专题06 圆（期中知识清单）（必备知识+9题型清单+2易错清单）九年级数学上学期冀教版

专题06 圆 【清单01】 圆的定义及有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点________一周，另一个端点所形成的图形叫圆.这个固定的端点叫做________，线段叫做________. 2.圆的表示方法：以点为圆心的圆记作________，读作圆. 3.圆的有关概念 弦 连结圆上任意两点的________叫做弦(例如：右图中的). 直径 经过________的弦叫做直径（例如：右图中的）. 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作________，读作圆弧或弧. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 半圆 圆的任意一条________的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧 在一个圆中________半圆的弧叫做优弧. 劣弧 在一个圆中________半圆的弧叫做劣弧. 【清单02】 过三点的圆 （一）圆的确定 1.经过一点作圆：以点以外的任意一点为圆心，以该点与点的距离为半径作圆，则经过点的圆可以作________个，如图所示： 2.经过两点作圆：以线段垂直平分线上任意一点，这点与点的距离为半径作圆，则经过的圆可以作________个，如图所示： 3.过不在同一条直线上的三点作圆：圆心在线段、线段的垂直平分线的交点处，以点为圆心，以为半径作圆即可，这样的圆有且只有________，如图所示： 重要结论：不在________的三点确定一个圆. （二）三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的________，如图所示： 是的________，为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的________，直角三角形的外心在________的中点处，钝角三角形的外心在三角形的________，如图所示： 2.一个三角形只有________外接圆，而一个圆有________个内接三角形； 【清单03】 圆心角和圆周角的概念 1.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________，所对的弦的弦心距________。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 3.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________ （即：圆周角=圆心角） 推论1 同弧或等弧所对的圆周角________。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定________。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是________，的圆周角所对的弦是________ 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________ 4.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角________，外角等于它的内对角。 【清单04】 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径________这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 【清单05】 扇形 （一）扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：________； （2）扇形面积公式：________ 其中：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 （二）扇形与圆柱、圆锥之间联系 立体图 侧面展开图 表面积公式 体积公式 圆柱 = ________ 圆锥 = ________ 【题型一】三角形的外接圆问题 例1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 变式1-1．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则外接圆的圆心的坐标为 ． 变式1-3．如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【题型二】弧、弦、角的关系 例2．如图，已知，都是的直径，D是上一点，若，且，请写出与相等的角． 变式2-1．如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 变式2-2．如图，C，D是以线段AB为直径的上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：． 变式2-3．如图，已知，是的直径，，，求的度数． 【题型三】圆周角定理的有关计算 例3．如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 变式3-1．如图，内接于，是的直径，是上一点，，则 ． 变式3-2．如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 变式3-3．如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数 【题型四】圆周角定理的有关证明 例4．如图，是的外接圆，弦，交于点E，点D，F关于对称，连接并延长交于点G，交于点H． (1)连接，若，则 °； (2)求证：； (3)求证：． 变式4-1．如图，在中，连接，，，，已知． (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 变式4-2．如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 变式4-3．如图1，四边形是圆的内接四边形，交的延长线于点，平分，是的中点． (1)若，求的度数． (2)如图2，连结．求证： ①； ②． 【题型五】圆内接四边形 例5．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，连结．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，四边形内接于，，，则的度数为 ． 变式5-2．在中，，，为外一点，且，则的度数为 ． 变式5-3．在圆内接四边形中，、的度数之比为，则 【题型六】垂径定理 例6．如图，在中，，经过点A，B，C，为的直径，且，过点O作于点E，则的长是（   ） A． B． C．1 D． 变式6-1．如图是一个管道的横截面，管道截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 变式6-2．如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的半径为 ． 变式6-3．如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，连接并延长交于点E，连接，，若，．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型七】圆的尺规作图 例7．（）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （）若，，求外接圆的直径长． 变式7-1．如图是一段弧，和是圆弧的两条弦，的半径为2，，． (1)作出圆心O的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹不写作法） (2)求的长度． 变式7-2．按下面的要求作图： 点P、A、B均在上，，使用无刻度的直尺，在图2中画一个直角三角形，使其一个顶点为A，且一个内角度数为30°． 变式7-3．1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图，1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中，尺规作图问题源远流长，一直备受数学爱好者的青睐． (1)如图，已知，请你用直尺和圆规作圆的内接正方形． (2)的半径为2，正方形的面积为________________． 【题型八】扇形的弧长和面积公式 例8．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ． 变式8-1．如图，在 中，，，，将 绕点 旋转至 的位置，且使点 ，， 在同一条直线上，则点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 变式8-2．一张圆心角为的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，面积都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　） A． B． C． D． 变式8-3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在第四象限，且其顶点坐标分别为． (1)画出关于轴对称的图形； (2)画出绕原点O顺时针旋转后的图形； (3)求出（2）中线段所扫过的面积． 【题型九】求弓形面积及不规则形状面和 例9．如图是一圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面的交点为E，且，四边形是一个矩形．已知米，米．设圆弧形门的圆心为O． (1)请在图中画出圆弧形门的最高点M（不说理由）； (2)求圆弧形门最高点到地面的距离； (3)求的值（圆内阴影部分）． 变式9-1．如图，求图形中阴影部分的面积． 变式9-2．如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 变式9-3．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 易错点1：三角形外心位置判断错误，忽略三角形形状差异 易错点：对“锐角、直角、钝角三角形外心位置”记忆混淆，误将所有三角形的外心都归为“在三角形内部”，忽略直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在外部的特性。 例1．在中，斜边，其重心与外心之间的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1-2．如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)在图中利用直尺画出的外接圆的圆心点，圆心的坐标为 ； (2)求外接圆的面积． 易错点2：圆周角定理应用偏差，混淆“弧所对”的对应关系 易错点：计算圆周角时，找错“弧所对的圆心角”，或忽略“同弧或等弧所对圆周角相等”的适用场景，误将“不同弧所对的圆周角”等同。 例2．如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式2-1．如图，是的直径，点C是圆上一点，连结和，过点C作于点D，且，则的周长是 ． 变式2-2．如图，已知是的直径，内接于，，，D是上一点，连接，若，则 ． 变式2-3．如图，在中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆 知识图谱 定义：线段绕端点旋转成圆 定义与性质 关键概念：弦、弧 圆的确定：3个不共线的点 过三点的圆与外接圆 外接圆的外心：垂直平分线的交点 圆心角：同圆/等圆中，等角对等弧弦 圆心角与圆周角 圆周角：圆心角的一般，同弧等角；直径对90°角 圆内接四边形：对角互补，外角=内对角 定理：直径⊥弦一平分弦与弧 垂径定理 推论：平分非直径弦的直径⊥弦 弧长公式 扇形的弧长和面积 面积公式 知识清单 【清单01】 圆的定义及有关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆 这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 2.圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O,读作圆O. 3.圆的有关概念 弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：右图中的AB) 直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD) 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A,B为端点 0 弧 的弧记作AB,读作圆弧AB或弧AB 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧 1/41 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 都叫做半圆 优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧 劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧 【清单02】 过三点的圆 （一)圆的确定 1经过一点A作圆：以点A以外的任意一点为圆心，以该点与点A的距离为半径作圆，则经过点A的圆可 以作无数个，如图所示： 0 0 03 2经过两点A、B作圆：以线段AB垂直平分线上任意一点，这点与点A的距离为半径作圆，则经过A、B 的圆可以作无数个，如图所示： B 3.过不在同一条直线上的三点A、B、C作圆：圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点 O为圆心，以OA为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示： B 重要结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆. (二)三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 2/41 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ⊙O是△ABC的外接圆，△ABC为⊙O的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外 部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形： 【清单3】圆心角和圆周角的概念 1圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 ，所对的弦的弦心距相篷。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等。 3圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理及推论 具体内容 图示 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理 (即：圆周角= 圆心角)》 2 同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 3/41 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直 推论2 径 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 推论3 三角形 4.圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 【清单04】 垂径定理 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧： ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧： ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 【清单05】 扇形 (一)扇形的弧长和面积计算 (1)扇形弧长公式：1=nrR 180 (2)扇形面积公式：S=nmR 360 其中n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 1:扇形弧长 S:扇形面积 (二)扇形与圆柱、圆锥之间联系 立体图 侧面展开图 表面积公式 体积公式 4/41 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 圆柱 S表=S侧+2S底=2πh+2πr2 V=πr2h 圆锥 S表=S侧+S底=元Rr+元r2 期中常考题型清单 【题型一】三角形的外接圆问题 例1.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D,E,F,G在小正方形网格的顶点上，则ABC的外 心是( G D E B A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】C 【详解】解：作线段AC和线段BC的垂直平分线，如图， D E B 由图可知点F是线段AC和线段BC的垂直平分线交点， 5/41 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “点F是 ABC的外心 故选C. 变式1-l.已知Rt△ABC的两直角边的长分别为4cm和8cm,则它的外接圆的半径为cm, 【答案】25 【详解】解：~Rt△ABC的两直角边的长分别为4cm和8cm, 则斜边长为√42+82=4V5cm, ~90°的圆周角所对的弦是直径， 此直角三角形外接圆的直径为4v5cm, 则外接圆的半径为×4V5=2√5cm. 故答案为：25. 变式1-2.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则ABC外接圆 的圆心的坐标为 -2 -3 【答案】(1，-2 【详解】解：如图所示，△ABC外接圆的圆心的坐标为1，-2). 故答案为：(1，-2). 6/41 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 变式1-3.如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2),经过A,B,C三点的圆，圆心为M,则点M的坐标 为 B O 【答案】(2,0 【详解】解：：A0,4,B(4,4), :AB的垂直平分线所在直线x=2上， :圆心M在直线x=2上，设M(2,m), :MA=MC, .22+(m-4)2=(2-6)2+(m-2)2, 解得m=0,则M(2,0). 故答案为：(2,0). 【题型二】弧、弦、角的关系 例2.如图，己知AB,CE都是O0的直径，D是AC上一点，若∠C0D=60°，且AD=BC,请写出与 ∠AOE相等的角. D E 【答案】∠A0D,∠COD,∠BOC 【详解】解：AD=BC, ÷∠A0D=∠B0C, ∠C0D+∠A0D+∠B0C=180°，∠C0D=60°， ∴.∠A0D=∠B0C=60°， ∠AOE=∠B0C, 7/41 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AOE=∠A0D=∠COD=∠B0C, 与∠AOE相等的角有：∠AOD,∠COD,∠BOC. 变式2-1.如果一个半径为2厘米的圆的面积恰好与一个半径为4厘米的扇形面积相等.那么这个扇形 的圆心角度数为一， 【答案】90°/90度 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：π×2？=r×4 360 解得：n=90°， 故答案为：90°. 变式2-2.如图，C,D是以线段AB为直径的O0上的两点，且四边形OBCD是菱形.求证：AD=DC· B 【答案】见解析 【详解】证明：如图，连接OC 四边形OBCD是菱形， :.DO=DC. 又：D0=C0, :△D0C为等边三角形， .∠D0C=60°. 同理可证∠B0C=60°， .∠A0D=180°-∠B0C-∠D0C=60°， ∠A0D=∠D0C, .AD DC. 【点睛】本题考查了圆心角与弧的关系以及菱形的性质.解题的关键是正确的画出辅助线。 8/41 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 变式2-3.如图，己知AB,CD是O0的直径，AE=AC,∠B0D=32°，求LC0E的度数. D B 【答案】LC0E=64° 【详解】解：：∠BOD=32°， :∠B0D=∠A0C=32°， AE=AC, ·∠A0E=∠A0C=32°， :∠C0E=∠A0E+∠A0C=64°. 【题型三】圆周角定理的有关计算 例3.如图，AD是半圆O的直径，点B,C在半圆上，且AB=BC=CD,点P在CD上，若 ∠PCB=130°，则∠PBA=() B A.105 B.100° C.90° D.70° 【答案】B 【详解】解：连接OB,OC, B D ~AD是半圆O的直径，AB=BC=CD, LA0B=∠B0C=∠C0D=60°， ·.A0B和△BOC都是等边三角形， ∴.∠0BC=∠0BA=60°， BC=BC, 9/41 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 1 ∠BPC=∠BOC=30°， 2 ∠PCB=130°， ∴∠PBC=180°-130°-30°=20°， ∠PB0=60°-20°=40°， ∠PBA=40°+60°=100°， 故选：B。 变式3-1.如图，ABC内接于O0,AB是O0的直径，D是⊙0上一点，∠CDB=55°，则 ∠ABC= 0 B D 【答案】35°35度 【详解】解：∠A,∠CDB是BC所对的圆周角， .∠A=∠CDB=55°， :AB是00的直径， ∠ACB=90°， 在Rt△ACB中，∠ABC=90°-∠A=90°-55°=35°， 故答案为：35°. 变式3-2.如图，△BCD内接于⊙0，点B是CD的中点，CD是O0的直径，若∠ABC=30°，AC=3,则 BC的长为( ) B A A.4 B.42 C.3√2 D.35 【答案】C 10/41