专项突破七 平行线中的综合问题-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

专项突破六一次函数与几何图形问题 (2)设P(t,-2t+4)。 1.解：因为直线y=kx-3经过点M(-2,1), 因为△A0P的面积为6， 所以-2k-3=1,解得k=-2。所以直线y=-2x-3。 所以2×2×1-2+41=6，解得=-1或=5。 当x=0时，y=-3;当y=0时，x=-2, 3 所以点P的坐标为(-1,6)或(5，-6)。 所以此直线与坐标轴围成的三角形的面积为 7.解：(1)y=3x-3 -引x1-31 (2)设直线AC的表达式为y=x+1, 则-2k+1=-3,解得k=2, 2 =4° 所以直线AC的表达式为y=2x+1。所以M(2,1)。 3 2.解：(1)在直线y=-4x+3中， 因为A(-2,-3),B(3,-3), 当x=0时，y=3;当y=0时，x=4, 所以直线AB的表达式为y=-3。所以N(0,-3)。 所以A(0,3),B(4,0)。 设点P(0,y), 当=1时，y=-+3-所以c1,)。 则5=7×y+31x2=7,解得y=-10或y=4。 19 9 所以点P的坐标为(0，-10)或(0,4)。 (2)S△0c=2×4×4= 20 8.解：(1)当x=0时，y=-2x+4=4,所以B(0,4)。 3.解：(1)根据题意，得-m+3=-1,解得m=4。 设直线BC的函数表达式为y=x+b。 所以E(4,-1)。 因为B(0,4),C(1,0), 将点E的坐标代入12：y=-2x+b,得-2×4+b=-1, 所以k=-4,b=4。 解得b=7。 所以直线BC的函数表达式为y=-4x+4。 (2)由(1)可知，l2:y=-2x+7, (2)当y=-2x+4=0时，x=2, 所以当x=0时，1：y=3,l2:y=7。 所以A(2,0)。所以OA=2。 所以B(0,3),C(0,7)。所以BC=4。 设D(m,0),则CD=|m-11。 因为E(4,-1),所以S6m=28C=7×4x4=8。 因为Sam=5,所以cD.0B=号×0A,0B: 4y=号+4或y-号+4 所以1m-11=多×2，解得m=-2或m=4。 5.解：(1)设一次函数表达式为y=kx+b。 所以点D的坐标为(-2,0)或(4,0)。 因为正比例函数)=了x的图象过点(3，a),所以a=1。 9解：因为直线y=- 4x+6交x轴于点A,交y轴于 因为一次函数y=hx+b的图象经过点A(0,-2),(3,1), 点B, 所以k=1,b=-2。所以一次函数表达式为y=x-2。 所以A(8,0),B(0,6)。所以AB=62+82=10。 (2)设把直线y=x-2向上平移m个单位长度，所得到 的直线为y=x+m-2,该直线与x轴的交点坐标为 因为2AB·0C=20A·0B, (2-m,0),与y轴的交点坐标为(0，m-2)。 所以0C=0A·0B_8×6_24 AB-10 5 所以直线平移后与坐标轴围成的三角形面积 10.解：(1)将E(2,m)代入y=-x+4,得m=-2+4=2, =7(m-2)2=15, 所以E(2,2)。 解得m1=2+√30，m2=2-√30。 设直线l1的表达式为y=x+b。 所以平移后的直线表达式为y=x+√30或y=x-√30。 将B0,1),E(2,2)代入，得k=2,6=1。 6.解：(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b。 将A(2,0),B(0,4)分别代入，得k=-2,b=4。 所以直线马的表达式为y=之+1。 所以直线AB的函数表达式为y=-2x+4。 (2)如图，作点B关于x轴的对称点F,连接EF交x轴 78· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 于点G,连接BG, 解得c名。所以点P的坐标是（得，0： 当OA是腰，0是顶角的顶点时，OP=0A=5, 所以点P的坐标是(5,0)或(-5,0)； 当OA是腰，A是顶角的顶点时，PA=OA, 所以点P与点O关于直线x=3对称。 所以点P的坐标是(6,0)。 则此时BG+EG的值最小。 因为EF=√22+(2+1)产=√13， 综上，符合要求的点P的坐标有(？，0，(5,0)，(-5,0)， 所以BG+EG的最小值为√I3。 (6,0)。 因为B(0,1),所以F(0,-1)。 13.解：(1)将点C(0,1)代入y=2x+m,得m=1。 设直线EF的表达式为y=ax+c。 1 3 将E(2,2),F(0,-1)代入，得a=2,c=-1。 所以直线AC的表达式为y=2+1。 将点B(4,0)代入y=-x+n,得n=4。 所以直线EF的表达式为y=号-1。 所以直线BD的表达式为y=-x+4。 当y=0时x=号，所以c(子0) 联立 =2+1解得=2， y=2。 y=-x+4, 11.解：(1)(0,3) 所以点P的坐标为(2,2)。 (2)因为点C(-2,1), (2)设点E的坐标为(t,0)。 所以△0BC的面积=20B.=7×3×2=3。 在直线y=7+1中，当y=0时x=-2, 因为点M在直线BC上，所以设M(m,m+3)。 所以点A的坐标为(-2,0)。 因为Soaw=-2 2Sowc,所以20B·lx=2×3。 当AP为斜边时，点E的横坐标与点P相同， 所以点E的坐标为(2,0)； 所以|ml=2×2。所以m=±4。 当AE为斜边时，AE2=AP2+PE2, 所以M(4,7)或(-4，-1)。 即(t+2)2=20+(t-2)2+4,解得t=3。 12.解：(1)设直线0A的表达式为y=x。 所以点E的坐标为(3,0)； 因为y=kx经过点A(3,4), 当EP为斜边时，点E不在x轴上，故舍去。 所以3k=4,解得k=3。 4 (3)设点F的坐标为(0，y)。 当AP=AF时，20=4+y2,解得y=-4或y=4。 所以y=手 所以点F的坐标为(0，-4)或(0,4)； 因为A(3,4),所以0A=√32+42=5。 当AP=FP时，20=(y-2)2+4,解得y=6或y=-2。 因为OA=OB,所以B(0,-5)。 所以点F的坐标为(0,6)或(0，-2)。 综上所述，点F的坐标为(0，-4)或(0,4)或(0,6)或 设直线AB的表达式为y=ax+b。 (0,-2)。 将A(3,4),B(0,-5)代入， 专项突破七平行线中的综合问题 得a=3,b=-5。所以y=3x-5。 1.证明：如图，延长EF交CD于点M。 (2)当01是底边时，01的中点是Q(3,2。 设点P的坐标为(c,0)。 1入F 在Rt△0PQ中，0Q+PQ2=0P2, 、M 即2+2+e+2 H 因为AB∥CD,所以∠1=∠FMC。 因为∠1=∠2，所以∠FMC=∠2。 所以GH∥EF。 2.解：两直线平行，内错角相等EPD GHD 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 FNGG两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 3.(1)证明：如图1，过点M作MW∥AB。 A M< N 图1 因为AB∥CD,所以AB∥MN∥CD。 所以∠B=∠BMN,∠D=∠DMN。 所以∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD。 (2)解：如图2，过点N作EN∥CD,标注∠1。 A M E. -D 图2 因为AB∥CD,所以AB∥EN。 所以由“猪蹄模型”知，∠B+∠MNE=∠BMN。 设LBMN=x,则∠MC=子。所以∠MNE=x-∠B, LI=∠NG-LMNE=子x-(x-∠B)=LB-}, 2 因为EN∥CD,所以L1=∠C,即∠B-了=∠C。 所以子=LB-∠C。 所以∠B,∠C,∠BMN三者之间的数量关系是 号∠BMN=∠B-∠C。 4.解：(1)60°【解析】如图1，过点P作EF∥AB。 B E-- C D 图1 因为∠A=40°，所以∠APE=∠A=40°。 因为AB∥CD,所以EF∥CD。 所以∠D+∠EPD=180°。 因为∠D=160°，所以∠EPD=180°-160°=20°。 所以∠APD=∠APE+∠EPD=40°+20°=60°。 (2)∠CDP+∠PAB-∠APD=180°。 证明：如图2，过点P作MN∥AB,则AB∥MN∥CD。 M CD 图2 所以∠CDP=∠DPN,∠NPA+∠PAB=180°。 因为∠NPA=∠DPN-∠APD, 所以∠DPN-∠APD+∠PAB=180°。 所以∠CDP+∠PAB-∠APD=180°。 解：DE∥BC。理由如下： 因为DF⊥AC,所以∠COF=90°。 因为∠A=90°，所以∠C0F=∠A。 所以DF∥AB。所以∠DFC=∠B。 由折叠，得∠D=∠B,所以∠DFC=∠D。 所以DE∥BC。 解：(1)25【解析】由题意可得∠AED'=130°， 所以∠DED'=180°-∠AED'=50°。 由折圣，得LDEP=7∠DBD=25。 因为AD∥BC,所以∠DEF=∠EFB=25°。 (2)(3-90j 【解析】如图，设D'E与BC相交 点G。 A 因为∠AED'=x°， 所以∠DED'=180°-∠AED'=(180-x)°。 由折叠，得ZDEF=7LDED=(0-之小。 因为AB,∥CD,所以LDBF=LEFB=(90-, ∠AED'=∠EGF=x°。 因为D'E∥C'F,所以∠EGF=∠GFC'=x°。 由折叠，得∠GFC=∠GFC'=x°。 所以∠EFC"=LGFC"-ㄥEFG ②242+72=x2,解得x=25。 =x°-(90-7°=(3x-90小。 易错典例二10或2√7【解析】设第三边为x。 7.解：(1)不会。理由如下： 当x为斜边时，由勾股定理，得x=√62+82=10； 因为∠MAC=120°，所以∠CAN=60°。 当x为直角边时，由勾股定理，得x=√82-62=2√万。 因为∠NBE=60°，所以∠CAN=∠NBE。所以AC∥BE。 综上，第三边的长为10或2√7。 所以这两艘舰艇不会相撞。 变式练习14或4【解析】如图所示，BC共有两种情况。 (2)如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，则EF∥GH, 标注La。 驱逐舰巡洋舰 B' D R 当点B'在，点D左侧时，在Rt△AB'D中，由勾股定理， -------H 得B'D=√AB2-AD=√132-122=5， ·D 在Rt△ACD中，由勾股定理， 因为MN∥EF,所以GH∥MN。 得CD=√AC2-AD2=√152-122=9， 所以∠CGH+∠CAN+∠ACD=360°。 所以B'C=B'D+CD=5+9=14; 所以∠CGH=160°。所以a=180°-∠CGH=20°。 当点B在，点D右侧时，在Rt△ABD中，由勾股定理， 8.解：因为AB,CD都与地面1平行，所以AB∥CD。 所以∠BAC+∠ACD=180°。 得BD=√AB2-AD=√132-122=5， 所以∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°。 所以BC=CD-BD=9-5=4。 因为∠BCD=55°，∠BAC=52°，所以∠ACB=73°。 易错典例三B【解析】在2,1.414号，-，3.25中， 因为AM∥BC,所以∠MAC=∠ACB=73°。 9.(1)证明：因为∠AOE=∠BWM,∠BNM=∠AND, 因为√2是开方开不尽的数，所以√2是无理数。 所以∠AOE=∠AND。所以OE∥DM。 因为-写是无限不循环小数，所以-写是无理数。 (2)解：因为AB∥CD,∠ODC=32°， 其它的数是有理数。 所以∠D0N=∠ODC=32°。 变式练习D 因为OE⊥0F,所以∠E0F=90°。 易错典例四A 所以∠EON=∠E0F+∠D0N=122°。 变式练习D 因为OE∥DM,所以∠ANM=∠EON=122°。 专项突破八易错题专练 易错典例五±2【解析】因为√a-3+(b-1)2=0, 易错典例一①⑤【解析】①因为82+152=17， 所以a-3=0,b-1=0,解得a=3,b=1。 所以8,15,17是勾股数； 所以a+b=3+1=4。所以a+b的平方根为±2。 变式练习125或-125【解析】因为x是25的平方根， ②3不是整数，故1,2，√3不是勾股数； 所以x的值为5或-5。 ③0.3,0.4,0.5不是整数，故0.3,0.4,0.5不是勾股数； 因为y是(-3)2的算术平方根，(-3)2=9， ④哈日0不是荟数，微行日不是勾殿数： 所以y的值为3。 ⑤因为122+162=202，所以12,16,20是勾股数。 当x=5,y=3时，x=53=125; 变式练习25【解析】设第三个数为x。 当x=-5,y=3时，x=(-5)3=-125。 因为是一组勾股数， 综上所述，x'的值为125或-125。 所以①x2+72=242,解得x=√527（不合题意，舍去）； 易错典例六2√2【解析】因为√4=8， 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·79·专项突破七 平行线中的综合问题 类型一跨学科问题 1.根据物理学知识我们知道，光线从空气中射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中同样也 会发生折射现象。如图是光线从空气中射入水中，又从水中射入空气中的示意图。 已知：AB∥CD,∠1=∠2。求证：EF∥GH。 1入 拟 2.读懂下面的推理过程，并填空。 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷。如图1是一个“互“字，如图2是由图1抽象出的 几何图形，其中AB∥CD,点E,M,F在同一条直线上，点G,H,N在同一条直线上，且∠AEF=∠GHD, MG∥FN。求证：∠EFN=∠G。 互 量 图1 图2 证明：如图2，延长EF交CD于点P。 .AB∥CD(已知)， .∠AEF=∠EPD( 又.∠AEF=∠GHD(已知)， .∠ = (等量代换)。 .EP∥GH( )。 ∴.∠EFN+∠FNG=180°( 荞 又.MG∥FN(已知)， .∠ + =180°( ∴.∠EFN=∠G( )o 类型二“拐点”问题 3.某学校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就 把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系。 (1)如图1，AB∥CD,M是AB,CD之间的一点，连接BM,DM,则有∠B+∠D=∠BMD。请你证明这 个结论； (2)如图2，AB∥CD,M,N是AB,CD之间的两点，且2∠BMN=3∠N,请你利用(1)中“猪蹄模型”的 结论，直接写出∠B,∠C,∠M三者之间的数量关系。 图1 图2 4.已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA,PD。 (1)如图1，已知∠A=40°，∠D=160°，则∠APD的度数是 (2)如图2，判断∠PAB,∠CDP,∠APD之间的数量关系，并证明。 C D 图1 图2 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·49. 类型三折叠问题 5.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，E,F分别是AB,BC上的点，将△BEF沿EF折叠得到 △DEF。若DF⊥AC于点O,猜想DE与BC的位置关系，并说明理由。 E D B 6.如图1，将一条长方形纸带沿EF折叠，设∠AED'=x°。 图1 图2 (1)若x=130,则∠EFB= (2)将图1纸带继续沿BF折叠成图2，则∠EFC”= °。（用含x的代数式表示) 类型四实际问题 7.如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC=120°，∠NBE=60°。 (1)已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持 不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿C→D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E→F继续航行，且MW∥EF, ∠ACD=140°。若驱逐舰在原航向上向左转动α(0°<<180°)后，才能与巡洋舰航向相同，求a 的值。 驱逐舰巡洋舰 …D ·50· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 8.为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车。图1是一辆共享单车放在水平地 面上的实物图，图2是其示意图，其中AB,CD都与地面l平行，∠BCD=55°，∠BAC=52°，当AM与 BC平行时，∠MAC等于多少度？ ·D 图1 图2 郑 9.如图为一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，前支架OE与后支架OF分别 与CD交于点G和点D,靠背DM与AB交于点N,∠AOE=∠BNM。 (1)求证：OE∥DM; (2)当OE与OF正好垂直，∠ODC=32时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数。 M 0 B D E