专项突破八 易错题专练-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

专项突破八 易错题专练 易错典例一 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,图中线段中可以作 为△ABC的高的有 A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 抑 【易错警示】正确画出三角形的高要掌握以下两点：(1)高与顶，点的 对边所在的直线垂直；(2)高的一个端点是原三角形的顶点，另一 个端点是垂足 变式练习 如图，在△ABC中，边BC上的高为 A.AD B.BE C.BF D2. 救 D.CG 易错典例二 如图所示，点A,E,F,C在同一条直线上，AE=CF,过点E,F分别作 DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,且AB=CD. (1)△ABF与△CDE全等吗？为什么？ (2)求证：EG=FG. 量 训 【易错警示】在应用全等三角形的性质与判定解决问题时，要注意 理清对应边、对应角，特别是在符号“兰”的两侧，两个全等三角形 的对应顶，点必须写在对应的位置上 变式练习 如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点， 且DF=DE.求证：BE∥CF 易错典例三 如图，AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点 0,连接A0,BC. (1)求证：AD=AE; (2)试判断OA所在直线与线段BC之间的关系，并说明理由， 【易错警示】两条线段的关系包括数量关系和位置关系，数量关系 有相等、倍分等，位置关系有平行和垂直.这些关系都可以通过这两 条线段所在的三角形全等得到 变式练习 如图，BD,CE是△ABC的高，且BF=AC,CG=AB.探究AG,AF有什 么关系，并说明理由. 易错典例四 已知等腰三角形ABC. (1)若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长； (2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的各 边长 【易错警示】等腰三角形的边角有关问题，若没有给定图形，则一定 要全面考虑问题，分类讨论 变式练习 (1)在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将三角形的 周长分成12和6的两部分，求这个等腰三角形的腰长及底 边长； (2)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等 腰三角形的底角的度数 易错典例五 如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，再涂 黑1个，使整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有 种. 【易错警示】设计轴对称图形时，首先要按方向与位置考虑对称轴 的所有可能性，再设计轴对称图形，以避免漏解」 变式练习 1.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂 成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出 1个涂成黑色，使被涂成黑色的4个小正方形所构成 的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 个 2.平面直角坐标系中有一点A(1,1),对点A进行如下操作： 第一步，作点A关于x轴的对称点A1,延长线段AA1到点A2,使得 2A1A2=AA1; 第二步，作点A2关于x轴的对称点A3,延长线段A2A3到点A4,使 得2A3A4=A2A3; 第三步，作点A4关于x轴的对称点A,延长线段A4A到点A6,使 得2A5A6=A4A5; 第四步，作点A。关于x轴的对称点A,延长线段A,A,到点Ag,使 得2A7Ag=A6A; 则点A224的坐标为 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·47· 易错典例六 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm,面积为16cm,腰AC的 垂直平分线EF交AC于点E,交AB于点F,D为BC的中点，M为直线 EF上的动点，则△CDM周长的最小值为 A.6 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 【易错警示】解决线段之和最短问题的策略通常是利用轴对称，将 问题转化为两点之间的最短距离问题，再利用“两点之间，线段最 短”问题即可解决.注意不要没有理论依据，想当然求最短距离， 变式练习 1.如图，∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，点M,N分别在OA,OB上， 当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是 () A.120° B.60° C.30° D.90° 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是∠BAC的平 分线.若E是AC上一点且BE⊥AC,P是AD上的动点，则PC+PE 的最小值为 易错典例七 如果4x2+hxy+25y是一个完全平方式，那么k的值是 【易错警示】用完全平方公式计算时，首先要确定用“和的完全平方 公式”还是用“差的完全平方公式”，然后对应公式解决问题若不能 确定是用“和的完全平方公式”还是用“差的完全平方公式”，则需 要分类讨论 变式练习 1.若二次三项式x2+6x+m2是关于x的完全平方式，则常数m= 2.式子4x2+2(m-1)x+9是完全平方式，则m= 易错典例八 因式分解： (1)-3a2+6ab-3b2; (2)9a2(x-y)+4b2(y-x). ·48 全程复习大考卷·数学·八年级上册 【易错警示】当多项式的首项系数是负的，一般要提出“-”，同时多 项式中的各项都要变号.因式分解时，第一步观察多项式是否有公 因式，若有，首先提取公因式；第二步考虑括号中是否可用公式法分 解（两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式）；第三步检查括 号内的因式是否分解彻底。 变式练习 因式分解： (1)x3-25x; (2)(x-1)(x-3)+1; (3)4ab2-4a2b3+a3; (4)a2(x-y)+462(y-x). 易错典例九 化简求值：(3 、八x+1七+1)之4+4庄甲士从0，之，1中在微我一个 数求值. 【易错警示】对于分式化简求值问题，一定注意代入未知数的值要 让所有的分式有意义· 变式练习 先化简( 0+2+1然后从-2≤<1中选择-个你认为 +1x+1)÷,+2 合适的整数x的值代入求值. 1111. 易错典例十 已知关于x的分式方程1，+m=2m x+1x-2x2-x-2 (1)当m为何值时，此分式方程无解？ (2)当m为何值时，此分式方程的解为负数？ 111111111 【易错警示】根据方程的解确定字母的范围时，先去分母转化为整 式方程，再根据解的情况列出不等式，最后结合去分母时的最简公 分母不为零确定最终范围.同时还要注意：分式方程无解包括两种 情况：一是分式方程转化成的整式方程无解；二是分式方程的最简 公分母为零 变式练习 1.若解关于x的分式方程 -22-4x中2会产生增根，求m的值 2+mx=3 11111 2已知关于的方程323 3-x （1)当k=3时，求x的值； (2)若原方程的解是正数，求k的取值范围. 111111111111111111111111111∴a=2. 、1 把a=2代入B,得x2+x-6=(x-2)(x+3) 多项式1-25x的“零值”为=5和 1 5 令x+3=0,得x=-3. 11 .多项式B的另一个零点为-3. 55 (3)2-21【解析】M=(2x-b)(cx-7c)=0, .“对称值”为x= -=0. 2 解得号或=7超的两个零点分粥为宁或7。 (2)多项式(x-1)2+m(x-1)+9(实数m为常数)的 个“零值”相等， 根据3-系多项式”的定义，得7=6， .多项式(x-1)2+m(x-1)+9是完全平方式。 ∴.m=±2×1×3，即m=6或-6， .∴.b=-2. 当m=6时，多项式为(x-1)2+6(x-1)+9 把b=-2代入M,得(2x+2)(cx-7c) =x2+4x+4=(x+2)2, =2cx2-12cx-14c. “零值”为x=-2和x=-2 .M=ax2-(8a-4c)x+5b-4, .a=2c,5b-4=-14c.∴.c=1,a=2, “对称值为-2 9.618275【解析】小：M=abcd是一个“春暖花开数”， 当m=-6时，多项式为(x-1)2-6(x-1)+9 2(cd. .a-b= x2-8x+16=(x-4)2, “零值”为x=4和x=4, ..s=ac-bd=10a+c-10b-d 4+4 “对称值”为x= -=4. =10(a-b)+c-d=6(c-d) 2 :s为完全平方数，且1≤c≤9,1≤d≤9. 综上，m的值为6或-6，多项式(x-1)2+m(x-1)+9日 ∴c-d=6.∴a-b=3.∴.c=6+d,a=3+b. “对称值”为x=-2或x=4. ..a-c=b-d-3,a+c=b+d+9. 12.-2【解析】(2+二)÷ 11.x+12x+1x .t=a2-c2+b-d-3 小 xxx+l =(a-c)(a+c)+(b-d-3) -2x+1_2(x+1)-1 =(b-d-3)(b+d+9)+(b-d-3) x+1 x+1 2 x+1 =(b-d-3)(b+d+9+1) 1、x+1 =(b-d-3)(b+d+10). 分式(2+二)—的值为整数， :1≤b≤9,1≤d≤9，且b,d互不相等， ∴.13≤b+d+10≤27. 21 的值为整数 18为整教，6+d+10=18,6-d-3=1, 的值为整数 x+1 或b+d+10=18,b-d-3=-1. .x+1=±1.x=0或-2. 当b+d+10=18,b-d-3=1时，解得b=6,d=2, 当x=0时，分式无意义， 18 此时a=9,c=8,=1,M=9682; ∴.x=-2. 当b+d+10=18,b-d-3=-1时，解得b=5,d=3, 13.c c+a+b 【解析】设分式6为A,它的“友好分式”是层 此时a=8,c=9, 18 -=-1,M=8593. .·A-B=AB C 、c 它们的和为9682+8593=18275. Aa+b a+b 10.解：(1)2169【解析】由题意可知，m-n=3,则m= .B= A+1 c 3+n, +1 ctatb ctatb .当n=2时，m=3+2=5. a+b a+b .第2个“三方数”是52-22=25-4=21. 1=1-=1. 当n=10时，m=3+10=13, 14,解：(1)1【解析1-*1-x1-* .第10个“三方数”是132-102=169-100=69. (2)2025是“三方数”.理由如下： 9,B2 (2)①18+6x【解析：A= 3-x’ 设2025=m2-(m-3)2, 2x(3+x）C-2x2-6x ∴.A-B= 整理，得6m-9=2025, 3+33+)(3)(3+(3-）2 解得m=339. .C-2x2-6x=18-2x2,解得C=18+6x ∴.m-3=339-3=336.∴.2025=3392-3362. .2025是“三方数”. ②.A= 18+6x6(3+x)6 9-x2(3+x)(3-x)3-x x为正整数， 1 /11.解：(1)x=-5x=5x=0【解析】(1)1-25x2=(1+ ∴.当3-x=6时，x=-3,不符合题意； 当3-x=3时，x=0,不符合题意； 5x)(1-5x). 当3-x=2时，x=1,则A=3; 当1+5x=0或1-5x=0时，1-25x2=0. 当3-x=1时，x=2,则A=6. 综上所述，A的值为3或6. (3)根据题意，得-3”-(+“) :C与D互为“和整分式”，且“和整值”=3， 2 ∴.3x2+2x-8+G=3(x-2)(x+2)=3x2-12. x-3yytx3xy ytxy .G=3x2-12-3x2-2x+8=-2x-4. x2x-（xy-4 y xy G -2x-4 2 ②D x2-4(x+2)(x-2)x-2’ xy xy 又x为正整数，分式D的值为正整数t, xy=1∴.（x-y)2=4. ∴.x-2=-1或x-2=-2, x,y为正整数，.x-y=±2. 解得x=1或x=0(舍去).x=1, 15.C (3)P与Q互为“和整分式”，且“和整值”k=2, 16解(1×V【解折1：x=点-写不是方农子1-1 .P+Q= 3x-5mx-3_3x-5-mx+3 =2 x-33-x x-3 的解， .（3-m)x-2=2x-6.∴.（1-m)x=-4. 对[2,1]不是关于的分式方程2-1=1的“友好 当1-m=0,即m=1时，关于x的方程无解； 当1-m≠0时，方程有增根x=3, 数对” 7 ·.3(1-m）=-4,解得m=3 x=3+(-4) -1是方程1=-4的解， 综上所述，m的值为1或子 数对[3，-4]是关于x的分式方程3-1=-4的“友好 专项突破八易错题专练 数对” 易错典例一 (2)假设x=,是方程”-1=n-3的解， B n+n-3 2 变式练习 则n(n+n-3)-1=n-3.∴.n2-2n+1=0. A ∴.(n-1)2=0∴.n=1, 易错典例二 解：(1)△ABF与△CDE全等.理由如下： 即n=1时，数对[，n-3]是关于x的分式方程a-1=b .DE⊥AC,BF⊥AC,∴.∠AFB=∠CED=90°. 的“友好数对” ,AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE. (3)数对[-3，n](k<-2,n≠0)是关于x的分式方程 在△AF和R△CDE中，C份， a-1=b的“友好数对”， ·.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL) (2)证明：Rt△ABF≌Rt△CDE,∴BF=DE. -3+是关于的分式方程1-m的解 1 [L DGE=∠BGF, 在△DEG和△BFG中，∠GED=∠GFB, -3(-3+hm）-1=kmm=2,即n=左 2 DE=BF, 六M=21=21+3%+4 ∴.△DEG≌△BFG(AAS).∴.EG=FG. 变式练习 Fk+in+1k+12+1 (k+1)(k+2) 证明：AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 2 rBD=CD N=ktn k 1 k2+2k+2 在△BDE和△CDF中 ∠BDE=∠CDF, +2n+2+22, +2 k+2k+1(k+1)(k+2) DE=DF, ∴.△BDE≌△CDF(SAS). k2+3k+4 k2+2k+2 ∴.∠BED=∠CFD∴.BE∥CF 1 ..M-N= 易错典例三 (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)k+1 解：(1)证明：CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E, k<-2,.k+1<0. ∴.∠ADC=∠AEB=90. .M-N<0∴.M<N. r∠ADC=∠AEB, 17.解：(1)A与B互为“和整分式”.理由如下： A+B=x-72+6x+9x-7(x+3)2 在△ADC与△AEB中，∠CAD=∠BAE, LAC=AB. x-2x2+x-6x-2(x-2)(x+3) .△ADC≌△AEB(AAS). x-7,x+32x-4 ∴.AD=AE. =x-2x-2=x-2 =2 (2)OA所在直线垂直平分线段BC.理由如下： ∴.A与B互为“和整分式”，“和整值”k=2. 如图，延长AO交BC于点F. (2)①C+D=3x-4)(x+2) G (x-2)(x+2)(x-2)(x+2) 在R△AD0与R△AB0中，{OA=0A, AD=AE. 3x2+2x-8+G .∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL). (x-2)(x+2) 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·71 ∴.0D=0E. (2)分两种情况： CDLAB于点D,BE⊥AC于点E, 当∠A<90°时，如图1. .OA平分∠BAC. .BD⊥AC,∴.∠BDA=90 AB=AC. .·∠ABD=50°， ∴.OA所在直线垂直平分线段BC. ∴.∠A=90°-∠ABD=40°. 变式练习 .AB=AC, 解：AG=AF,AG⊥AF.理由如下： BD,CE是△ABC的高， ∠ABC=∠C=2(180°-∠A)=70°， .∴.∠ADB=∠AEC=90° ∴.这个等腰三角形的底角的度数为70°； ∴.∠ABF+∠BAD=90°，∠GCA+∠BAD=90° 当∠A>90°时，如图2. ∴.∠ABF=∠GCA, BD⊥AC,∴.∠BDA=90° BA=CG. ∠ABD=50°， 在△ABF和△GCA中， ∠ABF=∠GCA, .∠DAB=90°-∠ABD=40°. BF=CA. ∴.∠BAC=180°-∠DAB=140°. 图2 ∴.△ABF≌△GCA(SAS). AB=AC, ∴.AF=GA,∠BAF=∠G CE是△ABC的高，.CE⊥AB. .LABC=∠C= (180°-∠BAC)=20° .∴.∠G+∠GAE=90°. ∴.这个等腰三角形的底角的度数为20°. .∴.∠BAF+∠GAE=90°，即∠GAF=90°， 综上所述，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20° .AG⊥AF. 易错典例五 易错典例四 3【解析】如图所示，将图中其余小等边三角形涂黑一个， 解：(1)当2为底时，三角形的三边为2,3,3， 使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种 可以构成三角形，周长为2+3+3=8； 当3为底时，三角形的三边为3,2,2， 可以构成三角形，周长为3+2+2=7. .△ABC的周长为8或7. (2)设三角形ABC的腰长为x.如图，△ABC是等腰三角 变式练习 形，AB=AC,BD是边AC上的中线， 1.4【解析】如图所示 则有AB+AD=9或AB+AD=18. 分两种情况解： 第一种情况：x+2x=9,x=6, .·三角形的周长为9+18=27. 有4个位置使之成为轴对称图形. ∴.三边长分别为6,6,15. 2.(1,2102) 6+6<15,不符合三角形的三边关系， 易错典例六 舍去 D【解析】如图，连接AM. :AC的垂直平分线EF交AC于点E, 第二种情况：x+2x=18,x=12 ∴.AM=CM. :三角形的周长为27， ∴.CM+DM=AM+DM. .三边长分别为12,12,3. 当A,M,D三，点共线时， 综上，△ABC的各边长分别为12,12,3. CM+DM的值最小，为AD的长 变式练习 AB=AC,D为BC的中点， 解：(1)：BD是边AC上的中线， ∴.AD⊥BC,CD=。BC=2cm. ∴.AD=CD= 1 AC 2 3 :等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm,面积为 .·AB=AC 16cm, .设AB=AC=2x,BC=y. ∴.AD=CD=x.分两种情况： AD=16x2 4 8(cm) ①2r+512,解得 ∴.△CDM周长的最小值为AD+CD=10cm. x+y=6, ly=2. 变式练习 ..AB=AC=2x=8. 1B【解析】如图，分别作点P关于OA,OB的对称点P1, ∴这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2； P2,连接PP2交OA于点M,交OB于点N. ②2+x=6,解得x=2。 ∴.OP1=OP=OP2,∠OP1M=∠OPM,∠OPN=∠OP2N. lx+y=12, y=10. 根据轴对称的性质可得PM=P,M,PN=P,N. ∴.AB=AC=2x=4. ∴.△PMN周长的最小值为PP2: 4+4=8<10,.不能组成三角形. 由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠A0B. 综上所述，这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2， ∴.在等腰三角形OPP2中， ·72· 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ∠0P1P2+∠0P2P,=180°-∠P10P2=180°-2∠A0B. 0+11 ∴.∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP,M+∠OP,N= 当x=0时，原式=0+22 ∠0P1P2+∠OP2P1=180°-2∠A0B=60° 易错典例十 解：(1)方程去分母，得(x-2)+m(x+1)=2m. 化简，得(m+1)x=m+2. 当m=-1时，方程无解，分式方程无解， 当m≠-1时，进一步整理，得=m+3 m+1 当x=-1或x=2时，分母为零，分式方程无解， 2.9.6【解析】设BE交AD于点P,连接PC,则此时PC+ 3 PE取最小值，最小值为BE的长，如图所示. :当2-1时，解得m=-2 m+1 AB=AC,AD是∠BAC的平分线， 当m+2 .AD垂直平分BC 2时，解得m=0. m+1 ∴.BP=CP S=C·A0=4CnE, 综上，当m为 2或0或1时，此分式方程无解， .BE= BC·AD12×8 AC=10 =9.6. 2得器 由分式方程的解为负数，得 ∴.PC+PE的最小值为9.6. m+2 易错典例七 m+1 0,解得-2<m<-1. ±20【解析】4x2+ky+25y2=(2x)2+kxy+(5y)2, ∴.xy=±2×2x×5y,解得k=±20. .当m的取值范围为-2<m<-1且m≠ 2时，此分式方程 变式练习 的解为负数 1.±3【解析】.'x2+6x+m2=(x+3)2, 变式练习 .m2=9.∴.m=±3. 1.解：方程两边同乘(x+2)(x-2), 2.-5或7【解析】(2x±3)2=4x2±12x+9, 得2(x+2)+mx=3(x-2). ∴.2(m-1)=±12. -10 整理，得x= ∴.m-1=±6. m-1 .m=7或m=-5. 由题意，得x2-4=0,即x=±2 易错典例八 -10 -10 解：(1)原式=-3(a2-2ab+b2)=-3(a-b)2 =2或 m-1 =-2, m-1 (2)原式=(x-y)(9a2-4b2)=(x-y)(3a+2b)(3a-2b). 解得m=-4或6. 变式练习 ∴.m的值为-4或6. 解：(1)原式=x(x2-25)=x(x-5)(x+5). 2解：)当=3时，方程为，32-32 3 (2)原式=x2-3x-x+3+1=x2-4x+4=(x-2)2 x-31 (3)原式=a(462-4ab3+a2). 方程两边同乘(x-3),得x-2(x-3)=-3, (4)原式=a2(x-y）-462(x-y)=(x-y)(a2-462)=(x-y) 解得x=9. (a+2b)(a-2b). 经检验，x=9是原方程的解， 易错典例九 原分式方程的解为x=9. 解：原式=3-(x+1)(x-1),x+1 (2)两边同乘(x-3),得x-2(x-3)=-k, x+1 (x-2)2 解得x=6+k. -(x+2)(x-2)x+1x+2 :原方程的解是正数，∴.6+k>0,解得k>-6. x+1(x-2)2x-2 x≠3，.6+k≠3..k≠-3. 从分式知x+1≠0，x-2≠0， .k>-6且k≠-3. .x≠-1且x≠2，取x=0. 期未综合水平测试 当x=0时，原式=0+2=1 1.D2.D3.A4.B5.D6.B7.C 0-2 8.B【解析】：△ABC是等边三角形， 变式练习 ·AB=BC=AC=1,∠ABC=∠ACB=60°. +1）=-1.11 :∠ABC与∠ACB的平分线交于点O, 解：( ∴.∠OBC=∠OBD=∠OCB=∠OCE=30° x2+2x+1x+1 x+2 x+1 DE∥BC, (x+1)2x+1 ∴.∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60° x+2x+21 △ADE是等边三角形.∴.AD=AE=DE. .x+1≠0，x+2≠0， AB=AC,∴BD=CE. .x≠-1，x≠-2. :DE∥BC,∴.∠BOD=∠OBC=30°=∠OBD. .x=0. .·.BD=OD.同法可证OE=CE.