精品解析：新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年高三上学期第二次月考（9月）数学试题

乌鲁木齐市第41中学2025-2026学年高三第二次月考数学试卷 一、单选题 1 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是减函数 C. 是奇函数，且在上是增函数 D. 是奇函数，且在上是减函数 4. 函数的大致图像为 A. B. C. D. 5. 若，则 A. B. C. D. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中假命题的是（ ）． A. 命题“，”的否定是：， B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 若，则的最小值为4 D. 若的定义域是，则函数的定义域为 10. 在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线在点处切线方程为 B. C. 曲线关于点对称 D 当时， 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 是周期为3的周期函数 D. 三、填空题 12. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 13. 已知，则______. 14. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，角A的平分线交BC于点D，求AD. 16. 已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，. （1）求，的通项公式； （2）记，求. 17. 已知三棱台，，，，，为线段的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）试判断在线段上是否存在一点（点不与、重合），使二面角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第41中学2025-2026学年高三第二次月考数学试卷 一、单选题 1. 设集合，则集合（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，解得，则，而， 所以. 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的取值结合充分非必要条件判断可得. 【详解】当时，一定等于零；反之当时，， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 3. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是减函数 C. 是奇函数，且在上是增函数 D. 是奇函数，且在上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性． 【详解】函数的定义域是，关于原点对称，， 故函数是偶函数， 又因为，易知其为增函数， 当时，， 故在上是增函数， 故选：A． 4. 函数的大致图像为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】函数的定义域为，当时，，排除B和C； 当时，，排除A. 故选：D. 【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题. 5. 若，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对式子分子分母同时除以得，从而利用两角和的正切公式即可得到答案. 【详解】，则. . 故选A. 【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，其中利用三角函数的恒等变形把已知式子化为关于的式子是解本题的关键. 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】确定，计算得到，，计算得到答案. 【详解】，化简得， 故，解得， 又，则， 故. 故选：D. 7. 已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，可得，设，则函数在上单调递减，则不等式即，则，又函数为定义在上的偶函数，则得到不等式的解集. 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 即， 设，则函数在上单调递减， 又，则， 则不等式，即， 则， 所以， 又函数为定义在R上的偶函数， 所以当时，， 又， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由，可构造函数，可得在上单调递减，可利用单调性解出不等式. 8. 已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图像，令，由图象得到，的范围是，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】的图象如图： 方程有8个不同的根，令，则有两个不同的根，，且，的范围是，所以，解得. 故选：C. 二、多选题 9. 下列命题中假命题的是（ ）． A. 命题“，”的否定是：， B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 若，则的最小值为4 D. 若的定义域是，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定判断A；举例说明判断BC；求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可求解定义域判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是：，，A正确； 对于B，取，满足，而， 则“”不是“”充分条件，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，对于函数，，则，所以函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此函数的定义域为，D错误. 故选：BCD 10. 在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. C. 曲线关于点对称 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D. 由B结合，有，判断. 【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确. 因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确. 由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确. 当时，有，，所以，故D不正确. 故答案为：ABC. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题. 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 是周期为3的周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可判断A，由，得到，可判断C，由和可判断B，由周期性，奇偶性可判断D. 【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误； 对于B：因为为奇函数， 所以， 由，可得：， 所以，即， 所以，偶函数，正确； 对于C：由， 可得，所以是周期为3的周期函数，正确； 对于D，， 所以， 由周期性可得： 故选：BCD 三、填空题 12. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 【答案】17 【解析】 【分析】由条件先证明，，结合关系利用基本不等式可求结论. 【详解】因为，，， 若，则，矛盾， 若，则，所以， 所以，故，矛盾， 所以，此时，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式. 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，， 设，则， 在上单调递增，， ，在上单调递增， 由， 故不等式可转化为， 故，可得， 不等式的解集是 故答案为：. 四、解答题 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，角A的平分线交BC于点D，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合题目条件边化角，再利用诱导公式和三角恒等变换得到，结合角的范围和正弦函数的图像与性质，即可求解； （2）根据条件得到，结合（1）和三角形面积公式得到关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 因为，则， 所以，即． 又，所以，即， 因为，所以， 所以，得． 【小问2详解】 因为是角的角平分线， 所以， 即， 结合（1）得， 解得． 16. 已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，. （1）求，的通项公式； （2）记，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用与关系消去，得到，由等比数列的定义即可判断并求出其通项公式，利用等差数列的基本量运算可求出其通项公式； （2）先写出，利用错位相减法即可求出结果. 【小问1详解】 由时， ①，则当时，可得，将代入，解得， 当时，②，由①-②，可得，即， 因，故数列为等比数列，其首项为，公比为， 故数列的通项公式为， 设等差数列的公差为，由，解得， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由和，， 可得③， 则④， 由③-④，可得 ， 故得. 17. 已知三棱台，，，，，为线段的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）试判断在线段上是否存在一点（点不与、重合），使二面角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存，. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，即可证明； （2）过点作于点,以为坐标原点，，分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量关系求解； （3）设，利用空间向量关系列出式子，求出即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）过点作于点， ∵平面，平面， ∴， ∵， ∴平面， 以为坐标原点，，分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，， ，，， ，， 设平面，且， 则∴，， 设直线与平面所成角为， 则； （3）存在点，使二面角为30°， 设， ∴， 设平面，且， 则， ∴， ∵平面的法向量， 且二面角为30°， ∴， 即， ∴或（舍）， ∴存在点，时，使二面角为30°. 【点睛】本题考查立体几何相互知识，考查了直线垂直的证明利用空间向量解立体几何问题，属于综合题. 18. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验. 【解析】 【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件； （2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值 件产品中恰有件不合格品的概率为. 因此. 令，得.当时，；当时，. 所以最大值点为； ［方法二］：【最优解】均值不等式 由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为． ，当且仅当，即可得所求． （2）由（1）知，. （i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法； 方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； （2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围. 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］：通性通法 ,，且. 设,则 ∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时，当时，，， 因此 >1, ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构 由得，即，而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知，所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法三］：换元同构 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法四］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． 【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法； 方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解； 方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出； 方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $