专项突破五、六 最短路径问题 利用分式方程的解求字母的值或取值范围-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

专项突破五 最短路径问题 类型一利用轴对称解决将军饮马问题 1.如图，若△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=5,∠BCD=15°，P为CD上的动点，则IPA-PB1的最大 值是 () A.3 B.4 c.5 D.6 M 第1题图 第2题图 2.如图，∠AOB=20°，M,N分别是边OA,OB上的定点，P,Q分别是边OB,OA上的动点，记∠OPM= a,∠OQN=B,当MP+PQ+QN最小时，则关于ax,B的数量关系正确的是 () A.B-a=30° B.B+a=210° C.B-2a=30° D.B+a=200 3.如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC,P为线段BD上一个动点，Q为边AB上一个动 点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是 () A.118° B.125° C.136° D.124° 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和 AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 () A.2.4 B.3 C.4.8 D.5 5.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=a,∠B=∠D=90°，在BC,CD上分别找一点M,N,当△AMN周长最 小时，求∠MAN的度数.（结果用含的式子表示） 6.“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点A出发，走到河旁边的点C饮马后再到点B宿 营.请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这个问题时抽象出数学模型：直线1同旁有两个定点A,B,在直线1上存在点P,使得 PA+PB的值最小 解法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线I的交点即为点P,且PA+PB的最小值 为线段A'B的长， (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)利用轴对称作图解决“将军饮马问题”的依据是 (3)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P,OP=12,在∠AOB的两边分别有C,D两点（不 同于点O),使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值； ②如图3，在边长为a的等边三角形ABC中，BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接 AD,在AD的右侧作等边三角形ADE,连接EF,则△AEF周长的最小值是 ,此时 ∠CFE= A B 图1 图2 图3 备用图 类型二利用平移解决造桥选址问题 7.如图，平行河岸两侧各有一城镇P,Q,根据发展规划，要修建一条公路连接P,Q两镇.已知相同长度 造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案 () 0 0 D 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·41· 专项突破六利用分式方程的解求字母的值或取值范围 类型一利用分式方程解的定义求字母（或式子）的值 1关于x的分式方程2+0，=2的解为x=2,则0的值为 x x-1 A.1 B.2 C.3 D.4 2已知关于：的分式方程，4与分式方程2 ,的解相同，求m2-2m的值. x+4 x 类型二根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围 3若关于x的分式方程21-2k1 的解为正数，则飞的取值范围为 x-22-x A.k<2 B.k<2且k≠0 C.k>-1 D.k>-1且k≠0 4.若关于x的分式方程m x-1 =2的解为非负数，则m的取值范围为 ( A.m>-1 B.m≥-1 C.m>-1且m≠1 D.m≥-1且m≠1 5若关于x的分式方程-02 =1有一个正整数解，则整数α的值为 x-1 x A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 rx-m ≥0， 6.若关于x的一元一次不等式组{ 6 的解集为>3，且关于y的分式方程，3 有非负 y-2 x+3<3(x-1) 整数解，则符合条件的整数m的值的和为 A.-4 B.-3 C.-1 D.0 1已知关于：的分式方程4-23)2的解满足-4长<-1，日为整数，则符合条件的所有 的值的乘积为 A.正数 B.负数 C.零 D.无法确定 8.若关于x的分式方程+3=m的解小于1，则m的取值范围为 x-11+x 9若整数a使得关于x的不等式组23’有且只有四个整数解，且使得关于y的方程+20=2 y-1'1-y 15x-2≥x+a 的解为非负数，求符合条件的所有整数a的和. .42 全程复习大考卷·数学·八年级上册 类型三利用分式方程有增根求字母的值 10.若关于x的分式方 3-x-m=0有增根，则m的值为 x-55-x A.2 B.3 C.5 D.-2 2 mx 3 11.已知关于x的分式方程 x-2(x+1)(x-2)x+1 (1)若方程的增根为x=2,求m的值； (2)若方程有增根，求m的值. 类型四利用分式方程无解求字母的值 12.若关于x的方程--3无解，则m的值为 x-1 A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3 13.阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程，4=1的解为正 数，求α的取值范围.经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：“解这个关于 x的方程，得到方程的解为x=a+4,由题目可得a+4>0,所以a>-4,问题解决.”小聪说：“你考虑的不 全面，还必须a≠0才行.” 完成下列问题： (1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 (2)已知关于x的方程m,,=2的解为非负数，求m的取值范围 x-33-x (3)若关于x的方 3-2x心-2=-1无獬，求n的值 x-3x-38+8.=2b+a2-2a+8=-2ab+8 .S1+S2=36 .a2-b2+a2-4ab+4b2=36. ..2a2-4ab+3b=36. 2-2abt362=18. 2 .S3+S4=18. 2.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2, ∴.需纸片A2张，纸片B2张，纸片C5张 (3)由题意，得p2+g=20,p+q=6. （p+9）2=p2+q2+2pg=62,∴.2pq=62-20=16. 六P四=8S阴影分=2P9×2=p四=8. 3.解：(1)由题意，得(3x-a)(2x-3)=6x2+bx+12, ∴.6x2-(2a+9)x+3a=6x2+bx+12. .∴.-(2a+9)=b,3a=12. ∴.a=4,b=-17. (2)(3x+4)(2x-3)=6x2-9x+8x-12=6x2-x-12. 4.解：(1)，甲抄错了a的符号，计算结果是(x-a)(2x+ b)=2x2+(-2a+b)x-ab=2x2-7x+3, .∴.-2a+b=-7,ab=-3. ·乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果是 (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab=x2+2x-3, ∴.a+b=2,ab=-3. 联立2a+6-7,解得a=3, a+b=2. b=-1. ∴.(-2a+b)(a+b)=[(-2)×3-1]×(3-1)=-7×2=-14. (2)由(1)可知，b=-1,这道题的正确结果是 (x+3)(2x-1)=2x2+5x-3. 5.解：(1)2(x-1)(x-9)=2x2-20x+18, 2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16, ∴.原来的二次三项式为2x2-12x+18. (2)2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2. 6.解：(1)(x3+mx+n)(x2-3x+4) =x3-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n =x3-3x4+(4+m)x3+(n-3m)x2+(4m-3n)x+4n. 由题意，得4+=0。解得m4, n-3m=0, n=-12 (2)(m+n)(m2-mn+n2)=m3+n. 当m=-4,n=-12时， 原式=(-4)3+(-12)3=-64-1728=-1792. 7.解：同意小明的说法理由如下： [2x·（x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y =(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷x2y =x3y÷x2y=x, 化简结果不含与y有关的项，所以结果与y的值无关， 所以小明的说法对. 8.解：(1)112-92=40=8×5132-112=48=8×6 (2)两个连续奇数的平方差可表示为 (2n+3)2-(2n+1)2. .·(2n+3)2-(2n+1)2=(2n+3-2n-1)(2n+1+2n+3)= 2(4n+4)=8(n+1), ∴.两个连续奇数的平方差能被8整除这个规律成立 9.解：(1)设两个连续的偶数为a,a+2. 令(a+2)2-a2=44,则(a+2-a)(a+2+a)=44, .4(a+1)=44,解得a=10.∴.这两个连续偶数为10,12. ∴.44是“和谐数”. 令(a+2)2-a2=2026, 则(a+2-a)(a+2+a)=2026. ∴.4(a+1)=2026,解得a=505.5(不符合题意). .2026不是“和谐数”. (2)是.理由如下： 2k和2k+2(其中k取非负整数)构成的“和谐数”为 (2k+2)2-(2k)2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=2(4h+2)= 4(2k+1). .·4(2k+1)是4的倍数， .这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数. 10.解：(1)36【解析】2025=4×506+1， .32025=34x506+1 .322的末尾数字是3 14的末尾数字是4， 142的末尾数字是6， 143的末尾数字是4， 144的末尾数字是6， g。4e 观察可得142”的末尾数字是6， 142m+1的末尾数字是4. .2024=2×1012, .142024=142x102 .1424的末尾数字是6. (2)2的末尾数字是2， 22的末尾数字是4， 23的末尾数字是8， 24的末尾数字是6， 2的末尾数字是2， 观察可得底数为2的正整数次幂的末尾数字是2,4,8， 6的循环. .2026÷4=506…2, .222的末尾数字是4. (3)证明：12的末尾数字是2， 122的末尾数字是4， 123的末尾数字是8， 124的末尾数字是6， 12的末尾数字是2， … 观察可得底数为12的正整数次幂的末尾数字是2,4， 8,6的循环. 37的末尾数字是7， 37的末尾数字是9， 37的末尾数字是3， 374的末尾数字是1， 37下的末尾数字是7， … 观察可得底数为37的正整数次幂的末尾数字是7,9， 3,1的循环 .·2024÷4=506 .12224的末尾数字是6. ….·2026÷4=506…2, .37226的末尾数字是9. .124+372的末尾数字是5. .122024+37226能被5整除. 专项突破五最短路径问题 5.解：如图，延长AB到点A',使得A'B=AB,延长AD到点 1.C【解析】如图，作，点A关于CD的对称，点A',连接A'B A",使得A"D=AD,连接A'A"与BC,CD分别交于点M,N, 交CD于点P,则，点P就是使|PA-PB|的值最大的点，此 连接AM,AN. 时IPA-PB|=A'B,连接A'C. .·∠ABC=∠ADC=90° △ABC是等腰直角三角形，AC=BC=5, .点A,A'关于BC对称，点A,A"关于CD对称 .∴.∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°. 此时△AMN的周长最小 :∠BCD=15°，∴.∠ACD=75° :AB=A'B,BM⊥AB, ∴.∠CAA'=90°-∠ACD=15 ..AM=A'M.同理AW=A"N, AC=A'C. D.P .∠A'=∠MAB,∠A"=∠NAD. .A'C=BC,∠CA'A=∠CAA'=15°. ·.·∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A' .∴.∠ACA'=180°-15°-15°=150° ∠ANM=∠A"+∠NAD=2∠A", ∠ACB=90°， .∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A"). ∴.∠A'CB=∠ACA'-∠ACB=60°. ∠BAD=a,∴.∠A'+∠A"=180°-. .△A'BC是等边三角形. ∴.∠AMN+∠ANM=2×(180°-a)=360°-2a. ∴.A'B=BC=5. ∴.∠MAN=180°-(360°-2a)=2a-180° 2.D【解析】如图，作，点M关于OB的对称，点M',作，点N6.解：(1)如图1所示. 关于OA的对称，点N',连接M'N'交OA于点Q,交OB于 点P,连接MP,NQ,则此时MP+PQ+OW最小. 图1 图2 0 (2)两点之间，线段最短 易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ,∠OQP=∠AQN'=∠AQN. (3)①分别作点P关于OA,OB的对称点M,N,连接MN, .∠0QN=180°-20°-∠0NQ, 交OA,OB于点C,D,连接CP,DP,则△PCD的周长最小， ∠OPM=∠NPQ=20°+∠OQP 连接OM,ON,如图2. ∠OQP=∠AQN=20°+∠ONQ, 由轴对称的性质可知，OM=OP=12,ON=0P=12,CP= ∴.B+a=180°-20°-∠0NQ+20°+20°+∠0WQ=200°. CM,DP=DN,∠MON=2∠AOB=60°， 3.D【解析】在BC上截取BE=BQ,连接PE,如图1. ,∴.△MON是等边三角形. :BD平分∠ABC, .∴.MN=12. ∴.∠ABD=∠CBD= 2∠ABC=349. ∴.△PCD的周长是PC+CD+DP=CM+CD+DN=MW=12. .·BP=BP,∴.△PBQ≌△PBE(SAS) ②20690°【解析】女如图3，连接CE ∴.PQ=PE.∴.AP+PQ=AP+PE. ,△ABC,△ADE都是等边三角形， ∴.当，点A,P,E在同一条直线上，且AE⊥BC时，AP+PE .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°. 最小，即AP+PQ最小. ∴.∠BAD=∠CAE.∴.△BAD≌△CAE(SAS) .∠ABD=∠ACE. :AF=CF,∴.∠ABD=∠CBD=∠ACE=30° .点E在射线CE上运动，且∠ACE=30°. 图1 图2 过，点A作AE⊥BC于点E,交BD于点P,如图2. ∠AEB=90°，∠ABE=68°， ∴.∠BAE=90°-∠ABE=22°. ∴.∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=124° 图3 4.A【解析】如图，作点Q关于AD的对称点Q',连接 作点A关于CE的对称，点M,连接FM交CE于点E',连 PQ',CQ',过点C作CH⊥AB于点H. 接AE',CM,此时AE+EF的值最小， AD是△ABC的角平分线，点Q与点Q'关于AD对称 此时AE'+E'F=FM. .点Q'在AB上 由轴对称的性质可知，CA=CM,∠ACM=60°， .PC+PQ=PC+PQ'≥CH. .△ACM是等边三角形. .AC=3,BC=4,AB=5, ∴.CM=BC,∠ACM=∠ACB. ∠ACB=90°， .△ACM≌△ACB(SAS). 1 ,FM=FB=b,点B,F,M在同一条直线上. 2 ·AC·BC=2·AB·CH, △AEF周长的最小值是AF+AE'+E'F=AF+FM= 2a .CH=2.4.∴.PC+PQ≥2.4. ∴.PC+PQ的最小值是2.4. b,此时∠CFE=90° 7.C 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·69· 专项突破六利用分式方程 的解求字母的值或取值范围 1，且≠0，解得m<4且m41 1 1A【解折1彩2代入愿方程得子2=2。 9解：解不等式<得<5 解得a=1. 解不等式5x-2≥x+a,得x≥4 a+2 2解：3=1…3(x-1)=2x,解得x=3. 检验：当x=3时，2x(x-1)≠0， 由不等式组有且只有四个整数解，得0<+ ≤1， ∴.x=3是此方程的解. 解得-2<a≤2. 解方程ta,2a y-1'1-y 2,得y=2-a. 当m=9时2-2m=(月-2x98 7-49 “关于y的方程yo,2a y-1'1-y 2的解为非负数， 3.B【解析】去分母，得2(x-2)-(1-2k)=-1. ∴.2-a≥0.∴.a≤2. 整理，得2x=4-2k, y≠1，即2-a≠1，∴.a≠1. 解得x=2-k. ∴.满足条件的整数a的值为-1,0,2. 方程的解为正数，∴.2-k>0.k<2 ∴.符合条件的所有整数a的和为-1+0+2=1. x≠2，∴.2-k≠2.∴k≠0∴.k<2且k≠0. 10.A【解析】去分母，得3-x+m=0. 4D【解析】去分母，得m-1=2(x-1),解得x=m+ 由分式方程有增根，得x-5=0,即x=5 把x=5代入整式方程，得3-5+m=0, 关于*的分式方程2的解为非负数 解得m=2. 11.解：(1)去分母，得2(x+1)+mx=3(x-2). :*1 ≥0且"1，解得m≥-1且m≠1 去括号、移项、合并同类项，得(m-1)x+8=0. 当方程的增根为x=2时，(m-1)×2+8=0,∴.m=-3. 5B【得折1骨子1 (2)当方程有增根时，方程的增根为x=-1或x=2. 当x=2时，m=-3; (x-a)-2(x-1)=x(x-1),解得x=2 当x=-1时，(m-1)×(-1)+8=0,解得m=9, +1 ∴.m=9或m=-3. ,分式方程有正整数解，.a+1=1或2..a=0或1. 12.B【解析】方程两边同乘(x-1),得mx-1=3x-3. .x-1≠0，.x≠1..a≠1..整数a的值为0. .（m-3)x=-2. 6.C【解析】解不等式组，得x≥m, 当m-3=0,即m=3时，原方程无解，符合题意； x>3. :不等式组的解集为x>3,∴.m≤3. 当m-30时，*=2 -3 餐Y=3m2,得y=2且%3 .方程无解，∴.x-1=0.∴.x=1.∴.m-3=-2.∴.m=1. 解分式方程 -y 2 2 ≠2. 综上，当m=1或3时，原方程无解. :关于y的分式方程有非负整数解，且m为整数， 13.解：(1)小聪分式的分母不能为0 ∴.符合条件的整数m为-3，-1,3. ∴.符合条件的整数m的值的和为-3-1+3=-1. 2火"33元2，m+x=2(x-3).x=m+6 7.A【解析2x+3 .方程的解为非负数，.m+6≥0，即m≥-6. 2(x-2)(x+3)+2, 又.x-3≠0，∴.m+6≠3，即m≠-3.∴.m≥-6且m≠- .(2x+3)(x+3)=k+2(x-2)(x+3), 3-2x.nx-2 (3) =-1,∴.3-2x+nx-2=-(x-3). 解得=宁3 x-3x-3 .∴.（n-1)x=2. .-4<x<-1且(x-2)(x+3)≠0， 原方程无解，.n-1=0或x=3. 当n-1=0时，解得n=1.当x=3时，解得n=3 5 -4<3<-1,解得-7<k<14且k≠0 k为整数， 5 k=-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 综上所述，当n=1或n=。时，原方程无解. 3 11,12,13. 专项突破七新定义问题 .符合条件的所有k的值的乘积为正数. 1.C【解析】当等腰三角形的腰长为5cm时， 8.m<4且m≠1【解析小：1+3=m .:等腰三角形的周长为13cm, ∴.等腰三角形的底边长为13-5-5=3(cm). m-1 m-1 =3，解得x= 3 、这个等腰三角形的“优美比”为了； 1 :关于x的分式方程1+3=m的解小于1，且≠0， 当等腰三角形的底边长为5cm时， :等腰三角形的周长为13cm, ·70· 全程复习大考卷·数学·八年级上册 等展三角形的膜长为4(m）。 .∠ABE=∠BCE. r∠ABO=∠BCE, 、这个等腰三角形的“优美比”为 5 在△AB0和△BCE中，{∠AOB=∠BEC=90°， LAB=BC. 3 ∴.△AB0≌△BCE(AAS).∴.CE=OB=4,BE=OA=1. 综上所述，它的“优美比”k为5或宁 .0E=0B-BE=4-1=3.∴.C(4,3). 2.解：(1)是【解析】①.AB⊥OM,∴.∠OAB=90°. 4.(1)证明：：∠BAC=∠DAE, .∠AB0=180°-∠0AB-∠M0N=180°-90°- ∴.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠BAD=∠CAE. 60°=30°. .·AB=AC,AD=AE, .∠OAB=3∠ABO.∴.△AOB是“优美三角形”. ∴.△ABD≌△ACE(SAS).∴.CE=BD. ②证明：.∠MON=60°，∠ACB=80°， (2)①证明：由(1)可得△ABD≌△ACE(SAS) ∴.∠0AC=∠ACB-∠MON=80°-60°=20°. ∴.∠ABD=∠ACE.∴.∠ABC=∠ACF. .∠A0C=3L0AC.∴.△A0C是“优美三角形”. .AB=AC,.∴.∠ABC=∠ACB.∴.∠ACF=∠ACB. (2):∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°， ②解：∠ACF与LACB的数量关系没有发生改变 .∠EFC=∠ADC.∴.AD∥EF.∠DEF=∠ADE. 理由：同理可得△ABD≌△ACE(SAS). ∠DEF=∠B,.∠B=∠ADE. ∴.∠ABD=∠ACE,即∠ABD=∠ACF. ∴.DE∥BC.∴.∠CDE=∠BCD. .AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, DE平分∠ADC,.∠ADE=∠CDE.∴.∠B=∠BCD .∴.∠ACF=∠ACB. .△BCD是“优美三角形”，∠BDC>90°， 5.B 【解析】10=10，.d(10)=1.故①错误； ∴.∠BDC=3∠B. 0.01=10-2,d(10-2)=-2.故②正确； ∠BDC+∠BCD+∠B=180°，.∠B=36° .d(103)=3,d(10)=1, 3解：(1)(1,1)或(1，-1)【解析】如图1， :'点M在ON的垂直平分线上，且MO⊥MN, d(10）-3.故③正确5 d(10) .在等腰直角三角形MON中，OT=MT. 设m=10°，n=10..mn=10·10°=104+ 0T=1,.MT=1.M(1,1). .d(m)=a,d(n)=b,d(mn)=a+b 同理可得M'(1,-1). ∴.d(mn)=d(m)+d(n).故④正确； m=10°÷10=10-，d(0)=a-b. 5 4 d(m)d(dd(m)d(). 1 M 故⑤错误. A 6.解：(1)(-2)*5=22×25=23=8. 4-3-2-102314.5 （2)2*(2x+1)=22×22+1=22x+3. 1 2*(2x+1)=64=26, 3 -4 2x+3=6,解得x=2 5 7.解：(1)3-3【解析】小43=64，（-3)3=-27， 图1 .（4,64)=3,(-3,-27)=3. (2)如图2，连接BA,BC,过点C作CE⊥OB于点E. (2)证明：（5,3)=a,(5,8)=b, (5,24)=c,∴.54=3,5=8,5=24 3×8=24,.5a·5=5a+b=5,即a+b=c (3)3【解折1(8,125)+(4，爱 =(2,5)+[2,(学门 A 3i-2-102:345x =(2,5)+(2,5 86 =(2,5×5)=(2,8). 图2 2=8(8,125+4g=3 A(-1,0),B(0,4),.0A=1,0B=4. 点B是点A与点C的中垂点， 8.解：(1)3或-2【解析】令(3x-1)(x+2)=0, .AB=BC,∠ABC=90° 1 .·∠CEB=90°， 得3x-1=0或x+2=0.x=3或x=-2 .∴.∠ABE+∠CBE=∠BCE+∠CBE=90° (2)把x=2代入B,得4+2(a-1)-3a=0.