第08讲 多面体与旋转体 （2个知识点+3种题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第08讲 多面体与旋转体 课程标准 学习目标 通过空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 1.通过对实物模型的观察，归纳认知多面体、旋转体的结构特征．(重点) 3．能运用面体、旋转体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点) 知识点01.多面体 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体;由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 【即学即练1】（1）（24-25高二上·上海·课前预习）多面体的分类 多面体可以用它的面的数量进行命名,有几个面的多面体就叫做几面体.例如,三棱锥是 面体;长方体（四棱柱）是 面体.一般地,一个棱锥是 面体;棱柱或棱台是 面体. 【答案】 四 六 【分析】略. 【详解】略. （2）．（24-25高二上·上海·课前预习）多面体的定义：由 围成的封闭几何体称为多面体．构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的 ．相邻面的公共边称为多面体的 ．棱与棱的交点称为多面体的 ． 【答案】 三角形或平面多边形 面 棱 顶点 【详解】多面体的定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体．构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面．相邻面的公共边称为多面体的棱．棱与棱的交点称为多面体的顶点． 故答案为：三角形或平面多边形；面；棱；顶点. （3）（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. （4）．（24-25高二上·上海·课前预习）一个多面体至少有几个面？ 【答案】四个面． 【分析】根据多面体的定义及三维结构，即知最少的面数. 【详解】多面体定义：若干平面围成的几何体，且最少为四面体， 所以一个多面体至少有4个面. 知识点02旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 圆柱、圆锥和圆台的概念 （1）圆柱、圆锥和圆台的定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台； （2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念 绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线； 【即学即练2】（1）（24-25高二上·上海·课前预习）旋转体的定义 旋转体是由一个 绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体，这条直线叫做该旋转体的 ．如：圆柱是由一个 绕它的一条边旋转一周所形成的旋转体；圆锥是由一个直角三角形绕它的 旋转一周所形成的旋转体． 【答案】 平面封闭图形 轴 矩形 一条直角边 【分析】略 【详解】略 故答案为：平面封闭图形；轴；矩形；一条直角边 （2）．（2023高二上·上海·专题练习）已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    【答案】答案见解析 【分析】分别画出对应立体图形，逐个说明即可. 【详解】①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台；如图（1）所示； ②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥；如图（2）所示； ③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥； 如图（3）所示． ④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥；如图（4）所示.    （3）．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【答案】 【分析】先分析出旋转体为圆锥，然后根据表面积等于侧面积加上底面积求解出结果. 【详解】因为，所以， 所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥， 所以表面积为， 故答案为：. （4）．（23-24高二上·上海静安·期中）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为 ． 【答案】 【分析】旋转体为圆柱，高为，底面半径为，利用圆柱体积公式求出答案. 【详解】如图所示，旋转体为圆柱，高为，底面半径为， 故体积为.    故答案为： 题型01 多面积有关计算 1．（24-25高二·上海·随堂练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为 ． 【答案】/ 【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为的正方形边上，由此可计算出棱长． 【详解】取半正多面体的截面正八边形ABCDEFGH，由正方体的棱长为1，可知，易知， 设半正多面体的棱长为x，过B，C分别作于M，于N， 则，，解得， 故该半正多面体的所有棱长和为． 故答案为： 2．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V､棱数E与面数F有关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性､抗化学腐蚀性､耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示， 碳的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正五边形面的个数是 . 【答案】12 【分析】由欧拉定理求得足球烯表面上的棱数，设正五边形的个数为x，正六边形个数为y，由题意列出方程，联立即可求得答案. 【详解】由题意可知，由可得, 设正五边形的个数为x，正六边形个数为y，则， ∵一条棱连着两个面， ∴足球烯表面的棱数, 联立 ，解得， 即32个面中正五边形面的个数是12个， 故答案为：12 3．（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 【答案】 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用条件列出方程求解即可. 【详解】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 4．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是 .    【答案】 【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解. 【详解】如图，转动了后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图， 由图形的对称性可知，为等腰直角三角形， 设直角边为，则斜边为， 故，可得. 由几何关系得：， 故所求面积. 故答案为：    5．（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 【答案】(1)几何体是十四面体，几何体共有24条棱 (2) 【分析】（1）根据题意可知：几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成，即可得结果； （2）根据题意结合（1）中结论分析求解. 【详解】（1）几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成， 所以几何体是十四面体，几何体共有24条棱． （2）图形可知几何体的各条棱长均为，    6个全等的正方形面的总面积为； 8个全等的三角形面的总面积为． 所以几何体的表面积． 6．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面底面ABC，且棱台DEFABC与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） (1)证明：为正四面体； (2)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱） 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，答案见解析，证明见解析 【分析】（1）由棱台、棱锥的棱长和相等可得，再由面面平行有，结合正四面体的结构特征即可证结论； （2）设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，结合已知条件用表示出即可确定直四棱柱. 【详解】（1）由棱台与棱锥的棱长和相等， ∴， 故. 又∵截面底面ABC，则棱锥为正三棱锥，即，， ∴，即， 从而，则， 故为正四面体. （2）存在满足条件的直四棱柱. 棱台的棱长和为定值6，体积为V. 设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该四棱柱的棱长和为6，体积为. 设的中心为，连接，则平面，即为三棱锥的高， ， ∴正四面体的体积是， 则，即， 从而， 故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱，即满足条件. 题型02 旋转体的表面积和侧面积 7．（24-25高二·上海·随堂练习）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ． 【答案】 【分析】先确定将边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 再确定圆柱高（母线）及底面半径； 然后由圆柱的侧面积公式即可求值. 【详解】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径，高，故其侧面积为． 故答案为： 8．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    【答案】 【分析】根据旋转体在性质，结合圆锥和圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】过作于点， 由于，，，， 所以，进而，故 因此，又，所以四边形为直角梯形， 所以折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转体为：以绕形成的圆锥和以梯形绕着形成的圆台，挖去以绕形成的小圆锥，如图示：, 故表面积为, 故答案为：    9．（2023高二上·上海·专题练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 【答案】 【分析】根据图形特征旋转后根据圆锥侧面积及圆柱表面积公式计算可得. 【详解】如图所示，直角梯形中，， 作，垂足为，则， 故， 在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面， 形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面， 设其面积分别为， 则， 所以次旋转体的表面积为. 10．（2023高二上·上海·专题练习）已知梯形中，，，，，，在平面内，过点作，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积. 【答案】 【分析】画出图形后，由，逐个计算求和即可得. 【详解】如题图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥； 在直角梯形中，，， ，， 又， 故 . 11．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足.    (1)求证：AFDB； (2)求将绕AD旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比； (3)如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合圆的性质，利用线面垂直的判定定理及性质定理，可得答案； （2）根据圆锥的表面积公式和圆柱表面积公式计算，可得答案； （3）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案. 【详解】（1）根据圆柱性质，平面，因为平面，所以， 因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，所以， 又平面，故平面， 因为平面DAE，所以， 又，且平面， 故平面，因为平面，所以. （2）将绕AD旋转一周所得几何体为圆锥，其母线为DB，半径AB， 设，则， 故该圆锥的表面积为， 又圆柱表面积为， 所以圆锥表面积和圆柱表面积之比为. （3）因为平面平面，所以过作， 由平面平面平面ABE，则平面， 即为与平面所成角， 设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，所以，    所以圆柱的体积，的面积为， 三棱锥的体积为， 因为圆柱与三棱锥的体积比等于，所以， 解得，所以点为圆柱底面圆的圆心， 则， 即直线与平面所成角的正切值，所以所求的角为. 题型03 旋转体的体积 12．（23-24高二上·上海金山·期中）将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】正方形绕着边所在的直线旋转一周形成圆柱，根据圆柱的体积公式得出结果. 【详解】解：将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周 所得圆柱的底面和高均为1， 则圆柱的体积为. 故答案为：.    13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】由圆锥的侧面积公式代值求出母线长，求得圆锥的高，代入体积公式计算即得. 【详解】设圆锥的母线为，高为 由解得：，则， 故该圆锥的体积为. 故答案为：. 14．（2023高二上·上海·专题练习）如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积. 【答案】 【分析】利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】设上、下底面半径分别为，，过作底面交于， 由题意可知，， 所以， 所以，， 所以， 解得，， 所以. 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•静安区校级期中）如图，在一根长，外圆周长的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答】解：圆柱形柱体的高为11，外圆周长6， 又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示： 其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6，高为圆柱的高11， 则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值． 此时铁丝的长度最小值为：． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 2．（2023秋•青浦区校级期中）若和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，则所得体积与绕轴旋转一周所得体积之比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆锥的体积计算以及组合体体积计算方法，计算出两个几何体体积，进而求得体积的比值． 【解答】解：由，解得或． 和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周所得几何体为圆锥，图形如图所示， 故体积为． 和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周所得几何体为圆柱挖掉两个圆锥，图形如图所示， 故体积为． 所以两个图形的体积比为． 故选：． 【点评】本小题主要考查圆锥和组合体体积计算，考查运算求解能力，属于中档题． 二．填空题（共9小题） 3．（2023秋•长宁区校级期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数棱数面数，则正二十面体的顶点的个数为 　12　． 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用欧拉定理列方程求解即可． 【解答】解：因为正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为20，并且每个顶点处有5条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为条， 由题意可得，，解得， 所以正二十面体的顶点个数为12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了正二十面体的结构特征与应用问题，也考查了逻辑推理与空间想象能力，是基础题． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为 　　． 【分析】图中阴影部分绕旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，利用圆柱和球的体积公式进行计算可得答案． 【解答】解：图中阴影部分绕旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球， 半球的体积为，圆柱的底面半径为1，高为1， 所以圆柱的体积为， 则所得几何体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了球和圆柱的体积公式，属于基础题． 5．（2023秋•静安区校级期中）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体的体积为 　　． 【分析】先确定旋转得到的几何体为圆柱，由圆柱的体积公式求解即可． 【解答】解：由题意，该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体为圆柱， 其中圆柱的底面半径，高为1， 所以圆柱的体积公式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了空间旋转体的理解与应用，圆柱的体积公式的应用，解题的关键是确定旋转所得到的几何体是圆柱，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题． 6．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为 　　． 【分析】先确定旋转体的构成，然后利用圆台的体积公式以及球的体积公式求解即可． 【解答】解：由题意可知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球， 圆台的上底面面积，下底面面积， 所以圆台的体积为， 又半球的体积为， 故旋转体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了空间旋转体的理解与应用，涉及了圆台的体积公式的应用以及球的体积公式的应用，考查了空间想象能力、逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 7．（2023秋•长宁区校级期中）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 　或　． 【分析】讨论旋转轴是直角边还是斜边，分别求出两种情况下得到的几何体的表面积． 【解答】解：若绕直角边旋转，则得到的几何体为底面半径为1，高为1的圆锥，母线长为， 故圆锥的表面积为， 若绕斜边旋转，则得到的几何体为同底的两个圆锥的组合体，每个圆锥的底面半径和高都是，母线长为1， 故组合体的表面积为， 故答案为：或． 【点评】本题考查了圆锥的表面积计算，属于基础题． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为 　　． 【分析】用半球的体积减去圆锥的体积求得正确答案． 【解答】解：图中阴影部分绕旋转一周所得几何体为一个半球“挖掉”一个圆锥， 其体积为：． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转体的结构特征及其相关计算，考查运算求解能力，属于基础题． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的表面积为 　　． 【分析】先确定图中阴影部分绕旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，分别求解半球和圆柱的表面积即可． 【解答】解：图中阴影部分绕旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球， 半球的表面积为， 圆柱的底面半径为1，高为1， 所以圆柱的底面面积为， 圆柱的侧面积为， 则所得几何体的表面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了空间旋转体的理解与应用，球的表面积公式以及圆柱表面积公式的应用，解题的关键是确定旋转体的形状，考查了空间想象能力，属于中档题． 10．（2023秋•闵行区校级期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 　　． 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果． 【解答】解：根据题意可知，三角形即为等腰直角三角形， 作于点，如下图所示： 则三角形绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和， 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高， 则圆锥的体积， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转体的结构特征，考查了圆锥和球的体积公式，属于中档题． 11．（2023秋•长宁区校级期末）已知中，，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 　　． 【分析】先分析出旋转体为圆锥，然后根据表面积等于侧面积加上底面积求解出结果． 【解答】解：如图， 因为，，， 所以，， 所以旋转体是底面半径为1，高为母线长为2的圆锥， 所以表面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查由平面图形旋转得旋转体圆锥表面积的有关计算，属于中档题． 三．解答题（共4小题） 12．（2022秋•杨浦区校级期末）如图所示，已知一个半径为6的半圆面剪去了一个三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，求该几何体的表面积和体积． 【分析】由题意可知，该几何体为球内部挖去两个相同的圆锥，求出圆锥的侧面积和体积，进而求出该几何体的表面积和体积． 【解答】解：由题意可知，该几何体为球内部挖去两个相同的圆锥，如图所示： 圆锥的半径为6，高为6，母线长为， 所以圆锥的表面积，圆锥的体积， 所以该几何体的表面积， 该几何体的体积． 【点评】本题主要考查了求旋转体的表面积和体积，考查了圆锥和球的侧面积和体积公式，属于中档题． 13．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形的边所在的直线为旋转轴旋转得到的，，． （1）求这个几何体的体积； （2）这个几何体的表面积． 【分析】（1）求出矩形旋转一周所得圆柱的体积，根据几何体与圆柱体积比求其体积即可； （2）分别求出几何体外侧曲面、上下底面、两个矩形的面积，进而相加即可得结果． 【解答】解：（1）由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的体积为， 其中为底面积，且，故， 因为几何体是矩形旋转得到，故几何体体积为． （2）由题设，则几何体外侧曲面的面积为， 上下底面的面积和为，矩形，的面积和为12， 综上，几何体的表面积为． 【点评】本题主要考查旋转体表面积与体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 14．（2021秋•普陀区校级期末）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形． （1）设，，求这个几何体的表面积； （2）设是弧的中点，设是弧上的一点，且．求异面直线与所成角的大小． 【分析】（1）这个几何体的表面积为圆柱侧面积的和两个扇形面积、两个矩形面积之和，由此能求出结果． （2）推导出平面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小． 【解答】解：（1）几何体是圆柱的一部分， 它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形． ，，则这个几何体的表面积为 ． （2）是弧的中点，是弧上的一点，且， ，，平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，，，，0，，，1，， ，，，1，， 设异面直线与所成角为， 则， ， 异面直线与所成角的大小为． 【点评】本题考查几何体表面积的求法，考查两条异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 15．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3． （1）求该圆柱的体积和表面积； （2）直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积． 【分析】（1）由圆柱体积公式可得体积，由侧面积公式先求侧面积，表面积为侧面积加上两个底面积可得； （2）先求圆锥母线长，再由侧面积公式可得． 【解答】解：（1）圆柱的底面半径，母线长，即高， 所以体积， 表面积， （2）由题意，圆锥母线， 所以圆锥的侧面积为． 【点评】本题考查圆柱表面积的有关计算，圆锥表面积的有关计算，柱体体积的有关计算，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 多面体与旋转体 课程标准 学习目标 通过空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养. 1.通过对实物模型的观察，归纳认知多面体、旋转体的结构特征．(重点) 3．能运用面体、旋转体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点) 知识点01.多面体 1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体;由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 【即学即练1】（1）（24-25高二上·上海·课前预习）多面体的分类 多面体可以用它的面的数量进行命名,有几个面的多面体就叫做几面体.例如,三棱锥是 面体;长方体（四棱柱）是 面体.一般地,一个棱锥是 面体;棱柱或棱台是 面体. （2）．（24-25高二上·上海·课前预习）多面体的定义：由 围成的封闭几何体称为多面体．构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的 ．相邻面的公共边称为多面体的 ．棱与棱的交点称为多面体的 ． （3）（23-24高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则 是正多面体.（写出所有正确的序号）    （4）．（24-25高二上·上海·课前预习）一个多面体至少有几个面？ 知识点02旋转体 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 圆柱、圆锥和圆台的概念 （1）圆柱、圆锥和圆台的定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台； （2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念 绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线； 【即学即练2】（1）（24-25高二上·上海·课前预习）旋转体的定义 旋转体是由一个 绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体，这条直线叫做该旋转体的 ．如：圆柱是由一个 绕它的一条边旋转一周所形成的旋转体；圆锥是由一个直角三角形绕它的 旋转一周所形成的旋转体． （2）．（2023高二上·上海·专题练习）已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    （3）．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． （4）．（23-24高二上·上海静安·期中）将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为 ． 题型01 多面积有关计算 1．（24-25高二·上海·随堂练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为 ． 2．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V､棱数E与面数F有关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性､抗化学腐蚀性､耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示， 碳的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正五边形面的个数是 . 3．（23-24高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 4．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是 .    5．（24-25高二上·上海·课堂例题）在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 6．（24-25高二上·上海·单元测试）如图，是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面底面ABC，且棱台DEFABC与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） (1)证明：为正四面体； (2)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱） 题型02 旋转体的表面积和侧面积 7．（24-25高二·上海·随堂练习）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ． 8．（23-24高二上·上海普陀·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    9．（2023高二上·上海·专题练习）一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积． 10．（2023高二上·上海·专题练习）已知梯形中，，，，，，在平面内，过点作，以为轴将梯形旋转一周，求旋转体的表面积. 11．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，，F是垂足.    (1)求证：AFDB； (2)求将绕AD旋转一周所得几何体的表面积和圆柱表面积之比； (3)如果圆柱与三棱锥的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角. 题型03 旋转体的体积 12．（23-24高二上·上海金山·期中）将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为 ． 13．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ． 14．（2023高二上·上海·专题练习）如图，圆台高为，轴截面中母线与底面直径的夹角为，轴截面中一条对角线垂直于腰，求：圆台的体积. 一．选择题（共2小题） 1．（2023秋•静安区校级期中）如图，在一根长，外圆周长的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•青浦区校级期中）若和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，则所得体积与绕轴旋转一周所得体积之比是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共9小题） 3．（2023秋•长宁区校级期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数棱数面数，则正二十面体的顶点的个数为 　　． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为 　　． 5．（2023秋•静安区校级期中）已知正方形边长为1，把该正方形绕着它一条边旋转一周所形成的几何体的体积为 　　． 6．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为 　　． 7．（2023秋•长宁区校级期中）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 　　． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为 　　． 9．（2023秋•浦东新区校级期末）在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的表面积为 　　． 10．（2023秋•闵行区校级期末）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 　　． 11．（2023秋•长宁区校级期末）已知中，，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 　　． 三．解答题（共4小题） 12．（2022秋•杨浦区校级期末）如图所示，已知一个半径为6的半圆面剪去了一个三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，求该几何体的表面积和体积． 13．（2022秋•徐汇区校级期末）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形的边所在的直线为旋转轴旋转得到的，，． （1）求这个几何体的体积； （2）这个几何体的表面积． 14．（2021秋•普陀区校级期末）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形． （1）设，，求这个几何体的表面积； （2）设是弧的中点，设是弧上的一点，且．求异面直线与所成角的大小． 15．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知圆柱的底面半径为2，母线长为3． （1）求该圆柱的体积和表面积； （2）直角三角形绕旋转一周，求所得圆锥的侧面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$