第5章 勾股定理与实数 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

第5章考点梳理与复习 考点一 勾股定理及其逆定理 【训练目的】探索勾股定理及其逆定理，并能用其解决一些实际问题。 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4,则AB2-BC2= A.4 B.16 C.20 D.25 2.一个直角三角形的两条直角边长分别为6，a,斜边长为10，则a的值为 A.8 B.7 c.5 D.4 3.如图，若正方形A,B的面积分别为25和9，则正方形C的面积为 A.4 B.8 C.12 D.16 训 D 第3题图 第4题图 4如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的A,B,C,D中任取三点，所构成的三角形不是直角三角 形的是 A.△ABD B.△ADC C.△BCD D.△ABC 救 5.三角形的三边分别为a,b,c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是 ( A.a=8,b=16,c=17 B.a2-b2=c2 C.a2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=13:5:12 主题情境公安监控系统请完成第6~7题 6.新情境〔实际情境]如图，地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB, BC两段构成，若BC段的长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则AB段的长度为() A.10 cm B.12 cm C.15 cm D.17 cm 警方提醒您已进入 24小时监控区域 蜜 请注意您的言行举止 第6题图 第7题图 7.公安部门给相关警务人员配备了三防平板，为了方便使用，还额外提供如左图所示的可调节平板支架 其结构示意图如右图所示，已知平板宽度AB为16cm,支架脚BC的长度始终不变，当∠ABC=90时，可 测得AC=20cm,保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离为 （) A.8 cm B.8.6 cm C.9 cm D.9.6 cm 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E,求证：AE2=BE2+AC2。 养 D 9.如图，圆柱的高为40cm,底面周长为60c,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的 点B处的食物，已知四边形ADBC的边AD,BC恰好是上、下底面的直径。问：蚂蚁沿侧面至少要爬行 多少路程才能吃到食物？ C B 10.如图，在四边形ABCD中，AB=30,CD=16,AD=34,AE⊥BC,E是BC的中点，且AE=18,连接AC。 (1)判断△ADC的形状并证明； (2)求四边形ABCD的周长。 E 11.新素养〔创新意识〕著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为α，较小的直 角边长都为b,斜边长都为c）,大正方形的面积可以表示为2，也可以表示为4×2b+(a-b),由此 推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。 (1)图2是美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,AB=AC,由于某种原 因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在 同一条直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB。测得CH=0.8千米，BH=0.6千米，新路CH比 原路AC少多少千米？ (3)小明对上述内容继续深入思考，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法。他是这样思 考的，在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB,AC=10,BC=17,AB=21,设AH=x,可以求CH的值， 请帮小明写出求CH的过程。 AH d E B 图1 图2 图3 考点二算术平方根、平方根、立方根 【训练目的】了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示。 12.下列各数中，没有平方根的是 A.(-2)2 B.1-31 C.-1 D.0 。全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·23· 13.已知15≈3.873，√1.5≈1.225，则/150≈ A.38.73 B.387.3 C.12.25 D.122.5 14.下列等式中，不成立的是 A.±√64=±8 B.-90.001=-1 C.3-216=-6 D.W25=5 15.对于实数a,小丁说：“a+1有算术平方根。”小张说：“-a不一定有平方根。”小刘说：“a2+2一定有立 方根。”他们中说法正确的是 A.小丁和小刘 B.小丁和小张 C.小张和小刘 D.不能确定 16.已知x是5的算术平方根，则x2-13的立方根是 A.√5-13 B.-√5-13 C.2 D.-2 17.下列结论中，正确的是 A√9的平方根是±3 B.49=23 =2 W25 333 C382 D.a2的算术平方根是a 18.请把“36的平方根是正负6”翻译成数学式子表示出来： 19.64的立方根为 ,若√a=4,则a= 20.已知实数a,b,c满足关系式(a-2)2+1b+√3I+√J30-c=0,则c-b的立方根为 21.我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出 这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。 (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2)若1-2x与3x-5互为相反数，求1-√x的值。 考点三实数 【训练目的】了解无理数和实数，知道实数的组成，能用数轴上的，点表示实数，能比 较实数的大小。会用计算器计算平方根和立方根。 22.下列说法正确的是 A.所有的无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C√2是最小的无理数 D.数轴上的每一个点都表示唯一一个实数 23.在-2,0,2，√3这四个数中，最小的数是 ( A.-2 B.0 C.2 D√3 24.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=2,AB=1,以点0为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴的正 半轴交点P所表示的数为 () 0 2 3 A.2.2 B.5 C.1+√2 D.√6 ·24· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 25某计算器中有√厂，x,x2三个按键，以下是这三个按键的功能。 ①√：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②x1:将荧幕显示的数变成它的倒数； ③x:将荧幕显示的数变成它的平方。 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键。 1 输人x 第1步 第2步 第3步 若开始输入的数据为10，则第2026步之后，显示的结果为 A.0.01 B.0.1 C.//10 D.100 26.根据以下程序，当输入-2时，输出的结果为 是 输入x 计算2-1的值 <结果< 输出结果/ 否 A.0 B.1 C.2 D√3 3[1 27.2+√27的相反数是 ;3-π的绝对值是 28.新素养〔运算能力〕计算： (1)√25-1-11+8； (2)-1225+2-√5+1W5-21。 南 29.(1)计算： 9 31 ①V1 25； ②-0.125 V64 (2)求下列各式子中x的值。 ①(x+1)2-1=8; ②x3-0.027=0。因为AD平分∠BAC, 所以DM=DN。 因为AB=8,AC=6, 所以S AABD:SAACD= (AB.DM):(分Ac.DNW =AB:AC=4:3。 15.C【解析】如图，作点B关于直线a的对称，点N,连接 AW交直线a于点C。故点P的位置应该在点C处。 D N 小斗总结 对称轴是两个对称点连线的垂直平分线，所以对称轴上的任 意一点到这两个对称点的距离都相等。 16.①②④【解析】因为△DAC和△EBC均是等边三角形， 所以AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°。 所以∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, 即∠ACE=∠BCD。 所以△ACE≌△DCB(SAS)。故①正确； 由①，得∠CEA=∠CBD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°。 所以∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°=∠BCE。 所以△BCN≌△ECM(ASA)。 所以CM=CN。故②正确； 假设AC=DN,即CD=DN, 所以△CDN是等边三角形，∠CDB=60°。 因为∠ACD=∠CDB+∠CBD=60°， 所以假设不成立。故③错误； 因为∠CBD+∠CDB=60°，∠DAE+∠CAE=60° 而∠CAE=∠CDB,所以∠DAE=∠CBD。故④正确。 17.解：因为两个四边形关于直线1对称， 所以a=5cm,b=4cm,∠H=∠C=90°， ∠F=∠A=80°，∠B=∠E=135°。 所以∠G=360°-∠H-∠E-∠F=55°。 18.证明：因为AB=AC,BD=CD, 所以AD是线段BC的垂直平分线。 因为点E在AD上，所以BE=CE。 19.解：(1)∠ABC的平分线如图所示。 D\ (2)如图，过点D作DH⊥AB于点H。 因为BD平分∠ABC,∠C=90°，DH⊥AB, 所以DH=CD=3。 所以△Ac的面积=S。w5w8C.C0+B:0H =7x3(Bc+MB)=7X3x16=24。 20.证明：(1)因为AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120°， 所以∠BAD=∠CAD=7∠B4C=60。 因为AD=AB,所以△ABD是等边三角形。 (2)因为△ABD是等边三角形， 所以∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD。 因为∠EDF=60°，所以∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠AD 即∠BDE=∠ADF。 LDBE=∠DAF, 在△BDE与△ADF中，BD=AD, ∠BDE=∠ADF, 所以△BDE≌△ADF(ASA)。所以BE=AF。 1.(1)解：因为11是边AB的垂直平分线， 所以AD=BD。 因为l2是边AC的垂直平分线，所以AE=CE。 因为△ADE的周长为8cm, 所以BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=8cm。 (2)证明：如图， 0 因为l1是边AB的垂直平分线，所以OA=OB: 因为l2是边AC的垂直平分线，所以OA=OC。 所以OB=OC。 (3)解：因为△OBC的周长为18cm, 所以OB+OC+BC=18cm。 因为BC=8cm,所以OB=OC=5cm。 因为OA=OB,所以OA=5cm。 2.解：(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)如图1，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点 DF⊥BC于点F。 因为BD平分∠EBF,所以DE=DF。 因为∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°， 所以∠DAE=∠C。 r∠DAE=∠C, 在△DEA和△DFC中，∠DEA=∠DFC, DE=DF 所以△DEA≌△DFC(AAS)。所以AD=CD。 D 图1 图2 (3)如图2，在BC上截取BK=BD,连接DK。 因为AB=AC,∠A=100°，所以∠ABC=∠C=40°。 因为BD平分∠ABC,所以∠DBK=分LABC=20。 因为BD=BK,所以∠BKD=∠BDK=8O°。 所以∠A+∠BKD=180°。 由(2)，得AD=DK。 因为∠BKD=∠C+∠CDK,所以∠CDK=40°=∠C。 由勾股定理，得AE2=AD2-DE2=AC2+CD2-(BD2-BE2)= 所以DK=CK。所以AD=CK。 AC2+BE2。 所以BD+AD=BK+CK=BC。 9.解：把圆柱体沿着AC所在直线剪开，得到如图所示的长 选做题 方形， 10【解析】如图，在BC上截取BE=AB,过点E作EF1 E. AB于点F,过点A作AG⊥BC于点G,则EF=AG。 因为AB=BE,BD平分∠ABC, 所以BD是AE的垂直平分线。 连接EM,EN,则AN=EN。 所以MN+AN=MW+EW≥EM≥EF。 所以MN+AW的最小值为EF的长。 则AB的长度即为所求的最短距离。 因为BC=12,S AABC=60, 根据题意可知，圆柱的高为40cm,底面周长为60cm, 所以AG=10。 所以AC=40cm,BC=30cm, 所以EF=10,即MW+AN的最小值为10。 根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=402+302=502, 第5章考点梳理与复习 所以AB=50cm。 1.B2.A3.D4.C 答：蚂蚁沿侧面至少要爬行50cm路程才能吃到食物。 5.A【解析】A.因为82+162≠17， 10.解：(1)△ADC是直角三角形。证明如下： 所以不是直角三角形； 因为AE⊥BC,E是BC的中点， B.因为a2-b2=c2,所以a2=c2+b2。 所以AE垂直平分BC。所以AC=AB=30。 所以是直角三角形； 因为CD=16,AD=34,所以CD2+AC2=AD2。 C.因为a2=(b+c)(b-c),所以a2+c2=b2。 所以△ADC是直角三角形。 所以是直角三角形； (2)在Rt△ABE中，AB=30,AE=18。 D.设a=13n,则b=5n,c=12n。 由勾股定理，得BE2=AB2-AE2=302-182=576=242。 因为(5n)2+(12n)2=(13n)2,所以b2+c2=a2。 所以BE=24。 所以是直角三角形。 因为AE垂直平分BC,所以BC=2BE=48。 6.C【解析】设AB=xcm,则AC=(x+2)cme 所以四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=8cm。 =30+48+16+34=128。 由勾股定理，得AB2+BC2=AC2,即x2+82=(x+2)2。 解方程，得x=15,即AB段的长度为15cm。 1解：(1)梯形8cD的面积为(a+b)(a+b) 7.D【解析】如图，过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于 点F。 ab宁，可以表示为 。 2 ab+ 因为CB平分∠ACD, 所以BE=BF。 2 在△ABC中，∠ABC=90°，AC=20cm, (2)设AB=AC=x千米， AB=16cm。 由勾股定理，得BC2=AC2-AB2=202 则AH=AB-BH=(x-0.6)千米。 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=C+A, 162=144。 即x2=0.82+(x-0.6)2。 所以BC=12cm。 解得x≈0.83，即AC≈0.83千米。 因为SAuc=2AC·BF=2AB·BC, 所以AC-CH=0.83-0.8=0.03千米。 所以BF=1B·BC_16x12 所以，新路CH比原路AC少约0.03千米。 (3)因为AH=x,所以BH=AB-AH=21-x。 AC 20 9.6(cm)。 因为CH⊥AB,AC=10,BC=17,AB=21, 所以BE=BF=9.6cm,即，点B到CD的距离为9.6cm。 在Rt△ACH中，由勾股定理，得C=AC2-A 小斗总结 在Rt△BCH中，由勾股定理，得C=BC2-B, “等面积法”就是两种计算同一个图形的面积的方法，其面积 所以AC2-A=BC2-B,即102-x2=172-(21-x)2。 是相等的。 解得x=6,即AH=6. 8.证明：如图，连接AD。 所以C=102-62=64。所以CH=8。 12.C13.C14.B15.C 16.D【解析】因为x是5的算术平方根， 所以x=√5。所以x2-13=5-13=-8。 因为-8的立方根是-2， D B 所以x2-13的立方根是-2。 因为D是BC的中点，所以BD=CD。 17.C【解析】A√9=3，即3的平方根是±√3，故本选项结 在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB。 论错误； ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·61· 日名贸号线未透华花： 9B【解析】如图，AB=EF。 4 13 3 33273 C√-38√g2,故本选项结论正确： B12 D.a2的算术平方根是Ial,故本选项结论错误。 由勾股定理，得AB2=AC2-BC2,EF2=EP2+FP2 18.±√/36=±619.416 所以阴影部分面积=132-122=25。 20.3【解析】因为(a-2)2+1b+v√31+√30-c=0, 10.C【解析】大正方形面积：四个三角形面积+4=36， 所以a-2=0,b+√3=0,30-c=0。 即4×2y+4=36,所以y=16。故选项D正确； 所以a=2,b=-√3，c=30。所以c-b=30-(-√/3)2=27。 因为27的立方根是3，所以c-b的立方根是3。 小正方形边长：由x-y构成，所以x-y=2。 …小斗总结 故选项A正确； 几个非负数的和等于零，则这几个非负数都等于零。 x2+y2的计算：由勾股定理，得x2+y2=36。 故选项B正确； 21解：(1)因为2+(-2)=0,23+(-2)3=8+(-8)=0， x+y的计算：由平方和公式，得(x+y)2=x2+2xy+y2=36 所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互 2×16=68。所以x+y≠8。故选项C错误。 为相反数”是成立的。 11.√2（答案不唯一） (2)由(1)知，1-2x+3x-5=0, 解得x=4。所以1-√=1-2=-1。 【解析】根据题意，得√a+2+lb-√21=0。 22.D23.A24.B 所以a+2=0,b-√2=0。所以a=-2,b=√2。 25.A【解析】第-步：102=100；第二步：1000.01： 所以6=(2)2=1 20 第三步：√0.01=0.1；第四步：0.12=0.01； 13.x2+(x-6.8)2=102 第五步：0.01 =100;第六步：√100=10； 14.-2+√6【解析】S影= 22x2x2+ 2×2x2=6。 … 所以a2=6。 所以显示的结果是六步一个循环。 因为a>0,所以a=√6。 因为2026÷6=337…4，所以显示的数是0.01。 26.C 因为2<√6<3，所以4-a=4-√6=1+3-√6。 2}3 所以x=1,y=3-√6。所以x-y=1-3+√6=-2+√6。 15.3 28.解：(1)√25-1-11+8=5-1+2=6。 16.13【解析】如图，连接PQ,延长PA,CQ交于，点D, C B 北 (2)-1225+2-√/5+lW5-21=-1+2-√5+√5-2=-1。 0 →东 ，9/164 29.解：(1)0√125√255 ②3-0.125 31 =-0.5+0.25=-0.25。 D W64 A 则CD⊥PD。 (2)①原式子整理，得(x+1)2=9。 因为AP=9千米，AB=CD=6千米，BC=AD=3千米 所以x+1=±3。所以x=2或x=-4。 ②原式子整理，得x3=0.027。所以x=0.3。 CQ=1千米，所以DQ=CD-CQ=6-1=5千米，DP=AP 第5章学业水平测试 AD=9+3=12千米。 在△PDQ中，由勾股定理，得 1.B2.B3.A4.A PQ=DQ2+DP2=52+122=169。所以PQ=13千米。 5.A【解析】A.4的平方根是±2，故本选项说法正确； 17.证明：如图，连接BE。 B.8的立方根是2，故本选项说法错误； C.-64的立方根是-4，故本选项说法错误； D.81的平方根是±9，故本选项说法错误。 6.B7.D 8.A【解析】第一次输入的x的值为81， 则√81=9，是有理数； D 第二次输入的x的值为9，则√9=3，是有理数； 由勾股定理，得BC2=CE2=32+12=10, 第三次输入的x的值为3，则√3不是有理数。 BE2=22+42=20。 所以输出的y的值为√3。 ·62· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 所以BC2+CE2=BE。所以∠BCE=90°。 所以BC⊥CE。 18.解：(1)原式子整理，得(x-2)2=9。 所以x-2=±3。所以x=5或x=-1。 (2)原式子整理，得(x-1)3=-8。 所以x-1=-2。所以x=-1。 根据题意，得AC=1,BD=2,CD=4,CP=x,DP=4-x。 19.解：(1)因为2m+1的算术平方根是5，m+2n的立方根 求√x2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值， 是-2， 就是求AP+BP的最小值。 所以2m+1=5,m+2n=-8,解得m=2,n=-5。 当AP与BP共线时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长。 (2)因为m=2,n=-5,所以3m-5n=3×2-5×(-5)=31。 在Rt△ABE中，AE=AC+CE=1+2=3,BE=CD=4。 所以3m-5n的平方根是±√/31。 由勾股定理，得AB=√AE+BE=√32+42=5。 20.解：(1)W4+13-11+-1 所以Wx2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值为5。 =2+√3-1-1=√3。 选做题 27--召a5+图 解：(1)2510 W164 (2)W4×√25=√/100。 11+1=-2 (3)√ab 224 4 (4)①V2×√8=√/2×8=√/16=4； 21.解：(1)0.220【解析】因为0.22=0.04， ②5× -3x4-4-2 4 所以√0.04=0.2。 W27W⊙27-N9-3 因为202=400，所以√/400=20。 阶段性检测（二） (2)0.143514.35【解析】被开方数扩大或缩小102 1.A2.C3.C 倍，算术平方根就相应的扩大或缩小10”倍（或者说被 4.C 【解析】如图，过点C作CM⊥AB于点M。 开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的 D 小数点就相应的向左或向右移动n位)。 因为√2.06≈1.435， 150° Q 所以0.0206≈0.1435，/206≈14.35。 A B (3)12.60【解析】类比算术平方根中被开方数的小数 因为∠ABC=150°，所以∠CBM=180°-∠ABC=30°。 点变化规律可得被开方数扩大或缩小10”倍，立方根就 因为BC=10m,所以h=CW=78C=5m。 相应的扩大或缩小10”倍（或者说被开方数的小数点向 左或向右移动3n位，立方根的小数点就相应的向左或 5.D【解析】如图，连接AC, 向右移动n位)。 则AC与AB,BC构成直角三角形。 因为2≈1.260，所以2000≈12.60。 在Rt△ABC中，由勾股定理， 22.解：(1)△ABC的面积=3×3- 得AC=√WAB2+BC 21x2 21x3 22x =√12+22=√5≈2.236。 3=9-1-1.5-3=3.5。 四个选项中只有D的宽2.2<2.236。 (2)如图所示，△MNP即为所求作。 6.D7.C n 8.A【解析】A.设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x。 N 因为∠A+∠B+∠C=180°，所以3x+4x+5x=180°， 解得x=15°。所以C=5×15°=75°。 所以此三角形不是直角三角形； B.因为52+122=132，所以此三角形是直角三角形； C.因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A-∠B=∠C, 所以∠A=90°。所以此三角形是直角三角形； △MNP的面积=3m×4n- 2x2m×2n- 2×3mx2n- D.因为a2=b2-c2,所以a2+c2=b2。 所以此三角形是直角三角形。 2×mx4n=12mn-2mn-3mn-2mn=5mn。 9.B【解析】因为大正方形的面积为32+32=18， 所以大正方形的边长为√18。 (3)√x2+1可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP 因为√16<√/18<√4.5，所以4<√18<4.5。 的斜边长，√(4-x)2+4可看作两直角边分别为4-x和2 10.D【解析】因为△ABC和△DCE都是等边三角形， 的Rt△BDP的斜边长，构造图形如下： 所以∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC,CE=CD。 所以∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE,