单元检测卷（三） 函数的概念与性质-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

单元检测卷（三） 函数的概念与性质 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则（   ） A．1 B．0 C． D． 4．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 7．已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25·上海宝山·一模）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）下列函数中，表示同一个函数的是（         ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（24-25高一上·安徽·期中）对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，．设函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知，则 . 13．函数是上的减函数，则的取值范围是 . 14．设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是 ． 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性． 16．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数对一切实数x，y都有成立，且 (1)求的值; (2)求的解析式; (3)设命题当时，不等式恒成立;命题函数在区间上具有单调性.如果p与q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 17．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 18．已知函数，不等式的解集为，且. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式. 19．（24-25高一上·吉林长春·期中）某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． (1)写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； (2)当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ (3)该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元检测卷（三） 函数的概念与性质 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求分段函数值 【分析】根据自变量范围代入相应解析式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数是定义在上的偶函数，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性得到方程，求出，，求出函数解析式，代入计算出答案. 【详解】由题意得，，解得， 因为为偶函数， 所以，即， 所以，解得， 所以， 所以． 故选：D． 4．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 5．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 6．（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、分段函数模型的应用 【分析】设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，即可判断函数图象． 【详解】设行进的速度为，行走的路程为，则 且， 由速度函数及路程函数的解析式可知， 其图象分别为①④． 故选：A． 7．已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案. 【详解】为奇函数，故， ， 又，在上单调递减， 故当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，满足要求， 由对称性可知，在上单调递减， 故当时，，此时，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：B. 8．（24-25·上海宝山·一模）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确. 【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数， 表示数、比较大的数． 当，时，，故选项A、C错误； 当时，，故选项B错误． ∵，且，∴， ∵，，∴，故选项D正确． 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）下列函数中，表示同一个函数的是（         ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否则不是同一个函数. 【详解】A中的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数； B中，的定义域都是R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数； C中的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数； D中，的定义域为，， ，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数. 故选：BD. 10．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、抽象函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断两个函数是否相等 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法令，求出的值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D.. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 函数，令，则， 所以，所以函数的值域为，故C错误； 对于D，若函数的定义域为，可得，则函数的定义域为，故D正确. 故选：AD. 11．（24-25高一上·安徽·期中）对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，．设函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】函数新定义 【分析】A：取计算并判断；B：根据和分类讨论即可；C：先证明，然后计算出在给定范围下的正负即可判断；D：直接根据不等式性质进行比较. 【详解】对于A：取，则， ，所以，故A错误； 对于B：当时，，所以一定成立， 当时，，所以， 所以，成立，故B正确； 对于C：不妨设，，，则， 又，则，所以； 当时，， 所以，所以， 又因为，所以，所以，故C正确； 对于D：当时，，所以且， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解取整函数的定义，能根据定义通过举例的方式验证所给选项；另一方面是隐含条件的证明和使用，本题中应用在C项的证明中会更方便. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】用换元法，设，解出，再将换成即可. 【详解】令，则，∴，即. 故答案为：. 13．函数是上的减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的单调性 【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得. 【详解】是上的减函数， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 14．设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】由已知是奇函数，由，设，可得，令，则在上单调递增，可得在上单调递减，又，即可解得不等式解集. 【详解】是定义域为，关于原点对称, 又，所以是奇函数， 因为，， 设，则， 所以， 所以， 令，则在上单调递增， 又， 所以在上为偶函数， 所以在上单调递减， ， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以解集是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断在上的单调性． 【答案】(1) (2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析 (3)单调递增函数 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据分母不等于零得到的定义域； （2）根据奇偶性的定义判断即可； （3）根据单调性的定义判断单调性即可. 【详解】（1）函数的定义域为. （2）∵函数的定义域为关于原点对称， ，同时， ∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）任取，且， 则， 由于，，且，∴，， 所以，故在上单调递增. 16．（24-25高一上·江苏·期中）已知函数对一切实数x，y都有成立，且 (1)求的值; (2)求的解析式; (3)设命题当时，不等式恒成立;命题函数在区间上具有单调性.如果p与q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、根据函数的单调性求参数值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋，求出； （2）在（1）基础上赋值可以实现求解的解析式的问题； （3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出m的范围；利用二次函数的单调性求解策略求出m的范围，最后通过命题的真假即可． 【详解】（1）令，，则由已知， 有； （2）令，则， 又， ； （3）不等式， 即， 即 当时，的最大值为3， 若p为真命题，则； 又因为在上是单调函数， 故有，或，解得或， 当p为真且q为假时，得则， 当p为假且q为真时，得则， 综上得m的取值范围为 17．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案、证明见解析； (2). 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 18．已知函数，不等式的解集为，且. (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据题意分析可得且0和2为方程的两个根，结合韦达定理运算求解； （2）分、和三种情况，结合二次函数对称性运算求解. 【详解】（1）因为函数，不等式的解集为， 所以且0和2为方程的两个根， 则有，解得，， 又因为，则，可得，， 所以. （2）因为，图象开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， 所以； ②当，即时，函数的对称轴在区间内， 故； ③当，即时，函数在上单调递减， 所以； 综上所述：. 19．（24-25高一上·吉林长春·期中）某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． (1)写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； (2)当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ (3)该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 【答案】(1)； (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元； (3)5年. 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解. （3）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解. 【详解】（1）当时，年利润； 当时，； 所以. （2）由（1）知，当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 当时，， 当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而， 所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元. （3）设最短用年后还清所有贷款，依题意，，解得， 所以企业最短用5年还清所有贷款. 1 学科网（北京）股份有限公司 $