专题01 有理数（期中知识清单）（6知识&7题型&7易错）七年级数学上学期新教材冀教版

专题01 有理数（6知识&7题型&7易错） 【清单01 正数与负数】 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：① ，② . 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是 ，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是 ，它们都是小于0的； 既不是 ，也不是 整数与分数 整数： 、 、 统称为整数； 分数： 、 统称为分数； 用正、负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【清单02 有理数】 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做 . 1.有理数只包括 和 ； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按 分 2.按 分 【清单03 数轴】 1.数轴定义：规定了 、 和 的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素： 、 、 ，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上的点的关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2. 都大于0， 都小于0，正数大于负数. 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【清单04 绝对值】 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的 . 数a的绝对值记作，读作“ ”. 相反数的意义 1.相反数的定义：只有 不同的两个数互为相反数；0的相反数是 ，即： 不同， 相同的两个数互为相反数。 绝对值的性质 1.绝对值的性质 的绝对值是它本身， 绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. 【清单05 比较有理数的大小】 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的 大； 2.负数比较大小，绝对值大的 小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【清单06 有理数的四则混合运算】 有理数加法法则 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取 的符号，并把 相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值 的加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 有理数减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ，即有：． 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘， ， ，并把 相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数乘方的意义 1.乘方的定义：求 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 ． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 1. 特别地，当指数=2时，一般成为 ；当指数=3时，一般成为 。 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【题型一 有理数的分类】 【例1】下列说法中，不正确的是（    ） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 【变式1】把下列各数填在相应的括号内：，0，，，，，0.3，正有理数集合：{ …}． 【变式2】把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）． 正有理数集合：{   }； 负数集合：{   }； 整数集合：{   }； 分数集合：{   }． 【变式3】把下列各数的序号分别填入相应的圈内： ①；②3；③；④；⑤；⑥0；⑦；⑧；⑨；⑩． 【题型二 数轴】 【例2】如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【变式1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点A，B，C在数轴上表示的数分别是a，b，c，且满足，点C在点A和点B之间．若，则点C表示的数是 ． 【变式3】已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，点M表示的数为_____________，点N表示的数为_____________，线段的长是_____________； (2)若点M与点N关于原点对称，求x的值； (3)若点M在点N的左侧，求x的取值范围． 【题型三 绝对值与相反数】 【例3】下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．没有绝对值最小的有理数 C．如果，那么 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【变式1】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】已知实数a，b满足则 ． 【变式3】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【题型四 有理数的大小比较】 【例4】用“”连接下列各数：，，，， ． 【变式1】比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 【变式2】在如图所示的数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把它们连接起来． ． 【变式3】（1）请你在数轴上表示下列有理数： （2）将上面的数用“”连接起来 【题型五 有理数的混合运算】 【例5】计算：． 【变式1】计算： 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 【题型六 有理数的乘方运算】 【例6】计算：． 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1) (2) 【题型七 有理数混合运算的实际应用】 【例7】某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手人数（人） 1 2 3 2 与标准身高相比（cm） (1)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有______名候选队员合格； (2)若将标准放宽为，则有______名候选队员合格； (3)求这8名候选队员的平均身高． 【变式1】小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【变式2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【题型一 有理数的分类中遗漏情况】 【例1】把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①2025，②，③，④，⑤3.14，⑥0，⑦． (1)正数集合：{__________…．}； (2)分数集合：{__________…．}； (3)非负整数集合：{__________…．}． 【变式1】“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧． 运动会检录窗口 非负整数 正有理数 负整数 负有理数 【变式2】把下面的有理数填入它们属于的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正有理数集合：                 整数集合：                 负有理数集合：                 正整数集合：                 负整数集合：                 【变式3】将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，0，，，． 【题型二 数轴上两点之间距离表示忘记分类讨论】 【例2】在数轴上距离数2有1个单位长度的点所表示的数是（    ） A．1 B．3 C．或3 D．1或3 【变式1】一条数轴上有A，B两点，点A，B表示的数分别为和2，若B，C两点间的距离为3，则A，C两点间的距离为 ． 【变式2】已知在纸面上有一个数轴． (1)操作一：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，回答下列问题： ① 表示数的点与表示数______的点重合； ② 若折叠后，数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为（点在点的左侧），求两点所表示的数分别是多少； ③ 在②的条件下，在数轴上找一点，设点表示的数为，当点到点的距离之和为时，直接写出的值． 【变式3】数形结合思想  【阅读】我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么两点间的距离就可记作． 【思考】（1）数轴上表示2和6的两点之间的距离是多少？数轴上表示3和的两点之间的距离是多少？ 【探索】（2）数轴上表示x和的两点之间的距离是多少（用含x的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求m的值． 【拓展】（4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为________，此时x可取的整数值为________． 【题型三 不会表示数轴上的动点问题】 【例3】在数轴上，点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上，将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B，那么点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式1】数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【变式2】如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 【变式3】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【题型四 不理解绝对值的几何意义】 【例4】一个数在数轴上的对应点在原点左边，且，则的值为（   ） A．或 B． C． D．以上都不对 【变式1】已知，且，则 ． 【变式2】已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为回答问题： (1)数在数轴上对应的点到的距离为______； (2)已知，求的最小值为______； (3)已知，且有的最小值为你能否求出的值？的值？或，之间的关系？ 【变式3】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点分别表示，且与互为相反数，为原点． (1)___________，____________； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为____________； (3)两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示与两点之间的距离是． 若表示一个有理数，则的最小值____________． 若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是__________． 当__________时，取最小值． 【题型五 含绝对值符号的式子化简问题】 【例5】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【变式2】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【变式3】有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【题型六 有理数的简便运算技巧掌握不扎实】 【例6】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【变式1】怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算下列各题 (1) (2) 【题型七 有理数的实际应用问题】 【例7】童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负责配送药物，只要护士下单，它就能准确的送达．乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角．童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发．规定：童童从东边A 点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动．已知童童每秒跑米，乐乐每秒跑米．问： (1)第三次相遇距离B点多远? (2)若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次? 【变式1】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【变式2】某快递员一周的派件情况，规定派件量超过60件（每派一次快递称为一件）的部分记为“”，低于60件的部分记为“”．下表是该快递员一周的派件量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 派件量（单位：件） (1)求该快递员这一周平均每天派件多少件？ (2)快递员每天的工资由底薪80元加上派件补贴构成，派件补贴的方案如下：每天派件量不超过60件的部分，每件补贴3元；超过60件但不超过70件的部分，每件补贴5元；超过70件的部分，每件补贴7元．求该快递员这一周工资收入多少元？ 【变式3】综合与实践 【实践主题】体重调查． 【实践资料】党和国家非常重视青少年的身心健康，采用多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身心健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 【实践分析】 (1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？分析该小组同学的体重超出或小于标准体重的情况． (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重？要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况． 【实践拓展】 (3)请同学们根据这种标准体重的计算方式，计算自己的体重超出或少于标准体重的千克数，再依照此结果初步制订适合自己的体育锻炼方案． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（6知识&7题型&7易错） 【清单01 正数与负数】 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 整数与分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 用正、负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【清单02 有理数】 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 【清单03 数轴】 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 有理数与数轴上的点的关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【清单04 绝对值】 绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 相反数的意义 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。 绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. 【清单05 比较有理数的大小】 在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小. 1.正数比较大小，绝对值大的正数大； 2.负数比较大小，绝对值大的负数小； 3.正数要大于负数； 4.正数大于0，负数小于0. 【清单06 有理数的四则混合运算】 有理数加法法则 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 有理数减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 有理数加减法混合运算 1. 利用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为有理数加法运算； 2. 去掉括号和括号前的加号（有绝对值的要先去掉绝对值后再计算）； 3. 利用加法法则和加法运算律进行计算. 有理数乘法法则 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. 有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 有理数乘方的意义 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 1. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【题型一 有理数的分类】 【例1】下列说法中，不正确的是（    ） A．负分数一定是负有理数 B．可以写成分数形式的数称为有理数 C．是负整数，但不是有理数 D．0是正数和负数的分界 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类．根据有理数的分类逐一进行判断即可． 【详解】解：A、负分数一定是负有理数，本选项不符合题意； B、可以写成分数形式的数称为有理数，本选项不符合题意； C、是负整数，也是有理数，原说法错误，本选项符合题意； D、0是正数和负数的分界，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】把下列各数填在相应的括号内：，0，，，，，0.3，正有理数集合：{ …}． 【答案】，，0.3 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数为大于0的有理数，据此求解即可． 【详解】解：正有理数集合：{ ，，0.3，…}； 故答案为：，，0.3 【变式2】把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）． 正有理数集合：{   }； 负数集合：{   }； 整数集合：{   }； 分数集合：{   }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．有理数通常可分类如下： 根据有理数的分类把各数填在相应的集合内即可． 【详解】解：正有理数集合：{，，，，}； 负数集合：{，，，，}； 整数集合：{，，，，}； 分数集合：{，，，，，}． 【变式3】把下列各数的序号分别填入相应的圈内： ①；②3；③；④；⑤；⑥0；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握正数，负分数，整数的定义是解题的关键，根据正数：大于零的数；负分数：小于零的分数；整数：包括正整数、负整数和零；即可得到答案． 【详解】解：根据正数，负分数，整数的定义可得： 正数：3、、、、； 负分数：、、； 整数：3、0、； 故答案为： 【题型二 数轴】 【例2】如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 【变式1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，数形结合是解题关键． 根据题意，可得刻度尺上“”在数轴上的数的左侧的位置，即可求解． 【详解】解：刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和， 刻度尺上“”在数轴上的数的左侧的位置， 刻度尺上“”对应数轴上的数为． 故选：C． 【变式2】已知点A，B，C在数轴上表示的数分别是a，b，c，且满足，点C在点A和点B之间．若，则点C表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性以及数轴上两点间的距离，解题的关键在于利用绝对值的非负性求出的值，根据点C在点A和点B之间以及这一条件，设出点C表示的数，进而求出点C表示的数。 【详解】， ，解得， 设点C表示的数是， 又点C在点A和点B之间，， ，解得． 所以点C表示的数是1． 故答案为：． 【变式3】已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，点M表示的数为_____________，点N表示的数为_____________，线段的长是_____________； (2)若点M与点N关于原点对称，求x的值； (3)若点M在点N的左侧，求x的取值范围． 【答案】(1)；10；18． (2)． (3)． 【分析】本题考查了数轴的相关知识、关于原点对称的点的性质以及一元一次不等式的求解，掌握数轴上两点间距离公式、关于原点对称的点的数的关系以及利用点的位置关系列不等式是解题的关键． （1）将代入点的表达式求出对应数，再求两点间距离； （2）根据关于原点对称的点的数互为相反数列方程求解； （3）根据点M在点N左侧列不等式求解． 【详解】（1）当时，点表示的数为：， 点N表示的数为：， 线段的长为：； （2）∵点与点关于原点对称， ∴它们表示的数互为相反数，即： ， ， ， ， ； （3）∵点在点左侧， ∴点表示的数小于点表示的数，即： ， ， ， ． 【题型三 绝对值与相反数】 【例3】下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．没有绝对值最小的有理数 C．如果，那么 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，理解绝对值的定义是解题的关键． 根据绝对值的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】A、一个数的绝对值是非负数，故A错误； B、绝对值最小的有理数是0，故B错误； C、如果，那么或，故C错误； D、互为相反数的两个数的绝对值相等正确，故D正确． 故选：D． 【变式1】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，多重符号的化简，熟记概念是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、和相等，不是互为相反数，故本选项错误； B、和是互为相反数，故本选项正确； C、和相等，不是互为相反数，故本选项错误； D、和相等，不是互为相反数，故本选项错误． 故选：B． 【变式2】已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 【变式3】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 【题型四 有理数的大小比较】 【例4】用“”连接下列各数：，，，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值，相反数，有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键； 先根据绝对值和相反数进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：；； 用“”连接下列各数为：； 故答案为：． 【变式1】比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先通分，再比较其绝对值的大小即可求解，熟知负数比较大小的法则是解题的关键． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】在如图所示的数轴上标出表示下列各数的点，并用“＜”把它们连接起来． ． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题考查有理数的大小比较，关键是掌握数轴上的数，左边的总比右边的小． 首先利用数轴表示出各数的位置，再根据数轴上的数，左边点表示的数总比右边点表示的数小可得答案． 【详解】解：， 如图所示： 用“＜”连接为：． 【变式3】（1）请你在数轴上表示下列有理数： （2）将上面的数用“”连接起来 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的大小比较； （1）根据题意在数轴上表示各点，即可求解； （2）根据数轴右边的数大于左边的数，用“” 连接，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，    （2）根据数轴可得： 【题型五 有理数的混合运算】 【例5】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算的法则． 利用有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，先计算绝对值，再计算乘除法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）运用加法的交换律和结合律计算即可； （3）运用乘除法法则计算即可； （4）将除法转化为乘法，再运用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握运算法则以及运算顺序. （1）先计算乘除，再算加法. （2）先算绝对值以及括号里的运算，再算乘法，最后加法. （3）根据有理数除法法则，可转化成乘法，再根据乘法分配律，可得答案. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型六 有理数的乘方运算】 【例6】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算运算括号内的乘法，以及把括号外的除法化为乘法，然后运算括号内的加法运算，最后运算括号外的除法，即可作答． 【详解】解： 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)34 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式2】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2)1 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，求一个数的绝对值，乘方运算等，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先算乘除，后算加减； （2）先进行乘方运算，再进行括号里的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算； （3）利用除法运算法则转换成乘法，再利用乘法运算律进行计算即可； （4）先进行乘方、绝对值及括号内的计算，再进行乘除加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)26 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的乘方运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再结合有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （2）先运算乘方，再把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型七 有理数混合运算的实际应用】 【例7】某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手人数（人） 1 2 3 2 与标准身高相比（cm） (1)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有______名候选队员合格； (2)若将标准放宽为，则有______名候选队员合格； (3)求这8名候选队员的平均身高． 【答案】(1)2 (2)5 (3) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正负数的应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据表格数据，求出真实身高，进行判断即可； （2）根据表格数据，求出真实身高，进行判断即可； （3）求出8名候选队员的身高和，再除以总人数，进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，， 故身高在范围内为合格时，有身高为2名候选队员合格； 故答案为：2； （2）由（1）可知，将标准放宽为，有名候选队员合格； 故答案为：5； （3）； 答：这8名候选队员的平均身高为． 【变式1】小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】(1) (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3)小明家这7天的行驶费用是元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； （2）解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用：（元）， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 【变式2】最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米 (2)估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键； （1）用标准乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可； （2）求出油车和电车所需的费用，作差即可． 【详解】（1）解：； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （2）（元）； 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解； （2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可； （3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 答：工厂当周一共加工件零件； （2）解：根据题意得：（元）， 答：该工厂当周的加工总成本为元； （3）解：根据题意得：元， 答：该工厂当周的奖励总额为元． 【题型一 有理数的分类中遗漏情况】 【例1】把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①2025，②，③，④，⑤3.14，⑥0，⑦． (1)正数集合：{__________…．}； (2)分数集合：{__________…．}； (3)非负整数集合：{__________…．}． 【答案】(1)①⑤ (2)③④⑤⑦ (3)①⑥ 【分析】本题主要考查了有理数的分类．根据有理数的分类逐个解答即可． 【详解】（1）解：正数集合：{①⑤…}； 故答案为：①⑤； （2）解：分数集合：{③④⑤⑦…}； 故答案为：③④⑤⑦； （3）解：非负整数集合：{①⑥…}． 故答案为：①⑥． 【变式1】“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧． 运动会检录窗口 非负整数 正有理数 负整数 负有理数 【答案】④⑥⑧；②③⑤⑥⑧；⑦；①⑦ 【分析】本题考查了有理数的分类，理解其概念是解题关键． 根据有理数的分类进行划分即可，有理数是整数与分数统称，而整数分为正整数，0，负整数；分数分为正分数，负分数． 【详解】解： 运动会检录窗口 非负整数 正有理数 负整数 负有理数 ④⑥⑧ ②③⑤⑥⑧ ⑦ ①⑦ 【变式2】把下面的有理数填入它们属于的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正有理数集合：                 整数集合：                 负有理数集合：                 正整数集合：                 负整数集合：                 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键； 根据正有理数、整数、负有理数、正整数、负整数的相关概念找出相应的数填入即可． 【详解】正有理数集合：； 整数集合：； 负有理数集合：； 正整数集合：； 负整数集合：． 【变式3】将下列各数填入表示它所在集合的圈里． 5，，，0，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数及其分类，掌握有理数的概念及其分类是关键；根据有理数的概念及其分类即可求解． 【详解】解： 【题型二 数轴上两点之间距离表示忘记分类讨论】 【例2】在数轴上距离数2有1个单位长度的点所表示的数是（    ） A．1 B．3 C．或3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的点，数轴上两点之间的距离，由于所求点在点2的哪侧不能确定，所以应分在点2的左侧和在点2的右侧两种情况讨论． 【详解】解：由题意得：当所求点在点2的左侧时，则距离1个单位长度的点表示的数是1； 当所求点在点2的右侧时，则距离1个单位长度的点表示的数是3； 故所表示的数是1或3． 故选：D． 【变式1】一条数轴上有A，B两点，点A，B表示的数分别为和2，若B，C两点间的距离为3，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】10或4 【分析】本题考查了数轴上两点的距离．掌握求数轴上两点距离的方法，分类讨论，是解题的关键． 根据数轴上两点的距离求解即可，由点B表示的数为2，B，C两点间的距离为3，得点C表示的数为5或，由点A表示的数为，可得A，C两点间的距离为10或4． 【详解】解：∵点B表示的数为2，B，C两点间的距离为3， ∴点C表示的数为或． ∵点A表示的数为， ∴A，C两点间的距离为，或． 故答案为：10或4． 【变式2】已知在纸面上有一个数轴． (1)操作一：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，此时表示数的点与表示数______的点重合； (2)操作二：折叠纸面，使表示数的点与表示数的点重合，回答下列问题： ① 表示数的点与表示数______的点重合； ② 若折叠后，数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为（点在点的左侧），求两点所表示的数分别是多少； ③ 在②的条件下，在数轴上找一点，设点表示的数为，当点到点的距离之和为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②点表示的数为，点表示的数为；③或 【分析】（）根据中点坐标公式求出折叠点对应的数即可求解； （）①根据中点坐标公式求出折叠点对应的数即可求解；②设点表示的数为，则点表示的数为，根据中点坐标公式列出方程即可求解；③由②可得，可知点不在点之间，再分点在点左边和点N右边，根据数轴上两点间距离列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数与数轴，中点坐标公式，两点间距离，掌握中点坐标公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵表示数的点与表示数的点重合， ∴折叠点对应的数为， ∴表示数的点与表示数的点重合， 故答案为：； （2）解：①∵表示数的点与表示数的点重合， ∴折叠点对应的数为， 设表示数的点与表示数的点重合， 则， ∴， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表示的数为， ∵折叠后，两点也重合， ∴， 解得， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为； ③∵点表示的数为，点表示的数为； ∴， ∵点到点的距离之和为， ∴点不在点之间， 当点在点左边时，， 解得； 当点在点右边时，， 解得； 综上，的值为或． 【变式3】数形结合思想  【阅读】我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．因此，在如下图所示的数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么两点间的距离就可记作． 【思考】（1）数轴上表示2和6的两点之间的距离是多少？数轴上表示3和的两点之间的距离是多少？ 【探索】（2）数轴上表示x和的两点之间的距离是多少（用含x的式子表示）？ （3）试用数轴探究：当时，求m的值． 【拓展】（4）利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：的最小值为________，此时x可取的整数值为________． 【答案】（1）数轴上表示2和6的两点之间的距离为4；表示3和的两点之间的距离为4． （2）数轴上表示和的两点之间的距离为． （3）的值为4或． （4）      【分析】本题考查了数轴上两点间距离的概念，熟练掌握数轴两点间距离的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据定义用代数式表示； （3）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义进行化简求值即可． 【详解】解：（1）数轴上表示和两点之间的距离为； 表示和的两点之间的距离为. （2）数轴上表示和的两点之间的距离为； （3）时表示与的距离为， 当表示数的点在1的左侧，则， 当表示数的点在的右侧，则， 的值为或. （4）表示数轴上到和的距离之和， 的最小值表示数轴上到2和5的距离之和最小， 的最小值为，此时可取的整数有. 故答案为：     ． 【题型三 不会表示数轴上的动点问题】 【例3】在数轴上，点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上，将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B，那么点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上点的平移，根据题目中给出的条件先求出表示的数为，再根据向左平移2个单位长度即可得出B点表示的数． 【详解】解：点A距离原点2个单位长度，且点A在数轴的负半轴上， 表示的数为， 将点A沿数轴向左平移2个单位长度后得到点B， 点B表示的数为， 故选：A． 【变式1】数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查数轴上的动点、两点之间的距离，根据点A、B的运动方向和速度，可求得移动4秒后两点表示的数，进而可求解两点之间的距离． 【详解】解：根据题意，当移动4秒时停止，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点A与点B之间的距离为， 故答案为：5． 【变式2】如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 【答案】(1)5，20 (2)①2，；②5，5；③7，9；④， 【分析】本题主要考查了数轴两点间距离公式、数轴上的动点问题、列代数式等知识点，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①②③根据题意表示出点P、Q表示的数即可；④根据题意用代数式表示P、Q表示的数即可． 【详解】（1）解：的长度为个单位长度；的长度为个单位长度． 故答案为：5；20． （2）解：①当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：2，． ②当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：5，5． ③当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：7，9． ④点P对应的有理数为t，点Q对应的有理数为． 故答案为：，． 【变式3】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 (4)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； （4）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 【题型四 不理解绝对值的几何意义】 【例4】一个数在数轴上的对应点在原点左边，且，则的值为（   ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的特征，以及绝对值的含义和应用，首先求出，再根据在数轴上的对应点在原点左边，可得，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵数a在数轴上的对应点在原点左边， ∴． 故选：C． 【变式1】已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质，根据题意得出x和y的值，然后得出结论即可． 【详解】由题可知，， ， ， 或， 或． 故答案为：或． 【变式2】已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为回答问题： (1)数在数轴上对应的点到的距离为______； (2)已知，求的最小值为______； (3)已知，且有的最小值为你能否求出的值？的值？或，之间的关系？ 【答案】(1) (2) (3)当，且的最小值为时．或或 【分析】本题考查数轴表示数，利用一个点到两个点距离之和最小的计算方法是解决问题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，得出答案， （2）根据，可得，当时，则， （3）分三种情况，分别进行计算化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，数在数轴上对应的点到的距离为：， 故答案为：． （2）， ， 的意义是在数轴上表示的点到和的距离之和， 当时，， 故答案为：． （3）当时，则有， ， 当时，则有， ， ，即， 当时，则有， ， ， 答：当，且的最小值为时．或或 【变式3】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点分别表示，且与互为相反数，为原点． (1)___________，____________； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为____________； (3)两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示与两点之间的距离是． 若表示一个有理数，则的最小值____________． 若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是__________． 当__________时，取最小值． 【答案】(1)，； (2)； (3)；；． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，相反数定义，绝对值非负性，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （）根据绝对值非负性偶次幂非负性，通过相反数的定义得出，然后求解即可； （）先由对称性可知点与数字重合求出折痕点，然后求出点重合的点所表示的数即可； （）当时，的最小值； 当时，的值最小，最小值为，再求出符合条件的整数即可求解； 根据，，，，，，，，4的中间数即可所求． 【详解】（1）解：∵且与互为相反数， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得，， ∴点表示的数为， ∴要使点与表示的点重合， ∴折痕点为， ∴此时与点重合的点所表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵表示与之间的距离，表示与之间的距离，表示与和之间的距离和， ∴当时，的最小值， 故答案为：； ∵表示数轴上表示的点到表示的点和的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为， ∴的整数值为，，，，，，，， ∴所有整数的和是， 故答案为：； ∵表示倍与的距离，表示倍与的距离，表示倍与的距离之和， ∴，，，，，，，，4的中间数是， ∴当时，取最小值， 故答案为：． 【题型五 含绝对值符号的式子化简问题】 【例5】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解答此题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质进行化简． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：由数轴得：，即 则原式， 故选：D． 【变式1】已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 【变式2】已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 【变式3】有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 【题型六 有理数的简便运算技巧掌握不扎实】 【例6】请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 【变式1】怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算括号里的乘法和减法，再计算括号外的除法； （2）能凑整的先运算，然后再进行加减计算即可； （3）用乘法分配律的逆运算简便计算； （4）先将除法转化为乘法，再用乘法分配律进行简便计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分数的加减法运算以及除法运算，同时涉及到对分数进行变形和化简的技巧，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的计算法则． （）本题可利用加法交换律和结合律进行简便计算，将同分母的分数或能凑整的数结合在一起； （）先把带分数化为假分数，再把被除数提取2，从而简便计算除法式子； 【详解】（1）解： （2） 【变式3】计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算与乘法运算律，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先将带分数化为假分数，将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算计算即可； （2）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型七 有理数的实际应用问题】 【例7】童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负责配送药物，只要护士下单，它就能准确的送达．乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角．童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发．规定：童童从东边A 点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动．已知童童每秒跑米，乐乐每秒跑米．问： (1)第三次相遇距离B点多远? (2)若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次? 【答案】(1)6米 (2)29次 【分析】本题考查了整数、小数复合应用题，行程问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算出他们第三次相遇的时间，再运用乐乐的速度乘时间即可得出第三次相遇与B点的距离，即可作答． （2）先得出乐乐扫到60米处时的总时间以及童童行驶路程米，故童童在104米长的走廊上行驶个单程，每个单程都会与乐乐相遇一次，即第个单程结束后，童童在西边B点，继续从B点往A点行驶，在第秒时，距离B点米，此时乐乐打扫到60米处即距离B点米，不再相遇，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（秒）， （秒）， （米）， 即第三次相遇距离B点米． （2）解：乐乐打扫到60米处时，总时间（秒）， 此时童童行驶路程（米）， 童童在104米长的走廊上行驶个单程，每个单程都会与乐乐相遇一次，即第个单程结束后，童童在西边B点，继续从B点往A点行驶，在第秒时，距离B点米，此时乐乐打扫到60米处即距离B点米， ∵， ∴此时乐乐与童童不相遇， 即乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了次． 答：若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了29次． 【变式1】近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走________； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少？ (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油的价格为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1) (2) (3)这天的行驶费用比原来节省元． 【分析】本题主要考查了正负数的意义、平均数的计算以及费用的计算，熟练掌握正负数的运算和相关公式是解题的关键． （1）找出表格中最大和最小的数，求差得到最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）先计算七天与标准路程差值的平均数，再加上标准路程得到平均每天行驶的路程； （3）分别计算汽油车和新能源车七天的行驶费用，再求差值得到节省的费用． 【详解】（1）解：最多的一天：，最少的一天： ， 故答案为： （2）解： ， ， 答：这七天平均每天行驶了 （3）解：七天总路程： 汽油车费用：（元） 新能源车费用：（元） （元） 答：这天的行驶费用比原来节省元． 【变式2】某快递员一周的派件情况，规定派件量超过60件（每派一次快递称为一件）的部分记为“”，低于60件的部分记为“”．下表是该快递员一周的派件量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 派件量（单位：件） (1)求该快递员这一周平均每天派件多少件？ (2)快递员每天的工资由底薪80元加上派件补贴构成，派件补贴的方案如下：每天派件量不超过60件的部分，每件补贴3元；超过60件但不超过70件的部分，每件补贴5元；超过70件的部分，每件补贴7元．求该快递员这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)平均每天派件63件 (2)一周工资收入1959元 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用，正负数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算一周派件量与60件基准的差值总和，然后计算一周总派件数，即可求解平均每天派件数； （2）分别计算每天的补贴以及工资，再把一周的工资进行相加即可． 【详解】（1）解：（件）， （件）； （2）解：周一：（件），补贴（元），工资（元）， 周二：（件），（元），工资（元）， 周三：（件），补贴（元），工资（元）， 周四：（件），补贴（元），工资（元）， 周五：（件），补贴（元），工资（元）， 周六：（件），补贴（元），工资（元）， 周日：（件），补贴（元），工资（元）， ∴一周工资总和：（元）． 【变式3】综合与实践 【实践主题】体重调查． 【实践资料】党和国家非常重视青少年的身心健康，采用多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身心健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是七年级某小组6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 【实践分析】 (1)表中哪几位同学的体重超出标准体重？分析该小组同学的体重超出或小于标准体重的情况． (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重？要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑什么？据此进一步分析该小组同学的整体体重情况． 【实践拓展】 (3)请同学们根据这种标准体重的计算方式，计算自己的体重超出或少于标准体重的千克数，再依照此结果初步制订适合自己的体育锻炼方案． 【答案】(1)2号、4号、5号三位同学的体重超出标准体重；表中六位同学有三位同学的体重超出标准体重，三位同学的体重少于标准体重 (2)3号同学的体重最符合标准体重；前三位同学的体重比较符合标准体重，后三位同学与标准体重相差过多，其中4号、5号同学肥胖严重，6号同学太瘦 (3)例子见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正负数的应用，绝对值的意义，解决本题的关键是理解题目的意义． （1）根据表格中数据结合正负数的意义即可解答； （2）根据表正负数的意义即可得到哪位同学的体重最符合标准体重，再根据绝对值的意义即可解答； （3）假设某同学年龄13岁，实际体重，进行相关分析求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ∴表中有2号、4号、5号三位同学的体重超出标准体重；表中六位同学有三位同学的体重超出标准体重，三位同学的体重少于标准体重； （2）解：∵， ∴3号同学的体重离标准体重最近，最符合标准体重， 要想了解同学的体重情况，除判断正负外，还要考虑绝对值的大小，绝对值越大，离标准体重越远，越不符合标准体重．因此，前三位同学的体重比较符合标准体重，其中3号同学的体重最符合标准体重；后三位同学与标准体重相差过多，其中4号、5号同学肥胖严重，6号同学太瘦； （3）解：假设某同学年龄13岁，实际体重， 则标准体重（年龄） ， ∴体重差为：， 可以推荐的锻炼方案为：每周进行3至4次有氧运动（如跑步、跳绳，每次30分钟）、控制高热量食物的摄入，保证营养均衡． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $