第十八章 分式 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

第十八章考点梳理与复习 考点一 分式的概念及有无意义、分式的值为0的条件 【训练目的】能识别分式，会判断分式有意义及分式 的值为0时字母取值 1.下列各式中：(12：(2)2：(3)：(4)31，属于分式的有 3 x-Y ( 吹 A.1个 C.3个 D.4个 B.2个 2若分式中2有意义，侧实数：的取值范围是 ( A.x>-2 B.x<-2 C.x=-2 D.x≠-2 x+2 3.已知分式24坏+a当=1时，分式无意义，则a 4若分式 的值为零，则x的值为 考点二 分式的基本性质 拟 【训练目的】能运用分式的基本性质对分式进行变形. 5.下列各式成立的是 () A.-atb_atb B.-atb_a-b -a+b -a-b C. a+b-a+b -a-b -a+b D. -a-b a-b -a-b -a+b -a-b a+b 6.不改变分式 .2x-1 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整 .4x+3 数，所得结果为 ( A.-5 B.2x-1 2x-1 D.2x-10 2x+15 4x+3 4x+30 4x+3 蜜 把分式中的a.6都大为原来的3倍，则分式的值 A.扩大为原来的3倍 B.扩大为原来的9倍 C缩小为原来的？ D.不变 1 8在括号里填上使等式成立的式子：5一 2x+3（）,括号内的式 G*y 5x-6y 靠 子为 9.分式 a2b2 4ab 化成最简分式为 10.约分： a2-2a+1 82 (2) a2-1 11.通分： 125 12x (1) 84y'3x2y2'6xz2 (2) (2x-4)2'6x-3x2’x2-4 考点三分式的运算 【训练目的】能准确迅速地进行分式运算. 12计算r÷(巴的结果为 ( B.x3y2 x3 D.x26 a2-6262-0的结果为 13.计算，a b 1 1 A B. a+b a-b , 主题情境课堂内外请完成第14~16题 14.在学习分式的混合运算时，白老师将甲、乙两位同学的解题过程 投影展示如下： 甲：(81)4 乙：(a-1 21)a1 =84 2品4 a a-1+a+1,a a-1a+1,a+1 a+1a+1 a+l aa 2aa+1 a-1a+1 a+1 a aa =2. =2. 下列说法正确的是 ( A.甲、乙都错B.甲、乙都对C.甲对，乙错D.甲错，乙对 15.做完上题后，白老师准备用纸条给同学们布置新习题，但传递时 纸条左侧被撕破（如图），则撕掉部分中▲的内容为 )×5-m=m-4 16.下午大扫除时，小明和小楠被分配打扫教室储物角.若小明单独 干需要α分钟做完，小楠单独干需要b分钟做完，则两人合干 分钟即可把卫生做完 a b 17.我们将式子。d称为二阶行列式，并规定它的运算法则为 补k,则阶行列式 a2-a 2-1 18.计算： 1 (1) 4 a+2a2-4 2 (3)2a6(分24： (4)2.a-21 /a-2a3a+1 (5)2( 2,1 +121+7) (6)-4+43 +（x中1*+1)+2 ÷（ +2 考点四整数指数幂和用科学记数法表示较小的数 【训练目的】能进行整数指数幂运算，并能将绝对值小 于1的数用科学记数法表示出来，并进行相关计算， 主题情境科技是第一生产力请完成第19~21题 科学技术作为第一生产力，已成为当代经济发展的决定因素 高科技及其产业促进了劳动生产率的大幅度提高 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·29· 19.新素材〔科学技术〕由国际宇航联合会主办的第75届国际宇航大 会于2024年10月14日至18日在意大利米兰举办，在此次大会 中中国探月工程嫦娥六号任务从月球背面采样返回带来的月壤 首次面向全球展出，展示的月壤样品重75毫克，即0.075克，将 0.075用科学记数法表示应是 () A.75×10-2B.7.5×10-2 C.7.5×10-3D.0.75×102 20.根据工信部《首台（套）重大技术装备推广应用指导目录(2024 版)》信息，氟化氩光刻机的分辨率不超过65nm,已知1nm= 10-9m,65nm=xm,则x的值为 () A.6.5×10-8B.6.5×10-9 C.6.5×10-10D.6.5×10-11 21.据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超 级计算机用时2.3秒的计算量，我国研制的超导量子计算原型机 “祖冲之二号”用时大约为2.3×107秒.把2.3×107用小数表示 为 22.要使得(x-2)-2有意义，x的取值应满足的条件是 23计算：(-3)2-(m-2)°= 24.计算：(2m2n2)2.3m3n3= 考点五分式的化简求值 【训练目的】能准确地进行分式混合运算，并结合相 关条件进行求值 25.已知A= x2-9 2+6r+9x+3,关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是 () 甲：4的计算结果为3，乙：当x=-3时，A=2丙：当0<<3时。 A的值为正数 A.乙错，丙对 B.甲和乙都对 C.甲对，丙错 D.甲错，丙对 x2-4x+4 26.先化简，再求值： +2÷（142)其中x=w②+2小 ·30· 全程复习大考卷·数学·八年级上册 2先化病再求值字4行然后从0，-2211巾 选择你喜欢的x值代入求值. 28.先化简，再求值：a-ba。。2-b2 a+6a+6a2-2ab+6,其中a,6满足6-2a=0. 考点六分式方程及其解法 600t-30:③ 29.下列方程：0①号-了0：②=400 2;④、1 2x x 其中是分式方程的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 30.若关于x的分式方程，龙 1+6x-2无解，则实数a= 31.解方程： 3 .3x 5+ (1) (2)51 =0; x2+x x2-x (3)241 2x2 x-2x2-4x+2 （4)2x-52x+51. 考点七分式方程的实际应用 32.一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行 120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相 等，则江水的流速为 () A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h 33.甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台 空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3 台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程 34.新素材〔地域特色〕中国·哈尔滨冰雪大世界，始创于1999年，展 示了哈尔滨冰雪文化魅力.2024年冰雪大世界建造取冰时，安排 甲、乙两个采冰队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效 率的1.5倍，甲队取360立方米的冰比乙队取同样体积的冰少用 3天. (1)甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别为多少立方米？ (2)如需30天采冰1560立方米.甲、乙两队共同工作若干天后， 甲另有任务，剩下由乙队独立完成.为了能在规定时间内完 成任务，至少安排甲队工作多少天？ 35.2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开 幕，本次博览会上的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母 舰”的九天无人机，它首次亮相便震撼全球这也激发了航模小 组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型 商店了解知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机 模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与 用5400元购买B款无人机模型的数量相同. (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价各为多少元； (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A,B两款 无人机模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买 方案得到的智慧优数为24,32,40，… =(x-y)(a2-4b2) 当m-n=5时，m=n+5, =(x-y)(a+2b)(a-2b). .m2-n2=(n+5+n)(n+5-n)=5(2n+5), 18.解：(x-2)2-(x+3)(x-3)+(x-4)(x+5) 得到的智慧优数为35,45,55，…； =x2-4x+4-x2+9+x2+x-20 当m-n=6时，m=n+6, =x2-3x-7. .m2-n2=(n+6+n)(n+6-n)=12(n+3), x2-3x-5=0, 得到的智慧优数为48,60,72，…； .x2-3x=5. .原式=5-7=-2. 把这些智慧优数从小到大排列为8,12,15,16,20,21,24,19.解：(1)3×27m÷9m=3×(33)m÷(32)m 27,28,32,33,35,36,39,40,, =3×33m÷32m=31+3m-2m=3mt1, 故第10个智慧优数是32. 即3m+1=316, 阶段性检测（二）】 .m+1=16..m=15. 1.C2.D3.B4.D5.A6.A (2)(3x3n)2-4(x2)2n=9(x2)3-4(x2m)2 7.A【小斗提示】用作差法求出(a-1)2-(a2-1)的结果，再判断出 =9×43-4×42=512. 计算结果的符号即可得到结论， 20.解：(1)S1=a(a+4b)=（a2+4ab)平方米， 【解析】(a-1)2-(a2-1)=a2-2a+1-a2+1 S2=(a+3b-a)(a+4b)=3b(a+4b) =-2a+2=-2(a-1). =(3ab+1262)平方米 a>1,∴.-2(a-1)<0, (2)当a=2,b=4时， .(a-1)2-(a2-1)<0. S2=3×2×4+12×42 .(a-1)2<a2-1. =3×2×4+12×16 8.A【解析】(2m+3)2-4m2=(2m+3)2-(2m)2 =24+192=216(平方米). =(2m+3-2m)(2m+3+2m)=3(4m+3). .此时种植区的总面积S2为216平方米. 9.A【解析】由图可知，这两位数的十位数字的平方等于 21.解：甲抄错了第一个多项式中a的符号， 第一行左边的两位数，个位数字的平方等于第一行右边 他的计算为(2x-a)(3x+b)=6x2+11x-10, 的两位数，指数乘十位数字乘个位数字的积等于中间一 .6x2+2bx-3ax-ab=6x2+11x-10. 行的数， .10m+n=62=36,10x+y=2×6×7=84. .6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10. ·乙抄漏了第二个多项式中x的系数， .m=3,n=6,x=8,y=4. ∴.(m+n)(x-y)=(3+6)×(8-4)=9×4=36. 他的计算为(2x+a)(x+b)=2x2-9x+10. .2x2+2bx+ax+ab=2x2-9x+10. 10.A【解析】6°=1，∴.log61=0.故①正确； .2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10. 设l0g32=a,l0g323=b,则3°=2,30=23. .3=(3)3=33..b=3a. 2b-3a=11, 1a+2b=-9, .l0g323=2l0g32.故②正确； 设log2(3-a)=log327=x,则2*=3-a,8=27 解得8乏 8*=(23)*=2=(2*)3,27=33 ∴.正确结果为(2x-5)(3x-2) .2=3..3-a=3.∴.a=0.故③正确： =6x2-4x-15x+10 设log2x=a,log2y=b,则2=x,2=y. =6x2-19x+10. ∴.xy=2·2=2a6 22.解：(1)竖式表示为 .log2xy=a+b=log2x+log2y.故④正确。 3x3-5x2+2x-1 11x2+xy12.-1813.-3.2×10414.9 2x+16x4-7x2-x2+0·x-1 15.6【解析】设AB=a,AD=b. 6x4+3x3 :四个正方形的周长之和为40，面积之和为26， -10x3-x2 ∴.4a·2+4b·2=40,2a2+2b2=26. -10x3-5x2 .a+b=5,a2+b2=13. 4x2+0·x .2ab=(a+b)2-(a2+b2)=25-13=12. 4x2+2x .ab=6,即长方形ABCD的面积为6. -2x-1 16.解：(1)x·x3+(-2x2)3 -2x-1 0 =x6+(-8x6) =-7x6. (2)3x-1-5 【解析】竖式表示为 (2)(3x2y-xy2+4xy）÷(-2xy) 3x-1 x+2}3x2+5x-7 =3x2y÷(-2xy）-xy2÷(-2xy）+4xy÷(-2xy） -311 3x2+6x 22 2t --7 -x-2 17.解：(1)6x2-12xy+6y2 -5 =6(x2-2xy+y2) (3)(x-1)(2x+3)2【解析】：多项式4x3+8x2 =6(x-y)2. 的一个因式为x-1， (2)a2(x-y）+4b2(y-x) .另一个因式为(4x3+8x-3x-9)÷(x-1) ·64。 全程复习大考卷·数学·八年级上册 =4x2+12x+9=(2x+3)2. (2)a2-2a+1(a-1）2 _a-1 4x2+12x+9 a2-1(a+1)(a-1)a+1 x-14x3+8x2-3x-9 1 4x3-4x2 11.解：(1)- 3y222 12x2-3x xy 24xy2 12x2-12x 2」 16x2z 9x-9 3xy 24x 9x-9 520xy3 0 .该多项式分解因式的结果为(x-1)(2x+3)2 6224xy2 3x2(x+2) 23.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2) (2)设MK=m,NK=n. (2x-4)24(x-2)212x(x+2)(x-2)2 S1+S2=40,MW的长为8， 1 1 4(x+2)(x-2) .'.m2+n2=40,MN=MK+NK=m+n=8. 6x-3x23x(-2)12x(x+2)(x-2)2” .（m+n)2=m2+n2+2mn. 2x 2x 24x2(x-2) .82=40+2mn..mn=12. x2-4（x+2)(x-2)12x(x+2)(x-2)21 1 1 Saw-2mn=2X12=6. 12.C13.B14.B (3)设20-x=a,x-12=b. 5、1 m-4 16.ab "a+b .(20-x)(x-12)=-15, a2-a1 .∴.ab=-15,a+b=8. 【解析】 1 .(20-x)2+(x-12)2=a2+b2 a+1 a a2-1 =(a+b)2-2ab 1 =82-2×(-15) =(a2-a)· --1×a =94. a2-1 选做题 1 1.B【解析】：∑-2(x-k)(x-k+1)=3x2+px+m,且3x2+ =a(a-1)'(a+1)(a-1）a px+m中二次项系数为3， a a-a(a+1)a2 ∴.n=4. atl as a+1 a+1 .∑k-2(x-k)(x-k+1) 18解：(1)1+ 4 a-2 =(x-2)(x-1)+(x-3)(x-2)+(x-4)(x-3) a+2a2-4(a+2)(a-2)(a+2)(a-2) =x2-x-2x+2+x2-2x-3x+6+x2-3x-4x+12 a+2 1 =3x2-15x+20. (a+2)(a-2)a-2 ∑=2(x-k)(x-k+1)=3x2+px+m, .3x2-15x+20=3x2+px+m. （2)-2+1x-1(-1)2.子+x ∴.p=-15,m=20. x2-1x2+x(x-1)(x+1)x-1 2.-3或2或1【解析】小：(2x-3)+3-1=0, (x-1)2 .x(x+1) =x. .(2x-3)+3=1. (x-1)(x+1)x-1 ①当x+3=0,即x=-3时，(-9)°=1； （82a8(0产·8=2a8 a2 a ②当2x-3=1,即x=2时，13=1； 4b24b2 ③当2x-3=-1,即x=1时，(-1)4=1. =2a6.4w.a=2ab 第十八章考点梳理与复习 a2462 1.B2.D 3.3 (4)Q2 .a-2111 a-2 a3 a+l aa+l 4.-2【小斗提示】分式的值为0必须满足两个条件：1.分子=0； 2.分母≠0. a+l a 1 1 = = 5.D6.A7.C a(a+1)a(a+1)a(a+1)a2+a 8.12x+2y【小斗提示】先通过分母观察变化情况，然后分子作相 (21 (5)2 2 2+x-1 )= 同的变化. +1x2-1x+1x+1(x+1)(x-1) 1 2x+36(2x+3） 2(x+1)(x-1)2(x-1)2x-2 【解析】5 12x+2y x+1x+1 x+1 x+1 5 6*-y 5x-6y 6(6-y） (6)-4+4:(3 2 x2+x +1+1)+ x+2 96 (x-2)2.4-x2,2 3x-9 '2a x(x+1)x+1x+2 10.解：(1)24xy =-3x2y =（x-2)2 x+1 2 8ya x(x+1)-(x+2)(x-2)x+2 2x 1 (3)方程两边乘(x+2)(x-2), = 2-x1 x(x+2)x(x+2)=x 得2(x+2)-4=x-2. 19.B20.A 解得x=-2. 21.0.0000002322.x≠223.8 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0, 2412m 因此x=-2不是原分式方程的解. n 【解析】(2m2n2)2.3m3n3=4mn4.3m3n3= ∴.原分式方程无解. 12mn'=-12m (4)方程两边乘(2x-5)(2x+5), 得2x(2x+5)-2(2x-5)=(2x-5)(2x+5). n 25.C +24(14)-22 20解：4 解得x二35 6 35 x+2 x+2x+2 检验：当x=- 时，(2x-5)(2x+5)≠0. =(x-2)2,x+2 6 =x-2. 35 x+2x-2 .原分式方程的解为x= 6 当x=√2+2时，原式=√2+2-2=√2. 32.D x2-4.x-2x2-x 27.解：+4x+4+2x 3.7865 x+3x =（x+2)(x-2).x(x+2)x(x-1) 34.解：(1)设乙采冰队每天能采冰的体积为x立方米，则 (x+2)2 x-2 x-1 甲采冰队每天能采冰的体积为1.5x立方米. =x+x=2x, 3 由题意，得x≠0,1，±2， 根据题意，得360-360 x1.5x 当x=-1时，原式=2×(-1)=-2. 解得x=40. 28.解：a-6aa2-62 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， 'a+b a+b a2-2ab+b2 .1.5x=1.5×40=60 _a-ba.(a+b)(a-6) 答：甲、乙两个采冰队每天采冰的体积分别为60立方 米，40立方米 a+b a+b (a-b)2 (2)设安排甲队工作m天. _a-b a a-b 根据题意，得60m+40×30≥1560. atb atb atb =a2-b2a2-b 解得m≥6. .ab-62 答：至少安排甲队工作6天 (a+b)2(a+b)2(a+b)2 35.解：(1)设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人 .b-2a=0,∴.b=2a. 机模型的单价为(x+600)元 原式=a·2a-(2a)22 根据题意，得9000_5400 (a+2a)2 9 x+600x 29.B 解得x=900. 0号 经检验，x=900是原分式方程的解，且符合题意. 【解析】方程两边乘(6x-2), .x+600=900+600=1500. 答：A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模 得2x=6x-2+a. 分式方程无解， 型的单价为900元. ∴.6x-2=0. (2)设购买A款无人机模型m架，B款无人机模型n架 根据题意，得1500m+900n=18000. 2x6x 1 1. 2 ∴.x= 2+a,解得a=3 整理，得m=123 31.解：【小斗提示】解分式方程必须检验. :m,n均为正整数， (1)方程两边乘(x-1), 得3=5(x-1)-3x. 9或0成 In=5 n=15 解得x=4. .有3种购买方案： 检验：当x=4时，x-1≠0. ①购买A款无人机模型9架，B款无人机模型5架； ∴.原分式方程的解为x=4. ②购买A款无人机模型6架，B款无人机模型10架； (2)方程两边乘x(x+1)(x-1), ③购买A款无人机模型3架，B款无人机模型15架. 得5(x-1)-(x+1)=0. 第十八章学业水平测试 解得x=2 1.B2.D3.A4.A5.D 6.A【解析】设汽艇的速度为a,河水流动的速度为b,则 检验：当=时，*(+1)(-)0 60 汽挺在平静的河水中所用时间为=。， ·.原分式方程的解为x=2 3 在流动的河水中所用时间为= 30,30 a+b a-b 30,30606062 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意； t1-t2= a+b a-b aa(a+b)(a-b) ,1<11=3-1,解得=2. .a>b>0,.∴.a+b>0,a-b>0. 当x<0时， xx 6062 经检验，x=2是原方程的解， a(a+b)(a-b) 、>0,即t1-t2>0.∴.t1>t2 2>0,x=2不符合题意。 7.C【小斗提示】把u,v当作常数，解方程即可. 方程Min,L=3-1(其中≠0)的解为x=4. 【解析】方程两边乘fuw,得yf+uf=u. x,x=x 解得f= uv 【解折】设宁-号=+0. 16. 1 8.C 则x=3k,y=4k,z=5k. 3k+4k-5k1 .D【解析】当x=-4时，分式-m无意义， 所以原式=3k-4k+52 即2×(-4)-m=0,解得m=-8; 17.解：(1) 13 当=4时，合式机的维为0， a-3a(a-3) a = 31 即4+n=0,解得n=-4. a(a-3）a(a-3)a 分式为的 319 x2-4 a-4_1 当x=a时，2a+83,解得a=20. =-2.1.(x+3)(x-3)1 x+3x-3(x+2)(x-2)x+2 检验：当a=20时，2a+8≠0， 18.解：(1)方程两边乘(x+1)(x-1), ∴.原分式方程的解为a=20. 得3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1) 6-421 当x=6时，b=2x6+82010 解得x=2. 检验：当x=2时，(x+1)(x-1)≠0. .ab=20x10 ∴.原分式方程的解为x=2. (2)方程两边乘(x+1)(x-1), 10.C【解析】解不手式如+2≥2 得2(x+1)-3(x-1)=x+3. 3 解得x=1. 3x<k, 检验：当x=1时，（x+1)(x-1)=0, rx≥-1， 因此x=1不是原分式方程的解. 得{ k .原分式方程无解. 19.解：(1)四 :不等式组有解且至多有3个整数解， (2)原式=0+1÷ a+1a+1a+1 1< 3s2,即-3<k≤6 =a-x0+1+1xa+1 x-2.3 a+l a a 解分式方程 x-11- =2,得x=k-2 3 a-1a+1 s 分式方程有整数解，.k=3或1或5或-1. aa 2a :x-1≠0，k- 3.1≠0，解得k≠5. a 又-3<k≤6，.k=3或1或-1. =2. .满足条件的整数k的和为3+1-1=3. 20.解： 2x-y 2xyty 山品答案不唯）2话15号 x2-y2 x+y 11.2 2x-y =[ (x-y)2].x+y 14.1米/秒【解析】设通过AB路段的速度为x米/秒，则 x+y(x+y)(x-y） x-Y 通过BC路段的速度为1.2x米/秒. =(24-y-3.x 报装题意，得台是2 、x+yx+yx-y 2x-y-x+y xty 解得x=1. x+y x-y 经检验，x=1是原方程的解，且符合题意. .小敏通过AB路段的速度为1米/秒. x-y 15,x=4【解析】当x>0时，>x, 11 当x=(宁》=2，y=(-5=1时， 13 -1,解得x=4. xx 原式2品2 全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·65·