单元检测卷（四） 指数函数与对数函数-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

单元检测卷（四） 指数函数与对数函数 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、求指数函数在区间内的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由题可知，根据分式不等式的等价条件可得集合，又可得集合，然后求交集即可. 【详解】根据题意，所以， 又，所以， 则. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因函数是减函数，故，即A错误； 对于B，因函数在上为减函数，故，即B错误； 对于C，D，由上分析，可得，故有，即C正确，D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·重庆·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得 ， ， ， 所以， 故选：A. 4．（23-24高一上·河南·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【分析】根据已知判断得出函数的奇偶性，结合时，函数值的正负，即可得出答案. 【详解】由已知的定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故C、D错误； 当时，，所以，故B错误. 故选：. 5．新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（     ）（参考数据：，） A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【解析】由，得，由题意可得，从而可求出的值 【详解】解：因为， 所以， 由题意得时，，代入上式得 ，所以， ， ， 故选：C 6．（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围. 【详解】因为， 所以函数为奇函数. 又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数. 所以. 所以问题转化为：当时，即恒成立. 设，由时，恒成立得： . 故选：A 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，由得，可得答案. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 8．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【详解】， 则 ， 所以， 故选：C． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断 【详解】对于A，因为在上递增，且，所以，所以A正确， 对于B，因为在上递减，且，所以，所以B错误， 对于C，因为在上递减，且，所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 10．已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、函数与方程的综合应用、判断零点所在的区间 【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合图像即可判断各选项. 【详解】由方程和可化为和， 即直线与两函数和的交点横坐标分别为、， 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称， 如图所示，点、关于点对称，，且， 所以，故A正确； 因为，所以， 又，所以，故B正确； 由和它们的图像关于直线对称，所以，， 所以，故C正确； 对于D，由，则，即，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若方程有两个不同的实数解，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示：    因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高一上·山东日照·期末）已知，则 . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算得解. 【详解】由，即，则，得. 故答案为：2. 13．（24-25高一上·重庆·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】结合对数函数及具体函数定义域列不等式计算即可. 【详解】因为函数，所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则 ；若函数，则的值域为 ． 【答案】 208 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算性质的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数新定义 【分析】令，然后分，，，和求出对应的的范围，再根据的定义可求出的值，先判断为偶函数，然后化简时的解析式，再根据正弦函数的性质可求出的值域，从而可求出的值域. 【详解】令，则， 令，则时，；时，； 时，；时，；时，， 所以 ； 的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以， 当时，， 当且时，， 当且时，， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为. 故答案为：208， 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；. （2）利用对数的运算法则和性质，即可求解. 【详解】（1） （2） 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、对数的运算、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 17．已知函数，. (1)若，对，使得成立，求实数的取值范围； (2)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数的运算、求对数型复合函数的值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）根据题意将问题转化为，使得恒成立，只需要成立，即可求解；（2）由（1）知函数与的图像有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，进而求解. 【详解】（1），即， 若，使得成立，只需要成立. 因为， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，则， 因为，令，分离参数可得， 令，其中， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，. 所以实数的取值范围为. （2）由（1）可得， 由题意知，方程有且只有一个实根， 即方程有且只有一个实根， 令，则方程有且只有一个正根， 即方程有且只有一个正根，构造函数. ①当时，，令，解得，不合乎题意； ②当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ， 由于，要使得方程有且只有一个正根， 则，解得； ③当时，则， 设方程的两根分别为，， 由韦达定理可得，，则方程有且只有一个正根. 综上所述，实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 19．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元检测卷（四） 指数函数与对数函数 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（     ）（参考数据：，） A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631 6．（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则 D．若方程有两个不同的实数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高一上·山东日照·期末）已知，则 . 13．（24-25高一上·重庆·期末）函数的定义域为 . 14．（2025高三·全国·专题练习）对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则 ；若函数，则的值域为 ． 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 17．已知函数，. (1)若，对，使得成立，求实数的取值范围； (2)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $