第1章 推理与证明 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（青岛版2024）

第1章考点梳理与复习 考点一 定义与命题 【训练目的】了解命题的意义，会区分命题的条件和结论。了解反例的作用，知道利 用反例可以判断一个命题是错误的。 1.下列语句中，属于定义的是 A.直角都相等 B.作已知角的平分线 C.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线D.两点之间，线段最短 2.下列语言叙述是命题的是 0 A.画两条相等的线段 B.等于同一个角的两个角相等吗？ C.延长线段A0到点C,使OC=OA D.两直线平行，内错角相等 3.下列命题中，是真命题的是 A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B.过一点有无数条直线与已知直线平行 C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D.直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 4.命题“同旁内角互补，两条直线平行”的条件是 5将命题“等角的余角相等”改成“如果…，那么…”的形式，应该是 6.下列4个命题：①如果a2>b2,那么a>b:②内错角相等；③垂直于同一条直线的两直线互相平行；④在 救 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。其中假命题是 。(填序号) 7.对于下列假命题，各举一个反例写在横线上。 (1)“如果ac=bc,那么a=b”是一个假命题。反例： (2)“如果Ial=Ib1,那么a=b”是一个假命题。反例： 考点二推理与证明 【训练目的】知道证明的意义，知道数学思维要合乎逻辑，会用综合法的证明格式。 8.能作为证明依据的是 A.已知条件 B.定义及基本事实 C.定理及推论 D以上三项都对 9.教改题在判断“对于任意自然数n,代数式n2-n+11的值一定是质数”这一命题的真假时，同学们给出 如下的分析，其中正确的是 A.因为n=1时，代数式n2-n+11的值为质数，所以该命题是真命题 B.因为n=0,1,2,…,10时，代数式n2-n+11的值都为质数，所以该命题是真命题 C.如果n取某一自然数时，代数式n2-n+11的值为合数，那么该命题是假命题 D.如果n取某一奇数时，代数式n2-n+11的值为质数，那么该命题是真命题 10.在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不 能证明“三角形的内角和等于180”的是 B A.过点C作EF∥AB B.延长AC到点F,过 C.过AB上一点D作 D.过点C作CD⊥ 点C作CE∥AB DE∥BC,DF∥AC AB于点D 11.教改题小亮由“如果a,b都是偶数，那么a+b也是偶数”，联想“如果a,b都是奇数，那么α+b也是奇 数”，小亮的结论正确吗？为什么？ 12.完成下面的推理填空： 已知：如图，E,F两点分别在AB和CD上，∠1=∠D,∠2与∠C互余，AF⊥CE于点Go 求证：AB∥CD。 A 32 证明：因为AF⊥CE(已知)， 所以∠CGF=90°( )o 因为∠1=∠D(已知)， 所以 所以∠4=∠CGF=90°( 因为∠2+∠3+∠4=180°， 所以∠2+∠3= 因为∠2与∠C互余（已知）， 所以∠2+∠C= 0 所以∠C= 所以AB∥CD( )。 13.已知a与b互为相反数，m,n互为倒数，1cl=2,求3a+36+m"的值。 解：因为a与b互为相反数， 所以a+b=」 因为m,n互为倒数， 所以mn=】 _0 因为|cl=2, 所以c=】 所以3a+3b+mm=3(a+b)+m d (1)数学离不开推理，请把上面推理的空白部分补充完整； (2)请用推理的方式解决下面的问题： 已知x,y,z是三个有理数，若x<y,x+y=0,且yz>0,试判断x+z的符号并加以证明。 ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 。1 14.已知：如图1，在△ABC中，CD是边AB上的高，∠A=∠BCD。 (1)试判断△ABC的形状，并证明； (2)如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE,CD相交于点F。求证：∠CFE=∠CEF。 C E D 图1 图2 15.新素养〔推理能力〕一个三位正整数，它的百位上的数字与个位上的数字相等，我们把这样的三位正 整数叫作“对称数”，如101,232,555等都是“对称数”。 观察：101-(1+0+1)=99=9×11； 232-(2+3+2)=225=9×25; 555-(5+5+5)=540=9×60; 猜想：将“对称数”减去其各数位上的数字之和，所得结果能够被 整除。 验证：(1)若这个“对称数”是979，请通过计算验证猜想； (2)设一个对称数的百位上的数字与个位上的数字均为，十位上的数字为b,请你通过推理证明猜 想是正确的。 16.新考法〔拓展探究〕实验探究。 (1)动手操作：①如图1，将一块含45°角的直角三角板DEF放置在含30°角的直角三角板ABC上，使 三角板DEF的两条直角边DE,DF分别经过点B,C,且BC∥EF,已知∠A=30°，则∠ABD+ ∠ACD= E B 图1 图2 图3 图4 图5 ②如图2，在①的基础上，若直角三角板ABC不动，改变直角三角板DEF的位置，使三角板DEF 的两条直角边DE,DF仍然分别经过点B,C,则∠ABD+∠ACD= ·2· ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 (2)猜想证明：如图3，∠BDC与∠A,∠B,∠C之间存在着什么关系，并证明； (3)灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题： ①如图4，BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,若∠A=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数； ②如图5，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点F1,F2,…,Fg,若∠BDC=110°，∠BF4C=62°， 则∠A的度数为 考点三逆命题与逆定理 【训练目的】了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成 立其逆命题不一定成立。了解逆定理的概念。 17.下列命题的逆命题是真命题的是 A.邻补角互补 B.如果a=b,那么Ial=1b1 C两直线平行，内错角相等 D.如果两个实数的商为1，那么这两个实数互为相反数 18.“若a=b,则a2=b2”为原命题，则下列判定正确的是 A原命题为真命题，逆命题为假命题 B.原命题与逆命题均为真命题 C原命题为假命题，逆命题为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题 19.下列定理中，有逆定理的是 病 A.互为相反数的两个数的绝对值相等 B.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 C.对顶角相等 D.等角的余角相等 考点四反证法 【训练目的】通过实例体会反证法的含义。 20.命题“若a2≠b2,则a≠b”,用反证法证明这个命题时，应先假设 ( ) A.a2=62 B.a=b C.a=-b D.a≠b 21.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾，所以∠A=∠B=90° 不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直 角，不妨设∠A=∠B=90°。正确的顺序应为 () A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①② 22.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。 求证： 证明：参考答案 (部分答案 第1章考点梳理与复习 所以∠DAF+∠AFD=90°，∠CAE+∠AEC=90°。 1.C2.D3.C 所以∠AFD=∠AEC 4.同旁内角互补 因为∠AFD=∠CFE, 5.如果两个角相等，那么它们的余角相等 所以∠CFE=∠AEC,即∠CFE=∠CEF。 6.①②③【解析】①a2>b2,不能判断a与b的大小，故原命 15.解：猜想：9 题是假命题；②两直线平行，内错角相等，故原命题是假命 验证：(1)979-（9+7+9)=954=9×106。 题；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平 (2)(100a+10b+a)-(a+b+a)=99a+96=9(11a+b)。 行，故原命题是假命题；④在同一平面内，过一点有且只有 因为a,b为整数，所以9(11a+b)能被9整除。 一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题。 所以将“对称数”减去其各数位上的数字之和，所得结 7.(答案不唯一)(1)a=1,b=-1,c=0(2)a=1,b=-1 果能够被9整除。 8.D9.C 16.解：(1)①60°【解析】因为BC∥EF,∠DEF=∠DFE=45°， 10.D【解析】A.由EF∥AB,得 所以∠DBC=∠DEF=∠DCB=∠DFE=45°。 ∠ACE=∠A,∠BCF=∠B。 因为∠ABC=90°，∠ACB=60°， 由∠ACE+∠ACB+∠BCF=180°，得 所以∠ABD=45°，∠ACD=15°。所以∠ABD+∠ACD=60°。 ∠A+∠ACB+∠B=180°： ②60°【解析】因为∠BDC=90°， B.由CE∥AB,得∠A=∠ECF,∠B=∠BCE。 所以∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°. 由∠ECF+∠BCE+∠ACB=180°，得 所以∠ABD+∠ACD=180°-∠A-∠DBC-∠DCB=60°。 ∠A+∠B+∠ACB=180°： (2)∠BDC=∠A+∠B+∠C。证明如下： C.由DE∥BC,得∠ADE=∠B,∠C=∠AED。 如图，过点D作射线AF。 由DF∥AC,得∠EDF=∠AED,∠A=∠BDF, 因为LBDF=∠BAD+∠B 所以∠C=EDF。 ∠CDF=∠C+∠CAD, 由∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°，得∠B+∠C+∠A=180°； 又因为∠BDC=∠BDF+∠CDF, D.由CD⊥AB,得∠ADC=∠BDC=90°， ∠BAC=∠BAD+∠CAD, 无法证明三角形的内角和等于180°。 所以∠BDC=∠A+∠B+∠C。 11解：小亮的结论不正确。理由如下： (3)①由(2)，得∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A。 因为a,b都是奇数（已知）， 因为∠A=40°，∠BDC=120°，所以∠ABD+∠ACD=80°。 设a=2m+1,b=2n+1, 因为BE平分∠ABD,CE平分∠ACD, 其中m,n是整数（奇数的定义）。 所以a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1)(乘法分配律)。 所以LEBD+LECD= 2ABD+ +2∠ACD=40。 因为m,n是整数（已知）， 因为∠BDC=∠BEC+∠EBD+∠ECD, 所以m+n+1是整数（整数的定义）。 所以LBEC=∠BDC-∠EBD-∠ECD=8O°。 所以2(m+n+1)是偶数（偶数的定义）。 ②30°【解析】设∠ABF,=x°，∠ACF1=y°， 所以a+b是偶数（等量代换）： 则∠ABD=10x°，∠ACD=10y。 所以小亮的结论不正确。 因为∠BDC=110°，∠BF,C=62° 12.解：垂直的定义AFDE同位角相等，两直线平行 所以∠A+10x°+10y°=110°，∠A+4x°+4y°=62°， 两直线平行，同位角相等90°90°∠3 解得x+y=8°。所以∠A=62°-32°=30°。 同角的余角相等内错角相等，两直线平行 17.C 13.解：(1)012±2 18.A小斗提示：由原命题的真假，不能确定其逆命题的真假，必 须要分别判定。 (2)x+z的符号为负。证明如下： 19.D20.B21.D 因为x+y=0,所以x与y互为相反数。 22.解：∠ACD=∠A+∠B。 因为x<y,所以x<0,y>0。所以xy<0。 证明：假设∠ACD≠∠A+∠B。 因为yz>0,所以z<0。所以x+z的符号为负。 因为∠ACB+∠A+∠B=180°， 14.解：(1)△ABC是直角三角形。证明如下： 所以∠ACB=180°-（∠A+∠B)。 因为在△ABC中，CD是高， 所以∠ACB≠180°-∠ACD,即∠ACD+∠ACB≠180°。 所以∠ADC=90°。所以∠A+∠ACD=90°。 根据平角定义，得∠ACD+∠ACB=180°， 因为∠A=∠BCD,所以∠BCD+∠ACD=90° 所以假设不成立。 所以∠ACB=90°。所以△ABC是直角三角形。 所以原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B。 (2)证明：因为AE是△ABC的角平分线， 第1章学业水平测试 所以∠DAF=∠CAE。 1.B2.B3.A4.B5.A6.A7.D 因为∠ADF=90°，∠ACE=90°， 8.C【解析】由题意，得∠E=∠B=90°， 及解析 不唯一) ∠DFE=45°，∠BAC=60°。 故假设不成立，原命题正确， 因为AD⊥AC,所以∠CAE=∠EAG+∠BAC=90°。 即△ABC中至少有两个角是锐角。 所以∠EAG=30°。 19.证明：在△BCE中，∠1=∠B+∠E。 因为∠E+∠EAG+∠AGE=180°， 因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， ∠B+∠BFG+∠BGF=180°，∠AGE=∠BGF, 所以∠1=∠2。所以∠2=∠B+∠E。 所以LBFG=∠EAG=30°。 在△ACE中，∠BAC=∠E+∠2。 所以∠BFD=∠BFG+∠DFE=75°。 所以∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E(等量代换)。 9.B【解析】因为BO平分∠ABC,CE平分∠ACD, 20.解：(1)因为8-6=2,3-1=2，且8≠3， 所以∠DCE=宁∠ACD,∠DBE=LABC。 所以8631是双减数。 因此V(8631)=86-31=55。 所以L2=∠DC-LDBE=之（∠ACD-LABC)=7∠1. 1 (2)该命题是真命题。理由如下： 设双减数A的千位上的数字为a,十位上的数字为b,且 所以∠1=2∠2。故选项A不符合题意： a≠b, 因为BO,C0分别平分∠ABC,∠ACB, 则该数的百位上的数字为a-2,个位上的数字为b-2。 所以∠0BC=LABC,∠0CB=分LACB。 所以N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)] =11(a-b),即N(A)能被11整除。 所以∠B0C=180°-（∠OBC+∠OCB) 21.(1)6565【解析】因为∠ACB=90°，CD是高， ∠B=40°， =1800-1 (∠ABC+∠ACB)=180°-2(180°-∠1) 所以∠BAC=90°-∠B=50°，∠ACD=90°-∠BAC=40°。 因为AE是△ABC的角平分线， =90°+211=90+L2。 所以LCAF=LDAF= F2∠BAC=25°。 故选项C,D不符合题意，选项B符合题意。 所以∠CFE=∠CAF+∠ACD=65°，∠CEF=∠DAF+∠B=65°。 10.D【解析】如图，过点E作EG∥AB, 过，点F作FH∥CD。 (2)证明：因为∠ACB=90°，CD是高， A、 的 所以∠B+∠BAC=90°=∠ACD+∠BAC。 11 、E 所以∠B=∠ACD。 2 因为AE是△ABC的角平分线，所以∠CAF=∠DAF。 H3公F 因为∠CFE=∠CAF+∠ACD,∠CEF=∠DAF+∠B, C14 所以LCFE=∠CEF。 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EG∥FH。 所以∠1=∠AEG。所以∠GEF=∠2-∠1 (3)45. 2a【解析】因为LACB=90°， 因为EG∥FH,所以∠EFH=180°-∠GEF 所以∠BAG=∠ACB+∠B=90°+a。 =180°-（∠2-∠1）=180°-∠2+∠1。 因为AF是∠BAG的平分线， 所以∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-(180°-∠2+∠1) =∠3+∠2-∠1-180°。 所以∠6MF=∠BMF=(90°a)=45 2a。 因为FH∥CD,所以∠4=∠3+∠2-∠1-180°。 11.错误不能12.同位角相等，两直线平行 所以LCEF=LBAF-∠B=45- 24。 13.如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 22.(1)证明：因为0M⊥0W, 14.如果1al=1,那么a=115.①②④ 所以∠0=90°。所以∠2+∠3=90°。 16.④【解析】①依据为等式的基本性质2； 又因为∠1=∠2，∠3=∠4， ②依据为等式的基本性质1； 所以∠ABC+∠BCD=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4= ③依据为因式分解； 360°-2（∠2+∠3）=180°。所以AB∥CD。 ④依据为等式的基本性质2，但是用法出错。 (2)解：因为∠0=48°，所以∠2+∠3=132°。 17.解：90°垂直的定义EF 由(1)可知，∠ABC+∠BCD=360°-2×132°=96°。 同位角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补 所以∠BPC=180°-（∠ABC+∠BCD)=84°。 ∠2同角的补角相等CD内错角相等，两直线平行 （3)解：B=2αx。证明如下： 两直线平行，同位角相等 因为∠PBD+∠P=∠0+∠4，∠3=∠4=∠0+∠2， 18.证明：假设△ABC中至多有一个角是锐角， ∠1=∠2=∠PBD 则另两个角为直角或钝角。 所以∠1+B=a+x+∠1。所以B=2a。 故此时三角形内角和超过180°， 选做题 与三角形内角和定理相矛盾， 660【解析】乘坐两人车人均费用为100÷2=50（元）， ○全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·53·