专题03 相似形（3知识&8题型&4易错&6方法清单）（期中知识清单）九年级数学上学期沪科版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似形(3知识&8题型&4易错&6方法清单) 知识图谱 1.成比例线段 2.比例的性质 比例线段 3.平行线分线段成比例 1)相似三角形的概念 2)相似以比的概念 相似形 相似三角形的相关概念、判定和性质 3)相似三角形的判定 4)相似三角形的性质 1.位似的概念及性质 图形的位似变换 2利用位似变换作图（放大或缩小图形） 知识清单 【清单01】比例线段 1.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比 例线段。 2.比例的性质 1)比例的重要性质： 基本性质：若=C 则ad=bc;反之，也成立。 b d 和比性质：若8=三，则a±b-c±d。 b d 更比性质：若口= ,则4=b」 反比性质：若口=C, b d 则2= b d b d a c 等比性质：若=C …=m b d (b+d+…+n≠0)，则a+C+…+m。a。 n b+d+…+nb )拓展：0比例武中，6或(a:b=c:)中，Q、d叫外项，b、C叫内项，a、c叫前项，b、 叫后项，如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项。 ②)把线段AB分成两条线段AC和BC,使ACAB·BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金 1/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分割点。 3.平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例： 【清单O2】相似三角形的相关概念、判定和性质 1)相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2)相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3)相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 4)相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等： ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似 多边形的面积比等于相似比的平方。) 【清单03】图形的位似变换 1、位似的概念及性质 (1)两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 (2)相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有： ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 (3)位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放太；若位似比小于 1,则通过位似变换把原图形缩小。 2/20 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延 长)；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 期中常考题型清单 【题型一】判断是否是成比例线段 【例1】下列各组数中，不成比例的是（) A.1,-2,3,-6 B.1,2,3,4 C.5,√0,5,6 D.25,15 【变式1-1】下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是() A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=1,b=2,c=3,d=4 C.a=V2,b=3,c=2,d=3 D.a=2,b=5,c=6,d=15 【变式1-2】下列四条线段成比例的是() A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=V2,b=3,c=2,d=V3 C.a=2,b=V5,c=√15，d=2V5 D.a=12,b=8,c=15,d=11 【题型二】比例的性质 【例2】已如号子则2的他为 b 34 【变式2-1】已知。=方，则3a+2弘三 a-b 【变式2-2】已知4==3b+d≠0，则6+的值为 b+d 【题型三】由平行判断成比例的线段 【例3】如图，直线AB∥CD∥EF,则() B C D E AC BD A. B. AC BD AE DF C. AC BD D. AC DF AE BE CE BF CE BD 3/20 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-1】如图，己知AB∥CD∥EF,它们依次与直线，I2交于点A、D、F和点B、C、E,则DF的 对应线段是() D A.AB B.BC C.CE D.CD 【变式3-2】如图，平行四边形ABCD中，连接BD,在CD的延长线上取一点E,点G为BC的中点，连接 EG,交AD、BD分别为点F、点K,则下列结论错误的是()· D Q ED EF A. B. FD DK AB FG GC BK C. FK_EF D. CG CD KG EG CB CE 【题型四】由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图△ABC中点DE分别在边AB,BC上，DE‖AC,若DB=4,AB=6,BE=3,则EC的长 是 D B 【变式4-1】如图，直线AC、DF被平行线、I所截，交点分别为A、D、B、E、C、F,且AB=3, BC=5,EF=4,则DE=一 4/20 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B E b 【变式4-2】如图，在ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若 BF:FD=3:I,BC=8,则CE的长为一 B E 【题型五】利用相似三角形的性质求解 【例5】已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则ABC与△DEF的相似比是 ;△DEF与ABC 的相似比是 AB 1 【变式5-1】若△4BC△4B,G,且48方，则4BC与△48G的周长之比为 【变式5-2】如图，在ABC中，D,F是AB的三等分点，DE∥FG∥BC. D G B (1)若DE=2,则BC=」 (2)SAADE SAAFG SAARC 【题型六】求位似图形的坐标 【例6】如图，AOB与△ACD关于点A位似，点C的坐标为3,4，若AOB与△ACD的面积比为4：1，则 点A的坐标为一· 5/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 0 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，AOB的顶点A的坐标为(-3,6)，若以原点O为位似中心，位似 比为：，把A0B缩小，则点A的对应点4的坐标是 ○ 【变式6-2】如图，将A0B以坐标原点O为位似中心放大，得到△0CD,已知A(1,2)、B(3,0)、D(4,0), 则点C的坐标为 A 1234衣 【题型七】在平面直角坐标系中作位似图形 【例7】如图，ABC在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4)，C(2,2). 6/20 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (I)画出ABC向下平移4个单位长度得到的△A,B,C,点C的坐标是_ (②)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出△4，B,C2,使△A,B,C,与ABC位似，且相似比为2：1，点 C,的坐标是_· (3)△4，B,C,的面积是_ 【变式7-1】如图，在12×12的正方形网格中，△CAB的顶点坐标分别为点CL,1)、A(2,3)、B(4,2) AY B } (1)以点C(L,1)为位似中心，按2：1在位似中心的同侧将△CAB放大为△CA'B',放大后点A,B的对应点分别 为A,B,画出△CA'B',并写出点A,B的坐标； (2)在(1)中，若P(a,b)为线段AB上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点P的坐标. 【变式7-2】如图，平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别是A1,-1)、B(4,-3)、C(4,-1. 7/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C (I)画出ABC关于x轴成轴对称的△A,B,C,; (2)在第一象限内，画出△A,B,C以点O为位似中心并扩大到原来的3倍的△4，B,C; (3)写出点A、B的坐标. 【题型八】相似三角形的判定和性质的综合问题 【例8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB为直角，CD⊥AB于D.在RtaADC中，E是AC的中点.ED的延 长线与CB的延长线交于点F. B (I)求证：△FDCn△FBD; (2)若FD=6V5,FB=10,求BC的长， 【变式8-1】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=10,点E在BC边上，DF⊥AE,垂足为F. B E (I)求证：△ADF∽△EAB; (②)若DF=6,求线段BE的长. 8/20 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【变式8-2】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED,DF=DC,连接 EF并延长交BC的延长线于点G. (I)求证：△ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为4，求FG的长. 【变式8-3】如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE,过点D作射线AE的垂线，垂足为F,连 接CF. B E 图(1) 图(2) (I)如图(1)，若BC=5,DF=DC=4,求AE+AB的长； (2)如图(2)，若E为BC中点. ①求证：CF=CD; ②当AE:3EF时，判断MC=2E二是否正确，如判断正确，无需写出理由：若判新错误，请直接写出正确 4EF MC 结果MC等于多少. 4EF 高频易错归因清单 【题型一】相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 【例1】(24-25九年级·全国单元测试)如图，在钝角三角形ABC中，AB-6cm,AC=12cm,动点D从 A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如 果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是() 9/20 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A D B ←二C A.3秒或4.8秒B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 【变式1-1】(24-25八年级下山东东营期末)如图，在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A 开始沿AB边运动，速度为2cms,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s,当点P与点B重合时， 停止运动.如果P,Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当t= 秒时，由P、B、Q三点连成的 三角形与△ABC相似： B O 【题型二】相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 【例2】(2026江西模拟预测)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=8,点M是BC边上一动点， 连接AM,当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），BM的长为一· B M 【变式2-1】(24-25九年级上河南新乡·期末)如图，在RtAABC中，∠A=30°，BC=2,点P、Q分别为 AB,BC上一动点，将△PQB沿PQ折叠得到△POD,点B的对应点是点D,若点D始终在边AC上，当 △APD与△ABC相似时，AP的长为 D 【题型三】由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 【例3】(2025广东汕头一模)如图，在ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交 BC于点E,若BF:FD=4:I,BC=10,则CE的长为_； 10/20 专题03 相似形（3知识&8题型&4易错&6方法清单） 【清单01】比例线段 1.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 2.比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 3.平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 【清单02】相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 4）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 【清单03】图形的位似变换 1、位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 【题型一】判断是否是成比例线段 【例1】下列各组数中，不成比例的是（    ） A． B．1，2，3，4 C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【详解】解：A.，成比例，故不符合题意； B.，不成比例，故符合题意； C.，成比例，故不符合题意； D.，成比例，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，，故符合题意； 故选：D． 【变式1-2】下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ∴四条线段不成比例； B、， ∴四条线段不成比例； C、， ∴四条线段成比例； D、， ∴四条线段不成比例． 故选：C． 【题型二】比例的性质 【例2】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，根据设，且，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴设，且， ∴ 故答案为： 【变式2-1】已知，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，由得，则设，得到，，然后把，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：， ， 设，则，， ． 故答案为：． 【变式2-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确设出未知数是解题关键． 直接利用已知条件设出相应未知数，进而代入化简即可． 【详解】设，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【题型三】由平行判断成比例的线段 【例3】如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 【变式3-1】如图，已知，它们依次与直线交于点、、和点、、，则的对应线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据夹在平行线中的线段是对应线段，即可求解． 【详解】解：依题意，的对应线段是， 故选：C． 【变式3-2】如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴故A正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵． ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键． 【题型四】由平行截线求相关线段的长或比值 【例4】如图中点分别在边上，，若，则的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由中，点分别在边上，，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得答案，注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到等式，计算即可． 【详解】解：过点作，交于， 则，， ， ， ． 故答案为：． 【题型五】利用相似三角形的性质求解 【例5】已知，，则与的相似比是 ；与的相似比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查求相似比，掌握相似三角形对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：，， 与的相似比，与的相似比， 故答案为：；． 【变式5-1】若，且，则与的周长之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 【变式5-2】如图，在中，，是的三等分点，. （1）若，则 ； （2） . 【答案】 6 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键． （1）由于，那么，根据及相似三角形的性质可得结果． （2）由相似三角形的性质可得结果． 【详解】解：（1）， ， ， ，是的三等分点， ， ， ， 故答案为：6； （2）， ，是的三等分点， ， ， ； 故答案为：． 【题型六】求位似图形的坐标 【例6】如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，可得，则．根据位似的性质可得，进而可得．由题意可得，，即可得，，从而可得答案． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，． ∵与关于点A位似，与的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ．    【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标．利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可． 【详解】解：点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， 则点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 【变式6-2】如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标．注意根据题意求得其位似比是关键． 由将以坐标原点O为位似中心扩大到，、，即可求得其位似比，继而求得答案． 【详解】解：∵、， ∴， ∵将以坐标原点O为位似中心扩大到， ∴位似比为：， ∵， ∴点C的坐标为：， 故答案为：． 【题型七】在平面直角坐标系中作位似图形 【例7】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ． (2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 ． (3)的面积是 ． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析， ； (3)． 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图平移变换、位似变换、三角形的面积，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （2）根据位似的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，向下平移个单位长度得到的， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． （2）∵与位似，且相似比为， ∴延长，，使得，，如图所示， ， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． （3）的面积， 故答案为：10． 【变式7-1】如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为点、、． (1)以点为位似中心，按在位似中心的同侧将放大为，放大后点A，B的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标； (2)在（1）中，若为线段上任意一点，请直接写出变化后点P的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查作图位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义及性质． （1）根据题目的叙述，正确地作出图形，然后确定各点的坐标即可； （2）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点的对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，其中，； （2）解：根据（1）中，变换的规律可得，． 【变式7-2】如图，平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是、、．    (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)在第一象限内，画出以点O为位似中心并扩大到原来的3倍的； (3)写出点、的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)点，点 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似变换，轴对称作图，掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）分别作出三顶点关于轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据位似性质找到，，，分别连接起来即可得到答案； （3）根据（2）图即可得、 的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作    （2）解：如图，即为所求作    （3）解：由作图知，点，点． 【题型八】相似三角形的判定和性质的综合问题 【例8】如图，在中，为直角，于D．在中，E是的中点．的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质， （1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，可知，再根据，可得，接下来可根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； （2）根据相似三角形对应边成比例可得答案． 【详解】（1）在中，点E是的中点， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵， ∴， 即． ∵， ∴， 解得． 【变式8-1】如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，勾股定理： （1）先根据矩形的性质得，，然后利用得到，最后结合，即可证明； （2）先利用矩形的性质得到，再利用勾股定理得出，由得，可求出． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：四边形为矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ，即， 解得， 【变式8-2】如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 【变式8-3】如图，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作射线的垂线，垂足为F，连接． (1)如图（1），若，求的长； (2)如图（2），若E为中点． ①求证：； ②当时，判断是否正确，如判断正确，无需写出理由；若判断错误，请直接写出正确结果等于多少． 【答案】(1)9 (2)①见详解；②判断错误， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，据全等三角形的性质得，即可求解； （2）①延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得，则，即是的中点，根据直角三角形斜边上的中线即可得出结论； ②延长、交于点，由①知，可得，由得，则，证明，根据相似三角形的性质可得出． 【详解】（1）解：， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①证明：如图，延长、交于点， 在矩形中，， ， ∴点为的中点， ， ， ， ， ， ∴是的中点， ， ， ； ②如图，延长交于点M， 由①知， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型一】相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 【例1】（24-25九年级·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（　　） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒， ①若，则， 即， 解得：； ②若，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒， 故选：A 【变式1-1】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 【题型二】相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 【例2】（2026·江西·模拟预测）如图，等腰三角形中，，点M是边上一动点，连接，当图中存在直角三角形时（不添加其他线段），的长为 ． 【答案】4或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据题意求出等腰三角形底边上的高，然后分三种情况讨论，然后利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：根据题意求出等腰三角形底边上的高. 如图（1），过点A作于点H， ∵， ∴． 根据直角三角形的直角不确定，分情况求解. ①当时，点M与点H重合，此时均为直角三角形，； ②当时，为直角三角形，如图（2）， ， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为直角三角形，如图（3），同理②可得, ； 综上所述，的长为4或或． 故答案为：4或或． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点P、Q分别为上一动点，将沿折叠得到，点B的对应点是点D，若点D始终在边上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，折叠的性质，根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当与相似时， ∵点D始终在边上， 根据折叠， 设，则， ∴分两种情况： ①，此时， ∴， 即， 解得， ∴， ②，此时， ∴， 即， 解得， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【题型三】由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 【例3】（2025·广东汕头·一模）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解． 【详解】解：作交于点H，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 故答案为：． 【题型四】相似三角形与几何图形综合易错问题 【例4】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）新定义：如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点E，交于点F，若F为的中点，则是垂中平行四边形，E是垂中点．    (1)如图1，在垂中平行四边形中，E是垂中点．若，，则_____；_____； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点，，． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)1， (2)．证明见解析 (3)①画图见解析；②的长为或 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中平行四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【变式4-1】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【题型一】相似三角形中（双）A字型模型 方法技巧总结： “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 “A”字模型 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 【例1】如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 【变式1-1】如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 【变式1-2】如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 【题型二】相似三角形中（双）8字型模型 方法技巧总结： “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 【例2】如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 【变式2-1】如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 【变式2-2】如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型三】相似三角形中母子型模型 方法技巧总结： “母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “母子”模型（斜射影模型）条件：如图，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 【例3】如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】在四边形中，点为的中点，分别连接． (1)如图1，若，． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据对应角相等证明，所以对应边成比例，再根据点为的中点，代入比例式即可求证；②由①知可得，再由可得，进而得出，可得，即证得结论； （2）过点作，连接，，根据全等三角形的判定与性质，构造，再根据等腰三角形的判定得出为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】（1）如图①，在中，，于点D．求证：； （2）如图②，在中，，点D为边上的点，于点E，延长交于点F，若，求和的值； （3）在中，，点D为直线上的动点（点D不与B，C重合），直线于点E，交直线于点F，若，请直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析； （2），； （3）满足条件的的所有可能的值为或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可证，从而可得即； （2）过点C作交的延长线于点G，可得，结合可得，从而可知，同理（1）可得，，即可变换为，，最后根据，即可得出； （3）同理（2）考虑点D在线段上时、D在线段的延长线上时、点D在线段的延长线上时三种情况即可． 【详解】解：（1）证明：如图①， ，， ， 又， ， ， ． （2）解：方法一： 如图②，过点C作交的延长线于点G， ， ，． ， ，， 又， ， ． 同理（1）可得：，， ， ， ． ， ． 方法二： 如图③，过点D作，交于点G， ， ，． ， ，． 同理（1）可得：，， ， ， ， ． （3）解：点D为直线上的动点（点D不与B、C重合），有三种情况： （I）当点D在线段上时，如图④所示： 过点D作，交边于点G． ， ，，． ， ， ，，． 同理（1）可得：，， ； ， ， 即， 化简得：； （II）当点D在线段的延长线上时，如图⑤所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：； （III）当点D在线段的延长线上时，如图⑥所示： 过点D作，交边的延长线于点G． 同理可求得：． 即满足条件的的所有可能的值为或或． 【题型四】相似三角形中的手拉手模型 方法技巧总结： 1. 模型构造条件：在矩形ABCD中，若分别以矩形的一组邻边（如AB、AD）为边，向外（或向内）作两个相似三角形（如△ABE∽△ADF），且对应角与矩形内角重合（∠BAE=∠DAF），连接对应顶点（如BF、DE），则构成“手拉手”相似模型，核心是“共顶点、等夹角、邻边相似”。 2. 核心结论：一是对应线段成比例且夹角等于矩形内角，即BF/DE=AB/AD（矩形邻边比），且∠BGD=90°（G为BF与DE交点），因相似三角形对应角相等，结合矩形内角90°可推导；二是衍生相似，如△BAG∽△DCG，由核心比例关系和对顶角相等可证。 3. 应用关键：解题时先定位矩形的“共顶点”（通常为直角顶点），识别相似三角形的“拉手边”（矩形邻边），再利用“线段比例+夹角90°”结论，快速求解线段长度、角度或证明垂直关系，需注意内外作三角形时结论一致性，仅图形位置不同。 【例4】【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【变式4-1】（2025·山东聊城·三模）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： (1)如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是 ；位置关系是 ．请说明理由． 探索猜想： (2)如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)依然成立，见解析 【分析】（1）根据在直角三角形中，两条直角边对应边成比例可得，再由相似即可得与的数量关系，再延长根据即可得到与的位置关系． （2）根据两边对应成比例及其夹角相等可得，再根据相似三角形的性质可得与的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：因为点F，H恰好为边，的中点，且，， 所以，， 又因为在和中， ，， 所以， 所以，， 延长交于点M，如图， 因为中，， 又因为， 所以， 所以在中，，即， 所以． （2）解：当时，且， 因为四边形和为矩形， 所以， 所以， 即， 由（1）知，，， ，， 所以， 所以， ，， 记与交于点P，与交于点N，如图， 因为，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定与性质，分别由直角三角形和普通三角形证明相似的方法，证明出是解决本题的关键． 【题型五】相似三角形中K字型模型 方法技巧总结： K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 【例5】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析（2）10 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期中）已知正方形的边长为4，点E在边上，且交边于点F． (1)求证：； (2)若点E为的中点，求的长； (3)在（2）的条件下，若的延长线与的延长线交于点G，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质结合，推出，即可证明结论； （2）先求出，根据，推出，即可求解； （3）根据，易证，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型六】相似三角形中十字架模型 方法技巧总结： 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 【例6】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据题意证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，设，则，勾股定理求出，进而得到，，然后代入求解即可； （3）①证明出，得到，然后结合，得到，进而求解即可； ②如图，连接，证明出B，E，F，在一条直线上，过P作于H，证明出，得到，，求出，，证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，， ， ∴，即， 解得． ， ， ， ； （2）解：． 理由：四边形是平行四边形，， ，， ， ， 设，则． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ； （3）①证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ， ； ②解：如图，连接， 由折叠得， ∵于点E， ∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H． 由折叠得，， 四边形是平行四边形， ， ， ． ，， ，， ， ． ，， ， ，即， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式6-1】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）过点D作交于点M，过点A作交于点N，通过证明，可得结论； （3）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H，由相似三角形的性质和直角三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $