专题1.6有理数的加法（知识点总结+10大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.6有理数的加法 【题型1】有理数加法法则的直接应用与符号判定 1.核心知识点总结 同号两数相加：取与加数相同的符号，并把绝对值相加（例：）。 异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值（例：）。 互为相反数的两数相加得0（例：）；一个数与0相加仍得这个数（例：）。 2.高频考点梳理 直接计算两个有理数的和，如计算。 判定两个有理数相加后和的符号，如已知、，判断的符号。 3.易错点警示 异号两数相加时，误将绝对值“相加”代替“相减”（如错算）。 忽略负数的括号，导致符号混淆（如将写成，易误算为）。 4.解题技巧拆解 步骤1：观察加数类型（同号/异号/含0/互为相反数），确定适用法则。 步骤2：根据法则先定和的符号，再算绝对值的运算（相加或相减）。 步骤3：验证结果（如互为相反数相加必为0，可快速检查）。 【例题1】．（2024-2025•无锡）计算﹣2+3的结果为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】利用有理数加法法则求解． 【解答】解：﹣2+3＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•大同期末）1+（﹣2）的结果是（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣1 D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则求解即可． 【解答】解：1+（﹣2）＝﹣（2﹣1）＝﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•抚顺县期末）计算：（+3）+（﹣8）＝ 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】根据异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•甘孜州期末）﹣3+5＝　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有理数的加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，再把它们的绝对值相加； ②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的从绝对值减较小的绝对值计算即可． 【解答】解：﹣3+5＝+（5﹣3）＝2． 故答案为2． 【点评】本题考查了有理数的加法法则． 【题型2】有理数加法的生活情境应用 1.核心知识点总结 生活中“相反意义的量”用正负数表示(如上升为正、下降为负，盈利为正、亏损为负)。 多个量的总和计算，转化为有理数的加法(如连续几天的气温变化，求最终气温)。 2.高频考点梳理 气温变化问题，如早晨气温，中午上升，求中午气温()。 盈亏计算问题，如某商店第一天盈利150元，第二天盈利元，求两天总盈利()。 3.易错点警示 混淆“正负数的实际意义”(如将“亏损20元”错记为元，导致加法结果错误)。 遗漏“初始量”(如求最终气温时，只算变化量，忘记加初始气温)。 4.解题技巧拆解 步骤1：确定“基准量”和“正负数表示规则”(如初始气温为基准，上升为正、下降为负)。 步骤2：将实际问题转化为“基准量+多个变化量的和”(如最终气温=初始气温+上升量+下降量)。 步骤3：计算有理数的和，结合实际意义解读结果(如和为正表示盈利，为负表示亏损)。 【例题2】．（2024-2025•乐清市期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶15m，再向西行驶20m，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（　　） A．（+15）+（+20） B．（+15）+（﹣20） C．（﹣15）+（+20） D．（﹣15）+（﹣20） 【答案】B 【分析】运用正负数是表示一对意义相反的量进行求解． 【解答】解：由题意得， 赛车相对于起点位置的是（+15）+（﹣20）， 故选：B． 【点评】此题考查了正负数意义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 【变式题2-1】．（2024-2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出算式﹣5+5，然后根据互为相反数的两个数相加得0计算即可判断． 【解答】解：根据题意得﹣5+5＝0（℃）， 即温度计上显示0℃， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•淮滨县开学）同学们寒假去红旗渠纪念馆进行研学活动，已知早上出发时气温是﹣1℃，中午温度上升了9℃，那么中午的气温是（　　） A．10℃ B．8℃ C．﹣10℃ D．﹣8℃ 【答案】B 【分析】根据题意列式，按照有理数加法运算法则计算即可． 【解答】解：﹣1+9＝8（℃）， ∴中午的气温是8℃； 故选：B． 【点评】本题考查有理数加法的实际应用，正确掌握相关知识是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•昭阳区期末）对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 【答案】B 【分析】分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【解答】解：A、由题意0﹣3+2＝﹣1，现在该物体在数轴上对应点的数为﹣1，选项说法错误，不符合题意； B、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故他这两个月合计亏了1万元，选项说法正确，符合题意； C、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在的气温是零下1℃，选项说法错误，不符合题意； D、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在水池中的水比原来少了1m3，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，数轴，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 【题型3】古代算筹表示的有理数加法 1.核心知识点总结 算筹表示规则：正放算筹表示正数，斜放算筹表示负数(如1根正放算筹=+1，1根斜放算筹=-1)。 算筹图形转化：根据算筹的正斜和数量，转化为正负数，再计算和。 2.高频考点梳理 解读算筹图形并计算和，如图示为2根正放(+2)和3根斜放(-3)，和为。 结合算筹历史背景的加法，如刘徽《九章算术注》中算筹表示的，求结果。 3.易错点警示 混淆“正放”和“斜放”对应的正负（如错将斜放算筹当作正数，导致数的符号错误）。 数错算筹的数量（如将4根算筹错数为3根，导致绝对值计算错误）。 4.解题技巧拆解 步骤1：根据题目规则，识别算筹的“正负”（正放=正，斜放=负）。 步骤2：数出正、负算筹的数量，转化为对应的正负数（如5根正放=+5，2根斜放=-2）。 步骤3：计算正负数的和，得出结果（如）。 【例题3】．（2024-2025•信都区期末）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【答案】B 【分析】根据正放表示正数，斜放表示负数，列式计算即可． 【解答】解：根据题意，得图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣（8﹣6）＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的加法运算，理解题意，正确的列式是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•山亭区期中）在中国古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算（+3）+（﹣4）的过程，按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　） A．（﹣3）+（﹣2） B．（+3）+（﹣2） C．（﹣3）+（+2） D．（+3）+（+2） 【答案】B 【分析】由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2可列式． 【解答】解：由图1知：白色表示负数，黑色表示正数， ∴图2表示的过程是在计算（+3）+（﹣2）． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1中表示的计算． 【变式题3-2】．（2024-2025•牡丹区期末）算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如图1中用算筹表示的算式是“7408+2366”，则图2中算筹表示的算式的运算结果为 　﹣426　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意和图示，可得算式103﹣529，然后计算即可． 【解答】解：由题意，可知图2中算筹表示的算式为103﹣529， 103﹣529＝﹣426． 故答案为：﹣426． 【点评】此题考查了有理数的加法，关键是根据算筹表示出算式103﹣529． 【变式题3-3】．（2024-2025•安阳期中）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图1表示的是（+21）+（﹣32）＝﹣11的计算过程，则图2表示的计算过程是（　　） A．（+45）+（﹣32）＝13 B．（﹣54）+（+23）＝﹣31 C．（+54）+（﹣23）＝21 D．（﹣45）+（+32）＝﹣13 【答案】D 【分析】由白色为正，黑色为负，依据题意写出算式即可． 【解答】解：根据图1的得出的计算过程，可得图2表示的计算过程是：（﹣45）+（+32）＝﹣13． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义并熟练应用，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【题型4】幻方(圆)中有理数加法的平衡问题(提升) 1.核心知识点总结 幻方(圆)的核心：横行、竖列、对角(内外圈)的4个(或3个)数之和相等(称为“幻和”)。 解题关键：先根据已知数求“幻和”，再用幻和求未知的有理数。 2.高频考点梳理 三阶幻方中的有理数加法，如幻方中每行和为0，已知两个数，求第三个数。 幻圆中的内外圈平衡，如幻圆横行和为，已知外圈3个数，求内圈数。 3.易错点警示 误将“幻和”算错(如三阶幻方中，错将某行的和当作幻和，未验证其他行是否相等)。 忽略负数的运算，计算未知项时符号错误(如幻和为，已知两数为2和，错算未知项为，实际应为)。 4.解题技巧拆解 步骤1：找“已知数最全的行/列/圈”，计算“幻和”(如某行有2、，和为，则幻和为)。 步骤2：用“幻和-已知数”求未知项(如另一行有，未知项为)。 步骤3：验证：将求得的数代入其他行/列/圈，确认和是否等于幻和(避免计算错误)。 【例题4】．（2024-2025•肇庆期末）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【答案】A 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5， 6+4+b+c＝2，得c＝﹣3， a+c+4+d＝2，a+d＝1， ∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6， 当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2． 【变式题4-1】．（2024-2025•昭阳区期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系：　每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15　 ．（用文字语言叙述） 【答案】每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15． 【分析】求出每一行，每一列以及两条斜对角线上的三个数的和，即可得出结论． 【解答】解：根据题意可知，4+9+2＝15，3+5+7＝15，8+1+6＝15， ∴每一行的三个数字之和为15， 4+3+8＝15，9+5+1＝15，2+7+6＝15， ∴每一列的三个数字之和为15， 4+5+6＝15，8+5+2＝15， ∴两条斜对角线上的三个数的和为15， 综上所述，每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15． 故答案为：每一横行数字、每一竖列数字以及两条斜对角线上的数字和都为15． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•潼关县模拟）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【解答】解：由题意可得：8+1+6＝15， ∴色＝15﹣6﹣7＝2． ∴红＝15﹣2﹣4＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，仔细阅读题意列出算式是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•西城区期末）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中﹣1，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为 　﹣3　 ； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可）． 【答案】（1）﹣3， （2）答案见解析部分（答案不唯一）． 【分析】根据题意，图2中大圆，小圆的数字之和为2，每一横线，每一竖线的数字之和也是2即可得到结果． 【解答】解：（1）∵﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝4，且8个数分成一个大圆，一个小圆， ∴每个圆中的4个数之和为2， ∴4+1+x+y＝2， ∴x+y＝﹣3， 故答案为：﹣3， （2）图2中的填写的数字，（答案不唯一）． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，熟练进行有理数运算是解题的关键． 【题型5】有理数加法运算律的基础运用(提升) 1.核心知识点总结 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即（例：）。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，即（例：）。 2.高频考点梳理 运用运算律重组算式简化计算，如计算。 判断运算过程中运用的运算律，如判断“”用了交换律。 3.易错点警示 交换加数位置时，忘记连同符号一起交换（如错将写成）。 结合加数时，误将符号带错（如错将写成）。 4.解题技巧拆解 技巧1：优先交换“能凑整”或“互为相反数”的加数（如将重组为）。 技巧2：用括号结合同号加数（如将结合为）。 步骤：先观察加数特征→交换位置→分组结合→计算每组和→最终求和。 【例题5】．（2024-2025•兴隆县期中）下列说法正确的是（　　） A．根据加法交换律有4﹣5﹣1＝﹣5+1+4 B．5﹣6可以看成是5加（﹣6） C．（+7）﹣（﹣4）+（﹣3）＝7﹣4﹣3 D．根据加法结合律有24﹣4﹣3＝24﹣（4﹣3） 【答案】B 【分析】根据有理数的运算律，可判断A，D，根据有理数的减法，可判断B，根据有理数的加法，可判断C， 【解答】解：A、4﹣5﹣1＝﹣5﹣1+4，故A错误； B、减去一个数等于加上这个数的相反数，故B正确； C、简化运算（+7）﹣（﹣4）+（﹣3）＝7+4﹣3，故C错误； D、24﹣4﹣3＝24﹣（3+3），故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查李有理数的加法，利用了有理数的加法运算律． 【变式题5-1】．（2024-2025•鼓楼区校级期中）5﹣3+7﹣9+12＝（5+7+12）+（﹣3﹣9）是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【答案】D 【分析】本题需先根据加法的交换律、加法的结合律等知识点进行判断，即可求出答案． 【解答】解：根据意义得：5﹣3+7﹣9+12＝（5+7+12）+（﹣3﹣9）， 故用了加法的交换律与结合律． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，在解题时要根据加法的交换律、加法的结合律等知识点进行判断是本题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•利津县月考）使用简便方法计算． （1）23+（﹣17）+6+（﹣22）； （2）﹣6.35+（﹣1.4）+（﹣7.6）+5.35； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣10；（2）﹣10；（3）0；（4）． 【分析】根据有理数的加法的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式＝23﹣17+6﹣22 ＝（23+6）﹣（17+22） ＝29﹣39 ＝﹣10； （2）原式＝（﹣6.35+5.35）+[（﹣1.4）+（﹣7.6）] ＝﹣1+[﹣（1.4+7.6）] ＝﹣1﹣9 ＝﹣10； （3）原式 ＝1+（﹣1） ＝0； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 【变式题5-3】．用简便方法计算： （1）（﹣24）+（+65）+（﹣16）+（+35）； （2）1.4+（﹣0.1）+（﹣6.4）+（﹣1.9）； （3）（）（）+（）； （4）（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）． 【答案】（1）60； （2）﹣7； （3）； （4）0． 【分析】（1）先让负数与负数结合，正数与正数结合计算，然后根据异号两数相加的运算法则计算即可； （2）先变形为[1.4+（﹣6.4）]+[（﹣0.1）+（﹣1.9）]进行计算，然后根据同号两数相加的运算法则计算即可； （3）先让负数与负数结合，互为相反数的两个数结合计算，然后根据异号两数相加的运算法则计算即可； （4）先变形为计算，然后根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 【解答】解：（1）（﹣24）+（+65）+（﹣16）+（+35） ＝[（﹣24）+（﹣16）]+[（+65）+（+35）] ＝（﹣40）+100 ＝60； （2）1.4+（﹣0.1）+（﹣6.4）+（﹣1.9） ＝[1.4+（﹣6.4）]+[（﹣0.1）+（﹣1.9）] ＝（﹣5）+（﹣2） ＝﹣7； （3）（）（）+（） ＝﹣1+0 ； （4）（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5） ＝﹣10+10 ＝0． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则及运算律是解题的关键． 【题型6】凑整法简化有理数加法运算(提升) 1.核心知识点总结 凑整法：将和为整数(如10、0、-5)或有限小数(如0.5、-2.0)的加数优先结合，简化计算。 常见凑整组合：互为相反数(和为0)、同分母分数(和为整数)、小数与小数(和为整数，如)。 2.高频考点梳理 小数与小数的凑整，如计算。 分数与分数的凑整，如计算。 3.易错点警示 凑整时忽略加数的符号(如错将结合为，实际应为)。 强行凑整导致分组错误(如将错分为，未发现)。 4.解题技巧拆解 技巧1：先观察加数的“末位特征”(如小数末位之和为10或0，分数分母相同)。 技巧2：用加法交换律和结合律重组算式，将“凑整组合”用括号结合(如)。 步骤：筛选凑整组合→交换位置→分组计算→汇总结果(避免分步计算时出错)。 【例题6】．计算（﹣3.68）+19+（﹣5.32），下列简便运算正确的是（　　） A．[（﹣3.68）+19]+（﹣5.32） B．（﹣3.68）+[19+（﹣5.32）] C．（﹣19）+（3.68+5.32） D．[（﹣3.68）+（﹣5.32）]+19 【答案】D 【分析】去括号，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【解答】解：（﹣3.68）+19+（﹣5.32） ＝﹣3.68+19﹣5.32 ＝[（﹣3.68）+（﹣5.32）]+19． 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•凤翔区月考）用简便方法计算：． 【答案】0． 【分析】直接利用运算律把原式化为，再计算即可． 【解答】解：原式 ＝1+（﹣1） ＝0． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法运算法则是关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•北湖区校级月考）用简便方法运算． ①1.4+（﹣0.2）+0.6+（﹣1.8）； ②． 【答案】①0；②． 【分析】①利用加法的运算律解答即可； ②利用加法的运算律解答即可． 【解答】解：①原式＝（1.4+0.6）+（﹣0.2﹣1.8） ＝2+（﹣2） ＝0； ②原式＝（）﹣（） ＝0﹣1 ． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，正确利用加法的运算律解答是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•浉河区校级月考）用简便的方法计算： （1）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）； （2）（﹣0.5）+32.75+（﹣5）． 【答案】（1）0； （2）0． 【分析】（1）根据有理数加法的计算方法计算即可； （2）根据有理数加法的计算方法计算即可． 【解答】解：（1）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8） ＝（﹣3）+（﹣17）+（12+8） ＝﹣20+20 ＝0； （2） ＝（﹣0.5）+3.25+2.75+（﹣5.5） ＝（﹣0.5）+（﹣5.5）+（3.25+2.75） ＝﹣6+6 ＝0． 【点评】本题主要考查有理数加法的计算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． 【题型7】拆项法处理带分数的有理数加法(提升) 1.核心知识点总结 拆项法：将带分数拆分为“整数部分+真分数部分”(如，)。 拆项后用加法交换律和结合律，将整数部分、分数部分分别分组相加，再汇总结果。 2.高频考点梳理 带分数加法的拆项计算，如计算。 多个带分数的连续加法，如计算。 3.易错点警示 拆负带分数时，漏将分数部分标负号(如错将拆为，实际应为)。 整数部分与分数部分混淆相加(如将整数3与分数直接相加为，忽略其他加数)。 4.解题技巧拆解 步骤1：拆项：将每个带分数拆为“整数+分数”，负带分数的分数部分必为负。 步骤2：分组：用结合律将所有整数部分、所有分数部分分别结合(如)。 步骤3：分别计算两组和→将两组结果相加(如整数和为0，分数和为，最终和为)。 【例题7】．（2024-2025•潮南区期末）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】仿照上述题干中的拆项法解题即可． 【解答】解： ＝1+（﹣2） ＝﹣1 【点评】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•宝安区月考）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　　 ＝0+　　 ＝　　 ． 上面这种方法叫拆项法． （1）请补全以上计算过程； （2）类比上面的方法计算：． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）参照（1）的解题思路按照有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：（1） ， 故答案为：；；； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解答本题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•通许县期中）阅读下面文字： 对于， 可以按如下方法进行计算： 原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）] ＝0+（） 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】． 【分析】仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算律． 【变式题7-3】．（2024-2025•临淄区校级月考）阅读下面文字： （1）对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法； 仿照上面的方法，请你计算：． （2）我们知道，|8﹣（﹣3）|表示8与﹣3的差的绝对值，实际上也可理解为8与﹣3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，|x﹣5|也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． ①计算：|9﹣（﹣5）|＝　14　 ． ②若|x﹣3|＝6，求x的值． ③请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，并写出解题过程． 【答案】（1）﹣2；（2）①14；②x＝9或x＝﹣3；③整数x的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． 【分析】（1）仿照题中拆项法即可求解； （2）①根据绝对值的意义求解即可； ②根据绝对值的意义可得x﹣3＝6或x﹣3＝﹣6，解方程即可； ③分当x＜﹣2时，当﹣2≤x≤4时，当x≥4时，三种情况去绝对值，然后解方程求出x的取值范围，进而求出符合题意的整数x的值． 【解答】解：（1）原式， ＝0+（﹣2） ＝﹣2； （2）①根据题意可得|9﹣（﹣5）|＝14， 故答案为：14； ②∵|x﹣3|＝6， ∴x﹣3＝±6， 当x﹣3＝±6， 解得：x＝9； 当x﹣3＝﹣6时， 解得：x＝﹣3； ③当x＜﹣2时， ﹣x+4﹣x﹣2＝6， ﹣2x＝6+2﹣4， ﹣2x＝4， 解得：x＝﹣2（舍去）； 当﹣2≤x≤4时，﹣x+4+x+2＝6恒成立， ∴整数x的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， 当x＞4时， x+4+x+2＝6， 2x＝6﹣2﹣4， 2x＝0， 解得：x＝0（舍去）； 综上可知：整数x的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，绝对值，数轴，掌握有理数的加法运算法则是关键． 【题型8】多个有理数加法的分组简化技巧（培优） 1.核心知识点总结 多个有理数加法(≥4个)：按“符号”“类型(整数/分数/小数)”“凑整特征”分组，简化计算。 常见分组方式：同号分组(所有正数一组，所有负数一组)、同类型分组(整数一组，分数一组)。 2.高频考点梳理 同号分组计算，如计算(正数组，负数组，总)。 同类型分组计算，如计算(整数组，小数组，总)。 3.易错点警示 分组时漏带加数的符号(如将分组为，错写成)。 分组后忘记“各组和相加”(如只算完正数组和为5，负数组和为，漏算)。 4.解题技巧拆解 技巧1：同号分组：用“+”连接所有正数，用“-”连接所有负数的绝对值，再算“正数和-负数绝对值和”(如)。 技巧2：同类型分组：先分离整数和分数(或小数)，分别求和后再相加(如)。 步骤：观察加数特征→确定分组方式→分组计算和→各组和相加→得结果。 【例题8】．（2024-2025•槐荫区校级月考）用运算律简便计算： （1）﹣20+（﹣14）+（+18）+（﹣16）； （2）． 【答案】（1）﹣32； （2）． 【分析】（1）利用有理数的加法交换律将（﹣14）和（+18）交换位置，进而求解即可； （2）利用有理数的加法交换律将和交换位置，求解即可． 【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）+（+18）+（﹣16） ＝[﹣20+（+18）]+[（﹣14）+（﹣16）] ＝﹣2+（﹣30） ＝﹣32； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法运算律是解题的关键． 【变式题8-1】．用简便方法计算： （1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）+（+6）； （2）（﹣2.6）+（﹣3.4）+（+2.3）+1.5+（﹣2.3）； （3）． 【答案】（1）0； （2）﹣4.5； （3）1． 【分析】（1）利用有理数的加法法则计算； （2）利用有理数的加法法则计算； （3）利用有理数的加法法则计算． 【解答】解：（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）+（+6） ＝7﹣6﹣7+6 ＝0； （2）（﹣2.6）+（﹣3.4）+（+2.3）+1.5+（﹣2.3） ＝﹣2.6﹣3.4+2.3+1.5﹣2.3 ＝﹣6+1.5 ＝﹣4.5； （3） ＝﹣3231 ＝﹣1+2 ＝1． 【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． 【变式题8-1】．用简便方法计算： （1）（﹣2.25）+（）+（）+0.125； （2）（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）． 【答案】（1）﹣3.5； （2）1． 【分析】（1）先将分数化为小数，然后利用凑整法进行结合计算，最后根据同号两数相加的运算法则计算即可； （2）先利用凑整法、互为相反数的两数进行结合计算，再根据异号两数相加的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣2.25）+（）+（）+0.125 ＝（﹣2.25）+（﹣0.625）+（﹣0.75）+0.125 ＝[（﹣2.25）+（﹣0.75）]+[（﹣0.625）+0.125] ＝﹣3+（﹣0.5） ＝﹣3.5； （2）（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2） ＝11+0+（﹣10） ＝1． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则能够进行简便计算是解题的关键． 【变式题8-3】．用简便方法计算： （1）（+6）+（﹣5）+（+4）+（﹣1）； （2）（﹣2.125）+（+3）+（+5）+（﹣3.2）． 【答案】（1）4； （2）3． 【分析】（1）先将正数与正数、负数与负数结合，然后计算即可； （2）将互为相反数的两个数结合，分母相同的正数、负数结合，然后计算即可． 【解答】解：（1） ＝11+（﹣7） ＝4； （2） ＝3+0 ＝3． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，注意简便方法的运用． 【题型9】有理数加法的新定义运算（培优） 1.核心知识点总结 新定义运算：根据题目给出的“新规则”(如，)，将新运算转化为有理数的加法。 新运算优先于常规运算，有括号先算括号内(如，先算，再算结果)。 2.高频考点梳理 直接代入的新定义加法，如定义，求()。 结合规律的新定义运算，如定义，求()。 3.易错点警示 误解新定义规则(如将错记为，导致运算方向错误)。 忽略新运算中的符号(如定义，错算，实际应为)。 4.解题技巧拆解 步骤1：精读新定义规则，用“常规运算符号”翻译(如，翻译为“第一个数加第二个数的2倍”)。 步骤2：代入具体数值，按规则转化为有理数加法(如，，)。 步骤3：计算加法结果，若有多层运算，先算内层(如，先算，再算)。 【例题9】．（2024-2025•莱西市期末）定义：对于一个有理数，我们把[x]称为x的有缘数．若x≥0，则，若x＜0，则．计算[3]+[﹣2]的结果为　3　 ． 【答案】3． 【分析】先根据新定义，求出[3]和[﹣2]的值，再代入求值即可． 【解答】解：根据题意可知，， ， ∴[3]+[﹣2]＝0+3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，理解新定义的含义和有理数的运算法则是关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•金凤区校级期中）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊙b＝﹣a+b．则4⊙（5⊙3）的值等于（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10 【答案】C 【分析】根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【解答】解：由题意可得：a⊙b＝﹣a+b． ∵5⊙3＝﹣5+3＝﹣2， ∴4⊙（5⊙3）＝4⊙（﹣2）＝﹣4+（﹣2）＝﹣6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•黄石港区月考）定义运算：a？b＝a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①2？（﹣2）＝6； ②a？b＝b？a； ③若a+b＝0，则（a？a）+（b？b）＝2ab； ④若a？b＝0，则a＝0或b＝1．其中结论正确的序号是（　　） A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①中2？（﹣2）＝2×[1﹣（﹣2）]，计算出该结果是否与所给结果相同，据此判断该选项的正误； ②中a？b＝a•（1﹣b）＝a﹣ab，b？a＝b（1﹣a）＝b﹣ab，a﹣ab与b﹣ab不一定相等，据此判断该选项的正误； 同理，结合定义的新运算判断出③④的解． 【解答】解：①、2？（﹣2）＝2×[1﹣（﹣2）]＝2×3＝6，故①正确； ②、a？b＝a•（1﹣b）＝a﹣ab，b⊗a＝b（1﹣a）＝b﹣ab， a﹣ab与b﹣ab不一定相等，则②的结论错误； ③由a+b＝0知a＝﹣b，则a2＝b2， （a？a）+（b？b）＝[a（1﹣a）]+[b（1﹣b）]＝a﹣a2+b﹣b2＝﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2+2ab＝2ab， 故③正确； ④∵a？b＝a（1﹣b）＝0， ∴a＝0或1﹣b＝0， 则a＝0或b＝1， 故④正确． 综上可知，正确的是①③④． 故选：A． 【点评】本题侧重考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•长春期末）定义：对于一个有理数，我们把{x}称为x的相伴数．若x≥0，则x﹣1；若x＜0，则x+2．计算{3}+{﹣1}的结果为（　　） A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.5 【答案】B 【分析】根据相伴数的定义计算求解即可． 【解答】解：∵3＞0，﹣1＜0， ∴{3}+{﹣1}， ， ＝2.5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解“相伴数”的定义是解题的关键． 【题型10】有理数加法中的规律探究（培优） 1.核心知识点总结 有理数加法的规律常见类型：循环规律(如)、分组规律(如)。 规律探究的核心：找出“重复单元”或“分组方式”，计算每组和，再求总组数。 2.高频考点梳理 交替符号的加法规律，如计算。 固定组数的和规律，如观察，，，求的和。 3.易错点警示 确定“总项数”错误(如计算时，错认为项数是2023，实际为2023项，分组为1011组+最后一项)。 忽略每组的符号变化(如错将分组为，实际应为)。 4.解题技巧拆解 技巧1：找重复单元：观察前几项，确定“几个数为一组”(如2个数一组：，)。 技巧2：算组数和余数：总项数÷每组项数=组数……余数(如2023项，2项一组，得1011组余1项)。 步骤：找规律→分组→算每组和→算总组数的和→加余数项(若有)→得结果。 【例题10】．（2024-2025•桐柏县期中）如图，你能由此得出计算规律吗？ （1）1+3+5+7+9+11＝（　6　 ）2； （2）由此猜测：1+3+5+⋯（2n﹣1）＝　n2　 ； （3）由（2）的结论求下列式子的值： ①2+4+6+⋯+200＝　10100　 ； ②1+2+3+⋯+200＝　20100　 ； ③13+15+17+⋯+87＝　1900　 ． 【答案】（1）6； （2）n2； （3）①10100；②20100；③1900． 【分析】（1）（2）读懂题意，根据题意发现规律，利用规律解答； （3）根据（2）中规律计算． 【解答】解：（1）1+3+5+7+9+11＝（6）2； 故答案为：6； （2）由此猜测：1+3+5+⋯（2n﹣1）＝n2； 故答案为：n2； （3）①2+4+6+⋯+200 ＝1+1+1+3+1+5+1+7+...+1+199 ＝100+1002 ＝（100+1）×100 ＝10100； ②1+2+3+⋯+200 ＝201×100 ＝20100； ③13+15+17+⋯+87 ＝442﹣62 ＝（44﹣6）×（44+6） ＝38×50 ＝1900． 故答案为：①10100；②20100；③1900． 【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是读懂题意能发现规律，利用规律解答． 【变式题10-1】．（2024-2025•惠来县期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|5﹣16|＝ 　16﹣5　 ； ② 　　 ； ③|3.14﹣π|＝ 　π﹣3.14　 ． （2）用合理的方法计算：有理数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|的结果为 　2﹣a　 ． （3）用简单的方法计算：． 【答案】（1）①16﹣5；②；③π﹣3.14； （2）2﹣a； （3）． 【分析】（1）根据题干给出的等式，得到小数减大数的绝对值等于大数减小数，进行化简即可； （2）首先根据a在数轴上的位置得到a＜2，得到a﹣2＜0，然后化简绝对值即可； （3）先化简，再进行计算． 【解答】解：（1）①|5﹣16|＝16﹣5； ②； ③|3.14﹣π|＝π﹣3.14； （2）∵a＜2， ∴a﹣2＜0， ∴|a﹣2|＝2﹣a； （3）原式 ． 【点评】本题考查化简绝对值，有理数的加减混合运算．从题干给定的等式中得到小数减大数的绝对值等于大数减小数是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•泉州期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　21﹣7　 ； ②|0.8|＝　0.8　 ； ③||＝　　 ： （2）数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|＝　B　 ． A．a﹣2.5 B.2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5 （3）利用上述介绍的方法计算或化简： ①||+||﹣||； ②||+||﹣||+2（），其中a＞2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简； （2）根据数轴上a的位置判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简； （3）①根据分子相等时，分母大的值越小，可判定式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简； ②分情况讨论并化简． 【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|0.8|；③||； 故答案为：①21﹣7；②0.8；③； （2）由数轴得：a＜2.5， 则|a﹣2.5|＝2.5﹣a， 故选：B； （3）利用上述介绍的方法计算或化简： ①||+||﹣||； ， ， ， ②||+||﹣||+2（），其中a＞2． 当2＜a＜5时，原式， ， ， 当a≥5时，原式， ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算和绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•龙马潭区月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　21﹣7　 ； ②　　 ； ③　　 ； （2）数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|＝　B　 ． A．a﹣2.5 B．2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5 （3）用合理的方法计算：． 【答案】（1）①21﹣7； ②； ③； （2）B； （3）． 【分析】（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，计算即可； （2）观察数轴，可知a＜2.5，根据绝对值的性质，即可得到答案； （3）根据绝对值的性质，进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7； ②； ②； 故答案为：①21﹣7；②；③； （2）∵a＜2.5， ∴a﹣2.5为负数， ∴|a﹣2.5|＝2.5﹣a， 故答案为：B； （3） ． 【点评】本题考查了有理数的绝对值的化简，有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的绝对值的化简的法则及有理数的加减运算法则是解本题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C B C D D 一．选择题（共5小题） 1．计算﹣2+3的结果是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则计算即可得． 【解答】解：﹣2+3＝1， ∴﹣2+3的结果是1． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 2．对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 【答案】B 【分析】分别列出各选项中的算式，进行判断即可． 【解答】解：A、由题意0﹣3+2＝﹣1，现在该物体在数轴上对应点的数为﹣1，选项说法错误，不符合题意； B、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故他这两个月合计亏了1万元，选项说法正确，符合题意； C、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在的气温是零下1℃，选项说法错误，不符合题意； D、2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，故现在水池中的水比原来少了1m3，选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的加法，数轴，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 3．比﹣1大2的数为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意得列出算式﹣1+2，然后根据有理数加法法则计算即可． 【解答】解：根据题意得﹣1+2＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．已知|a|＝3，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．5或﹣5 C．3或﹣2 D．5或1 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据b＜a，分析可得a＝3，b＝2或b＝﹣2，然后代入进行计算即可求解． 【解答】解：根据题意可知，a＝3或a＝﹣3，b＝2或b＝﹣2， 又∵b＜a， ∴a＝3，b＝2或b＝﹣2， ∴当a＝3，b＝2时，a+b＝3+2＝5， 当a＝3，b＝﹣2时，a+b＝3﹣2＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的加法，掌握相应的运算法则是关键． 5．下列问题情境，不能用加法算式﹣2+10表示的是（　　） A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况 B．某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离 【答案】D 【分析】根据有理数的加减法的意义判断即可． 【解答】解：A、水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况，可以表示为：﹣2+10，不符合题意； B、某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温，可以表示为：﹣2+10，不符合题意； C、用10元纸币购买2元文具后找回的零钱，可以表示为：﹣2+10，不符合题意； D、数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离为：2+10，不能用加法算式﹣2+10表示，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了正负数的意义，以及有理数加法的实际应用，掌握有理数加法运算的运算法则和运算顺序是关键． 二．填空题（共5小题） 6．已知每相邻三数之和为18，则a＝　6　 ． 5 a 7 【答案】6． 【分析】根据每相邻三数之和为18，可得表格中的数是每3个循环的，从而可得答案． 【解答】解：由题意可得：表格中的数是每3个循环的， 填表如下： 5 7 a 5 7 a 5 7 a 5 7 a 5 7 ∴a＝18﹣5﹣7＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是数字类的规律探究，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．在后面括号内的横线上填上一个数，使计算结果为负数：2+（ 　﹣3（答案不唯一）　 ）． 【答案】﹣3（答案不唯一）． 【分析】根据有理数加减运算法则即可求解． 【解答】解：由题意可得：2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1，符合题意， 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，掌握其运算法则是解题的关键． 8．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出算式求解即可． 【解答】解：由题意可得：8+1+6＝15， ∴色＝15﹣6﹣7＝2． ∴红＝15﹣2﹣4＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了有理数的加法，仔细阅读题意列出算式是解题的关键． 9．计算：1+3+5+7+•••+97+99＝　2500　 ＝　50　 2． 【答案】2500；50． 【分析】算式1+3+5+7+•••+97+99中的加数构成一个公差为“2”的等差数列，首项为1，末项为99，项数为50．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2． 【解答】解：原式 ＝502 ＝2500． 故答案为：2500，50． 【点评】本题考查的是简单数列的求和，利用总结出的规律进行求和是解本题的关键． 10．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则a+b的值是　﹣6或﹣3　 ． 【答案】﹣6或﹣3． 【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4， ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2， 则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5， 6+4+b+c＝2，得c＝﹣3， a+c+4+d＝2，a+d＝1， ∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6， 当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3， ∴a+b的值为﹣6或﹣3． 故答案为：﹣6或﹣3． 【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2． 三．解答题（共5小题） 11．某电影院共有8排座位，第一排有12个座位，后面每排都比前面一排多2个座位，这个电影院共有多少个座位？ 【答案】152． 【分析】先确定每排的座位数，再通过配对求和的方法计算电影院的总座位数． 【解答】解：由题意得，12+14+16+18+20+22+24+26＝152 （个）， 答：这个电影院共有152个座位． 【点评】本题考查了整数的四则混合运算，正确理解题意是解题的关键． 12．用算式表示下面的结果： （1）温度由﹣4℃上升7℃； （2）收入7元，又支出5元． 【答案】（1）3；（2）2． 【分析】（1）根据条件可得﹣4+7，利用有理数加法的运算法则进行解答即可得解； （2）根据条件可得7+（﹣5），利用有理数加法的运算法则进行解答即可． 【解答】解：（1）上升用正数表示，下降用负数表示，﹣4+7＝3（℃）； （2）收入用正数表示，支出用负数表示，7+（﹣5）＝2（元）． 【点评】本题主要考查了有理数加法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 13．小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长变化/h ﹣0.2 ﹣0.3 +0.2 +0.1 0 +0.3 +0.2 （1）0h的意思是　星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化　 ； （2）本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？ 【答案】（1）星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； （2）本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加0.3h． 【分析】（1）0h的意思是星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； （2）求出时间变化的和，结果是正数，说明本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加了0.3h． 【解答】解：（1）0h的意思是星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； 故答案为：星期五小华的体育锻炼时长与前一天相比没有变化； （2）∵﹣0.2+（﹣0.3）+0.2+0.1+0+0.3+0.2＝0.3（h）， ∴说明本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比增加了0.3h． 【点评】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法则是解题的关键． 14．阅读下面的文字： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算：． 【答案】﹣7.25． 【分析】将原式变形后利用加法的交换律与结合律计算即可． 【解答】解：原式＝﹣3+（）+（﹣7）+（）+14（﹣10）+（） ＝[﹣3+（﹣7）+14+（﹣10）]+[（）（）] ＝﹣6+（﹣1.25） ＝﹣7.25． 【点评】本题考查有理数的加法，理解题意并将原式进行正确地变形是解题的关键． 15．如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若a＝﹣3，求这四个有理数的和； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 【答案】（1）3 （2）a＝﹣4 【分析】（1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于a的方程求解即可． 【解答】解：（1）若a＝﹣3，求这四个有理数的和为：﹣3+5+4+（﹣3）＝3； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等， ﹣3+4＝5+a， ∴a＝﹣4． 【点评】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6有理数的加法 【题型1】有理数加法法则的直接应用与符号判定 1.核心知识点总结 同号两数相加：取与加数相同的符号，并把绝对值相加（例：）。 异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值（例：）。 互为相反数的两数相加得0（例：）；一个数与0相加仍得这个数（例：）。 2.高频考点梳理 直接计算两个有理数的和，如计算。 判定两个有理数相加后和的符号，如已知、，判断的符号。 3.易错点警示 异号两数相加时，误将绝对值“相加”代替“相减”（如错算）。 忽略负数的括号，导致符号混淆（如将写成，易误算为）。 4.解题技巧拆解 步骤1：观察加数类型（同号/异号/含0/互为相反数），确定适用法则。 步骤2：根据法则先定和的符号，再算绝对值的运算（相加或相减）。 步骤3：验证结果（如互为相反数相加必为0，可快速检查）。 【例题1】．（2024-2025•无锡）计算﹣2+3的结果为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【变式题1-1】．（2024-2025•大同期末）1+（﹣2）的结果是（　　） A．3 B．﹣2 C．﹣1 D． 【变式题1-2】．（2024-2025•抚顺县期末）计算：（+3）+（﹣8）＝ 　 　 ． 【变式题1-3】．（2024-2025•甘孜州期末）﹣3+5＝　 　 ． 【题型2】有理数加法的生活情境应用 1.核心知识点总结 生活中“相反意义的量”用正负数表示(如上升为正、下降为负，盈利为正、亏损为负)。 多个量的总和计算，转化为有理数的加法(如连续几天的气温变化，求最终气温)。 2.高频考点梳理 气温变化问题，如早晨气温，中午上升，求中午气温()。 盈亏计算问题，如某商店第一天盈利150元，第二天盈利元，求两天总盈利()。 3.易错点警示 混淆“正负数的实际意义”(如将“亏损20元”错记为元，导致加法结果错误)。 遗漏“初始量”(如求最终气温时，只算变化量，忘记加初始气温)。 4.解题技巧拆解 步骤1：确定“基准量”和“正负数表示规则”(如初始气温为基准，上升为正、下降为负)。 步骤2：将实际问题转化为“基准量+多个变化量的和”(如最终气温=初始气温+上升量+下降量)。 步骤3：计算有理数的和，结合实际意义解读结果(如和为正表示盈利，为负表示亏损)。 【例题2】．（2024-2025•乐清市期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶15m，再向西行驶20m，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（　　） A．（+15）+（+20） B．（+15）+（﹣20） C．（﹣15）+（+20） D．（﹣15）+（﹣20） 【变式题2-1】．（2024-2025•河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-2】．（2024-2025•淮滨县开学）同学们寒假去红旗渠纪念馆进行研学活动，已知早上出发时气温是﹣1℃，中午温度上升了9℃，那么中午的气温是（　　） A．10℃ B．8℃ C．﹣10℃ D．﹣8℃ 【变式题2-3】．（2024-2025•昭阳区期末）对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 【题型3】古代算筹表示的有理数加法 1.核心知识点总结 算筹表示规则：正放算筹表示正数，斜放算筹表示负数(如1根正放算筹=+1，1根斜放算筹=-1)。 算筹图形转化：根据算筹的正斜和数量，转化为正负数，再计算和。 2.高频考点梳理 解读算筹图形并计算和，如图示为2根正放(+2)和3根斜放(-3)，和为。 结合算筹历史背景的加法，如刘徽《九章算术注》中算筹表示的，求结果。 3.易错点警示 混淆“正放”和“斜放”对应的正负（如错将斜放算筹当作正数，导致数的符号错误）。 数错算筹的数量（如将4根算筹错数为3根，导致绝对值计算错误）。 4.解题技巧拆解 步骤1：根据题目规则，识别算筹的“正负”（正放=正，斜放=负）。 步骤2：数出正、负算筹的数量，转化为对应的正负数（如5根正放=+5，2根斜放=-2）。 步骤3：计算正负数的和，得出结果（如）。 【例题3】．（2024-2025•信都区期末）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【变式题3-1】．（2024-2025•山亭区期中）在中国古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算（+3）+（﹣4）的过程，按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　） A．（﹣3）+（﹣2） B．（+3）+（﹣2） C．（﹣3）+（+2） D．（+3）+（+2） 【变式题3-2】．（2024-2025•牡丹区期末）算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如图1中用算筹表示的算式是“7408+2366”，则图2中算筹表示的算式的运算结果为 　 　 ． 【变式题3-3】．（2024-2025•安阳期中）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），图1表示的是（+21）+（﹣32）＝﹣11的计算过程，则图2表示的计算过程是（　　） A．（+45）+（﹣32）＝13 B．（﹣54）+（+23）＝﹣31 C．（+54）+（﹣23）＝21 D．（﹣45）+（+32）＝﹣13 【题型4】幻方(圆)中有理数加法的平衡问题(提升) 1.核心知识点总结 幻方(圆)的核心：横行、竖列、对角(内外圈)的4个(或3个)数之和相等(称为“幻和”)。 解题关键：先根据已知数求“幻和”，再用幻和求未知的有理数。 2.高频考点梳理 三阶幻方中的有理数加法，如幻方中每行和为0，已知两个数，求第三个数。 幻圆中的内外圈平衡，如幻圆横行和为，已知外圈3个数，求内圈数。 3.易错点警示 误将“幻和”算错(如三阶幻方中，错将某行的和当作幻和，未验证其他行是否相等)。 忽略负数的运算，计算未知项时符号错误(如幻和为，已知两数为2和，错算未知项为，实际应为)。 4.解题技巧拆解 步骤1：找“已知数最全的行/列/圈”，计算“幻和”(如某行有2、，和为，则幻和为)。 步骤2：用“幻和-已知数”求未知项(如另一行有，未知项为)。 步骤3：验证：将求得的数代入其他行/列/圈，确认和是否等于幻和(避免计算错误)。 【例题4】．（2024-2025•肇庆期末）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（　　） A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1 【变式题4-1】．（2024-2025•昭阳区期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系：　 　 ．（用文字语言叙述） 【变式题4-2】．（2024-2025•潼关县模拟）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•西城区期末）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中﹣1，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为 　 　 ； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可）． 【题型5】有理数加法运算律的基础运用(提升) 1.核心知识点总结 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即（例：）。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变，即（例：）。 2.高频考点梳理 运用运算律重组算式简化计算，如计算。 判断运算过程中运用的运算律，如判断“”用了交换律。 3.易错点警示 交换加数位置时，忘记连同符号一起交换（如错将写成）。 结合加数时，误将符号带错（如错将写成）。 4.解题技巧拆解 技巧1：优先交换“能凑整”或“互为相反数”的加数（如将重组为）。 技巧2：用括号结合同号加数（如将结合为）。 步骤：先观察加数特征→交换位置→分组结合→计算每组和→最终求和。 【例题5】．（2024-2025•兴隆县期中）下列说法正确的是（　　） A．根据加法交换律有4﹣5﹣1＝﹣5+1+4 B．5﹣6可以看成是5加（﹣6） C．（+7）﹣（﹣4）+（﹣3）＝7﹣4﹣3 D．根据加法结合律有24﹣4﹣3＝24﹣（4﹣3） 【变式题5-1】．（2024-2025•鼓楼区校级期中）5﹣3+7﹣9+12＝（5+7+12）+（﹣3﹣9）是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【变式题5-2】．（2024-2025•利津县月考）使用简便方法计算． （1）23+（﹣17）+6+（﹣22）； （2）﹣6.35+（﹣1.4）+（﹣7.6）+5.35； （3）； （4）． 【变式题5-3】．用简便方法计算： （1）（﹣24）+（+65）+（﹣16）+（+35）； （2）1.4+（﹣0.1）+（﹣6.4）+（﹣1.9）； （3）（）（）+（）； （4）（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）． 【题型6】凑整法简化有理数加法运算(提升) 1.核心知识点总结 凑整法：将和为整数(如10、0、-5)或有限小数(如0.5、-2.0)的加数优先结合，简化计算。 常见凑整组合：互为相反数(和为0)、同分母分数(和为整数)、小数与小数(和为整数，如)。 2.高频考点梳理 小数与小数的凑整，如计算。 分数与分数的凑整，如计算。 3.易错点警示 凑整时忽略加数的符号(如错将结合为，实际应为)。 强行凑整导致分组错误(如将错分为，未发现)。 4.解题技巧拆解 技巧1：先观察加数的“末位特征”(如小数末位之和为10或0，分数分母相同)。 技巧2：用加法交换律和结合律重组算式，将“凑整组合”用括号结合(如)。 步骤：筛选凑整组合→交换位置→分组计算→汇总结果(避免分步计算时出错)。 【例题6】．计算（﹣3.68）+19+（﹣5.32），下列简便运算正确的是（　　） A．[（﹣3.68）+19]+（﹣5.32） B．（﹣3.68）+[19+（﹣5.32）] C．（﹣19）+（3.68+5.32） D．[（﹣3.68）+（﹣5.32）]+19 【变式题6-1】．（2024-2025•凤翔区月考）用简便方法计算：． 【变式题6-2】．（2024-2025•北湖区校级月考）用简便方法运算． ①1.4+（﹣0.2）+0.6+（﹣1.8）； ②． 【变式题6-3】．（2024-2025•浉河区校级月考）用简便的方法计算： （1）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）； （2）（﹣0.5）+32.75+（﹣5）． 【题型7】拆项法处理带分数的有理数加法(提升) 1.核心知识点总结 拆项法：将带分数拆分为“整数部分+真分数部分”(如，)。 拆项后用加法交换律和结合律，将整数部分、分数部分分别分组相加，再汇总结果。 2.高频考点梳理 带分数加法的拆项计算，如计算。 多个带分数的连续加法，如计算。 3.易错点警示 拆负带分数时，漏将分数部分标负号(如错将拆为，实际应为)。 整数部分与分数部分混淆相加(如将整数3与分数直接相加为，忽略其他加数)。 4.解题技巧拆解 步骤1：拆项：将每个带分数拆为“整数+分数”，负带分数的分数部分必为负。 步骤2：分组：用结合律将所有整数部分、所有分数部分分别结合(如)。 步骤3：分别计算两组和→将两组结果相加(如整数和为0，分数和为，最终和为)。 【例题7】．（2024-2025•潮南区期末）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式题7-1】．（2024-2025•宝安区月考）阅读下面文字： 对于可以进行如下计算： 解：原式 ＝[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　 　 ＝0+　 　 ＝　 　 ． 上面这种方法叫拆项法． （1）请补全以上计算过程； （2）类比上面的方法计算：． 【变式题7-2】．（2024-2025•通许县期中）阅读下面文字： 对于， 可以按如下方法进行计算： 原式＝[（﹣5）+（）]+[（﹣9）+（）]+（17）+[（﹣3）+（）] ＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（）+（）（）] ＝0+（） 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式题7-3】．（2024-2025•临淄区校级月考）阅读下面文字： （1）对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法； 仿照上面的方法，请你计算：． （2）我们知道，|8﹣（﹣3）|表示8与﹣3的差的绝对值，实际上也可理解为8与﹣3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．同理，|x﹣5|也可理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离． ①计算：|9﹣（﹣5）|＝　 　 ． ②若|x﹣3|＝6，求x的值． ③请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，并写出解题过程． 【题型8】多个有理数加法的分组简化技巧（培优） 1.核心知识点总结 多个有理数加法(≥4个)：按“符号”“类型(整数/分数/小数)”“凑整特征”分组，简化计算。 常见分组方式：同号分组(所有正数一组，所有负数一组)、同类型分组(整数一组，分数一组)。 2.高频考点梳理 同号分组计算，如计算(正数组，负数组，总)。 同类型分组计算，如计算(整数组，小数组，总)。 3.易错点警示 分组时漏带加数的符号(如将分组为，错写成)。 分组后忘记“各组和相加”(如只算完正数组和为5，负数组和为，漏算)。 4.解题技巧拆解 技巧1：同号分组：用“+”连接所有正数，用“-”连接所有负数的绝对值，再算“正数和-负数绝对值和”(如)。 技巧2：同类型分组：先分离整数和分数(或小数)，分别求和后再相加(如)。 步骤：观察加数特征→确定分组方式→分组计算和→各组和相加→得结果。 【例题8】．（2024-2025•槐荫区校级月考）用运算律简便计算： （1）﹣20+（﹣14）+（+18）+（﹣16）； （2）． 【变式题8-1】．用简便方法计算： （1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）+（+6）； （2）（﹣2.6）+（﹣3.4）+（+2.3）+1.5+（﹣2.3）； （3）． 【变式题8-2】．用简便方法计算： （1）（﹣2.25）+（）+（）+0.125； （2）（+6）+（﹣18）+（+4）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）． 【变式题8-3】．用简便方法计算： （1）（+6）+（﹣5）+（+4）+（﹣1）； （2）（﹣2.125）+（+3）+（+5）+（﹣3.2）． 【题型9】有理数加法的新定义运算（培优） 1.核心知识点总结 新定义运算：根据题目给出的“新规则”(如，)，将新运算转化为有理数的加法。 新运算优先于常规运算，有括号先算括号内(如，先算，再算结果)。 2.高频考点梳理 直接代入的新定义加法，如定义，求()。 结合规律的新定义运算，如定义，求()。 3.易错点警示 误解新定义规则(如将错记为，导致运算方向错误)。 忽略新运算中的符号(如定义，错算，实际应为)。 4.解题技巧拆解 步骤1：精读新定义规则，用“常规运算符号”翻译(如，翻译为“第一个数加第二个数的2倍”)。 步骤2：代入具体数值，按规则转化为有理数加法(如，，)。 步骤3：计算加法结果，若有多层运算，先算内层(如，先算，再算)。 【例题9】．（2024-2025•莱西市期末）定义：对于一个有理数，我们把[x]称为x的有缘数．若x≥0，则，若x＜0，则．计算[3]+[﹣2]的结果为　 　 ． 【变式题9-1】．（2024-2025•金凤区校级期中）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“⊙”表示一种新的运算，它是这样定义的：a⊙b＝﹣a+b．则4⊙（5⊙3）的值等于（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10 【变式题9-2】．（2024-2025•黄石港区月考）定义运算：a？b＝a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论： ①2？（﹣2）＝6； ②a？b＝b？a； ③若a+b＝0，则（a？a）+（b？b）＝2ab； ④若a？b＝0，则a＝0或b＝1．其中结论正确的序号是（　　） A．①③④ B．①③ C．②③④ D．①②④ 【变式题9-3】．（2024-2025•长春期末）定义：对于一个有理数，我们把{x}称为x的相伴数．若x≥0，则x﹣1；若x＜0，则x+2．计算{3}+{﹣1}的结果为（　　） A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.5 【题型10】有理数加法中的规律探究（培优） 1.核心知识点总结 有理数加法的规律常见类型：循环规律(如)、分组规律(如)。 规律探究的核心：找出“重复单元”或“分组方式”，计算每组和，再求总组数。 2.高频考点梳理 交替符号的加法规律，如计算。 固定组数的和规律，如观察，，，求的和。 3.易错点警示 确定“总项数”错误(如计算时，错认为项数是2023，实际为2023项，分组为1011组+最后一项)。 忽略每组的符号变化(如错将分组为，实际应为)。 4.解题技巧拆解 技巧1：找重复单元：观察前几项，确定“几个数为一组”(如2个数一组：，)。 技巧2：算组数和余数：总项数÷每组项数=组数……余数(如2023项，2项一组，得1011组余1项)。 步骤：找规律→分组→算每组和→算总组数的和→加余数项(若有)→得结果。 【例题10】．（2024-2025•桐柏县期中）如图，你能由此得出计算规律吗？ （1）1+3+5+7+9+11＝（　 　 ）2； （2）由此猜测：1+3+5+⋯（2n﹣1）＝　 　 ； （3）由（2）的结论求下列式子的值： ①2+4+6+⋯+200＝　 　 ； ②1+2+3+⋯+200＝　 　 ； ③13+15+17+⋯+87＝　 　 ． 【变式题10-1】．（2024-2025•惠来县期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7． （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不算出结果）： ①|5﹣16|＝ 　 　 ； ② 　 　 ； ③|3.14﹣π|＝ 　 　 ． （2）用合理的方法计算：有理数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|的结果为 　 　 ． （3）用简单的方法计算：． 【变式题10-2】．（2024-2025•泉州期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　 　 ； ②|0.8|＝　 　 ； ③||＝　 　 ： （2）数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|＝　 　 ． A．a﹣2.5 B.2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5 （3）利用上述介绍的方法计算或化简： ①||+||﹣||； ②||+||﹣||+2（），其中a＞2． 【变式题10-3】．（2024-2025•龙马潭区月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ①|7﹣21|＝　 　 ； ②　 　 ； ③　 　 ； （2）数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣2.5|＝　 　 ． A．a﹣2.5 B．2.5﹣a C．a+2.5 D．﹣a﹣2.5 （3）用合理的方法计算：． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．计算﹣2+3的结果是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 2．对2+（﹣3）＝﹣1用生活实例解释其意义正确的是（　　） A．一物体从数轴的原点出发，向左移动3个单位，再向右移动2个单位，现在该物体在数轴上对应点的数为1 B．某人做生意1月份赚了2万元，2月份亏了3万元，他这两个月合计亏了1万元 C．今天早上的气温是零上2℃，随着冷空气的到来，下午气温下降了3℃．现在的气温是零上1℃ D．某人早上从水池里打水冲洗道路用了3m3水，接着他又往水池注入2m3水，现在水池里的水比原来多了1m3 3．比﹣1大2的数为（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D．2 4．已知|a|＝3，|b|＝2，且b＜a，则a+b的值为（　　） A．1或﹣1 B．5或﹣5 C．3或﹣2 D．5或1 5．下列问题情境，不能用加法算式﹣2+10表示的是（　　） A．水位先下降2cm，再上升10cm后的水位变化情况 B．某日最低气温为﹣2℃，温差为10℃，该日最高气温 C．用10元纸币购买2元文具后找回的零钱 D．数轴上表示﹣2与10的两个点之间的距离 二．填空题（共5小题） 6．已知每相邻三数之和为18，则a＝　 　 ． 5 a 7 7．在后面括号内的横线上填上一个数，使计算结果为负数：2+（ 　 　 ）． 8．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 　 　 ． 9．计算：1+3+5+7+•••+97+99＝　 　 ＝　 　 2． 10．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则a+b的值是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．某电影院共有8排座位，第一排有12个座位，后面每排都比前面一排多2个座位，这个电影院共有多少个座位？ 12．用算式表示下面的结果： （1）温度由﹣4℃上升7℃； （2）收入7元，又支出5元． 13．小华本周体育锻炼时长的变化情况如下表（正数表示锻炼时长比前一天增加，负数表示锻炼时长比前一天减少）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 时长变化/h ﹣0.2 ﹣0.3 +0.2 +0.1 0 +0.3 +0.2 （1）0h的意思是　 　 ； （2）本周日小华的体育锻炼时长与上周日相比情况如何？ 14．阅读下面的文字： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算：． 15．如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． （1）若a＝﹣3，求这四个有理数的和； （2）若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $