单元检测卷（二） 一元二次函数、方程和不等式-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

单元检测卷（二） 一元二次函数、方程与不等式 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，，则． 故选：A． 2．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 3．（24-25高一上·天津河北·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质来确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则，所以，所以A选项错误. B选项，若，，则， 所以，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项错误、 D选项，若，则，所以，所以D选项错误. 故选：B 4．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】根据等式的性质以及定义特殊值可求得结果. 【详解】取，，可知A，B错误； 因为，所以C正确； 取，可知D错误； 故选：C. 5．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据不等式的性质判断A，应用幂函数及指数函数的单调性判断C，D，应用特殊值法判断B. 【详解】对于A，因为，所以，故正确； 对于B，若，则，故不正确； 对于C，因为在上单调递增， 所以，可得，故正确； 对于D，因为，所以， 又因为在上为单调递减函数， 所以，故正确； 故选：B. 7．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【详解】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 8．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【详解】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则（） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可知且和2是方程的两个根,根据韦达定理可得，由此易判断A,将替换成，由此可求B、D，结合二次函数的图象可以判断C. 【详解】关于的的不等式的解集为, 且和2是方程的两个根, ， 对，故A正确. 对可化为 ,解的, 不等式的解集为，故B错误. 对，1和2是方程的两个根, 且二次函数开口向上, 当时，，即，故C正确. 对D，不等式可化为, ,即，解得 不等式的的集为，故D正确. 故选：ACD 10．（24-25高一上·湖北十堰·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则有最小值2 C．若，则 D．若，则有最大值1 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】作差比较判断A、C；运用基本不等式并验证等号成立的条件，可判断B；利用重要不等式可判断D. 【详解】对于A：若，由， 因，故，又，即，.故A正确； 对于B：当时，，则， 当且仅当，即时取等号， 因，则有，故B错误； 对于C：若，则， 故由，可得，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时取等号， 因，故，即有最大值，故D正确. 故选：ACD. 11．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可. 【详解】解：因为，当且仅当时取等号， 解得，即，故的最大值为2，A正确； 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确； ，当且仅当， 即时取等号，C错误； ，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】运用不等式的性质进行求解即可. 【详解】根据不等式的性质由，， 故答案为： 13．若，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，结合基本不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，取等号成立. 故的最小值为， 故答案为： 14．（23-24高一上·天津和平·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】对二次项系数和进行分类讨论，并利用二次函数性质得出实数满足的不等式，即可解出实数的取值范围. 【详解】根据题意易知当，即或时， 当时，不等式化为，显然解集为空集，符合题意； 当时，不等式化为，解集不为空集，不合题意； 当时，满足题意的实数a需，解得； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 【答案】(1)最小值为4，此时； (2)； (3). 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用基本不等式求出最值. （3）利用一元二次不等式的解集，结合韦达定理求出参数值. 【详解】（1），，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为4，此时. （2），，即，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. （3）由不等式的解集为， 得且和3是方程的两个实根， 因此，解得， 所以. 16．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题． (1)若不等式的解集是，求a的值； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据条件得到是方程的两根，即可求解； （2）利用一元二次不等式的解法，得到，再结合条件得到，即可求解. 【详解】（1）由题意知，是方程的两根， 所以，且，解得． （2）因为，即，所以． 因为p是q的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集． 因此，解得． 故实数a的取值范围是． 17．（24-25高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 18．（24-25高一上·云南大理·期中）某工厂生产某种医疗器械零件的固定成本为元，每生产一个零件需增加投入元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润） (2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当产量为200个时，零件的利润最大，最大利润为12795元． 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用给定函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题、对勾函数求最值 【分析】（1）分和两种情况，得到利润（单位：元）表示为产量的函数，写出分段函数的形式； （2）当时，利用二次函数单调性求出最大值，当时，由对勾函数单调性求出最大值，比较后，得到答案. 【详解】（1）； 当时，， 当时，， ． （2）当时，， 此时． 当时，由对勾函数知在上单调递减， 此时． 综上，当产量为200个时，零件的利润最大，最大利润为12795元． 19．（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 (1)若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【答案】(1)为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. (2)变好了，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、作差法比较代数式的大小、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）由题意列不等式求的最小值并求此时的值； （2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得，且， 所以， 又矩形面积 设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小， 此时由（1）可得或， 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （2）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则， 因为， 所以. 又，所以， 因此，即， 所以窗户和地板同时增加相等似面积，采光条件变好了. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元检测卷（二） 一元二次函数、方程与不等式 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津河北·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则（） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 10．（24-25高一上·湖北十堰·期中）下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则有最小值2 C．若，则 D．若，则有最大值1 11．已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是 ． 13．若，则的最小值是 . 14．（23-24高一上·天津和平·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 16．（24-25高一上·安徽·期中）已知命题． (1)若不等式的解集是，求a的值； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．（24-25高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 18．（24-25高一上·云南大理·期中）某工厂生产某种医疗器械零件的固定成本为元，每生产一个零件需增加投入元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润） (2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？ 19．（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 (1)若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $