第二章 实数 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第二章考点梳理与复习 考点一实数 【训练目的】理解无理数、实数的有关概念，能用数轴上的，点表示无理数，能对实数进 行分类。 1.下列关于无理数的说法正确的有 ①无理数都是无限小数； ②无限小数都是无理数； ③无理数也能用数轴上的点表示； ④无理数与有理数的和是无理数； 训 ⑤无理数与无理数的和是无理数。 A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②⑤ 2.如图，圆的直径为1，该圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将该圆沿数轴负方向滚动1周，点A 到达点B的位置，点B表示的数为x,则x的值为 3.把下列各数的序号填在相应的横线上： g ①-320：③5，④-1-21；⑤罗；⑥7；⑦0.32；⑧0.101001000…（相邻两个1之间0的个数逐 次加1)。 整数： ;分数： ;无理数： 4.求下列各数的相反数、绝对值和倒数。 (1)4.5; (2)-3 (3)-23 量 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1,b=3,用数轴上的点表示斜边的边长co 考点二平方根与立方根 【训练目的】理解平方根、算术平方根和立方根，掌握平方根、立方根的性质。 6.9的平方根是±3，下列用数学符号表示正确的是 A.√5=3 B.±√9=3 C.9=±3 D.±√9=±3 料 7.下列说法错误的是 ( A.2的平方根是2 B.-1的立方根是-1 C.10是100的一个平方根 D.0的算术平方根是0 8.若a的平方根是±√3，√25的算术平方根是b,则a+b= 主题情境动手做请完成第9~10题 手工课上，老师给每人提供了若干张长方形的纸，让大家动手做自己喜欢的东西，若纸的长、宽之 比为3：2，面积为180cm2,试完成下列问题。 9.原创题小斗想要给朋友做一个生日帽，需要一张长55cm,宽5cm的长条（粘贴处忽略不计），一张长 方形的纸够用吗？ 。(填“够”或“不够”)（√30≈5.5） 10.小泰在纸上画了一个长方体的展开图，准备做一个长方体纸盒（粘贴处忽略不计），已知该长方体 长、宽、高的比为5：3：2，体积为120cm3,那么它的高是 11.经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h(单位：米)和下落时间t(单位：秒)可以用公式t= √原来估计。 (1)一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，则物体下落前离地面多少米？ 12.新素养〔几何直观〕如图，数轴的正半轴上有A,B,C三点，表示1和W2的对应点分别为A,B,点B到 点A的距离与点C到原点的距离相等。 (1)求点C表示的数； (2)若点C表示的数为m,求(m-√2)2的平方根。 考点三估算 【训练目的】了解估算的意义，能估算无理数的近似值，并能比较实数的大小。 13.新考法〔过程性学习〕因为2<5<32，可以肯定2<√5<3，也就是5在2与3之间。依据这一方法， 对5的近似值的估算可以再精确一点。因为2.2<5<2.32，可以肯定2.2<5<2.3，也就是5在 2.2与2.3之间，按照这个方法持续下去，可以得到5的近似值。下面对√10的估算，正确的是 () A.3.15<√10<3.16 B.3.16<10<3.17 C.3.17</10<3.18 D.3.18<√/10<3.19 14.比较下列各组数的大小： (1)√35与6； (2)-25与-3。 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·5. 15.估算下列各数的大小： (1)√20（结果精确到0.1）； (2)900(结果精确到1)； (3)√32.5（结果精确到0.1）； (4)155.2(结果精确到1)。 16. 项目主题 消防队在火情应急演练中的数学问题。 如图，一架长为26m的云梯AB斜靠在一面墙CD上，水平地面CE⊥CD。 背景材料 B 问题初探 当云梯放置在底端距墙脚的距离BC=10m时，求消防员达到救火的高度AC的长。 在演练中，高25m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员。经验表明，云梯靠墙摆放 实践探究 时，若云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的4，则云梯和消防员相对安全。在相对安全的前提 下，云梯的顶端能否到达25m高的墙头去救援被困人员？ 请完成问题初探和实践探究的问题。 考点四二次根式 【训练目的】理解二次根式、最简二次根式的概念，掌握二次根式的加减乘除运算。 17.若√a是最简二次根式，则a的值可能是 A.-2 R房 C.2 D.0.1 18.下列计算正确的是 A.2+√2=2 B.√2+5=5 C.4-2√3=2√3 D.18-√2=22 。6· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 19.若a=√3，b=√11，则 62的值为 22a2 A.3 B.√3 C.6 D.6 20.判断下列各式是否是二次根式并说明理由。 (1)√0.09； (2)√-33； (3)x-2; (4) (a<0)。 郑 主题情境小斗的作业本请完成第21~22题 21.原创题学习了二次根式的化简，小斗化简了下面两题： (1)√(-25)×(-36)=√-25×√-36=-5×(-6)=30；(2)√4×5=4√5。 他的化简正确吗？请写出正确的化解过程和结果。 2小斗在微作业时发现一道题目“计算：■√否-2y4的÷(-5)的■处印剧不清楚。 拓 (1)他把“■”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果； (2)他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5。”请通过计算说明■处的数字到底是 多少？ 23.计算： (1)2√12+ (2)(2-1)2+2√⑧-(5-2)(5+2)。 24.先化简，再求值：(a+V5)(a-√5)-(3-a)2,其中a=2√3-1。(2)由(1)可知，4AB=AC-名+3-2爱(cm)。 得∠AED=90°，根据点到直线的距离解答即可。 解：(1)根据题意可知，∠ABE=∠DBE=90°。 因为CD⊥AB, 在Rt△DBE中，DE=150米，BE=120米， 所以S AABC= 2 6 由勾股定理，得BD2=DE2-BE2=1502-1202=902, 所以△4BC的面积为苧cm。 所以BD=90米。 所以AB=AD-BD=250-90=160(米)。 18.小斗提示：建立直角三角形模型，借助勾股定理求解。 所以AE2=AB2+BE2=1602+1202=2002。 解：如图，设BB'与长方形的宽的交点为C。 所以AE=200米。 因为AB=1米，AC=0.8米， R 所以两人的总路程为200+150=350（米）。 米 ∠ACB=90° (2)因为DE2+AE2=1502+2002=62500, 所以BC2=AB2-AC2=12-0.82 AD2=2502=62500, 2.3米 =0.36。 所以DE2+AE=AD2。所以∠AED=90°。 A B 所以BC=0.6米。 一2米 因为DE=150米， 所以BB'=BC+B'C=0.6+2.3=2.9(米)。 所以面馆D到公路AC的距离为150米。 因为2.9米<3米， 22.解：(1)因为AC⊥BD,所以△AB0是直角三角形。 所以不能通过。 所以AB2=A02+B02。 19.解：(1)(a+b)24×2ab+2.2+8=d 同理可得BC2=B02+C02,CD2=C02+D02,AD2= A02+D02。因为A0=2,B0=3,C0=4,D0=5, (2)能。理由如下： 所以AB2=13,BC2=25,CD2=41,AD2=29。 题图2中大正方形的面积为(a+b)2,两个小正方形的 (2)由(1)，得BC2+AD2=(B02+C02)+(A02+D02) 面积之和为(a+b)2-2ab=a2+b2;题图1中小正方形 =(B02+A02)+(C02+D02)=AB2+CD2。 的面积为(a+b)2-4×2ab=d2+82=2, 因为AB=6,CD=10,所以BC2+AD2=62+102=136。 (3)“垂美”四边形的两组对边的平方和相等。 所以题图2中两个小正方形的面积之和等于题图1中 选做题 小正方形的面积，用关系式可表示为a2+b2=c2。 2026【解析】由勾股定理知，“生长”1次，“生长”出的两 20.解：(1)分别测量AB,BC和AC的长度， 个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形的面 若AB2+BC2=AC2,则△ABC是直角三角形，∠ABC= 积和为2；“生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和等 90°，即AB⊥BC。 于第1次“生长”出的两个正方形的面积和，所有正方形的 (2)如图，将长方体的表面沿前面和右面剪开，得平面 面积和为3：…经过次“生长”后形成的图形中所有正 图形，则AE为蚂蚁爬行的最短路径。 方形的面积和是n+1。所以经过2025次“生长”后形成的 图形中所有正方形的面积和是2026。 80 cm 第二章考点梳理与复习 1.B B 80 cm C 70cm 2.-π-1【解析】因为圆的直径为1， 在Rt△ABE中，AB=80cm,BE=80+70=150(cm)。 所以圆的周长为T×1=T。所以AB=T。 由勾股定理，得AE2=AB2+BE2=802+1502=28900, 所以x的值为-T-1。 所以AE=170cm。 3.①②④⑥⑦③⑤⑧ 所以蚂蚁爬行的最短路程是170cm。 4解：(1)4.5的相反数是-45，绝对值是45，倒数是号。 21.小斗分析：(1)根据勾股定理求出BD的长，进而求出AB的长， 利用勾股定理求出AE的长。(2)根据直角三角形的判定方法 (2)一寻的相反数是，绝对值是子倒数是一骨。 (3)-2号的相反数是2号，绝对值是23，倒数是 (2)由(1)，得m=√2-1， 3 所以(m-√2)2=(2-1-√2)2=1。 0 所以(m-√2)2的平方根为±1。 5.解：如图，作Rt△ABC,使AC=3,BC=1,∠ACB=90°，以13.B 点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D, 14.解：(1)因为√35<√36，所以√35<6。 则点D表示的数为c。 (2)因为-25>-27，所以/-25>-3。 15.解：(1)因为4.452<20<4.502， A D -10 所以√20结果精确到0.1为4.5。 (2)因为9.53<900<10.03， 一小斗总结 用数轴上的点表示无理数的一般步骤：在数轴上表示无理数α 所以900结果精确到1为10。 (a>0)或-a,一般以原点作为锐角顶点，以单位长度作为一 (3)因为5.702<32.5<5.752， 条直角边长，另一直角边在数轴上，作斜边为α的直角三角 所以√32.5结果精确到0.1为5.7。 形，再以原点为圆心，α为半径画弧，得到与数轴的正半轴或负 (4)因为5.03<155.2<5.53， :半轴的交点即可。 所以155.2结果精确到1为5。 6.D7.A 16.解：问题初探：在Rt△ACB中，AB=26m,BC=10m, 8.3+√5 所以AC=√AB2-BC=√262-102=24(m)。 9.不够【解析】设长方形的纸的长和宽分别为3xcm和 答：消防员达到救火的高度AC的长为24m。 2x cmo 实践探究：云梯到达高25m的墙头，即A'C=25m,移 根据题意，得3x·2x=180, 动后云梯记为A'B′=AB=26m。 解得x=√30或x=-√30（舍去）。 在Rt△A'CB'中， 所以纸的长约为3√30≈16.5(cm),宽约为2√30≈ B'C=√A'B2-A'C2=√/262-252=√51(m)。 11(cm)。 55÷16.5≈3.3,11÷5=2.2。 因为云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的子， 所以一张长方形的纸不够用。 所以云梯底端离墙的最小距离为片。 10.24【解析】设这个长方体的长、宽、高分别为5xcm, 204、/169_13 3x cm,2x cm 因为5所=√4>/4=2， 根据题意，得5x·3x·2x=120,解得x=4。 所以云梯的顶端能到达25m高的墙头去救援被困 所以这个长方体的高为24cm。 人员。 11.解：(1)当h=125米时， 17.C18.D 19.D【解析】因为a=√5，b=√1， 答：落到地面需要5秒。 22a2 22×(32 所以 b2 V（√1)2 22x3=6。 =N11 (2)当4=2秒时√-2解得A=20。 20.解：(1)因为√0.09的被开方数0.09>0， 答：物体下落前离地面20米。 所以√0.09是二次根式。 12.解：(1)因为表示1和√2的对应点分别为A,B, (2)因为√-33的被开方数-33<0， 所以AB=√2-1。 所以√-33不是二次根式。 因为点B到点A的距离与点C到原点的距离相等， (3)分情况讨论： 所以OC=AB=√2-1。所以点C所表示的数为√2-1。 当√x-2的被开方数x-2≥0，即x≥2时， 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 ·61· √x-2是二次根式； 9.B 【解折因为(v厄+同÷5=v1卫e3+√很3 当√x-2的被开方数x-2<0,即x<2时， 所以小明没有出现错误； √x-2不是二次根式。 1 (4)因为 -上(a<0)的被开方数是正数， 为+3=4+写4+√ a 所以小丽出现错误； 所以，√一。是二次根式。 a 国洛4+g-2+后g2+ 6 21.解：(1)不正确。 所以小红出现错误； √(-25)×(-36)=√25×√36=5×6=30。 (2)不正确。√4×5=√4×√5=25。 固为2+√=2+石26 1 6, 2.解：(1)根搭题意，得(10√-2v45)÷(-5 所以小亮没有出现错误。 10.D小斗提示：立方根等于本身的数有1,0，-1。 =(25-6√5)÷(-√5)=-4W5÷(-√5)=4。 【解析】因为x-1=x-1, (2)设■处的数字是a,则（■V5-24丙÷(-5） 所以x-1=0或1或-1，解得x=1或2或0。 所以x2+x的值为2或6或0。 =ax5-65)÷(-5)=6-g。 11.±1512.4 13.2√2【解析】因为魔方的棱长为4， 所以6-号=5，解得a=5。 所以小立方体的棱长为2。 所以■处的数字是5。 所以正方形ABCD的面积为宁×2×2×4=8。 2从.解：(1)原式=45+9-3-4g5。 3 所以正方形ABCD的边长为√8=2√2。 (2)原式=2-22+1+4√2-(5-4) 14.-1-2√2【解析】因为正方形ABCD的边长为2√2， =2-2√2+1+42-1 即AD=22, =2+22。 所以，点D到原，点的距离为1+22。 24.解：原式=a2-5-3-a2+2√3a=2√5a-8。 所以，点D在数轴上表示的数为-1-2√2。 当a=2√3-1时， 15.2√5+2【解析】根据题意，得矩形ABCD的宽为 原式=23×(23-1)-8=4-25。 5-1x(5+1)=2, 第二章学业水平测试 2 1.D2.D3.B4.B5.B6.D 所以矩形ABCD的面积为2×(V5+1)=2√5+2。 7.B【解析】因为9<13<16，所以3<√13<4。 16.√n+1-1【解析】根据题意，得a1+a2+a3+…+a 所以6-√13的整数部分为2，即x=2。 =√2-1+√3-√2+…+√n+I-√元 所以小数部分为6-√13-2=4-√13， =√n+1-1。 即y=4-√13。 17.解：(1)因为√26>√25，所以√26>5。 所以(2x+√13)y=(4+√13)(4-√13)=3。 (2)因为-66</-64，所以-66<-4。 &B【解析1M=,品·瓜-√牙·@ (3)因为2<5<3，所以1<5-1<2。 -a6-86=1-g1-al 因为1<5<2，所以}<<1 当a=-3,b=-2时，M=1-1-3|=-2。 所以51小9 ·62· 米全程复习大考卷·数学·八年级上册 18.解：1)原式=243-√×18+42 2解：()5+2号 【解析】因为(5-2)×(5+2)= =8-√9+42 (5)2-22=1, =2√2-3+42 所以5-2的有理化因式是5+2。 =62-3。 因六导所汽，合含#有2化 3√2 39 (2)原式=2×5+35-25 √3x3 (2)原式= 3(10-万) 3(7-2) 25+35-25 (√10+√7)（√10-√7）(7+2)（万-2） 3 5×W10 s53 √0×√10 30 =310-7）+3(7-2)_50 19.解：(1)由条件可知，m=7或-7，n=-3。 3 3 10 当m=7时，m+n=7+(-3)=4; 当m=-7时，m+n=-7+(-3)=-10。 =1-+(7-2)- 所以m+n的值为4或-10。 =V而-7+万-2-⑩ (2)由条件可知，a=-3+2=-1。 2 因为-47<-27=-3， =0-2。 2 b是比-47大且最相邻的整数，所以b=-3。 (3)3-22>5-2√6。理由如下： 所以5a+b=5×(-1)+(-3)=-8。 因为-8的立方根是-2， 3-22=,165-26=1 3+22 5+26 所以5a+b的立方根是-2。 因为3+2√2<5+2√6， 20.解：(1)根据题意，得x-5≥0,5-x≥0， 所以3-22>5-26。 所以x=5。所以y=6。 所以2x+y=2×5+6=16。 选做题 因为16的算术平方根是4， 1.解：(1)因为3<√11<4，所以2<√11-1<3。 所以2x+y的算术平方根是4。 因为√T-1在两个连续的自然数a和c之间， (2)当y=6是直角边长时，SA4c=2×5×6=15: 1 所以a=2,c=3或a=3,c=2。 因为-1是b的一个平方根，所以b=1。 当y=6是斜边长时，另一条直角边长为 所以a=2,c=3,b=1或a=3,c=2,b=1。 √62-5=√1T, (2)当a=2,b=1时，a+6-1-2+1-1-B-1 则5acx5×vm:5如 2 2 29 因为5<4-2，所以<分，即a5-1<2 2 综上，△ABC的面积为15或 2 21.解：(1)3.31和3.32之间。理由如下： 当a=8.6=1时，@5-山-312分- 2 2 2 因为3.312=10.9561,3.322=11.0224， 即- 2 所以3.31<√11<3.32。 2.解：(1)这三个数是“完美组合数”。理由如下： (2)根据题意，得55=4.92， 所以t≈11.2245。 √(-9)×(-4)=√36=6， 所以t≈3.35（负值舍去）。 √/(-4)×(-1)=w4=2, 答：物体到达地面约需要3.35s。 √(-9)×(-1)=√9=3，