专题05 反比例函数（期中知识清单）（必备知识+7题型清单+2易错清单）九年级数学上学期冀教版

专题05 反比例函数 【清单01】 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的________是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成________.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于________的一切实数. 注意： 【清单02】 反比例函数的图像和性质 1.反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是双曲线 图象 性质 （1）图象分别位于第________象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而________ （1）图象分别位于第________象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而________ 对称性 反比例的图像关于________对称 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为________的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据________对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用________的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成________.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近________的趋势，但永远不与坐标轴相交 【题型一】反比例函数的定义 例1．下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．若是反比例函数，则的取值为（    ） A．1 B． C． D．的任意实数 变式1-2．如果函数是反比例函数，那么m的值是 ． 变式1-3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【题型二】求反比例函数的解析式 例2．若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ． 变式2-1．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 变式2-2．反比例函数的图像与点的位置如图，写出一个与图相符的反比例函数解析式为 ． 变式2-3．点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【题型三】反比例函数的图象的判断问题 例3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 变式3-3．已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【题型四】反比例函数的增减性问题 例4．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式4-1．下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的是（  ） A． B． C． D． 变式4-2．已知点、是反比例函数（）图象上两点．当时，，则的值可以是 ．（写出一个即可） 变式4-3．在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 【题型五】图形面积与比例系数 例5．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为 变式5-1．双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-2．如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，且，若，则 ． 变式5-3．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【题型六】一次函数与反比例函数的交点问题 例6．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为 ． 变式6-2．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 变式6-3．已知反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象有两个交点，且关于的不等式的解集为或，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【题型七】反比例函数的应用 例7．我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根米长，匀质的木杆中点处绑细绳将木杆吊起来，在点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在点右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点的距离（单位：），发现弹簧秤的示数（单位：）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格． 5 10 15 20 25 30 35 32 16 8 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出与的大致函数图象； (2)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 变式7-1．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 变式7-3．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条． (1)写出钢筋条的长L（分米）与横截面S（平方分米）的函数关系式； (2)当钢筋条的横截面的直径是分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留）． 易错点1：忽略反比例函数定义的“隐含条件” 易错点：忘记反比例函数中“”和“自变量”的核心条件，导致取值范围分析错误，或求参数k时忽略限制。 例1．已知 是反比例函数，则 ． 变式1-1．若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 变式1-2．已知是反比例函数，求的值． 变式1-3．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 易错点2：误用反比例函数“的几何意义” 易错点：对“过双曲线上任意一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为”理解不透彻，忽略“绝对值”或“垂线垂直于坐标轴”的条件。 例2．如图，在中，，，反比例函数在第一象限的图象分别交、于点、，且，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 变式2-1．如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为 ． 变式2-2．如图，正方形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则正方形的对角线的长为 ． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，的边轴于点A，，反比例函数的图象分别过边的中点D，顶点C，若，，则k的值为 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数 【清单01】 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： 【清单02】 反比例函数的图像和性质 1.反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是双曲线 图象 性质 （1）图象分别位于第一、三象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而减小 （1）图象分别位于第二、四象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而增大 对称性 反比例的图像关于原点对称 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交 【题型一】反比例函数的定义 例1．下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是， 故选：B． 变式1-1．若是反比例函数，则的取值为（    ） A．1 B． C． D．的任意实数 【答案】B 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：． 故选：B． 变式1-2．如果函数是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【详解】解：因为函数是反比例函数， 所以， 所以， 故答案为：． 变式1-3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【详解】解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 【题型二】求反比例函数的解析式 例2．若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的解析式为，因为函数经过点， ∴， 则它的解析式是． 故答案为：． 变式2-1．如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点C作轴于D， ∵点， ∴菱形的边长为6， ∵在菱形中，， ∴， 在中，，， 则， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， 故选：D． 变式2-2．反比例函数的图像与点的位置如图，写出一个与图相符的反比例函数解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意可知： 当时，， ∴， 故只需取一个符合的数即可，答案为： 变式2-3．点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【答案】 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 【题型三】反比例函数的图象的判断问题 例3．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 变式3-1．如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 变式3-3．已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 【题型四】反比例函数的增减性问题 例4．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 变式4-1．下列函数中，当时，函数值y随x的增大而增大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项， ：∵，当时，函数值y随x的增大而减小，排除； B选项，：∵，当时，函数值y随x的增大而增大，正确； C选项，：可以看成是由反比例函数向左平移1个单位得到， ∵反比例函数在时，函数值y随x的增大而减小， ∴，当时，函数值y随x的增大而减小，排除； D选项，：时，函数值y随x的增大而减小，排除． 综上，正确答案为B． 故选：B． 变式4-2．已知点、是反比例函数（）图象上两点．当时，，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵点、是反比例函数（）图象上两点，且时，， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 变式4-3．在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴． 故答案为：． 【题型五】图形面积与比例系数 例5．函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．若的面积为4，则m的值为 【答案】2 【详解】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称， 的面积等于两个三角形加上一个长方形的面积和， 则的面积， 又， ∴． 故答案为：2． 变式5-1．双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴， 故选B 变式5-2．如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，连接交轴于点，且，若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点C作轴于H点， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 变式5-3．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 【题型六】一次函数与反比例函数的交点问题 例6．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：C． 变式6-1．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线与双曲线交于点和点B， ∵点A、B关于原点对称， ∴， 故答案为：． 变式6-2．如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 变式6-3．已知反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象有两个交点，且关于的不等式的解集为或，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】解：∵关于的不等式的解集为或， ∴反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象的交点的横坐标为和， 当时，，即交点坐标为， 将代入反比例函数可得，即， 故选：D． 【题型七】反比例函数的应用 例7．我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根米长，匀质的木杆中点处绑细绳将木杆吊起来，在点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在点右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点的距离（单位：），发现弹簧秤的示数（单位：）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格． 5 10 15 20 25 30 35 32 16 8 (1)在已学过的函数中选择合适的模型，求关于的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出与的大致函数图象； (2)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2) 【详解】（1）解：由杠杆平衡原理可知，， 所以关于的表达式为，     画出与的大致函数图象如答图所示． （2）解：∵， ∴当时，， ∴ 又∵木杆长，点为木杆中点， ∴， ∴． 变式7-1．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V（）时，气体的密度也随之改变，ρ与V在一定范围内满足，当时，ρ关于V的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴（，）， 故函数图象为第一象限内的反比例函数图象． 故选：D． 变式7-2．在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故答案为：． 变式7-3．将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条． (1)写出钢筋条的长L（分米）与横截面S（平方分米）的函数关系式； (2)当钢筋条的横截面的直径是分米时，可拉伸出多少米长的钢筋（结果保留）． 【答案】(1) (2)可拉伸出米长的钢筋 【详解】（1）解：∵ 钢锭拉成钢筋条后体积不变，且圆柱体积公式为，已知立方分米， ∴， 变形得函数关系式：（，横截面面积不为0）． 故答案为： （2）解：横截面直径为0.1分米，故半径分米，由圆的面积公式，得平方分米． 将代入，得分米． ∵1米分米， ∴分米米． 答：可拉伸出米长的钢筋． 易错点1：忽略反比例函数定义的“隐含条件” 易错点：忘记反比例函数中“”和“自变量”的核心条件，导致取值范围分析错误，或求参数k时忽略限制。 例1．已知 是反比例函数，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，， 解得， 又，即， 所以． 故答案为：． 变式1-1．若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：函数是反比例函数， ， 解得， 故选：A． 变式1-2．已知是反比例函数，求的值． 【答案】 【详解】解：由题意得：且； 解得，又； ． 变式1-3．已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 易错点2：误用反比例函数“的几何意义” 易错点：对“过双曲线上任意一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为”理解不透彻，忽略“绝对值”或“垂线垂直于坐标轴”的条件。 例2．如图，在中，，，反比例函数在第一象限的图象分别交、于点、，且，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 设，则， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：，解得：， 直线的解析式为， ， ，解得：， 反比例函数在第一象限的图象分别交、于点、， ， 反比例函数的解析式为， 联立，解得：或（舍去）， 点的坐标为． 故选：B． 变式2-1．如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：∵直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-2．如图，正方形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，则正方形的对角线的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴正方形的面积为6， ∴其边长为， 即 ， ， 故答案为：． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，的边轴于点A，，反比例函数的图象分别过边的中点D，顶点C，若，，则k的值为 ． 【答案】10 【详解】解：设， ∵反比例函数的图象过顶点C， ∴， ∵的边轴于点A，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $