理由：同(1)，得△ACM≌△CBN(AAS). D,CE⊥OB于点E,.CD=CE ∴.CM=BN,AM=CN. (2)结论仍然成立.证明如下： .MN=CN-CM,..MN=AM-BN. 如图，过点C分别作CK⊥OA,垂足为K,CH⊥OB,垂足 2.【一线三等角模型】 为H,标注∠1，∠2. 证明：∠A=∠DBE, .OM为∠AOB的平分线，且CK⊥OA,CH⊥OB, .∠D+∠DBA=180°-∠A, ∴.CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°. ∠DBA+∠CBE=18O°-∠DBE. .·∠AOB=90° ∴.∠D=∠CBE ∴.∠KCH=360°-∠KOH-∠CKD-∠CH0=90°. r∠A=∠C, .∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=90°，.∠1=∠2. 在△ABD和△CEB中，{∠D=LCBE 在△CKD与△CHE中， BD=EB. r∠CKD=∠CHE, ∴.△ABD≌△CEB(AAS). CK=CH. 【模型运用】 ∠1=∠2， 解：如图1，过点D作DT⊥BA,交BA的延长线于点T .△CKD≌△CHE(ASA)..CD=CE. 与【一线三等角模型】同理可证△ATD≌△CBA(AAS), 5.解：(1)：0C平分∠A0B,.∠A0C=∠B0C=45°. .∴.DT=AB=4 .·∠0CF=90°，∴.∠0FC=45°=∠B0C..OC=FC. SAABD=2XABXDT= ×4×4=8. ,∠DCE=∠OCF=90°，∴.∠DC0=∠ECF. 2 .∠D0C=∠EFC=45°，∴.△CD0≌△CEF(ASA). ∴.CD=CE. (2)如图1，过点C作CM⊥OA,CN⊥ OB,垂足分别为M,N. M ∴.∠CMD=∠CNE=90°. .OC平分∠AOB,∴.CM=CN. 图1 图2 在四边形ODCE中， 【能力提升】 ∠DOE+∠DCE+∠CD0+∠CE0=360°， 图1 解：∠CFB=30°不变 .∠DOE=∠DCE=90°，∴.∠CD0+LCE0=180°. 如图2，在CF上取一点N,使得FW=CD .∠CDO+∠CDM=180°，∴.∠CDM=∠CEN. .:△ABC,△DEF都是等边三角形， ∴.△CMD≌△CNE(AAS).∴.CD=CE. ..∠D=∠ACB=60°，DE=DF,AC=BC (3)(1)中的结论成立，0E+0D=0C.理由如下： AE=2CD,CD=FN,.'.AD=CN. 如图2，过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N. :∠ACN=∠ACB+∠BCN=∠D+∠CAD, ∴.∠CMD=∠CNE=90°. A .∴.∠BCN=∠CAD :OC平分∠AOB, TAD=CN ∴.CM=CN,∠AOC=∠B0C=60°. 在△ADC和△CNB中，{∠CAD=∠BCN 在四边形ODCE中， AC=CB. O/EN ∠DOE+∠DCE+∠CDO+∠CEO .∴.△ADC≌△CNB(SAS)∴.CD=BN,∠D=∠BNC=60° =360°， 图2 FN=CD,∴.BN=FN.∴.∠NBF=∠NFB. ·.·∠D0E+∠DCE=120°+60°=180°， .∠ADF=∠ABI=90°，AD=AB. ∴.∠CD0+∠CE0=180°. AD=AB .∠CE0+∠CEN=180°，.∠CDM=∠CEN. 在△ADF和△ABI中，{∠ADF=∠ABI, ∴.△CMD≌△CNE(AAS).∴.CD=CE,DM=EN. DF=BI, ...0E+0D=0E+0M+DM=0E+0M+EN=ON+OM. .△ADF≌△ABI(SAS). .:∠A0C=60°，CM⊥A0,∴.∠MC0=30°. ∴.∠DAF=∠BAI,AF=AI. :∠DAF+∠EAB=90°-∠EAF=45°， 六0M=20C. .∠BAI+∠EAB=45°=∠IAE. 在△EAF和△EAI中， 同理可得OW= [AF=AI, 1 ∠EAF=∠EAI=45°， .0E+0D=。0C+)0C=0C. AE=AE. 2 6.解：(1)EF=BE+DF .△EAF≌△EAI(SAS). BE=DG. ..∠AEF=∠AEI,即∠AEB=∠AEF 【解析】在△ABE和△ADG中，{∠B=∠ADG, 8.解：(1)证明：如图1，延长CB至点E,使BE=DN,连 LAB=AD. 接AE. △ABE≌△ADG(SAS)..AE=AG,∠BAE=∠DAG. ·四边形ABCD是正方形， .·∠EAF=60°，∠BAD=120°， .AB=AD,∠D=∠ABC=90° ∴.∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=6O°. .∠ABE=∠D=90° ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=6O°. ∴.△ABE≌△ADN(SAS): ∴.∠EAF=∠GAF. .AE=AN,∠EAB=∠NAD. AE=AG. ·∠BAD=90°， 在△AEF和△AGF中， ∠EAF=∠GAF, .∴.∠BAM+∠MAN+∠NAD=90° LAF=AF, ∴.∠BAM+∠MAN+∠BAE=90°. .∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°= 图 ∴.△AEF≌△AGF(SAS).∴.EF=GF. ·FG=DG+DF=BE+DF,∴.EF=BE+DF 45°=∠NAM. (2)EF=BE+DF仍然成立.理由如下： AE=AN. 如图，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 在△AEM和△ANM中，∠EAM=∠NAM, ·∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， AM=AM. ∴.∠B=∠ADG. .△AEM≌△ANM(SAS)∴.ME=MN. 在△ABE和△ADG中， .ME=BE+BM=DN+BM,.'.DN+BM=MN. BE=DG. .·BM=DN,.MN=2BM. ∠B=∠ADG, (2)证明：如图2，延长CM至点E,使BE=DN AB=AD. 四边形ABCD是正方形， .△ABE≌△ADG(SAS). ∴.AB=AD,∠D=∠ABC=90° ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. ∴.∠ABE=∠D=90°. .△ABE≌△ADN(SAS). ∠EAF=2∠BAD, ∴.AE=AN,∠EAB=∠NAD. ·∠BAD=90°， 图2 .·.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD- ∠EAF=∠EAF. .∠BAM+∠MAN+∠NAD=90° .∴.∠BAM+∠MAN+∠BAE=90° AE=AG. 在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠GAF, ∴.∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°=∠NAM. LAF=AF [AE=AN, ∴.△AEF≌△AGF(SAS).∴.EF=GF. 在△AEM和△ANM中，{∠EAM=∠NAM, FG=DG+DF=BE+DF,..EF=BE+DF. AM=AM, 7.解：(1)四边形ABCD是正方形， ∴.△AEM≌△AWM(SAS)∴.ME=MN. ∴.∠DAB=∠ABC=∠C=∠ADC=90°. .ME=BE+BM=DN+BM,..MN=DN+BM. .·∠AEB=55°，.∠EAB=90°-∠AEB=90°-55°=35°. (3)DN-BM=MN.理由如下： ∴.∠DAH=90°-∠EAF-∠EAB=90°-45°-35°=10°. 如图3，在线段DN上截取DQ=BM,连接AQ (2)135°-a【解析小：四边形ABCD是正方形， 在△ADQ和△ABM中， ∴.∠ABE=∠ADF=∠BAD=90. rAD=AB ∠ADO=∠ABM, '∠AEB=a,∴.∠EAB=90°-a. ∴.∠DAF=∠BAD-∠EAB-∠EAF=90°-(90°-x）-45°= DQ=BM, ∴.△ADQ≌△ABM(SAS). a-45°. ∴.∠AFD=90°-∠DAF=90°-(-45)=135°-a. .AQ=AM,∠DAQ=∠BAM. ∴.∠BAD=∠MAQ=90°. 图3 (3)证明：如图，延长CB至点I,使BI=DF,连接A. 四边形ABCD是正方形， .'∠MAN=45°，∴.∠QAN=90°-45°=45°. 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·67