专题03 因式分解（必备知识+10题型+分层检测）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材沪教版

专题03 因式分解（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解 能判断是否是因式分解 选择题考查居多，多以整式乘法与因式分解综合考查 因式分解的方法 熟练掌握5大方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法 填空题和解答题考查居多，公式法、十字相乘法和分组分解法是高频考点 知识点01 因式分解的意义 1. 因式分解的意义 把一个多项式化为几个整式的______________的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： (1) 因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； (2) 因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； (3) 因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； (4) 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 判断一个式子的变形是不是因式分解的方法判断一个式子由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式,并且用整式的乘法验证右边的式子是否等于左边的式子,符合以上条件则是因式分解. 2. 公因式 （1）定义 一个多项式中______________都含有的因式叫做这个多项式的______________. （2）确定公因式的一般步骤 ①定符号：如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“- ”号，使括号内第一项的系数成为正数； ②定系数：当各项系数都是整数时，取它们的最大公约数为公因式的系数； ③定字母：(或多项式)及其指数,取多项式各项都 含有的相同字母(或多项式),其指数取最低次. 上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤(1)可省略. 知识点02 因式分解的方法 1. 提取公因式法 （1）提取公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因 式的方法叫做______________. （2）提取公因式法的一般步骤 ①确定各项的公因式； ②提出这个公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成因式积的形式. （3）提取公因式法的依据 提取公因式法，它的实质是乘法对加法的分配律的逆用 【注意要点】 1.若多项式第一项的系数是负数，则应先提出“﹣”号，提出“﹣”号后，括号里的每一项都要变号 2.提取公因式法因式分解，先在各项中将公因式分解出来，避免遗漏某些项 3.如果某项全部提出，括号里对应的项是1 4.多项式各项的公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式 5.提取公因式后，注意运用整式乘法来检验是否正确 2. 公式法的定义 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做______________. 3. 因式分解的平方差公式 （1）定义 由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的______________. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. （2）特点 ①等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积. 4. 因式分解的完全平方公式 (1)定义 由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 这两个公式叫做因式分解的______________ 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和 (或差)的平方. （2）特征 ①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)乘积的2倍，符号正负均可. ②等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方 5. 十字相乘法 （1）定义 一般地，可以用十字交叉线表示: 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做______________. （2）用十字相乘法分解的多项式的特征 ①必须是一个______________次______________项式; ②二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式= 注意: 公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体. （3）用十字相乘法分解因式的符号规律 ①当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同; ②当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大; ③当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项. 6. 分组分解法 （1）分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做______________. （2）分组原则 ①分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. ②分组后能直接运用公式法,多见四项多项式______________分组. ③分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式______________分组. 题型1 判断是否是因式分解 例1（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2 已知因式分解的结果求参数 例2（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【变式2-1】（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 题型3 提公因式法分解因式 例3（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）分解因式： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）因式分解： 【变式3-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式3-5】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【变式3-6】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 题型4 平方差公式分解因式 例4（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式4-3】（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 题型5 完全平方公式分解因式 例5（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【变式5-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）若与互为相反数，把多项式因式分解． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 题型6 综合运用公式法分解因式 例6（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【变式6-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 例7（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式7-2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式： 【变式7-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【变式7-4】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：． 【变式7-5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解：． 【变式7-6】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 例8（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【变式8-2】利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型9 十字相乘法 例9（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式9-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式9-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式9-4】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式9-5】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式9-6】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【变式9-7】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【变式9-8】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【变式9-9】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 题型10 分组分解法 例10（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【变式10-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【变式10-3】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【变式10-4】（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 3． （24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 4． （24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 6．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，则 ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 5．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 7．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 因式分解（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解 能判断是否是因式分解 选择题考查居多，多以整式乘法与因式分解综合考查 因式分解的方法 熟练掌握5大方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法 填空题和解答题考查居多，公式法、十字相乘法和分组分解法是高频考点 知识点01 因式分解的意义 1. 因式分解的意义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： (1) 因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； (2) 因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； (3) 因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； (4) 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 判断一个式子的变形是不是因式分解的方法判断一个式子由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式,并且用整式的乘法验证右边的式子是否等于左边的式子,符合以上条件则是因式分解. 2. 公因式 （1）定义 一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式. （2）确定公因式的一般步骤 ①定符号：如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“- ”号，使括号内第一项的系数成为正数； ②定系数：当各项系数都是整数时，取它们的最大公约数为公因式的系数； ③定字母：(或多项式)及其指数,取多项式各项都 含有的相同字母(或多项式),其指数取最低次. 上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤(1)可省略. 知识点02 因式分解的方法 1. 提取公因式法 （1）提取公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因 式的方法叫做提取公因式法. （2）提取公因式法的一般步骤 ①确定各项的公因式； ②提出这个公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成因式积的形式. （3）提取公因式法的依据 提取公因式法，它的实质是乘法对加法的分配律的逆用 【注意要点】 1.若多项式第一项的系数是负数，则应先提出“﹣”号，提出“﹣”号后，括号里的每一项都要变号 2.提取公因式法因式分解，先在各项中将公因式分解出来，避免遗漏某些项 3.如果某项全部提出，括号里对应的项是1 4.多项式各项的公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式 5.提取公因式后，注意运用整式乘法来检验是否正确 2. 公式法的定义 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 3. 因式分解的平方差公式 （1）定义 由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. （2）特点 ①等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积. 4. 因式分解的完全平方公式 (1)定义 由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 这两个公式叫做因式分解的完全平方公式 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和 (或差)的平方. （2）特征 ①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)乘积的2倍，符号正负均可. ②等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方 5. 十字相乘法 （1）定义 一般地，可以用十字交叉线表示: 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. （2）用十字相乘法分解的多项式的特征 ①必须是一个二次三项式; ②二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式= 注意: 公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体. （3）用十字相乘法分解因式的符号规律 ①当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同; ②当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大; ③当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项. 6. 分组分解法 （1）分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法. （2）分组原则 ①分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. ②分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组. ③分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 题型1 判断是否是因式分解 例1（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项正确； B、是整式的乘法，此项错误； C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，此项错误； D、是整式的乘法，此项错误， 故选：A． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的定义依次判断即可． 【详解】解：A、24不是一个多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； D、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，则①不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解； 是乘法运算，则③不是因式分解； 符合因式分解的定义，则④是因式分解； 符合因式分解的定义，则⑤是因式分解； 中对象不是整式，则⑥不是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 【变式1-3】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，是整式的乘法，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：A． 题型2 已知因式分解的结果求参数 例2（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 【变式2-1】（22-23七年级上·上海松江·期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为（　　） A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【答案】C 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将展开，分别对应即可得出答案． 【详解】解：， ∵多项式分解因式得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得进行求解． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 题型3 提公因式法分解因式 例3（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用提取公因式法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解： 【变式3-4】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】提公因式法分解因式、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，先提公因式分解因式，再根据多项式乘以多项式的计算法则去小括号后合并同类项，进一步根据多项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式3-5】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式．先分组，提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 【变式3-6】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法．提出公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型4 平方差公式分解因式 例4（24-25七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法、分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（1）根据式子特点先分组为：，然后利用平方差公式和完全平方公式，最后再用十字相乘法分解答即可； （2）根据式子特点将原式变形为，然后整理得，设，整理得，最后把代入即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 设， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解． 连续两次利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为： 【变式4-3】（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 题型5 完全平方公式分解因式 例5（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解．把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，然后利用完全平方公式进行因式分解．本题主要考查了因式分解中完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘法法则和完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）若与互为相反数，把多项式因式分解． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式以及互为相反数的概念、绝对值和偶次幂的非负性的性质，灵活运用公式进行因式分解是解题的关键．根据互为相反数的两数和为0以及绝对值和偶次幂的非负性，求得的值，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，． ∴ ． 【变式5-4】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 题型6 综合运用公式法分解因式 例6（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 【答案】5 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、提公因式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （4）先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相乘法进一步分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式6-3】（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型7 综合提公因式和公式法分解因式 例7（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题可将与分别看作与 ，这样就符合平方差公式的形式，然后对式子进行因式分解，最后再对分解后的式子进行化简．本题主要考查了平方差公式以及整式的运算，熟练掌握平方差公式，并能准确识别式子中对应的与 ，以及整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： 【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先找出多项式各项的公因式，通过提取公因式的方法将公因式提出，再对剩余的多项式进行分析，若还能分解则继续分解，直到不能再分解为止．本题主要考查了提公因式法与公式法（完全平方公式）的综合运用进行因式分解．熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式的形式，并能灵活运用它们对多项式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、积的乘方的逆用 【分析】本题考查因式分解，积的乘方的逆用，解题的关键在于熟练掌握因式分解的方法．利用积的乘方的逆用将化为，再结合平方差公式进行因式分解，最后提公因式，即可解题． 【详解】解： ． 【变式7-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案． 【详解】解： ． 【变式7-4】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式7-5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式7-6】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 【答案】36或60 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 题型8 因式分解在有理数简算中的应用 例8（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【知识点】十字相乘法、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 【变式8-1】（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【知识点】平方差公式分解因式、因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． 【变式8-2】利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型9 十字相乘法 例9（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式9-1】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可． 【详解】解； ． 【变式9-2】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解．前三项利用十字相乘法分解，再将看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可． 【详解】解： ． 【变式9-3】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式，再进行十字相乘法因式分解． 【详解】解： 【变式9-4】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，掌握公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，先利用十字乘法可得，再进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式9-5】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式9-6】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 【变式9-7】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用了整体思想；把作为一个整体，利用多项式乘多项式展开并整理得，再连续两步利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 【变式9-8】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．首先提公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式9-9】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 题型10 分组分解法 例10（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式10-1】（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、分组分解法、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式变形为，然后再用平方差公式，完全平方公式和十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式10-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解：． 【答案】． 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了分组分解法分解因式，直接将后三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用． 【详解】解：原式， ， ， ． 【变式10-3】（23-24七年级上·上海青浦·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解因式是解本题的关键；本题先分成2组分别提公因式x，再进一步的提公因式分解因式即可． 【详解】解： ； 【变式10-4】（23-24七年级上·上海长宁·期中）分解因式： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把原式分为两组，再分别提取公因式，化为，再提取公因式即可． 【详解】解： 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解，先用平方差公式，再用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ， ， ， ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，先利用平方差公式分解因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了运用公式法分解因式、解二元一次方程序组、求代数式的值．首先把拆成和两项，可以得到，然后用完全平方公式分解因式得到，根据平方的非负性可以得到二元一次方程组解方程组可以求出，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解方程组， 得：， ． 故答案为： ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用 【分析】本题主要考查整式的乘法运算和因式分解．先将展开，再合并同类项，根据同类项系数相等即可求解． 【详解】解：， 由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等， 可得：，， 解得：，， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， ， ， 同理求得：，， ， 可化为， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1)； (2)m、n的值分别为和0； (3) 【知识点】十字相乘法、分组分解法、加减消元法、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为． 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【答案】(1)归纳见解析； (2)见解析；；． (3) 【知识点】有理数四则混合运算、计算多项式乘多项式、平方差公式分解因式、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了整式的乘法以及因式分解的应用，解二元一次方程组； （1）根据材料写出速算方法，并用速算方法计算，即可求解； （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为， 进而按照整式的乘法进行计算，最后根据因式分解得出结论； （3）设，，得出，根据平方差公式因式分解得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． （3）解：设， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 7．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $