单元检测卷（一） 集合与常用逻辑用语-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

单元检测卷（一） 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）命题“，使得”的否定形式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得： 命题“，使得”的否定形式为“，”. 故选：D. 2．（23-24高一下·湖南怀化·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求得，，可求. 【详解】解得，解得， 所以， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】先解方程得集合A，再根据得，根据包含关系求实数，根据子集的定义确定实数a的取值组成的集合的子集的个数. 【详解】 因为，所以，因此或或， 当时，，当时，，当时，， 实数a的取值组成的集合为，其子集有，，，，，，，，共8个， 故选：D． 4．（24-25高一上·湖南·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】命题“，使得”是假命题，它的否定为真，等价问题求解即可 【详解】命题“，使得”是假命题， 等价于“，都有恒成立”是真命题， 所以 即， 故选：D． 5．（24-25高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据充分不必要条件求参数 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 6．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】分别根据已知命题的真假求出相应参数的取值范围，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为假命题， 则，即无实数解， 则，解得， 综合上述a需满足， 可知实数的取值范围是， 故选：A 7．（25-26高一上·广东湛江·开学考试）已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得. 【详解】由，再由，得，. 由CB，根据集合C中的元素个数分3类： ①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个； ②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个； ③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个； 所以满足且CB的集合的个数为个. 故选：D. 8．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解. 【详解】对于①，当且时， 所以是任何数域的元素，①正确； 对于②，当时，且时，由数域定义知， 所以1+1=2，1+2=3,...1+2018=2019，故选项②正确； 对于③，当时，,故选项③错误； 对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．设，，若，则实数的值可以是（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】先求出，再得到，分与，求出相应实数的值. 【详解】， 因为，所以， 当时，，满足要求， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上：实数的值可以为或. 故选：ABC 10．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、集合新定义 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 11．（24-25·安徽合肥·模拟预测）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】集合新定义 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可． 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，，，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设，，，，使，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】两集合的交集为空集，则两个集合没有公共部分，可以得到两个集合的端点的关系，从而解得实数的取值范围. 【详解】当集合为时，，解得. 当集合不为，即时，有如下两种情况： 集合中的元素都比集合中元素小，，结合解得； 集合中的元素都比集合中元素大，，结合解得. 综上所述，的取值范围为或. 故答案为. 【点睛】本题考查利用集合的关系求参数的值，解题时也可借助数轴来分析. 13．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由含有量词的命题的否定，转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】命题“，满足不等式”是假命题， 所以，不等式恒成立， 设，， 则有，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·湖北黄石·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 人. 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合. 要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人. 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知全集,集合,集合为小于6的质数. (1)求; (2)求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）分别求出集合A,B再求并集即可 （2）求出A的补集再与集合B求交集即可 【详解】（1）由得或 所以 又,所以 （2）,所以 所以 16．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 17．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 18．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 19．（24-25·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1) (2)或者. (3)13 【难度】0.65 【知识点】集合元素互异性的应用、集合新定义 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）; （2）首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. （3）估值+构造  需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元检测卷（一） 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）命题“，使得”的否定形式为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·湖南怀化·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 4．（24-25高一上·湖南·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知命题：“”，命题：“”．若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东湛江·开学考试）已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 8．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．设，，若，则实数的值可以是（　　） A．0 B． C． D．2 10．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 11．（24-25·安徽合肥·模拟预测）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，若，则实数的取值范围为 ． 13．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）命题“，满足不等式”是假命题，则的取值范围为 . 14．（24-25高一上·湖北黄石·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 人. 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知全集,集合,集合为小于6的质数. (1)求; (2)求. 16．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 17．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 18．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 19．（24-25·北京顺义·一模）已知实数集，定义． (1)若，求； (2)若，求集合A； (3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $